人教版初中數(shù)學(xué)同步講義七年級(jí)下冊(cè)專題01 平行線間的拐點(diǎn)問題（原卷版）

專題01平行線間的拐點(diǎn)問題類型一：“豬蹄”模型類型二：“鉛筆”模型類型三：“鷹嘴”模型平行線間的拐點(diǎn)問題均過拐點(diǎn)作平行線的平行線，有多少個(gè)拐點(diǎn)就作多少條平行線。一．選擇題1．（2023?新城區(qū)校級(jí)一模）如圖，直線m∥n，含有45°角的三角板的直角頂點(diǎn)O在直線m上，點(diǎn)A在直線n上，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（）A．15° B．25° C．35° D．45°2．（2023?海南）如圖，直線m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，點(diǎn)C在直線n上．若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)是（）A．60° B．50° C．45° D．40°3．（2023秋?渝中區(qū)校級(jí)期中）如圖，直線AB∥CD，GE⊥EF于點(diǎn)E．若∠EFD＝32°，則∠BGE的度數(shù)是（）A．62° B．58° C．52° D．48°4．（2022秋?杜爾伯特縣期末）如圖，已知AB∥CD，BE，DE分別平分∠ABF和∠CDF，且交于點(diǎn)E，則（）A．∠E＝∠F B．∠E+∠F＝180° C．2∠E+∠F＝360° D．2∠E﹣∠F＝180°5．（2022秋?榆樹市期末）如圖，AB∥CD，則圖中∠1、∠2、∠3關(guān)系一定成立的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2+∠3＝360° C．∠1+∠3＝2∠2 D．∠1+∠3＝∠26．（2023秋?湖北月考）將含有30°角的直角三角板在兩條平行線中按如圖所示擺放．若∠1＝120°，則∠2為（）A．120° B．130° C．140° D．150°二．填空題7．（2023?江油市開學(xué)）如圖，AB∥CD，P為AB，CD之間的一點(diǎn)，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，則∠1＝．8．（2023秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知DE∥BC，∠ABC＝105°，點(diǎn)F在射線BA上，且∠EDF＝125°，則∠DFB的度數(shù)為．9．（2023秋?道里區(qū)校級(jí)期中）為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，望一觀音湖學(xué)校將“跳繩”引入陽光體育一小時(shí)活動(dòng)．圖1是一位同學(xué)跳繩時(shí)的一個(gè)瞬間．?dāng)?shù)學(xué)老師把它抽象成圖2的數(shù)學(xué)問題：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，則∠AEC＝．10．（2022秋?雅安期末）如圖，AB∥CD，∠DCE的角平分線CG的反向延長線和∠ABE的角平分線BF交于點(diǎn)F，∠E﹣∠F＝60°，則∠E＝．11．（2023秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，AB∥CD，∠ABG的平分線與∠CDE的平分線交于點(diǎn)M，∠M＝45°，∠F＝64°，∠E＝66°，則∠G＝°．三．解答題12．（2022秋?寶豐縣期末）已知直線MN、PQ，點(diǎn)A、B為分別在直線MN、PQ上，點(diǎn)C為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AC、BC，且∠C＝∠NAC+∠CBQ．（1）求證：MN∥PQ；（2）如圖2，射線AE、BD分別平分∠MAC和∠CBQ，AE交直線PQ于點(diǎn)E，BD與∠NAC內(nèi)部的一條射線AD交于點(diǎn)D，若∠C＝2∠D，求∠EAD的度數(shù)．13．（2022秋?莘縣期末）綜合與實(shí)踐如圖，已知AB∥CD，現(xiàn)將一直角三角形PMN放入圖中，其中∠P＝90°，PM交AB于點(diǎn)E，PN交CD于點(diǎn)F．（1）當(dāng)所放位置如圖①所示時(shí)，∠PFD與∠AEM的數(shù)量關(guān)系是∠PFD+∠AEM＝90°；（2）當(dāng)所放位置如圖②所示時(shí)，求證：∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）在（2）的條件下，若MN與CD交于點(diǎn)O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度數(shù)．14．（2022秋?洛寧縣期末）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度數(shù)．小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC＝50°+60°＝110°．問題遷移：（1）如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．15．（2023春?鼎城區(qū)期末）已知直線AB∥CD，點(diǎn)P為直線AB，CD所確定的平面內(nèi)的一點(diǎn)．問題提出：（1）如圖1，∠A＝120°，∠C＝130°，求∠APC的度數(shù)；問題遷移：（2）如圖2，寫出∠APC，∠A，∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；問題應(yīng)用：（3）如圖3，點(diǎn)E在射線BA上，過點(diǎn)E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，點(diǎn)G在直線CD上，作∠BEG的平分線EH交PC于點(diǎn)H，若∠APC＝20°，∠PAB＝150°，求∠PEH的度數(shù)．16．（2023秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)G，H，點(diǎn)P為直線EF上的點(diǎn)，連接AP，CP．（1）如圖1，點(diǎn)P在線段GH上時(shí)，請(qǐng)你直接寫出∠BAP，∠DCP，∠APC的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，點(diǎn)P在HG的延長線上時(shí)，連接CP交AB于點(diǎn)Q，連接HQ，AC，若∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，求證：AC∥EF；（3）在（2）的條件下，如圖3，CK平分∠ACP，GK平分∠AGP，GK與CK交點(diǎn)K，連接AK，若∠PQH＝4∠PCK+2∠PHQ，∠CKG＝∠CHQ，∠AKC+∠KAC＝159°，求∠BAC的大?。?7．（2023秋?道里區(qū)校級(jí)期中）已知：直線AB與直線CD內(nèi)部有一個(gè)點(diǎn)P，連接BP．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在直線CD上，連接PE，若∠B+∠PEC＝∠P，求證：AB∥CD；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在直線AB與直線CD的內(nèi)部，點(diǎn)H在直線CD上，連接EH，若∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，求證：AB∥CD；（3）如圖3，在（2）的條件下，BG、EF分別是∠ABP、∠PEH的角平分線，BG和EF相交于點(diǎn)G，EF和直線AB相交于點(diǎn)F，當(dāng)BP⊥PE時(shí)，若∠BFG＝∠EHD+10°，∠BGE＝36°，求∠EHD的度數(shù)．18．（2023秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）已知，過∠ECF內(nèi)一點(diǎn)A作AD∥/EC交CF于點(diǎn)D，作AB∥/CF交CE于點(diǎn)B．（1）如圖1，求證：∠ABE＝∠ADF；（2）如圖2，射線BM，射線DN分別平分∠ABE和∠ADF，求證：BM∥DN；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)G，Q在線段DF上，連接AG，AQ，AC，AQ與DN交于點(diǎn)H，反向延長AQ交BM于點(diǎn)P，如果∠GAC＝∠GCA，AQ平分∠GAD，∠QAC＝50°，求∠MPA+∠PQF的度數(shù)．19．（2023秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）已知，射線FG分別交射線AB、DC于點(diǎn)F、G，點(diǎn)E為射線FG上一點(diǎn)．（1）如圖1，若∠A+∠D＝∠AED，求證：AB∥CD．（2）如圖2，若AB∥CD，求證：∠A﹣∠D＝∠AED．（3）如圖3，在（2）的條件下，DI交AI于點(diǎn)Ⅰ，交AE于點(diǎn)K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度數(shù)．20．（2023春?欒城區(qū)校級(jí)期中）【問題解決】：如圖①，AB∥CD，點(diǎn)E是AB，CD內(nèi)部一點(diǎn)，連接BE，DE．若∠ABE＝40°，∠CDE＝60°，求∠BED的度數(shù)；嘉琪想到了如圖②所示的方法，請(qǐng)你幫她將完整的求解過程補(bǔ)充完整；解：過點(diǎn)E作EF∥AB∴∠ABE＝∠BEF（）；∵EF∥AB，AB∥CD（已知）；∴EF∥CD（）；∴∠CDE＝（）（）；又∵∠BED＝∠BEF+∠DEF（）；∴∠BED＝∠ABE+∠CDE（）；∵∠ABE＝40°，∠CDE＝60°（已知）；∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝100°（等量代換）；【問題遷移】：請(qǐng)參考嘉琪的解題思路，解答下面的問題：如圖③，AB∥CD，射線OM與直線AB，CD分別交于點(diǎn)A，C，射