人教版初中數(shù)學同步講義七年級下冊第01講 不等式及其解集（3個知識點+4類熱點題型講練+習題鞏固）（解析版）

第01講不等式課程標準學習目標①不等式②不等式的解與解集③不等式解集的表示方法理解不等式及其解的概念，能熟練判斷不等式與不等式的解集。學會用不等式表示熟練關系，形成數(shù)形結合的思想。了解不等式解集的表示方法，能夠熟練的在數(shù)軸上表示不等式的解集。知識點01不等式與不等號不等式的定義：用不等號表示大小關系或不等關系的式子叫做不等式。表示的不等關系必須成立。常見的不等號：①小于：符號表示為＜；實際意義為小于，不足等。②大于：符號表示為＞；實際意義為大于，超過等。③小于或等于：符號表示為≤；實際意義為不大于，不超過，至多等。④大于或等于：符號表示為≥；實際意義為不小于，不低于，至少等。⑤不等于：符號表示為≠；實際意義為不相等。列不等式：審清題意，弄清關鍵詞的含義，找出已知量與未知量以及他們之間存在的關系，然后用不等式將不等關系表示出來。常見的不等式基本語言與符號表示：若是正數(shù)表示為；若是負數(shù)表示為；若是非正數(shù)表示為；若是非負數(shù)表示為；若是同號表示為；若是異號表示為；【即學即練1】1．下列數(shù)學式子：①﹣3＜0；②2x+3y≥0；③x＝1；④x2﹣2xy+y2；⑤x+1≠3；其中是不等式的有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【分析】根據(jù)不等式的定義：用不等號連接的式子是不等式，逐個進行判斷即可．【解答】解：①﹣3＜0，是不等式，符合題意；②2x+3y≥0，是不等式，符合題意；③x＝1，是等式，不符合題意；④x2﹣2xy+y2，是多項式，不符合題意；⑤x+1≠3，是不等式，符合題意；綜上：是不等式的有①②⑤，共3個．故選：C．【即學即練2】2．“x為正數(shù)”的表達式是（）A．x＜0 B．x＞0 C．x≥0 D．x≤0【分析】正數(shù)即為大于0的數(shù)，據(jù)此可列出不等式．【解答】解：∵正數(shù)是指大于0的數(shù)，∴x是正數(shù)，即x＞0，故選：B．【即學即練3】3．小明網(wǎng)購了一本《好玩的數(shù)學》，同學們想知道書的價格，小明讓他們猜．甲說：“至少13元．”乙說：“至多10元．”丙說：“至多8元．”小明說：“你們?nèi)齻€人都說錯了”．則這本書的價格x（元）所在的范圍為（）A．8＜x＜10 B．10＜x＜12 C．x＞10 D．10＜x＜13【分析】根據(jù)甲說：“至少13元．”乙說“至多10元．”丙說“至多8元．”小明說：“你們?nèi)齻€人都說錯了．”可以得到相應的不等式組，從而可以得到x的取值范圍．【解答】解：∵甲說：“至少13元．”乙說“至多10元．”丙說“至多8元．”∴，可得無解，∵三人都說錯了，∴10＜x＜13．故選：D．知識點02不等式的解與解集不等式的解的定義：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。是一個具體的數(shù)值。不等式的解集：一般地，一個含有未知數(shù)的不等式的所有解組成了這個不等式的解集。它是一個集合，包含了不等式所有的解。解不等式：求不等式的解集的過程叫做解不等式?！炯磳W即練1】4．下列說法中正確的是（）A．x＝3是2x＞3的一個解 B．x＝3是2x＞3的解集 C．x＝3是2x＞3的唯一解 D．x＝3不是2x＞3的解【分析】求出不等式2x＞3的解集，進行判斷．【解答】解：2x＞3，x＞1.5，即x＞1.5是2x＞3的解集，A、x＝3是2x＞3的一個解，所以選項A正確；B、x＝3不是2x＞3的解集，所以選項B不正確；C、因為x＞1.5是2x＞3的解集，即滿足x＞1.5的所有實數(shù)都是2x＞3的解，所以x＝3不是2x＞3的唯一解，不等式2x＞3有無數(shù)個解，所以選項C不正確；D、x＝3是2x＞3的一個解，所以選項D不正確；故選：A．知識點03不等式解集的表示方法不等式解集的簡單不等式表示方法：一般地，一個含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個解，它的解集是一個范圍。一般用來表示。數(shù)軸表示法：1中的簡單不等式表示的解集可以在數(shù)軸上表示出來。具體步驟：第一步：確定邊界以及是否包含。含等于則包含，用實心圓來表示，不含等于則不包含，用空心圈來表示。第二步：確定方向。大于向右，小于向左。第三步：畫圖。①可以表示為：②可以表示為：③可以表示為：④可以表示為：【即學即練1】5．在數(shù)軸上表示不等式x＞﹣2的解集，正確的是（）A． B． C． D．【分析】本題可根據(jù)不等式畫出數(shù)軸，實心圓點包括該點，空心圓圈不包括該點，大于向右小于向左．【解答】解：根據(jù)不等式的解集表示﹣2的右邊的部分，則可用數(shù)軸表示為：故選A．【即學即練2】6．一個不等式組的解集在數(shù)軸上的表示如圖，則這個不等式組的解集是（）A．﹣1＜x＜3 B．﹣1＜x≤3 C．﹣1≤x＜3 D．﹣1≤x≤3【分析】根據(jù)在數(shù)軸上表示不等式解集的方法進行解答即可．【解答】解：∵﹣1處是實心圓點且折線向右，3處是空心圓點且折線向左，∴﹣1≤x＜3．故選：C．題型01判斷不等式【典例1】下列各式中，是不等式的是（）A．x＝3 B．x﹣1 C．x+y＝1 D．4x+5＞0【分析】主要依據(jù)不等式的定義—用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等號表示不相等關系的式子是不等式來判斷．【解答】解：A、x＝3，是等式，故A不符合題意；B、x﹣1是代數(shù)式，不是不等式，故B不符合題意；C、x+y＝1，是等式，故C不符合題意；D、4x+5＞0，是不等式，故D，符合題意；故選：D．【變式1】有下列式子：①﹣3＜0；②3x+5＞0；③x2﹣6；④x＝﹣2；⑤y≠0；⑥x2+2≥1．其中不等式的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】依據(jù)不等式的定義求解即可．【解答】解：①﹣3＜0是不等式；②3x+5＞0是不等式；③x2﹣6不是不等式；④x＝﹣2不是不等式；⑤y≠0是不等式；⑥x2+2≥1是不等式．綜上可知，①②⑤⑥是不等式，共4個，故選：C．【變式2】數(shù)學表達式①﹣5＜2；②4x+7＞0；③x＝5；④x2﹣xy+y2；⑤x﹣4＞y+1中不等式的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)不等式的定義（用符號“＜”或“＞”表示大小關系的式子，叫做不等式）逐個判斷即可得．【解答】解：①﹣5＜2，②4x+7＞0；⑤x﹣4＞y+1都是不等式，共有3個，故選：C．題型02列簡單的不等式【典例1】x是不大于5的數(shù)，則下列表示正確的是（）A．x＞5 B．x≥5 C．x＜5 D．x≤5【分析】本題考查了不等式的應用，能理解正數(shù)、不大于的意義是解此題的關鍵，根據(jù)已知列出不等式即可．【解答】解：∵x是不大于5的數(shù)，∴x≤5．故選：D．【變式1】x與5的和大于3，用不等式表示為（）A．x+5＜3 B．x+5＞3 C．x﹣5＞3 D．x﹣5＜3【分析】根據(jù)題意可以用不等式表示x與5的和大于3，本題得以解決．【解答】解：x與5的和大于3，用不等式表示為x+5＞3，故選：B．【變式2】烏鞘嶺是隴中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超過3500米．若用x（米）表示烏鞘嶺主峰的海拔高度，則x滿足的關系為（）A．x＜3500 B．x≤3500 C．x≥3500 D．x＞3500【分析】根據(jù)烏鞘嶺是隴中高原和河西走廊的天然分界和主峰海拔超過3500米得出答案即可．【解答】解：∵烏鞘嶺是隴中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超過3500米，x（米）表示烏鞘嶺主峰的海拔高度，∴x＞3500，故選：D．【變式3】如圖所示的交通標志為一條公路某路段上汽車的最高時速不得超過100km，若某汽車的時速為akm/h，且該汽車沒有超速，則下列不等式正確的是（）A．a(chǎn)＞100 B．a(chǎn)≥100 C．a(chǎn)＜100 D．a(chǎn)≤100【分析】由該汽車沒有超速，即可列出關于a的一元一次不等式，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得：a≤100．故選：D．題型03用數(shù)軸表示不等式的解集【典例1】不等式x≥1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)在數(shù)軸上表示不等式解集的方法求解即可．【解答】解：∵x≥1，∴1處是實心原點，且折線向右．故選：D．【變式1】將不等式組的解集表示在數(shù)軸上，下列正確的是（）A． B． C． D．【分析】先求出不等式組的解集，再在數(shù)軸上表示出來即可．【解答】解：不等式組的解集為無解，在數(shù)軸上表示為：故選：B．【變式2】不等式的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．【分析】首先解不等式組，然后根據(jù)大于解集向右，小于解集向左，含有等號的不等號是實心點，不含有等號的不等號是空心點即可得到答案．【解答】解：原不等式的解集為：x＞3，因此數(shù)軸上應為不包含2向右的部分與包含3向右的部分的公共部分．故選：C．【變式3】在數(shù)軸上表示不等式﹣1≤x＜3，正確的是（）A． B． C． D．【分析】不等式﹣1≤x＜3在數(shù)軸上表示不等式x≥﹣1與x＜3兩個不等式的公共部分．【解答】解：∵﹣1≤x＜3，∴在數(shù)軸上表示為：故選：D．題型04判斷數(shù)軸表示的解集【典例1】關于x的某個不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示，則該不等式的解集是（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x≠﹣2【分析】根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法即可．【解答】解：∵﹣2處是空心圓點，且折線向右，∴x＞﹣2．故選：A．【變式1】某不等式組的解集在數(shù)軸上表示為如圖所示，則該不等式組的解集是（）A．﹣3＜x≤2 B．﹣3≤x≤2 C．x＜﹣3或x≥2 D．x≤﹣3或x≥2【分析】根據(jù)數(shù)軸上表示的解集找出公共部分即可解答．【解答】解：根據(jù)數(shù)軸可得：，∴此不等式組的解集為﹣3＜x≤2，故選：A．【變式2】如圖，該數(shù)軸表示的不等式的解集為（）A．x＞﹣2 B．x≤3 C．﹣2＜x＜3 D．﹣2≤x＜3【分析】依據(jù)題意，由不等式解集的特點，直接表示解集即可．【解答】解：根據(jù)數(shù)軸可知﹣2≤x＜3，∴不等式的解集為﹣2≤x＜3，故選：D．【變式3】實數(shù)a的取值范圍如圖所示，則點P（a+1，a+3）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)題意可得﹣3＜a＜﹣1，據(jù)此可得a+1＜0，a+3＞0，再根據(jù)各象限內(nèi)點的坐標的符號特征解答即可．【解答】解：由題意得﹣3＜a＜﹣1，∴a+1＜0，a+3＞0，∴點P（a+1，a+3）所在的象限是第二象限．故選：B．1．給出下列各式：①﹣3＜0；②a+b≥0；③2x＝5；④x2﹣xy+y2；⑤x+2y＞y﹣7；⑥a≠3．其中不等式的個數(shù)是（）A．5 B．2 C．3 D．4【分析】運用不等式的定義進行判斷．【解答】解：①﹣3＜0是不等式；②a+b≥0是不等式；③2x＝5是等式，④x2﹣xy+y2是代數(shù)式，沒有不等關系，所以不是不等式，⑤x+2y＞y﹣7是不等式，⑥a≠3是不等式．不等式有①②⑤⑥，共4個．故選：D．2．不等式x≥3可以表示（）A．大于3的數(shù) B．小于3的數(shù) C．不大于3的數(shù) D．不小于3的數(shù)【分析】根據(jù)所給不等式可直接得出答案．【解答】解：不等式x≥3可以表示不小于3的數(shù)，故選：D．3．在四個數(shù)中，滿足不等式x＜﹣2的有（）A．﹣2 B．﹣3 C． D．1【分析】根據(jù)各數(shù)的大小即可做出判斷．【解答】解：在四個數(shù)中，，故滿足不等式x＜﹣2的有﹣3，故選：B．4．如果x＝1.8是某不等式的解，那么該不等式可以是（）A．x＞3 B．x＞2 C．x＜1 D．x＜2【分析】根據(jù)1.8＜2即可得出答案．【解答】解：∵1.8＜2，∴x＝1.8是不等式x＜2的解．故選：D．5．網(wǎng)課期間，琪琪同學花整數(shù)元購買了一個手機支架，讓同學們猜價格．甲說：“至少20元”，乙說“至多18元”，丙說：“至多15元”．琪琪說：“你們都猜錯了．”則這個支架的價格為（）A．15元 B．18元 C．19元 D．20元【分析】根據(jù)題目中的說法，可以利用排除法，求得手機支架的價格，從而可以解答本題．【解答】解：由題意可得，甲、乙、丙的說法都是錯誤的，甲的說法錯誤，說明手機支架的價格少于20元，乙、丙的說法錯誤，說明手機支架的價格高于18元，又因為琪琪同學花整數(shù)元購買了一個手機支架，所以手機支架的價格是19元，故選：C．6．組成不等式組的兩個不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示，這個不等式組的解集是（）A．x≤3 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x＜3 D．﹣1＜x≤3【分析】數(shù)軸的某一段上面，表示解集的線的條數(shù)，與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．實心圓點包括該點，空心圓圈不包括該點，大于向右小于向左．兩個不等式的公共部分就是不等式組的解集．【解答】解：由數(shù)軸知，此不等式組的解集為﹣1＜x≤3，故選：D．7．下列用數(shù)軸表示不等式組的解集，正確的是（）A． B． C． D．【分析】依次分析各個選項不等式組的解集即可．【解答】解：A、不等式組的解集為：x＜﹣1或x≥3，故本選項不合題意；B、不等式組的解集為：x≤﹣1，或x＞3，故本選項不合題意；C、不等式組的解集為：﹣1＜x≤3，故本選項符合題意；D、不等式組的解集為：﹣1≤x＜3，故本選項不合題意；故選：C．8．不等式x＞﹣1和2x≤6的解集在數(shù)軸上表示都正確的是（）A． B． C． D．【分析】首先解不等式2x≤6，然后根據(jù)不等式的表示法即可判斷．【解答】解：解不等式2x≤6，得：x≤3，不等式x＞﹣1和2x≤6的解集在數(shù)軸上表示為．故選：D．9．鋪設木地板時，每兩塊地板之間的縫隙不低于0.5mm且不超過0.7mm，縫隙的寬度可以是（）A．0.4mm B．0.7mm C．0.8mm D．0.9mm【分析】設縫隙寬度為a，然后根據(jù)題意確定a的取值范圍，最后看那個選項在不等式的范圍內(nèi)即可．【解答】解：設縫隙寬度為a，由題意確定a的取值范圍為：0.5mm≤a≤0.7mm，選項中只有0.7mm在該范圍內(nèi)．故選：B．10．已知點M（2m﹣1，m﹣1）在第一象限，則m的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【分析】在第一象限內(nèi)的點的橫縱坐標均為正數(shù)，列式求值即可．【解答】解：∵點M（2m﹣1，m﹣1），∴，解①，得x＞0.5，解②，得x＞1，所以m的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是選項B．故選：B．11．在4，3，2，1，0，，中，能使不等式3x﹣2＞2x成立的數(shù)有個．【分析】解一元一次不等式得，x＞2，然后判斷作答即可．【解答】解：3x﹣2＞2x，移項合并得，x＞2，∴4，3能使不等式3x﹣2＞2x成立，故答案為：2．12．a(chǎn)與2的差不大于0，用不等式表示為．【分析】根據(jù)差運算，不大于的定義列出不等式即可．【解答】解：由題意，用不等式表示為a﹣2≤0，故答案為：a﹣2≤0．13．已知關于x的不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示，則這個不等式的解集是．【分析】直接根據(jù)數(shù)軸寫出答案即可．【解答】解：這個不等式的解集是：x≥1．故答案為：x≥1．14．已知不等式組，在同一條數(shù)軸上表示不等式①，②的解集如圖所示，則b﹣a的值為．【分析】直接利用不等式的解集結合數(shù)軸得出a，b的值，進而得出答案．【解答】解：∵不等式組，在同一條數(shù)軸上表示不等式①，②的解集如圖所示，則﹣a﹣1≤x≤b，∴﹣a﹣1＝﹣2，b＝3，解得：a＝1，b＝3，故b﹣a＝3﹣1＝2．故答案為：2．15．高速公路的建設，對我縣經(jīng)濟發(fā)展具有重要意義，畢威高速平山隧道入口處，有如圖所示的一塊交通標識牌，在遵守交通規(guī)則的前提下，小車通過該隧道所用時間至少為分鐘．【分析】根據(jù)時間＝距離÷速度即可得到答案．【解答】解：3120m＝3.12km，根據(jù)題意得，t≥＝0.039（小時）．0.039小時＝2.34分鐘，故答案為：2.34．16．把下列各數(shù)：﹣4，﹣|﹣3|，0，，+（+2），在數(shù)軸上表示出來并用“＞”把它們連接起來．【分析】先在數(shù)軸上表示出來，再比較即可．【解答】解：+（+2）＞0＞＞﹣|﹣3|＞﹣4．17．在數(shù)軸上表示下列不等式：（1）x＞﹣2；（2）x≤1.5；（3）﹣1≤x＜3．【分析】（1）根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上表示方法可畫出圖示；（2）根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上表示方法可畫出圖示；（3）根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上表示方法可畫出圖示．【解答】解：（1）將x＞﹣2表示在數(shù)軸上如下：（2）將x≤1.5表示在數(shù)軸上如下：（3）將不等式組﹣1≤x＜3表示在數(shù)軸上如下：．18．分別用含x的不等式表示如圖數(shù)軸中所表示的不等式的解集：①x＞0；②x≤3．【分析】根據(jù)數(shù)軸表示不等式解集的方法進行判斷即可．【解答】解：①數(shù)軸表示不等式解集為x＞0，②數(shù)軸表示不等式解集為x≤3，故答案為：x＞0