第二章函數(shù)全章總結(jié)提升課件高一上學期數(shù)學北師大版

第二章函數(shù)全章總結(jié)提升北師大版

數(shù)學

必修第一冊知識網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升目錄索引

易錯易混·銜接高考知識網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升專題一求函數(shù)的定義域、值域1.定義域:關(guān)注解析式中的根號、分母、零次冪有意義;抽象函數(shù)的定義域一般用代入法求解.2.值域:首先考查函數(shù)類型,再確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性,最后計算最值.解題過程中要靈活應用換元法、配方法等方法,含字母的要分情況討論.B★(2)若函數(shù)y=f(x)的定義域是[-2,4],則函數(shù)g(x)=f(-x)的定義域是(

)A.[-4,4] B.[-4,2] C.[-4,-2] D.[2,4]B解析

由題知-2≤-x≤4,得-4≤x≤2.所以函數(shù)g(x)=f(-x)的定義域是[-4,2].規(guī)律方法

求函數(shù)的定義域,始終記住是求使函數(shù)有意義的自變量x的取值范圍;求函數(shù)的值域,別忘了定義域優(yōu)先的原則.另外,定義域、值域一定要寫成集合或區(qū)間的形式.D★(2)已知函數(shù)y=f(x-1)的定義域是[-1,2],則y=f(1-3x)的定義域為(

)C解析

由-1≤x≤2,得-2≤x-1≤1,所以-2≤1-3x≤1,解得0≤x≤1.專題二分段函數(shù)1.作分段函數(shù)的圖象、求單調(diào)區(qū)間、求值域或最值、求解析式等問題的解決均可用四個字概括——分段處理.2.掌握基本函數(shù)求值運算,會畫簡單函數(shù)的圖象,提升數(shù)學運算和直觀想象素養(yǎng).是奇函數(shù).(1)求實數(shù)m的值;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,a-2]上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍.解

(1)設(shè)x<0,則-x>0,∴f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,又f(x)為奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),∴當x<0時,f(x)=x2+2x=x2+mx,∴m=2.(2)要使f(x)在[-1,a-2]上單調(diào)遞增,結(jié)合f(x)的圖象(如圖所示),知∴1<a≤3,故實數(shù)a的取值范圍是(1,3].規(guī)律方法

已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值,可利用奇偶函數(shù)定義求解.變式訓練2已知函數(shù)

是R上的增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.[-3,0) B.(-∞,-2] C.[-3,-2] D.(-∞,0)C專題三函數(shù)的性質(zhì)及應用1.函數(shù)的性質(zhì)主要有定義域、值域、單調(diào)性和奇偶性,利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求值、比較大小、解不等式是重點題型,解不等式時經(jīng)常結(jié)合圖象,要注意勿漏定義域的影響.2.掌握單調(diào)性和奇偶性的判斷和證明,會簡單的綜合運用,提升數(shù)學抽象、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).【例3】

設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),且滿足f(-x)=f(x),f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,且f(2a2+a+1)<f(2a2-4a+3),求實數(shù)a的取值范圍.解

∵f(x)是定義在R上的函數(shù),且f(-x)=f(x),∴f(x)為偶函數(shù).又f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.規(guī)律方法

1.解決有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的綜合應用問題時,可以根據(jù)函數(shù)的奇偶性解答或作出圖象輔助解答,先證明函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性求最值.2.研究抽象函數(shù)的性質(zhì)時要緊扣其定義,同時注意根據(jù)解題需要給x靈活賦值.(1)求實數(shù)m和n的值;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,-1]上的最值.∵-2≤x1<x2≤-1,∴x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴函數(shù)f(x)在[-2,-1]上單調(diào)遞增.專題四函數(shù)圖象的作法及應用1.作函數(shù)的圖象,可以用描點法,也可以用變換法,要注意利用函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性、對稱性簡化作圖.2.借助函數(shù)的圖象可以求函數(shù)值域、最值、單調(diào)性、奇偶性等,重點是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)及冪函數(shù)圖象.3.掌握簡單的基本函數(shù)圖象,提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).【例4】

(1)在平面直角坐標系xOy中,若直線y=2a與函數(shù)y=|x-a|-1的圖象只有一個交點,則實數(shù)a的值為

.

解析

函數(shù)y=|x-a|-1的圖象如圖所示,因為直線y=2a與函數(shù)y=|x-a|-1的圖象只有一個交點,故2a=-1,解得a=.★(2)已知函數(shù)f(x)=x2-2|x|+a,其中x∈[-3,3].①判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;②若a=-1,試說明函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并求出函數(shù)f(x)的值域.解

①因為定義域[-3,3]關(guān)于原點對稱,f(-x)=(-x)2-2|-x|+a=x2-2|x|+a=f(x),即f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函數(shù).②當0≤x≤3時,f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2;當-3≤x<0時,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2.作出函數(shù)的圖象,如圖所示.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,-1],[0,1]上單調(diào)遞減,在(-1,0),(1,3]上單調(diào)遞增.當0≤x≤3時,函數(shù)f(x)=(x-1)2-2的最小值為f(1)=-2,最大值為f(3)=2;當-3≤x<0時,函數(shù)f(x)=(x+1)2-2的最小值為f(-1)=-2,最大值為f(-3)=2.故函數(shù)f(x)的值域為[-2,2].規(guī)律方法

函數(shù)圖象可以使問題變得直觀,但仍要結(jié)合代數(shù)運算才能獲得精確結(jié)果.變式訓練4(1)對于任意x∈R,函數(shù)f(x)表示,x2-4x+3中的較大者,則f(x)的最小值是

.

2如圖,分別畫出三個函數(shù)的圖象,得到三個交點A(0,3),B(1,2),C(5,8).從圖象觀察可得函數(shù)f(x)的表達式為f(x)的圖象是圖中的實線部分,圖象的最低點是點B(1,2),所以f(x)的最小值是2.(2)已知f(x)是R上的奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=-x2+2x+2.①求f(-1);②求f(x)的解析式;③畫出f(x)的圖象,并指出f(x)的單調(diào)區(qū)間.解

①由于函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),所以對任意的x都有f(-x)=-f(x),所以f(-1)=-f(1)=-(-1+2+2)=-3.②設(shè)x<0,則-x>0,于是f(-x)=-(-x)2-2x+2=-x2-2x+2.又因為f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),因此f(x)=x2+2x-2.③先畫出y=f(x)(x>0)的圖象,利用奇函數(shù)的對稱性可得到相應y=f(x)(x<0)的圖象,其圖象如圖所示.由圖可知,其單調(diào)遞增區(qū)間為[-1,1],單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1]和[1,+∞).易錯易混·銜接高考1234561.[2024四川瀘州高一期末]已知f(x)是定義在[0,1]上的函數(shù),那么“函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增”是“函數(shù)f(x)在[0,1]上的最大值為f(1)”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要的條件A解析

若函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,由單調(diào)性的定義可知,此時函數(shù)f(x)在[0,1]上的最大值為f(1),即充分性成立;若函數(shù)f(x)在[0,1]上的最大值為f(1),則函數(shù)f(x)在[0,1]上不一定單調(diào)遞增,比如函數(shù)f(x)=(x-)2,故必要性不成立.綜上,“函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增”是“函數(shù)f(x)在[0,1]上的最大值為f(1)”的充分不必要條件.1234561234562.已知函數(shù)f(x)=ax2-x(a≠0),若對任意x1,x2∈[2,+∞),且x1<x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,則實數(shù)a的取值范圍是(

)C解析

因為f(x)=ax2-x對任意x1,x2∈[2,+∞),且x1<x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以1234563.[2024江西宜春高一期末]已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=ax+1,若f(-2)=5,則不等式f(x)>的解集為(

)A1234561234564.(多選題)已知函數(shù)f(x)=x2-2x-3,則下列結(jié)論正確的是(

)A.函數(shù)f(x)的最小值為-4B.函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增C.函數(shù)f(|x|)為偶函數(shù)D.若方程f(|x-1|)=a在R上有4個不等實根x1,x2,x3,x4,則x1+x2+x3+x4=4ACD123456解析

二次函數(shù)f(x)在x=1處取得最小值,且最小值f(1)=-4,故A正確;二次函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為直線x=1,其在(0,+∞)上不具有單調(diào)性,故B錯誤;由f(x)得,f(|x|)=|x|2-2|x|-3,顯然f(|x|)為偶函數(shù),故C正確;令h(x)=f(|x-1|)=|x-1|2-2|x-1|-3,方程f(|x-1|)=a的零點轉(zhuǎn)化為y=h(x)與y=a的交點,作出h(x)圖象如圖所示,圖象關(guān)于x=1對稱,當y=h(x)與y=a有四個交點時,兩兩分別關(guān)于x=1對稱,所以x1+x2+x3+x4=4,故D正確.故選ACD.1234565.[2024江蘇鎮(zhèn)江期末]冪函數(shù)f(x)滿足下列性質(zhì):(1)對定義域中任意的x,有f(x)=f(-x);(2)對(0,+∞)中任意的x