4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用人教A版

數(shù)學(xué)必修第一冊1.在實(shí)際情境中,會(huì)選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律.2.能建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題.3.體會(huì)如何借助函數(shù)刻畫實(shí)際問題,感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義.課程標(biāo)準(zhǔn)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)1

常見的函數(shù)模型一次函數(shù)模型y=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0)二次函數(shù)模型y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)指數(shù)型函數(shù)模型y=bax+c(a,b,c為常數(shù),b≠0,a>0,且a≠1)對數(shù)型函數(shù)模型y=mlogax+n(m,a,n為常數(shù),m≠0,a>0,且a≠1)冪型函數(shù)模型y=axn+b(a,b為常數(shù),a≠0)分段函數(shù)模型自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)某種商品進(jìn)價(jià)為每件360元,按進(jìn)價(jià)增加10%出售,后因庫存積壓降價(jià),若按原售價(jià)九折出售,則每件還能獲利.(

)(2)某種產(chǎn)品每件定價(jià)80元,每天可售出30件,若每件定價(jià)120元,則每天可售出20件,如果每天售出件數(shù)y(單位:件)是定價(jià)x(單位:元)的一次函數(shù),則這個(gè)函數(shù)解析式為y=-x+50.(

)(3)某種細(xì)胞分裂時(shí),由1個(gè)分裂成2個(gè),2個(gè)分裂成4個(gè),…,現(xiàn)有2個(gè)這樣的細(xì)胞,分裂x次后得到細(xì)胞的個(gè)數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系是y=2x.(

)×√×2.冪函數(shù)一定比一次函數(shù)增長速度快嗎?提示

冪函數(shù)的指數(shù)與一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)不確定,兩者的增長速度不能比較.知識(shí)點(diǎn)2

擬合函數(shù)模型1.應(yīng)用擬合函數(shù)模型解決問題的基本進(jìn)程

2.解決函數(shù)實(shí)際應(yīng)用題的步驟第一步:分析、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、抽象;第二步:建立函數(shù)模型,把實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;第三步:解答數(shù)學(xué)問題,求得結(jié)果;第四步:把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成具體問題的結(jié)論,做出解答.而這四步中,最為關(guān)鍵的是把第二步處理好.只要把函數(shù)模型建立妥當(dāng),所有的問題即可在此基礎(chǔ)上迎刃而解.思考辨析在根據(jù)已有數(shù)據(jù)擬合函數(shù)模型時(shí),所有的數(shù)據(jù)都要符合函數(shù)模型嗎?提示

不需要所有數(shù)據(jù)都符合函數(shù)模型,只要相對誤差最小即可.

自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)在函數(shù)建模中,散點(diǎn)圖可以幫助我們選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.(

)(2)對數(shù)函數(shù)增長模型比較適合于描述增長速度越來越平緩的變化規(guī)律.(

)√√2.某商場在銷售空調(diào)旺季的4天內(nèi)每天的利潤如下表所示:

時(shí)間/天1234利潤/千元23.988.0115.99現(xiàn)構(gòu)建一個(gè)描述這種空調(diào)銷售情況的函數(shù)模型,用y(單位:千元)表示第x天的利潤,則應(yīng)是下列函數(shù)中的(

)A.y=log2x B.y=2xC.y=x2 D.y=2xB重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一指數(shù)型函數(shù)模型【例1】

一片森林原來的面積為a,計(jì)劃每年砍伐一些樹,且每年砍伐面積的百分比相等,當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí),所用時(shí)間是10年,為保護(hù)生態(tài)環(huán)境,(1)求每年砍伐面積的百分比;(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?(3)今后最多還能砍伐多少年?解

(1)設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1),規(guī)律方法1.本題涉及平均增長率的問題,求解可用指數(shù)型函數(shù)模型表示,通?？梢员硎緸閥=N(1+p)x(其中N為原來的基礎(chǔ)數(shù),p為增長率,x為時(shí)間)的形式.2.在實(shí)際問題中,有關(guān)人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長問題,都常用到指數(shù)型函數(shù)模型.變式訓(xùn)練1[人教B版教材例題]按照《國務(wù)院關(guān)于印發(fā)“十三五”節(jié)能減排綜合工作方案的通知》(國發(fā)〔2016〕74號)的要求,到2020年,全國二氧化硫排放總量要控制在1580萬噸以內(nèi),要比2015年下降15%.假設(shè)“十三五”期間每一年二氧化硫排放總量下降的百分比都相等,2015年后第t(t=0,1,2,3,4,5)年的二氧化硫排放總量最大值為f(t)萬噸.(1)求f(t)的解析式;(2)求2019年全國二氧化硫排放總量要控制在多少萬噸以內(nèi)(精確到1萬噸).解

(1)設(shè)“十三五”期間每一年二氧化硫排放總量下降的百分比均為r,因?yàn)閒(0)表示2015年的排放總量,所以由題意可知f(t)=f(0)(1-r)t,t=0,1,2,3,4,5.因此2019年全國二氧化硫排放總量要控制在1

632萬噸以內(nèi).探究點(diǎn)二對數(shù)型函數(shù)模型【例2】

科學(xué)研究表明:人類對聲音有不一樣的感覺,這與聲音的強(qiáng)度I(單位:瓦/平方米)有關(guān).在實(shí)際測量時(shí),常用L(單位:分貝)來表示聲音強(qiáng)弱的等級,它與聲音的強(qiáng)度I滿足關(guān)系式:L=a·lg

(a是常數(shù)),其中I0=1×10-12瓦/平方米.如風(fēng)吹落葉沙沙聲的強(qiáng)度I=1×10-11瓦/平方米,它的強(qiáng)弱等級L=10分貝.(1)已知生活中幾種聲音的強(qiáng)度如下表:求a和m的值;(2)為了不影響正常的休息和睡眠,聲音的強(qiáng)弱等級一般不能超過50分貝,求此時(shí)聲音強(qiáng)度I的最大值.聲音來源風(fēng)吹落葉沙沙聲輕聲耳語很嘈雜的馬路強(qiáng)度I(瓦/平方米)1×10-111×10-101×10-3強(qiáng)弱等級L(分貝)10m90規(guī)律方法1.基本類型:有關(guān)對數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用題一般都會(huì)給出函數(shù)解析式,然后根據(jù)實(shí)際問題再求解.2.求解策略:首先根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù),或給出具體情境,從中提煉出數(shù)據(jù),代入解析式求值,然后根據(jù)數(shù)值回答其實(shí)際意義.變式訓(xùn)練2候鳥每年都要隨季節(jié)的變化而進(jìn)行大規(guī)模遷徙,研究某種鳥類的專家發(fā)現(xiàn),該種鳥類的飛行速度v(單位:m/s)與其耗氧量Q之間的關(guān)系為v=a+blog3(其中a,b是實(shí)數(shù)).據(jù)統(tǒng)計(jì),該種鳥類在靜止的時(shí)候其耗氧量為30個(gè)單位,而其耗氧量為90個(gè)單位時(shí),其飛行速度為1m/s.(1)求出a,b的值;(2)若這種鳥類為趕路程,飛行的速度不能低于2m/s,則其耗氧量至少要多少個(gè)單位?所以若這種鳥類為趕路程,飛行的速度不能低于2

m/s,則其耗氧量至少要270個(gè)單位.探究點(diǎn)三擬合函數(shù)模型的應(yīng)用題【例3】

為了估計(jì)山上積雪融化后對下游灌溉的影響,在山上建立了一個(gè)觀察站,測量最大積雪深度xcm與當(dāng)年灌溉面積yhm2.現(xiàn)有連續(xù)10年的實(shí)測資料,如下表所示:年序最大積雪深度x/cm灌溉面積y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描出灌溉面積yhm2隨積雪深度xcm變化的數(shù)據(jù)點(diǎn)(x,y);(2)建立一個(gè)能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型y=f(x),并作出其圖象;(3)根據(jù)所建立的函數(shù)模型,若今年最大積雪深度為25cm,則可以灌溉的土地面積是多少?解

(1)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布如圖①所示.(2)從圖①中可以看到,數(shù)據(jù)點(diǎn)大致落在一條直線附近,由此,我們假設(shè)灌溉面積y

hm2和最大積雪深度x

cm滿足線性函數(shù)模型y=a+bx(a,b為常數(shù),b≠0).取其中的兩組數(shù)據(jù)(10.4,21.1),(24.0,45.8),解得a≈2.4,b≈1.8.這樣,我們得到一個(gè)函數(shù)模型y=2.4+1.8x.作出函數(shù)圖象如圖②,可以發(fā)現(xiàn),這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好,這說明它能較好地反映最大積雪深度與灌溉面積的關(guān)系.(3)由(2)得當(dāng)x=25時(shí),y=2.4+1.8×25=47.4,即當(dāng)最大積雪深度為25

cm時(shí),可以灌溉土地47.4

hm2.圖②規(guī)律方法

函數(shù)模型選擇的基本步驟

變式訓(xùn)練3某籃球運(yùn)動(dòng)員為了測試自己的投籃最佳距離,他在每個(gè)測試點(diǎn)投籃30次,得到投籃命中數(shù)量y(單位:個(gè))與測試點(diǎn)投籃距離x(單位:米)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:x3568y25292820為了描述球員在測試點(diǎn)投籃命中數(shù)量y與投籃距離x的變化關(guān)系,現(xiàn)有以下三種y=f(x)函數(shù)模型供選擇:①f(x)=ax3+b,②f(x)=-x2+ax+b,③f(x)=abx.(1)選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型并說明理由,同時(shí)求出相應(yīng)的函數(shù)解析式;(2)在第(1)問的條件下,若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0,m]上的最大值為29,最小值為4,求m的取值范圍.解

(1)由表中數(shù)據(jù)可知,f(x)先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減,∵f(x)=ax3+b與f(x)=abx都是單調(diào)函數(shù),∴不符合題意;∵f(x)=-x2+ax+b先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減,∴符合題意.∴f(x)=-x2+10x+4.(2)由(1)知f(x)=-x2+10x+4,故對稱軸為x=5,∴f(x)在(-∞,5]上單調(diào)遞增,在(5,+∞)上單調(diào)遞減,∵f(0)=4,f(5)=29,∴m≥5,又f(x)=-x2+10x+4=4時(shí),x=0或10,∴m≤10.綜上所述,5≤m≤10,故m的取值范圍是[5,10].學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)123451.某種植物生長的數(shù)量y與時(shí)間x的關(guān)系如下表:

x1234…y13816…則下面的函數(shù)關(guān)系式中,擬合效果最好的是(

)A.y=2x-1 B.y=x2-1C.y=2x-1 D.y=1.5x2-2.5x+2D解析

將數(shù)值代入各選項(xiàng)中,四個(gè)點(diǎn)均與D項(xiàng)吻合,故選D.123452.某地區(qū)植被被破壞,土地沙化越來越嚴(yán)重,最近三年測得沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃,則沙漠面積增加數(shù)y關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系較為近似的是(

)C解析

當(dāng)x=1時(shí),排除選項(xiàng)B;當(dāng)x=3時(shí),排除選項(xiàng)A,D,經(jīng)檢驗(yàn)C項(xiàng)較為接近.123453.某工廠一年中第十二個(gè)月的產(chǎn)量是第一個(gè)月產(chǎn)量的a倍,那么該工廠這一年的月平均增長率是(

)D解析

設(shè)月平均增長率為x,根據(jù)條件可知(1+x)11=a,123454.某公司為了業(yè)務(wù)發(fā)展制定了一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案,在銷售額x為8萬元時(shí),獎(jiǎng)勵(lì)1萬元,銷售額x為64萬元時(shí)