福建省廈門市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

廈門市20232024學(xué)年第一學(xué)期高二年級質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題滿分：150分考試時間：120分鐘考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號、姓名填寫在答題卡上.考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知等比數(shù)列滿足，，則（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列，所以，據(jù)此即可求解.【詳解】因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，所以或，因為，，所以.故選：C.2.已知直線的傾斜角為，直線過點，若，則在軸上的截距為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】求出直線的斜率，點斜式得到直線方程，求出答案.【詳解】由題意得直線的斜率為，故直線的方程為，即，令得，故在軸上的截距為.故選：D3.點到雙曲線的漸近線的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出雙曲線的漸近線方程，由點到直線的距離公式求解.【詳解】由題意，雙曲線的漸近線方程為：，即，則點到雙曲線的漸近線的距離為.故選：A4.在四棱錐中，底面為平行四邊形，點滿足，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】取3個向量“”為基底，根據(jù)空間向量基本定理求解即可.【詳解】由于點滿足，可得：，即.故選：C.5.已知數(shù)列的前項和為，若，則的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式，采用兩式相減的方法推出，結(jié)合等比數(shù)列通項公式求出表達式，結(jié)合單調(diào)性，即可求得答案.【詳解】由題意知，故時，，當(dāng)時，，，則，即，故，又，所以為首項是，公比為的等比數(shù)列，故，隨n的增大而減小，且數(shù)列的奇數(shù)項均為負(fù)值，偶數(shù)項為正值，故時，取最大值，最大值為，故選：C6.已知橢圓的左、右焦點為，，上一點滿足，A為線段的中垂線與的交點，若的周長為，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓的定義，求出，，然后勾股定理得出a、c的關(guān)系即可.【詳解】A為線段的中垂線與的交點，所以，，三角形的周長為，所以，又，所以，又，所以，故選：B.7.已知梯形中，，，，，.如圖，將沿對角線翻折至，使得，則異面直線，所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題知，得出，再左右同時平方，利用數(shù)量積公式，算出兩向量的夾角的余弦值，從而得出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】因為，，所以,因為所以.所以即所以異面直線與CD所成角的余弦值為.故選：C.8.拋物線有一個重要的性質(zhì)：從焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸，此時反射面為拋物線在該點處的切線.過拋物線上的一點（異于原點）作的切線，過作的平行線交（為的焦點）于點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】方法1：由光學(xué)性質(zhì)可知，即，結(jié)合由三角不等式可得答案；方法2：設(shè)，求出直線、的方程，聯(lián)立方程可求得點坐標(biāo)，再求可得答案.【詳解】方法1：如圖，由光學(xué)性質(zhì)可知：入射光線，反射光線軸，所以，又，所以，因為軸，，則有，所以，即，由三角不等式可得，即；方法2：設(shè)，，易求得，所以，，聯(lián)立方程可求得，所以，即.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：在方法2中，解題的關(guān)鍵點是求出直線、的方程，聯(lián)立方程可求得點坐標(biāo).二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知集合，.若，則實數(shù)可以為（）A.0 B. C.1 D.2【答案】ABC【解析】【分析】由已知，圓在圓的內(nèi)部或圓上，即圓心距小于或等于半徑差.【詳解】由題意，，即圓在圓的內(nèi)部或圓上，則，即.故選：ABC10.如圖，在棱長為2的正方體中，點，分別是和的中點，則（）A.B.C.點到平面的距離為D.直線與平面所成角的正弦值為【答案】BC【解析】【分析】建系，利用向量法逐一求解即可．【詳解】建系如圖：由題得，，，因為與不共線，所以不平行，所以A錯誤；因為，所以，B正確；設(shè)平面的法向量為，，取，所以點F到平面的距離為，所以C正確；直線與平面所成角的正弦值為：，所以D錯誤；故選：BC.11.已知曲線，其中，則（）A.存在使得為圓B.存在使得為兩條直線C.若為雙曲線，則越大，的離心率越大D.若為橢圓，則越大，的離心率越大【答案】ABC【解析】【分析】AB選項，舉出實例；C選項，求出，離心率，由正切函數(shù)單調(diào)性得到C正確；D選項，舉出反例.【詳解】A選項，當(dāng)時，，即，此時為圓，A正確；B選項，當(dāng)時，，即，為兩條直線，B正確；C選項，若為雙曲線，則，即，所以，此時離心率，由于在上單調(diào)遞增，故單調(diào)遞增，即越大，的離心率越大，C正確；D選項，若為橢圓，由于，故，所以，所以，當(dāng)時，，此時，，離心率，當(dāng)時，，此時，，此時離心率，不滿足越大，的離心率越大，D錯誤.故選：ABC12.若數(shù)列滿足，則（）A.數(shù)列是等比數(shù)列B.當(dāng)時，的所有可能取值的和為6C.當(dāng)時，的取值有10種可能D.當(dāng)時，【答案】BCD【解析】【分析】取特值判斷A正確；分類討論得到通項公式，判斷BC正確；等價變形，裂項相消判定D正確.【詳解】選項A：取，則，故選項A錯誤；當(dāng)時，，則或，所以，其中，，，，…，，化簡可得：，其中，，，，…，，當(dāng)時，的取值共有種，故C正確；其和，對于選項B：，，，，所以之和為，故B正確；由可得，即，所以，累加可得，故選項D正確.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：遇到二次型的數(shù)列遞推式時，可以考了同除以某項構(gòu)造數(shù)列或移項取倒數(shù)裂項求和.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，三點共線，則______.【答案】1【解析】【分析】，，三點共線,即，根據(jù)空間向量平行列式即可得出答案.【詳解】,,由題得，所以，解得1，故答案為：1.14.已知拋物線焦點為，是上一點，的面積為2，則______.【答案】5【解析】【分析】由的面積可得點的坐標(biāo)，再由拋物線定義可求.【詳解】由題意，，，，，所以，則，由拋物線的定義知，.故答案為：5.15.已知圓和圓，過動點分別作圓，圓的切線，（A，為切點），且，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得出P的軌跡方程，結(jié)合圖像即可求解.【詳解】如圖，連接，因為，與圓相切，所以，設(shè)，所以，整理得，所以在以為圓心，3為半徑的圓上運動，，當(dāng)且僅當(dāng)在時等號成立，所以答案為：.16.已知直線與直線，點是與軸的交點.過作軸的垂線交于點，過作軸的垂線交于點，過作軸的垂線交于點，過作軸的垂線交于點，依此方法一直繼續(xù)下去，可得到一系列點，，則______；設(shè)的坐標(biāo)為，則數(shù)列的前項和為______.【答案】①.8②.（或）【解析】【分析】求出的解析式，點的坐標(biāo)，點的坐標(biāo)，點的坐標(biāo)，的解析式，據(jù)此求出，，據(jù)此即可求解.詳解】，，則，當(dāng)時易得，，則，即，所以，而，故，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，，所以，所以的前項和為.故答案為：8；（或）.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于求出的解析式，點的坐標(biāo)，點的坐標(biāo)，點的坐標(biāo)，的解析式，據(jù)此求出，.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列的前項和為，滿足，.（1）求；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，然后利用等差數(shù)列通項和求和公式帶入求解即可；（2）求出的通項公式，得出是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式即可得出答案.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，據(jù)題意，，所以①又因為，當(dāng)時，，即②由①②可知，，，即.經(jīng)檢驗，滿足，所以.【小問2詳解】因為，所以，因為，所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，所以，所以數(shù)列的前項和為18.在平面直角坐標(biāo)系中，點，，動點滿足.（1）求點軌跡的方程；（2）過點的直線與交于，兩點，，求的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)，由題意列出方程，化簡即可得答案；（2）由題意求出圓心到直線的距離，設(shè)直線方程，結(jié)合點到直線的距離公式列方程，求得直線的斜率，即得答案.【小問1詳解】設(shè)，因為，點，，所以，化簡得，所以點的軌跡的方程為；【小問2詳解】因為，，則，所以圓心到直線的距離①當(dāng)直線的斜率不存在時，的方程為，與圓無交點，舍去；②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，即所以，解得所以的方程為或19.已知雙曲線的左頂點為A，為上（異于A）一點.（1）已知點，求當(dāng)取得最小值時直線的方程；（2）若直線與直線交于點，證明：為定值.【答案】（1）或（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，其中，，用兩點間距離公式得到，代換轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值問題，然后利用點斜式求出直線方程；（2）設(shè)，寫出直線AP的方程，得到Q點坐標(biāo)，計算即可得證.【小問1詳解】設(shè)，其中，所以當(dāng)時，取得最小值為，此時，此時，所以直線：，化簡得或【小問2詳解】設(shè)，，則直線的方程為：，所以所以，所以為定值.20.某工廠去年12月試產(chǎn)了1000個電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為0.85.從今年1月開始，工廠在接下來的一年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品，1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個月的基礎(chǔ)上提高，產(chǎn)品合格率比前一個月增加0.01.（1）求今年2月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品的數(shù)量，并判斷哪個月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品的數(shù)量最多；（2）求該工廠今年全年生產(chǎn)的合格產(chǎn)品的數(shù)量.參考數(shù)據(jù)：，【答案】（1）154，5月或6月（2）19604個【解析】【分析】（1）記第月的產(chǎn)量為，第月的產(chǎn)品合格率為，確定數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合判斷第月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)的增減性，即可求得答案；（2）設(shè)今年前個月生產(chǎn)合格產(chǎn)品總數(shù)為，利用錯位相減法即可求得，結(jié)合近似計算，即得答案.【小問1詳解】記從今年1月起，第月的產(chǎn)量為，第月的產(chǎn)品合格率為.由題可知，數(shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，數(shù)列為等差數(shù)列，首項，公差，所以，，所以今年2月份生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)為；設(shè)第月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)為，則，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，即5月或6月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)最多；【小問2詳解】設(shè)今年前個月生產(chǎn)的合格產(chǎn)品總數(shù)為，則，由于，，所以①，②，①－②得所以，即該工廠今年全年生產(chǎn)的合格產(chǎn)品總數(shù)約為19604個.21.如圖，在平行六面體中，平面，，，.（1）求證：；（2）線段上是否存在點，使得平面與平面的夾角為？若存在，求的長；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）解法一：利用空間向量法，，從而得證；解法二：在平面內(nèi)過點作的垂線，垂足為，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運算得，從而得證；解法三：通過證明平面，則，利用勾股定理得證，從而得證；（2）假設(shè)存在點滿足條件，利用兩平面夾角公式可解.【小問1詳解】解法一：因為平面，平面，所以，所以因為，所以又因為，所以，化簡得所以，所以解法二：在平面內(nèi)過點作的垂線，垂足為，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，設(shè)，則，所以，由得，所以，又因為，所以，解得，所以，，，，所以，所以；解法三：在平面中，過作的垂線，垂足為，連結(jié)交于.因為平面，平面，所以，因為平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，則，所以，所以，所以，在中，，，，所以，在中，，，，所以，在中，，，，所以，所以，所以；【小問2詳解】由（1）得平面的一個法向量為，假設(shè)存在點滿足條件，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，由，得，令，則，，所以，所以，因為平面與平面的夾角為，即，解得，又因為，所以舍去，所以線段上不存在點使得平面與平面的夾角為.22.已知橢圓的左、右焦點分別為，，上不同兩點A，滿足，當(dāng)時，.（1）求的方程；（2）設(shè)直線，交于點，已知的面積為1，求與的面積之和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（