2025年高考數(shù)學一輪復習-集合與常用邏輯用語、不等式(能力提升卷)【含答案】

集合與常用邏輯用語、不等式(能力提升卷)題號123456789101112答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{3，4，5}，B＝{1，2，5}，則{1，2}＝()A.A∩B B.(?UA)∩BC.A∩(?UB) D.(?UA)∩(?UB)2.已知命題p：?x∈R，sinx≥0，則下列說法正確的是（）A.p的否定是存在量詞命題，且是真命題B.p的否定是全稱量詞命題，且是假命題C.p的否定是全稱量詞命題，且是真命題D.p的否定是存在量詞命題，且是假命題3.使得“x＞1”成立的一個必要不充分條件是()A.x2＞1 B.x3＞1 C.eq\f(1,x)＞1 D.x＞24.已知U為全集，非空集合A，B滿足A∩(?UB)＝?，則()A.A?BB.B?AC.(?UA)∩(?UB)＝?D.(?UA)∪(?UB)＝U5.在下列各函數(shù)中，最小值等于2的函數(shù)是()A.y＝x＋eq\f(1,x) B.y＝sinx＋eq\f(1,sinx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(π,2)))C.y＝eq\f(x2＋5,\r(x2＋4)) D.y＝ex＋eq\f(4,ex)－26.已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)＞0的解集為(－1，3).若對任意的x∈[－1，0]，f(x)＋m≥4恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A.(－∞，2] B.(－∞，4]C.[2，＋∞) D.[4，＋∞)7.中國古代重要的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》下卷有題：今有物，不知其數(shù).三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二.問：物幾何？現(xiàn)有如下表示：已知A＝{x|x＝3n＋2，n∈N*}，B＝{x|x＝5n＋3，n∈N*}，C＝{x|x＝7n＋2，n∈N*}，若x∈(A∩B∩C)，則下列選項中符合題意的整數(shù)x為()A.8 B.127 C.37 D.238.數(shù)學里有一種證明方法叫做proofswithoutwords，也稱之為無字證明，一般是指僅用圖象語言而無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學命題，由于這種證明方法的特殊性，無字證明被認為比嚴格的數(shù)學證明更為優(yōu)雅.現(xiàn)有如圖所示的圖形，在等腰直角三角形ABC中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設AD＝a，BD＝b,則該圖形可以完成的無字證明為()A.eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a＞0，b＞0)B.eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)C.eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)(a＞0，b＞0)D.a2＋b2≥2eq\r(ab)(a＞0，b＞0)二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若不等式x2－2x－3≤0對任意x∈[a，a＋2]恒成立，則實數(shù)a的值可能為()A.－2 B.－1 C.eq\f(1,2) D.210.已知集合A＝{x∈R|x2－3x－18＜0}，B＝{x∈R|x2＋ax＋a2－27＜0}，則下列命題中正確的是()A.若A＝B，則a＝－3B.若A?B，則a＝－3C.若B＝?，則a≤－6或a≥6D.若BA，則－6＜a≤－3或a≥611.已知a＞0，b＞0，且2a＋8b＝1，則()A.3a－4b＞eq\f(\r(3),3) B.eq\r(a)＋2eq\r(b)≤1C.log2a＋log2b≤－6 D.a2＋16b2＜eq\f(1,8)12.設U是一個非空集合，F(xiàn)是U的子集構成的集合，如果F同時滿足：①?∈F，②若A，B∈F，則A∩(?UB)∈F且A∪B∈F，那么稱F是U的一個環(huán).下列說法正確的是()A.若U＝{1，2，3，4，5，6}，則F＝{?，{1，3，5}，{2，4，6}，U}是U的一個環(huán)B.若U＝{a，b，c}，則存在U的一個環(huán)F，F(xiàn)含有8個元素C.若U＝Z，則存在U的一個環(huán)F，F(xiàn)含有4個元素且{2}，{3，5}∈FD.若U＝R，則存在U的一個環(huán)F，F(xiàn)含有7個元素且[0，3]，[0，2]∈F三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.偉人毛澤東的《清平樂·六盤山》傳頌至今，“天高云淡，望斷南飛雁.不到長城非好漢，屈指行程二萬，六盤山上高峰，紅旗漫卷西風，今日長纓在手，何時縛住蒼龍？”現(xiàn)在許多人前往長城游玩時，經(jīng)常會用“不到長城非好漢”來勉勵自己，由此推斷，“到長城”是“為好漢”的________條件(用“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”填空).14.能夠說明“若a＞b，則eq\f(1,a＋\r(3,a))＜eq\f(1,b＋\r(3,b))”是假命題的一組非零實數(shù)a，b的值依次為________.15.已知正實數(shù)a，b，c滿足a＋b＝ab，eq\f(a＋b＋c,abc)＝1，則a＋2b的最小值為________，c的取值范圍是________.16.設m，a∈R，f(x)＝x2＋(a－1)x＋1，g(x)＝mx2＋2ax＋eq\f(m,4).若“對于一切實數(shù)x，f(x)＞0”是“對于一切實數(shù)x，g(x)＞0”的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是________.四、解答題：本題共2小題，每題10分，共20分.17.(10分)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋2－4a(a≠0)，且對任意的x∈R，f(x)≥2x恒成立.(1)若g(x)＝eq\f(f（x）,x)，x＞0，求函數(shù)g(x)的最小值；(2)若對任意的x∈[－1，1]，不等式f(x＋t)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.18.(10分)設集合S＝{1，2，3，…，n}(n∈N*，n≥2)，A，B是S的兩個非空子集，且滿足集合A中的最大數(shù)不大于集合B中的最小數(shù)，記滿足條件的集合對(A，B)的個數(shù)為Pn.(1)求P2的值；(2)求Pn的表達式.參考答案1.B[法一由全集和補集的概念，得?UA＝{1，2}，?UB＝{3，4}，又由交集的定義知A∩B＝{5}，(?UA)∩B＝{1，2}，A∩(?UB)＝{3，4}，(?UA)∩(?UB)＝?，故選B.法二由全集和補集的概念，得?UB＝{3，4}，易知1?A，排除A，C，1?(?UB)，排除D，故選B.]2.A解析：命題p：?x∈R，sinx≥0，該命題為假命題.p的否定是存在量詞命題，且是真命題.故選A.3.A[對于A選項，由x2＞1得x＞1或x＜－1，因為{x|x＞1}是{x|x＞1或x＜－1}的真子集，所以x2＞1是x＞1的必要不充分條件，A正確；對于B選項，由x3＞1得x＞1，所以x3＞1是x＞1的充要條件，B錯誤；對于C選項，由eq\f(1,x)＞1得0＜x＜1，所以eq\f(1,x)＞1是x＞1的既不充分也不必要條件，C錯誤；對于D選項，x＞2是x＞1的充分不必要條件，D錯誤，故選A.]4.A[如下圖所示：∵A∩(?UB)＝?，由圖可知，A?B，(?UA)∩(?UB)＝?UB，(?UA)∪(?UB)＝?UA，故選A.]5.D[對于選項A，①當x>0時，y＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，②當x<0時，y＝x＋eq\f(1,x)≤－2，故A不合題意.對于選項B，由于0<x<eq\f(π,2)，因此0<sinx<1，函數(shù)的最小值取不到2，故B不合題意.對于選項C，函數(shù)的關系式轉換為y＝eq\f(x2＋4＋1,\r(x2＋4))＝eq\r(x2＋4)＋eq\f(1,\r(x2＋4))≥eq\f(5,2)，故C不合題意.故選D.]6.D[由題意得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋3＝－\f(b,－2)＝\f(b,2)，,（－1）×3＝－\f(c,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝4，,c＝6，))所以f(x)＝－2x2＋4x＋6.因為對任意的x∈[－1，0]，f(x)＋m≥4恒成立，所以對任意的x∈[－1，0]，m≥2x2－4x－2恒成立.因為y＝2x2－4x－2在[－1，0]上的最大值為4，所以m≥4.故選D.]7.D[因為8＝7×1＋1，則8?C，選項A錯誤；127＝3×42＋1，則127?A，選項B錯誤；37＝3×12＋1，則37?A，選項C錯誤；23＝3×7＋2，故23∈A，23＝5×4＋3，故23∈B，23＝7×3＋2，故23∈C，則23∈(A∩B∩C)，選項D正確；故選D.]8.B[由圖可知，OC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(a＋b,2)，OD＝|OB－BD|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)－b))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)))，在Rt△OCD中，CD＝eq\r(OC2＋OD2)＝eq\r(\f(a2＋b2,2))，顯然OC≤CD，即eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2)).故選B.]9.BC[不等式x2－2x－3≤0的解集是[－1，3]，因為不等式x2－2x－3≤0對任意x∈[a，a＋2]恒成立，所以[a，a＋2]?[－1，3]，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥－1，,a＋2≤3，))解得－1≤a≤1，結合選項，所以a的值可能是－1，eq\f(1,2).故選BC.]10.ABC[A＝{x∈R|－3＜x＜6}，若A＝B，則a＝－3，且a2－27＝－18，故A正確；當a＝－3時，A＝B，故D不正確；若A?B，則(－3)2＋a·(－3)＋a2－27≤0且62＋6a＋a2－27≤0，解得a＝－3，故B正確；當B＝?時，a2－4(a2－27)≤0，解得a≤－6或a≥6，故C正確.]11.ABC[對于A，因為a＞0，b＞0，且2a＋8b＝1，所以8b＝1－2a，則2a－8b＝2a－(1－2a)＝4a－1＞－1，所以32a－8b＞3－1＝eq\f(1,3)，所以3a－4b＝eq\r(32a－8b)＞eq\f(\r(3),3)，故A中式子正確；對于B，(eq\r(2a)＋eq\r(8b))2＝2a＋8b＋2eq\r(2a·8b)＝1＋2·eq\r(2a·8b)≤1＋(2a＋8b)＝2，所以eq\r(2a)＋eq\r(8b)≤eq\r(2)，當且僅當2a＝8b，即a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(1,16)時取等號，故eq\r(a)＋2eq\r(b)≤1，故B中式子正確；對于C，log2(2a)＋log2(8b)＝log2(16ab)≤log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a＋8b,2)))eq\s\up12(2)＝－2，當且僅當2a＝8b，即a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(1,16)時取等號，故log2(2a)＋log2(8b)＝1＋log2a＋3＋log2b≤－2，則log2a＋log2b≤－6，故C中式子正確；對于D，已知a＞0，b＞0，且2a＋8b＝1，所以(2a＋8b)2≤2(2a)2＋2(8b)2，即1≤8a2＋128b2，即a2＋16b2≥eq\f(1,8)，當且僅當2a＝8b，即a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(1,16)時取等號，故D中式子錯誤.]12.ABC[對于A，由題意得F＝{?，{1，3，5}，{2，4，6}，U}滿足環(huán)的兩個要求，故F是U的一個環(huán)，故A正確；對于B，若U＝{a，b，c}，則U的子集有8個，其所有子集構成的集合F滿足環(huán)的定義，且有8個元素，故B正確；對于C，如F＝{?，{2}，{3，5}，{2，3，5}}滿足環(huán)的要求，且含有4個元素，{2}，{3，5}∈F，故C正確；對于D，令A＝[0，3]，B＝[2，4]，∵A，B∈F，∴A∩(?UB)＝[0，2)∈F，B∩(?UA)＝(3，4]∈F，A∪B＝[0，4]∈F，設C＝[0，2)，則A∩(?UC)＝[2，3]∈F，設D＝[0，4]，E＝[2，3]，則D∩(?UE)＝[0，2)∪(3，4]∈F，再加上?，F(xiàn)中至少有8個元素，故D錯誤.故選ABC.]13.必要不充分[設綈p為不到長城，推出綈q非好漢，即綈p?綈q，則q?p，即為好漢?到長城，故“到長城”是“為好漢”的必要不充分條件.]14.1，－1(答案不唯一)[只要第1個數(shù)大于0，第2個數(shù)小于0即可，即a＞0＞b，故答案可取a＝1，b＝－1.]15.3＋2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)))[由a＋b＝ab，得(a－1)(b－1)＝1.又a＞0，b＞0，所以a＞1，b＞1，且a＝eq\f(1,b－1)＋1，則a＋2b＝eq\f(1,b－1)＋1＋2b＝eq\f(1,b－1)＋2(b－1)＋3≥2·eq\r(\f(1,b－1)×2（b－1）)＋3＝2eq\r(2)＋3，當且僅當eq\f(1,b－1)＝2(b－1)，即b＝1＋eq\f(\r(2),2)時等號成立，所以a＋2b的最小值為3＋2eq\r(2).因為a＋b＝ab≥2eq\r(ab)，所以ab≥4，當且僅當a＝b＝2時等號成立，所以ab的取值范圍是[4，＋∞).由eq\f(a＋b＋c,abc)＝1，得c＝eq\f(a＋b,ab－1)＝eq\f(ab,ab－1)＝1＋eq\f(1,ab－1).因為ab≥4，所以0＜eq\f(1,ab－1)≤eq\f(1,3)，所以1＜1＋eq\f(1,ab－1)≤eq\f(4,3)，即c∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3))).]16.[6，＋∞)[∵f(x)＞0在R上恒成立，∴Δ1＝(a－1)2－4＜0，解得－1＜a＜3.若g(x)＞0在R上恒成立，首先m≤0都不滿足，因此eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＞0，,Δ2＝4a2－m2＜0，))解得－eq\f(m,2)＜a＜eq\f(m,2).∵“對于一切實數(shù)x，f(x)＞0”是“對于一切實數(shù)x，g(x)＞0”的充分條件，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)≤－1，,\f(m,2)≥3，,m＞0，))解得m≥6.]17.解(1)∵對任意的x∈R，f(x)≥2x恒成立，∴ax2－x＋2－4a≥0對x∈R恒成立，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝1－4a（2－4a）≤0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,（4a－1）2≤0，))解得a＝eq\f(1,4)，∴f(x)＝eq\f(1,4)x2＋x＋1.∵g(x)＝eq\f(f（x）,x)＝eq\f(1,4)x＋eq\f(1,x)＋1，x＞0，又eq\f(1,4)x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(\f(x,4)·\f(1,x))＝1(當且僅當eq\f(x,4)＝eq\f(1,x)，即x＝2時取等號)，∴g(x)min＝1＋1＝2.(2)由f(x＋t)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))得：eq\f(1,4)(x＋t)2＋(x＋t)＋1＜eq\f(1,4)·eq\b\