2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-三角函數(shù)【含解析】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-三角函數(shù)一、單選題1．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，若，，，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．2．若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小正周期是B．的對(duì)稱軸方程為（）C．存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都存在、且，滿足（，2）D．若函數(shù)，（是實(shí)常數(shù)），有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，，…，，（），則3．已知正實(shí)數(shù)C滿足：對(duì)于任意，均存在，使得，記C的最小值為，則（

）A． B．C． D．4．已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，的面積為S，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)各項(xiàng)均不相等的數(shù)列滿足.令.給出下列三個(gè)命題：（1）存在不少于3項(xiàng)的數(shù)列使得；（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則對(duì)恒成立；（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，則對(duì)恒成立，其中真命題的序號(hào)是（

）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）二、多選題8．勒洛FranzReuleaux（1829～1905），德國(guó)機(jī)械工程專(zhuān)家，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的創(chuàng)始人.他所著的《理論運(yùn)動(dòng)學(xué)》對(duì)機(jī)械元件的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行了系統(tǒng)的分析，成為機(jī)械工程方面的名著.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體.如圖所示，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為B．勒洛四面體被平面截得的截面面積是C．勒洛四面體表面上交線的長(zhǎng)度為D．勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離可能大于29．若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小正周期是B．的對(duì)稱軸方程為，C．存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都存在且，滿足，D．若函數(shù)，，（是實(shí)常數(shù)），有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，則10．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足有下列結(jié)論正確的有(

)A．B．若，則函數(shù)的最小正周期為；C．關(guān)于x的方程在區(qū)間上最多有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解D．若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為11．由倍角公式，可知可以表示為的二次多項(xiàng)式．一般地，存在一個(gè)（）次多項(xiàng)式（），使得，這些多項(xiàng)式稱為切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多項(xiàng)式．運(yùn)用探究切比雪夫多項(xiàng)式的方法可得（

）A． B．C． D．12．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(chē)（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，、、的面積分別為、、，則.若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，、、是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)滿足，則（

）A．為的垂心B．C．D．三、填空題13．1643年法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出了一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其到這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為最小.它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心（即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線段兩兩成角120°），該點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知中，其中，，P為費(fèi)馬點(diǎn)，則的取值范圍是__________.14．△內(nèi)接于半徑為2的圓，三個(gè)內(nèi)角，，的平分線延長(zhǎng)后分別交此圓于，，.則的值為_(kāi)____________.15．已知函數(shù)，若集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.四、解答題16．設(shè)函數(shù)，.(1)若在處切線的傾斜角為，求；(2)若在單調(diào)遞增，求的取值范圍；(3)證明：對(duì)任意，.17．定義(1)證明：(2)解方程：18．若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且滿足，則稱是的點(diǎn)．函數(shù)的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為的集．(1)判斷是否是函數(shù)的點(diǎn)，并說(shuō)明理由；(2)若函數(shù)的集為，求的最大值；(3)若定義域?yàn)榈倪B續(xù)函數(shù)的集滿足，求證：．19．在銳角△中，，點(diǎn)為△的外心.(1)若，求的最大值；(2)若，（?。┣笞C：；（ⅱ）求的取值范圍.20．英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時(shí)，，.(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)設(shè)，若區(qū)間滿足當(dāng)定義域?yàn)闀r(shí)，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”.（i）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ii）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若恰好存在個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得（其中），則稱函數(shù)為“級(jí)函數(shù)”．(1)若函數(shù)，試判斷函數(shù)是否為“級(jí)函數(shù)”，如果是，求出的值，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若函數(shù)是“級(jí)函數(shù)”，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)是定義在R上的“級(jí)函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．已知，求的值．23．現(xiàn)給出三個(gè)條件：①函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③函數(shù)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為.從中選出兩個(gè)條件補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并以此為依據(jù)求解問(wèn)題.已知函數(shù)（，），_____，_____.求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.參考答案與解析一、單選題1．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，若，，，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得出函數(shù)在上單調(diào)遞減，得出，代入，，得出相應(yīng)的不等關(guān)系，逐一進(jìn)行判斷選項(xiàng)即可.【詳解】由已知得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，所以，，則，即，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，，的符?hào)不確定，所以不一定成立，故A，C不正確；因?yàn)?，所以，故B正確；由，得，即，故D錯(cuò)誤；故選：B.2．若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小正周期是B．的對(duì)稱軸方程為（）C．存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都存在、且，滿足（，2）D．若函數(shù)，（是實(shí)常數(shù)），有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，，…，，（），則【答案】B【分析】A選項(xiàng)，平方后利用輔助角公式化簡(jiǎn)得到，得到為函數(shù)的周期，A錯(cuò)誤；利用整體法求解函數(shù)的對(duì)稱軸方程，B正確；首先求出，，畫(huà)出上的的函數(shù)圖象，問(wèn)題等價(jià)于有兩個(gè)解，數(shù)形結(jié)合得到，無(wú)解，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，的根轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，畫(huà)出圖象，結(jié)合對(duì)稱性求解.【詳解】，.，.對(duì)于A，，為的周期，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，的對(duì)稱軸方程為.（）.即（）.B正確.對(duì)于C，對(duì)，有，∵在上單調(diào)遞增，，（，2），等價(jià)于有兩個(gè)解，當(dāng)時(shí)，，顯然無(wú)解，不妨設(shè)，畫(huà)出在的的圖象，如圖所示：.或.無(wú)解.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的根為與交點(diǎn)橫坐標(biāo).有奇數(shù)個(gè)交點(diǎn)，，且，，，，，，，，，D錯(cuò)誤.3．已知正實(shí)數(shù)C滿足：對(duì)于任意，均存在，使得，記C的最小值為，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意，均存在，使得，結(jié)合數(shù)軸求得當(dāng)在相鄰的兩個(gè)點(diǎn)或中點(diǎn)時(shí)，，則有.【詳解】題設(shè)等價(jià)于對(duì)于任意，均存在，使得，將在數(shù)軸上表示如下：當(dāng)與上述數(shù)軸上的點(diǎn)重合時(shí)，易得存在使得，又C為正實(shí)數(shù)，則成立；當(dāng)與上述數(shù)軸上的點(diǎn)不重合時(shí)，假設(shè)在相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間，則，當(dāng)且僅當(dāng)在相鄰的兩個(gè)點(diǎn)中點(diǎn)時(shí)取等，要使對(duì)于任意，均存在，使得，則有，又?jǐn)?shù)軸上所有相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間距離最大為，此時(shí)在相鄰的兩個(gè)點(diǎn)或中點(diǎn)，則.以下說(shuō)明數(shù)軸上所有相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間距離最大為，易得數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離為，當(dāng)或，和為相鄰的兩點(diǎn)，之間的距離為；當(dāng)時(shí)，則，即之間必存在點(diǎn)，可得相鄰的兩點(diǎn)之間的距離小于，綜上可得數(shù)軸上所有相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間距離最大為.故，故.故選：B.4．已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理把邊化成角，找出之間關(guān)系，結(jié)合銳角三角形推出的范圍，然后把全部轉(zhuǎn)化到關(guān)于的函數(shù)即可求出范圍.【詳解】由，所以，解得，所以，又，解得．綜上，，所以．所以．令，，則，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，，故，即．故選：D．5．在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，的面積為S，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由面積公式與正余弦定理化簡(jiǎn)后得出關(guān)系后求解【詳解】在中，，故題干條件可化為，由余弦定理得，故，又由正弦定理化簡(jiǎn)得：，整理得，故或（舍去），得為銳角三角形，故，解得，故故選：C6．在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)余弦定理和的面積公式，結(jié)合題意求出、的值，再用表示，求出的取值范圍，即可求出的取值范圍．【詳解】解：在中，由余弦定理得，且的面積，由，得，化簡(jiǎn)得，又，，聯(lián)立得，解得或（舍去），所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，設(shè)，其中，所以，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，即的取值范圍是．故選：C.7．已知函數(shù)各項(xiàng)均不相等的數(shù)列滿足.令.給出下列三個(gè)命題：（1）存在不少于3項(xiàng)的數(shù)列使得；（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則對(duì)恒成立；（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，則對(duì)恒成立，其中真命題的序號(hào)是（

）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）【答案】D【解析】由題意，函數(shù)是奇函數(shù)，只需考查函數(shù)在的性質(zhì)，此時(shí)，都是增函數(shù)，所以在上也是增函數(shù)，即時(shí)，，對(duì)于（1），，即可判斷；對(duì)于（2），運(yùn)用等比數(shù)列求和公式和和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷；對(duì)于（3），運(yùn)用等差數(shù)列求和公式，及不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷；【詳解】由題意得，所以是奇函數(shù)，只需考查函數(shù)在的性質(zhì)，此時(shí)，都是增函數(shù)，所以在上也是增函數(shù)，即函數(shù)在上也是增函數(shù)，設(shè)若，則，，即若，則，，即所以時(shí)，，對(duì)于（1），取，，故（1）正確；對(duì)于（2），，又令，則又，知，則，則，，又在上單減，，即，，即，則，由的任意性可知，，又，所以，故（2）正確；對(duì)于（3），數(shù)列是等差數(shù)列，若，則；若，即，又是奇函數(shù)也是增函數(shù)有，可得；同理：若，可得；若，可得；相加可得：若，可得，即；同理若，可得，即，故（3）正確；故選：D.二、多選題8．勒洛FranzReuleaux（1829～1905），德國(guó)機(jī)械工程專(zhuān)家，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的創(chuàng)始人.他所著的《理論運(yùn)動(dòng)學(xué)》對(duì)機(jī)械元件的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行了系統(tǒng)的分析，成為機(jī)械工程方面的名著.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體.如圖所示，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為B．勒洛四面體被平面截得的截面面積是C．勒洛四面體表面上交線的長(zhǎng)度為D．勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離可能大于2【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)：求出正四面體的外接球半徑，進(jìn)而得到勒洛四面體的內(nèi)切球半徑，得到答案；B選項(xiàng)，作出截面圖形，求出截面面積；C選項(xiàng)，根據(jù)對(duì)稱性得到交線所在圓的圓心和半徑，求出長(zhǎng)度；D選項(xiàng)，作出正四面體對(duì)棱中點(diǎn)連線，在C選項(xiàng)的基礎(chǔ)上求出長(zhǎng)度.【詳解】A選項(xiàng)，先求解出正四面體的外接球，如圖所示：取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則為等邊的中心，外接球球心為，連接，則為外接球半徑，設(shè)，由正四面體的棱長(zhǎng)為2，則，，，，，由勾股定理得：，即，解得：，此時(shí)我們?cè)俅瓮暾某槿〔糠掷章逅拿骟w，如圖所示：圖中取正四面體中心為，連接交平面于點(diǎn)，交于點(diǎn)，其中與共面，其中即為正四面體外接球半徑，設(shè)勒洛四面體內(nèi)切球半徑為，則，故A正確；B選項(xiàng)，勒洛四面體截面面積的最大值為經(jīng)過(guò)正四面體某三個(gè)頂點(diǎn)的截面，如圖所示：面積為，B正確；C選項(xiàng)，由對(duì)稱性可知：勒洛四面體表面上交線所在圓的圓心為的中點(diǎn)，故，又，由余弦定理得：，故，且半徑為，故交線的長(zhǎng)度等于，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，將正四面體對(duì)棱所在的弧中點(diǎn)連接，此時(shí)連線長(zhǎng)度最大，如圖所示：連接，交于中點(diǎn)，交于中點(diǎn)，連接，則，則由C選項(xiàng)的分析知：，所以，故勒洛四面體表面上兩點(diǎn)間的距離可能大于2，D正確.故選：ABD9．若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小正周期是B．的對(duì)稱軸方程為，C．存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都存在且，滿足，D．若函數(shù)，，（是實(shí)常數(shù)），有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，則【答案】AD【分析】由題設(shè)得，根據(jù)三角形函數(shù)與的周期、對(duì)稱軸變化性質(zhì)判斷最小正周期和對(duì)稱軸，根據(jù)方程恒能成立有，且使能成立求a的范圍即可，利用在的圖象，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定b的范圍，結(jié)合對(duì)稱性求零點(diǎn)的和.【詳解】由題設(shè)，所以，故，由的最小正周期為，則的最小正周期為，同理的最小正周期為，則的最小正周期為，A正確；對(duì)于，令，則對(duì)稱軸方程為且，B錯(cuò)誤；對(duì)任意有，，且滿足且，而的圖象如下：所以，則，所以或，無(wú)解，即不存在這樣的a，C錯(cuò)誤；由可轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，而上圖象如下：函數(shù)有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，由圖知：，此時(shí)共有9個(gè)零點(diǎn)，、、、、、、，，所以，D正確.故選：AD10．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足有下列結(jié)論正確的有(

)A．B．若，則函數(shù)的最小正周期為；C．關(guān)于x的方程在區(qū)間上最多有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解D．若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】ABD【分析】A：在上單調(diào)，，，故；B：求出區(qū)間右端點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，由題可知在上單調(diào)，據(jù)此可求出f(x)周期的范圍，從而求出ω的范圍.再根據(jù)知是f(x)的對(duì)稱軸，根據(jù)對(duì)稱軸和對(duì)稱中心距離為周期的倍即可求出ω，從而求出其周期；C：根據(jù)ω的范圍求出周期的范圍，根據(jù)正弦型函數(shù)一個(gè)完整周期只有一個(gè)最高點(diǎn)即可求解；D：由知，是函數(shù)在區(qū)間，上的第1個(gè)零點(diǎn)，而在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則，據(jù)此即可求ω的范圍.【詳解】A，∵，∴在上單調(diào)，又，，∴，故A正確；B，區(qū)間右端點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，∵，f(x)在上單調(diào)，∴根據(jù)正弦函數(shù)圖像特征可知在上單調(diào)，∴為的最小正周期，即3，又，∴.若，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，結(jié)合，得，即，故k＝0，，故B正確.C，由，得，∴在區(qū)間上最多有3個(gè)完整的周期，而在1個(gè)完整周期內(nèi)只有1個(gè)解，故關(guān)于的方程在區(qū)間上最多有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，故C錯(cuò)誤.D，由知，是函數(shù)在區(qū)間，上的第1個(gè)零點(diǎn)，而在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則，結(jié)合，得，又，∴的取值范圍為，故D正確.故選：ABD.11．由倍角公式，可知可以表示為的二次多項(xiàng)式．一般地，存在一個(gè)（）次多項(xiàng)式（），使得，這些多項(xiàng)式稱為切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多項(xiàng)式．運(yùn)用探究切比雪夫多項(xiàng)式的方法可得（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】通過(guò)求，來(lái)判斷出正確選項(xiàng).【詳解】，所以，A錯(cuò)誤.，所以，B正確..所以，由于，所以，由于，所以，所以由解得，所以，C正確.，所以D錯(cuò)誤.故選：BC12．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(chē)（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，、、的面積分別為、、，則.若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，、、是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)滿足，則（

）A．為的垂心B．C．D．【答案】ABD【分析】首先可根據(jù)得出，用相同的方式得出、，即可得出A正確，然后作輔助線，根據(jù)、即可得出B正確，再然后通過(guò)正弦定理得出，即，用相同的方式得出，即可得出C錯(cuò)誤，最后結(jié)合解三角形面積公式以及B項(xiàng)得出、、，根據(jù)“奔馳定理”得出，結(jié)合C項(xiàng)即可得出D正確.【詳解】A項(xiàng)：，即，，，，同理可得，，故為的垂心，A正確；B：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，，則，B正確；C項(xiàng)：在中，由正弦定理易知，因?yàn)?，，所以，即，，同理可得，故，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)：，同理可得，，則，同理可得，，因?yàn)椋詫?、、代入，可得，因?yàn)?，所以，故成立，D正確，故選：ABD.三、填空題13．1643年法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出了一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其到這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為最小.它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心（即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線段兩兩成角120°），該點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知中，其中，，P為費(fèi)馬點(diǎn)，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】設(shè)，，進(jìn)而得到，，然后在中通過(guò)余弦定理得到的關(guān)系式，在和中通過(guò)正弦定理得到的關(guān)系式和的關(guān)系式，然后借助三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)求得答案.【詳解】如圖，根據(jù)題意，設(shè)，，則，，在中，由余弦定理有…①在中，由正弦定理有，在中，由正弦定理有，故，則，由①，…②，且，設(shè)，則，由題意，，所以，而，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知.由②，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是.故答案為：.14．△內(nèi)接于半徑為2的圓，三個(gè)內(nèi)角，，的平分線延長(zhǎng)后分別交此圓于，，.則的值為_(kāi)____________.【答案】【分析】連，由正弦定理得，利用三角形內(nèi)角和性質(zhì)得，進(jìn)而利用積化和差公式、誘導(dǎo)公式得，同理求、，即可求值.【詳解】連，則，∴，同理可得：，.∴，即.故答案為：15．已知函數(shù)，若集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【分析】設(shè)，，，利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)可得，利用線段差的幾何意義可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，設(shè)，，，則，如圖，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且在之間時(shí)等號(hào)成立，又，故的最大值為.因?yàn)榧希?，?故答案為：.四、解答題16．設(shè)函數(shù)，.(1)若在處切線的傾斜角為，求；(2)若在單調(diào)遞增，求的取值范圍；(3)證明：對(duì)任意，.【答案】(1)；(2)；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得；（2）由題可得恒成立，然后根據(jù)三角恒等變換及二次函數(shù)的性質(zhì)即得；（3）由題可得，然后利用累加法及三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】（1）由題可得，依題意，，所以；（2）因?yàn)椋院愠闪?，，即恒成立，又，所以，即的取值范圍為；?）由上可知，，，所以，即，以，，，替換上式中的，可得，，，累加以上各式可得，，又因?yàn)?，，所以?17．定義(1)證明：(2)解方程：【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)方程的解集為【分析】（1）根據(jù)定義結(jié)合兩角和差得余弦公式分別化簡(jiǎn)，整理即可得證；（2）因式分解，分和兩種情況討論，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)得存在性定理及（1）求出方程的根，從而可得出答案.（1）證明：①，而②，聯(lián)立①②兩式可得，即；（2）解：，若，解得，若，則，記，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，∴有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，即有三個(gè)實(shí)根，且均位于區(qū)間內(nèi)，記三個(gè)實(shí)根分別為，由（1）知，∴或，解得，綜上所述，方程的解集為.18．若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且滿足，則稱是的點(diǎn)．函數(shù)的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為的集．(1)判斷是否是函數(shù)的點(diǎn)，并說(shuō)明理由；(2)若函數(shù)的集為，求的最大值；(3)若定義域?yàn)榈倪B續(xù)函數(shù)的集滿足，求證：．【答案】(1)不是，理由見(jiàn)解析；(2)；(3)見(jiàn)解析【分析】（1）直接求出，再判斷出，即可得到，即可得到結(jié)論；（2）先說(shuō)明，若，則，由題設(shè)得到，推出矛盾即可證得；再說(shuō)明的值可以等于，令，利用三角函數(shù)的值域加以證明即可；（3）由題設(shè)知，必存在，使得，結(jié)合零點(diǎn)存在定理說(shuō)明函數(shù)必存在零點(diǎn)，即可證明.【詳解】（1）不是函數(shù)的點(diǎn)，理由如下：設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，所以，所以不是函?shù)的點(diǎn)；（2）先證明，若，則函數(shù)的最小正周期，因?yàn)楹瘮?shù)的集為，所以對(duì)，是的點(diǎn)，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，必有，即對(duì)于恒成立，所以，即的最小正周期，與矛盾；再證明的值可以等于，令，對(duì)，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，所以是的點(diǎn)，即函數(shù)的集為；綜上所述，的最大值是；（3）因?yàn)楹瘮?shù)的集滿足，所以存在，使得且，即，因?yàn)槿?，則，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是連續(xù)不斷的，不妨設(shè)，由零點(diǎn)存在定理知，必存在使得，所以存在零點(diǎn)，即.19．在銳角△中，，點(diǎn)為△的外心.(1)若，求的最大值；(2)若，（ⅰ）求證：；（ⅱ）求的取值范圍.【答案】(1)；(2)（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ）.【分析】（1）令△外接圓半徑為，根據(jù)向量加法的幾何意義及已知可得，根據(jù)銳角三角形、二倍角余弦公式及向量數(shù)量積的運(yùn)算律得、，最后應(yīng)用基本不等式求的范圍.（2）（ⅰ）利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求、，進(jìn)而求向量的夾角，即可證結(jié)論；（ⅱ）根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律及輔助角公式有，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求范圍.（1）令△外接圓半徑為，又，，所以，則，又△為銳角三角形，則，即，所以，又，則，而，故，解得或，綜上，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為.（2）（?。┯深}設(shè)知：，即，且，所以，即，又，而，，所以，令與夾角為，則，即，綜上，，得證.（ⅱ），又、、，且，即，所以且，在銳角△中，，所以，則，即.20．英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時(shí)，，.(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)設(shè)，若區(qū)間滿足當(dāng)定義域?yàn)闀r(shí)，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”.（i）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ii）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)（i）不存在“和諧區(qū)間”，理由見(jiàn)解析（ii）存在，有唯一的“和諧區(qū)間”【分析】（1）利用來(lái)證得結(jié)論成立.（2）（i）通過(guò)證明方程只有一個(gè)實(shí)根來(lái)判斷出此時(shí)不存在“和諧區(qū)間”.（ii）對(duì)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合