2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-三角函數(shù)【含解析】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-三角函數(shù)一、單選題1．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，若，，，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．2．若，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期是B．的對稱軸方程為（）C．存在實數(shù)，使得對任意的，都存在、且，滿足（，2）D．若函數(shù)，（是實常數(shù)），有奇數(shù)個零點，，…，，（），則3．已知正實數(shù)C滿足：對于任意，均存在，使得，記C的最小值為，則（

）A． B．C． D．4．已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的面積為S，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)各項均不相等的數(shù)列滿足.令.給出下列三個命題：（1）存在不少于3項的數(shù)列使得；（2）若數(shù)列的通項公式為，則對恒成立；（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，則對恒成立，其中真命題的序號是（

）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）二、多選題8．勒洛FranzReuleaux（1829～1905），德國機械工程專家，機構(gòu)運動學(xué)的創(chuàng)始人.他所著的《理論運動學(xué)》對機械元件的運動過程進行了系統(tǒng)的分析，成為機械工程方面的名著.勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體.如圖所示，設(shè)正四面體的棱長為2，則下列說法正確的是（

）A．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為B．勒洛四面體被平面截得的截面面積是C．勒洛四面體表面上交線的長度為D．勒洛四面體表面上任意兩點間的距離可能大于29．若，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期是B．的對稱軸方程為，C．存在實數(shù)，使得對任意的，都存在且，滿足，D．若函數(shù)，，（是實常數(shù)），有奇數(shù)個零點，則10．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足有下列結(jié)論正確的有(

)A．B．若，則函數(shù)的最小正周期為；C．關(guān)于x的方程在區(qū)間上最多有4個不相等的實數(shù)解D．若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，則的取值范圍為11．由倍角公式，可知可以表示為的二次多項式．一般地，存在一個（）次多項式（），使得，這些多項式稱為切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多項式．運用探究切比雪夫多項式的方法可得（

）A． B．C． D．12．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，、、的面積分別為、、，則.若是銳角內(nèi)的一點，、、是的三個內(nèi)角，且點滿足，則（

）A．為的垂心B．C．D．三、填空題13．1643年法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出了一個著名的幾何問題：已知一個三角形，求作一點，使其到這個三角形的三個頂點的距離之和為最小.它的答案是：當(dāng)三角形的三個角均小于120°時，所求的點為三角形的正等角中心（即該點與三角形的三個頂點的連線段兩兩成角120°），該點稱為費馬點.已知中，其中，，P為費馬點，則的取值范圍是__________.14．△內(nèi)接于半徑為2的圓，三個內(nèi)角，，的平分線延長后分別交此圓于，，.則的值為_____________.15．已知函數(shù)，若集合，則實數(shù)的取值范圍為___________.四、解答題16．設(shè)函數(shù)，.(1)若在處切線的傾斜角為，求；(2)若在單調(diào)遞增，求的取值范圍；(3)證明：對任意，.17．定義(1)證明：(2)解方程：18．若點在函數(shù)的圖象上，且滿足，則稱是的點．函數(shù)的所有點構(gòu)成的集合稱為的集．(1)判斷是否是函數(shù)的點，并說明理由；(2)若函數(shù)的集為，求的最大值；(3)若定義域為的連續(xù)函數(shù)的集滿足，求證：．19．在銳角△中，，點為△的外心.(1)若，求的最大值；(2)若，（ⅰ）求證：；（ⅱ）求的取值范圍.20．英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時，，.(1)證明：當(dāng)時，；(2)設(shè)，若區(qū)間滿足當(dāng)定義域為時，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”.（i）時，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由；（ii）時，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由.21．已知函數(shù)的定義域為，若恰好存在個不同的實數(shù)，使得（其中），則稱函數(shù)為“級函數(shù)”．(1)若函數(shù)，試判斷函數(shù)是否為“級函數(shù)”，如果是，求出的值，如果不是，請說明理由；(2)若函數(shù)是“級函數(shù)”，求正實數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)是定義在R上的“級函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍．22．已知，求的值．23．現(xiàn)給出三個條件：①函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；②函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；③函數(shù)的圖象上相鄰兩個最高點的距離為.從中選出兩個條件補充在下面的問題中，并以此為依據(jù)求解問題.已知函數(shù)（，），_____，_____.求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.參考答案與解析一、單選題1．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，若，，，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得出函數(shù)在上單調(diào)遞減，得出，代入，，得出相應(yīng)的不等關(guān)系，逐一進行判斷選項即可.【詳解】由已知得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，因為，，所以，，則，即，因為，所以，所以，因為，，的符號不確定，所以不一定成立，故A，C不正確；因為，所以，故B正確；由，得，即，故D錯誤；故選：B.2．若，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期是B．的對稱軸方程為（）C．存在實數(shù)，使得對任意的，都存在、且，滿足（，2）D．若函數(shù)，（是實常數(shù)），有奇數(shù)個零點，，…，，（），則【答案】B【分析】A選項，平方后利用輔助角公式化簡得到，得到為函數(shù)的周期，A錯誤；利用整體法求解函數(shù)的對稱軸方程，B正確；首先求出，，畫出上的的函數(shù)圖象，問題等價于有兩個解，數(shù)形結(jié)合得到，無解，C錯誤；D選項，的根轉(zhuǎn)化為與交點橫坐標(biāo)，畫出圖象，結(jié)合對稱性求解.【詳解】，.，.對于A，，為的周期，A錯誤；對于B，的對稱軸方程為.（）.即（）.B正確.對于C，對，有，∵在上單調(diào)遞增，，（，2），等價于有兩個解，當(dāng)時，，顯然無解，不妨設(shè)，畫出在的的圖象，如圖所示：.或.無解.故C錯誤；對于D，的根為與交點橫坐標(biāo).有奇數(shù)個交點，，且，，，，，，，，，D錯誤.3．已知正實數(shù)C滿足：對于任意，均存在，使得，記C的最小值為，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將問題轉(zhuǎn)化為對于任意，均存在，使得，結(jié)合數(shù)軸求得當(dāng)在相鄰的兩個點或中點時，，則有.【詳解】題設(shè)等價于對于任意，均存在，使得，將在數(shù)軸上表示如下：當(dāng)與上述數(shù)軸上的點重合時，易得存在使得，又C為正實數(shù)，則成立；當(dāng)與上述數(shù)軸上的點不重合時，假設(shè)在相鄰的兩個點之間，則，當(dāng)且僅當(dāng)在相鄰的兩個點中點時取等，要使對于任意，均存在，使得，則有，又?jǐn)?shù)軸上所有相鄰的兩個點之間距離最大為，此時在相鄰的兩個點或中點，則.以下說明數(shù)軸上所有相鄰的兩個點之間距離最大為，易得數(shù)軸上兩點之間的距離為，當(dāng)或，和為相鄰的兩點，之間的距離為；當(dāng)時，則，即之間必存在點，可得相鄰的兩點之間的距離小于，綜上可得數(shù)軸上所有相鄰的兩個點之間距離最大為.故，故.故選：B.4．已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理把邊化成角，找出之間關(guān)系，結(jié)合銳角三角形推出的范圍，然后把全部轉(zhuǎn)化到關(guān)于的函數(shù)即可求出范圍.【詳解】由，所以，解得，所以，又，解得．綜上，，所以．所以．令，，則，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，，故，即．故選：D．5．在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的面積為S，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由面積公式與正余弦定理化簡后得出關(guān)系后求解【詳解】在中，，故題干條件可化為，由余弦定理得，故，又由正弦定理化簡得：，整理得，故或（舍去），得為銳角三角形，故，解得，故故選：C6．在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)余弦定理和的面積公式，結(jié)合題意求出、的值，再用表示，求出的取值范圍，即可求出的取值范圍．【詳解】解：在中，由余弦定理得，且的面積，由，得，化簡得，又，，聯(lián)立得，解得或（舍去），所以，因為為銳角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，設(shè)，其中，所以，由對勾函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，即的取值范圍是．故選：C.7．已知函數(shù)各項均不相等的數(shù)列滿足.令.給出下列三個命題：（1）存在不少于3項的數(shù)列使得；（2）若數(shù)列的通項公式為，則對恒成立；（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，則對恒成立，其中真命題的序號是（

）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）【答案】D【解析】由題意，函數(shù)是奇函數(shù)，只需考查函數(shù)在的性質(zhì)，此時，都是增函數(shù)，所以在上也是增函數(shù)，即時，，對于（1），，即可判斷；對于（2），運用等比數(shù)列求和公式和和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷；對于（3），運用等差數(shù)列求和公式，及不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷；【詳解】由題意得，所以是奇函數(shù)，只需考查函數(shù)在的性質(zhì)，此時，都是增函數(shù)，所以在上也是增函數(shù)，即函數(shù)在上也是增函數(shù)，設(shè)若，則，，即若，則，，即所以時，，對于（1），取，，故（1）正確；對于（2），，又令，則又，知，則，則，，又在上單減，，即，，即，則，由的任意性可知，，又，所以，故（2）正確；對于（3），數(shù)列是等差數(shù)列，若，則；若，即，又是奇函數(shù)也是增函數(shù)有，可得；同理：若，可得；若，可得；相加可得：若，可得，即；同理若，可得，即，故（3）正確；故選：D.二、多選題8．勒洛FranzReuleaux（1829～1905），德國機械工程專家，機構(gòu)運動學(xué)的創(chuàng)始人.他所著的《理論運動學(xué)》對機械元件的運動過程進行了系統(tǒng)的分析，成為機械工程方面的名著.勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體.如圖所示，設(shè)正四面體的棱長為2，則下列說法正確的是（

）A．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為B．勒洛四面體被平面截得的截面面積是C．勒洛四面體表面上交線的長度為D．勒洛四面體表面上任意兩點間的距離可能大于2【答案】ABD【分析】A選項：求出正四面體的外接球半徑，進而得到勒洛四面體的內(nèi)切球半徑，得到答案；B選項，作出截面圖形，求出截面面積；C選項，根據(jù)對稱性得到交線所在圓的圓心和半徑，求出長度；D選項，作出正四面體對棱中點連線，在C選項的基礎(chǔ)上求出長度.【詳解】A選項，先求解出正四面體的外接球，如圖所示：取的中點，連接，過點作于點，則為等邊的中心，外接球球心為，連接，則為外接球半徑，設(shè)，由正四面體的棱長為2，則，，，，，由勾股定理得：，即，解得：，此時我們再次完整的抽取部分勒洛四面體，如圖所示：圖中取正四面體中心為，連接交平面于點，交于點，其中與共面，其中即為正四面體外接球半徑，設(shè)勒洛四面體內(nèi)切球半徑為，則，故A正確；B選項，勒洛四面體截面面積的最大值為經(jīng)過正四面體某三個頂點的截面，如圖所示：面積為，B正確；C選項，由對稱性可知：勒洛四面體表面上交線所在圓的圓心為的中點，故，又，由余弦定理得：，故，且半徑為，故交線的長度等于，C錯誤；D選項，將正四面體對棱所在的弧中點連接，此時連線長度最大，如圖所示：連接，交于中點，交于中點，連接，則，則由C選項的分析知：，所以，故勒洛四面體表面上兩點間的距離可能大于2，D正確.故選：ABD9．若，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期是B．的對稱軸方程為，C．存在實數(shù)，使得對任意的，都存在且，滿足，D．若函數(shù)，，（是實常數(shù)），有奇數(shù)個零點，則【答案】AD【分析】由題設(shè)得，根據(jù)三角形函數(shù)與的周期、對稱軸變化性質(zhì)判斷最小正周期和對稱軸，根據(jù)方程恒能成立有，且使能成立求a的范圍即可，利用在的圖象，根據(jù)零點個數(shù)確定b的范圍，結(jié)合對稱性求零點的和.【詳解】由題設(shè)，所以，故，由的最小正周期為，則的最小正周期為，同理的最小正周期為，則的最小正周期為，A正確；對于，令，則對稱軸方程為且，B錯誤；對任意有，，且滿足且，而的圖象如下：所以，則，所以或，無解，即不存在這樣的a，C錯誤；由可轉(zhuǎn)化為與交點橫坐標(biāo)，而上圖象如下：函數(shù)有奇數(shù)個零點，由圖知：，此時共有9個零點，、、、、、、，，所以，D正確.故選：AD10．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足有下列結(jié)論正確的有(

)A．B．若，則函數(shù)的最小正周期為；C．關(guān)于x的方程在區(qū)間上最多有4個不相等的實數(shù)解D．若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，則的取值范圍為【答案】ABD【分析】A：在上單調(diào)，，，故；B：求出區(qū)間右端點關(guān)于的對稱點，由題可知在上單調(diào)，據(jù)此可求出f(x)周期的范圍，從而求出ω的范圍.再根據(jù)知是f(x)的對稱軸，根據(jù)對稱軸和對稱中心距離為周期的倍即可求出ω，從而求出其周期；C：根據(jù)ω的范圍求出周期的范圍，根據(jù)正弦型函數(shù)一個完整周期只有一個最高點即可求解；D：由知，是函數(shù)在區(qū)間，上的第1個零點，而在區(qū)間上恰有5個零點，則，據(jù)此即可求ω的范圍.【詳解】A，∵，∴在上單調(diào)，又，，∴，故A正確；B，區(qū)間右端點關(guān)于的對稱點為，∵，f(x)在上單調(diào)，∴根據(jù)正弦函數(shù)圖像特征可知在上單調(diào)，∴為的最小正周期，即3，又，∴.若，則的圖象關(guān)于直線對稱，結(jié)合，得，即，故k＝0，，故B正確.C，由，得，∴在區(qū)間上最多有3個完整的周期，而在1個完整周期內(nèi)只有1個解，故關(guān)于的方程在區(qū)間上最多有3個不相等的實數(shù)解，故C錯誤.D，由知，是函數(shù)在區(qū)間，上的第1個零點，而在區(qū)間上恰有5個零點，則，結(jié)合，得，又，∴的取值范圍為，故D正確.故選：ABD.11．由倍角公式，可知可以表示為的二次多項式．一般地，存在一個（）次多項式（），使得，這些多項式稱為切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多項式．運用探究切比雪夫多項式的方法可得（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】通過求，來判斷出正確選項.【詳解】，所以，A錯誤.，所以，B正確..所以，由于，所以，由于，所以，所以由解得，所以，C正確.，所以D錯誤.故選：BC12．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，、、的面積分別為、、，則.若是銳角內(nèi)的一點，、、是的三個內(nèi)角，且點滿足，則（

）A．為的垂心B．C．D．【答案】ABD【分析】首先可根據(jù)得出，用相同的方式得出、，即可得出A正確，然后作輔助線，根據(jù)、即可得出B正確，再然后通過正弦定理得出，即，用相同的方式得出，即可得出C錯誤，最后結(jié)合解三角形面積公式以及B項得出、、，根據(jù)“奔馳定理”得出，結(jié)合C項即可得出D正確.【詳解】A項：，即，，，，同理可得，，故為的垂心，A正確；B：如圖，延長交于點，延長交于點，延長交于點，因為，所以，，因為，所以，，則，B正確；C項：在中，由正弦定理易知，因為，，所以，即，，同理可得，故，C錯誤；D項：，同理可得，，則，同理可得，，因為，所以將、、代入，可得，因為，所以，故成立，D正確，故選：ABD.三、填空題13．1643年法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出了一個著名的幾何問題：已知一個三角形，求作一點，使其到這個三角形的三個頂點的距離之和為最小.它的答案是：當(dāng)三角形的三個角均小于120°時，所求的點為三角形的正等角中心（即該點與三角形的三個頂點的連線段兩兩成角120°），該點稱為費馬點.已知中，其中，，P為費馬點，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】設(shè)，，進而得到，，然后在中通過余弦定理得到的關(guān)系式，在和中通過正弦定理得到的關(guān)系式和的關(guān)系式，然后借助三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)求得答案.【詳解】如圖，根據(jù)題意，設(shè)，，則，，在中，由余弦定理有…①在中，由正弦定理有，在中，由正弦定理有，故，則，由①，…②，且，設(shè)，則，由題意，，所以，而，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知.由②，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是.故答案為：.14．△內(nèi)接于半徑為2的圓，三個內(nèi)角，，的平分線延長后分別交此圓于，，.則的值為_____________.【答案】【分析】連，由正弦定理得，利用三角形內(nèi)角和性質(zhì)得，進而利用積化和差公式、誘導(dǎo)公式得，同理求、，即可求值.【詳解】連，則，∴，同理可得：，.∴，即.故答案為：15．已知函數(shù)，若集合，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【分析】設(shè)，，，利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡可得，利用線段差的幾何意義可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】，設(shè)，，，則，如圖，，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線且在之間時等號成立，又，故的最大值為.因為集合，故，故.故答案為：.四、解答題16．設(shè)函數(shù)，.(1)若在處切線的傾斜角為，求；(2)若在單調(diào)遞增，求的取值范圍；(3)證明：對任意，.【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得；（2）由題可得恒成立，然后根據(jù)三角恒等變換及二次函數(shù)的性質(zhì)即得；（3）由題可得，然后利用累加法及三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】（1）由題可得，依題意，，所以；（2）因為，所以恒成立，，即恒成立，又，所以，即的取值范圍為；（3）由上可知，，，所以，即，以，，，替換上式中的，可得，，，累加以上各式可得，，又因為，，所以即.17．定義(1)證明：(2)解方程：【答案】(1)證明見解析(2)方程的解集為【分析】（1）根據(jù)定義結(jié)合兩角和差得余弦公式分別化簡，整理即可得證；（2）因式分解，分和兩種情況討論，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點得存在性定理及（1）求出方程的根，從而可得出答案.（1）證明：①，而②，聯(lián)立①②兩式可得，即；（2）解：，若，解得，若，則，記，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，∴有且僅有三個零點，即有三個實根，且均位于區(qū)間內(nèi)，記三個實根分別為，由（1）知，∴或，解得，綜上所述，方程的解集為.18．若點在函數(shù)的圖象上，且滿足，則稱是的點．函數(shù)的所有點構(gòu)成的集合稱為的集．(1)判斷是否是函數(shù)的點，并說明理由；(2)若函數(shù)的集為，求的最大值；(3)若定義域為的連續(xù)函數(shù)的集滿足，求證：．【答案】(1)不是，理由見解析；(2)；(3)見解析【分析】（1）直接求出，再判斷出，即可得到，即可得到結(jié)論；（2）先說明，若，則，由題設(shè)得到，推出矛盾即可證得；再說明的值可以等于，令，利用三角函數(shù)的值域加以證明即可；（3）由題設(shè)知，必存在，使得，結(jié)合零點存在定理說明函數(shù)必存在零點，即可證明.【詳解】（1）不是函數(shù)的點，理由如下：設(shè)，則，，因為，所以，所以，所以不是函數(shù)的點；（2）先證明，若，則函數(shù)的最小正周期，因為函數(shù)的集為，所以對，是的點，令，則，因為函數(shù)的值域為，所以當(dāng)時，必有，即對于恒成立，所以，即的最小正周期，與矛盾；再證明的值可以等于，令，對，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，所以是的點，即函數(shù)的集為；綜上所述，的最大值是；（3）因為函數(shù)的集滿足，所以存在，使得且，即，因為若，則，所以，因為函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，不妨設(shè)，由零點存在定理知，必存在使得，所以存在零點，即.19．在銳角△中，，點為△的外心.(1)若，求的最大值；(2)若，（?。┣笞C：；（ⅱ）求的取值范圍.【答案】(1)；(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）.【分析】（1）令△外接圓半徑為，根據(jù)向量加法的幾何意義及已知可得，根據(jù)銳角三角形、二倍角余弦公式及向量數(shù)量積的運算律得、，最后應(yīng)用基本不等式求的范圍.（2）（?。├孟蛄繑?shù)量積的運算律求、，進而求向量的夾角，即可證結(jié)論；（ⅱ）根據(jù)向量數(shù)量積的運算律及輔助角公式有，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求范圍.（1）令△外接圓半徑為，又，，所以，則，又△為銳角三角形，則，即，所以，又，則，而，故，解得或，綜上，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最大值為.（2）（?。┯深}設(shè)知：，即，且，所以，即，又，而，，所以，令與夾角為，則，即，綜上，，得證.（ⅱ），又、、，且，即，所以且，在銳角△中，，所以，則，即.20．英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時，，.(1)證明：當(dāng)時，；(2)設(shè)，若區(qū)間滿足當(dāng)定義域為時，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”.（i）時，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由；（ii）時，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)（i）不存在“和諧區(qū)間”，理由見解析（ii）存在，有唯一的“和諧區(qū)間”【分析】（1）利用來證得結(jié)論成立.（2）（i）通過證明方程只有一個實根來判斷出此時不存在“和諧區(qū)間”.（ii）對的取值進行分類討論，結(jié)合