2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-直線、平面垂直的性質(zhì)定理-專項訓(xùn)練【含答案】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-直線、平面垂直的性質(zhì)定理-專項訓(xùn)練基礎(chǔ)鞏固練1.已知平面α⊥平面β,直線l⊥平面α,則l與β的位置關(guān)系是()A.垂直 B.平行C.l?β D.平行或l?β2.已知直線m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n?α,要使n⊥β,則應(yīng)增加的條件是()A.m∥n B.n⊥mC.n∥α D.n⊥α3.(2023無錫調(diào)研)已知a,b為兩條不同的直線,α,β為兩個不同的平面,則下列結(jié)論正確的是()A.若α∥β,a?α,b?β,則a∥bB.若a?α,b?β,a∥b,則α∥βC.若α∩β=a,b?β,b⊥a,則α⊥βD.若α∩β=l,α⊥β,a?α,a⊥l,a∥b,則b⊥β4.如圖,設(shè)平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分別為G,H.為使PQ⊥GH,則需增加的一個條件是()A.EF⊥平面α B.EF⊥平面βC.PQ⊥GE D.PQ⊥FH5.(多選題)已知平面α⊥平面β,α∩β=l,點A∈α,A?l,直線AB∥l,直線AC⊥l,直線m∥α,m∥β,則下列四種位置關(guān)系中,成立的是()A.AB∥m B.AC⊥mC.AB∥β D.AC⊥β6.(多選題)(2023江陰月考)關(guān)于三個不同的平面α、β、γ與直線l,下面命題中的真命題是()A.若α⊥β,則α內(nèi)一定存在直線平行于βB.若α與β不垂直,則α內(nèi)一定不存在直線垂直于βC.若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,則l⊥γD.若α⊥β,則α內(nèi)所有直線都垂直于β7.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=AC=BC=2,PC=1,AB=23,則二面角P-AB-C的大小為.

第7題圖第8題圖8.如圖,空間四邊形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,則AD與平面BCD所成的角是.

9.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB⊥AA1,∠A1AC=2π3,M為棱CC1的中點,點T是線段BM上的一動點,AA1=AC=2AB=(1)求證:CC1⊥AT.(2)求平面B1BCC1與平面A1ACC1所成的二面角的正弦值.綜合提升練10.在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥CD,∠ABC=90°,BC=PD=CD=PA=12AB=2,M為PA的中點,則下列選項中,不正確的是(A.MD∥平面PBCB.PA⊥平面PBDC.平面PCD⊥平面PADD.點C到平面PBD的距離為111.(多選題)(2023宿遷質(zhì)檢)如圖所示,在平面四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=2,BD⊥CD,將其沿對角線BD折成四面體A-BCD,使平面ABD⊥平面BCD,則下列說法正確的是()A.平面ACD⊥平面ABDB.AB⊥CDC.平面ABC⊥平面ACDD.AD⊥平面ABC12.在如圖所示的菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,對角線AC,BD交于點O,將△ABD沿BD折到△A'BD的位置,使平面A'BD⊥平面BCD.以下命題:①BD⊥A'C;②平面A'OC⊥平面BCD;③平面A'BC⊥平面A'CD;④三棱錐A'-BCD的體積為1.其中真命題的序號為()A.①②③ B.②③C.③④ D.①②④13.如圖,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB與兩平面α,β所成的角分別為π4和π6.過A,B分別作兩平面交線的垂線,垂足分別為A',B',則AB∶第13題圖第14題圖14.如圖,在三棱臺ABC-A1B1C1中,平面ACC1A1⊥平面ABC,AB⊥BC,且AC=2A1C1=4,側(cè)面ACC1A1是面積為62的等腰梯形,則側(cè)棱BB1的長度為.

15.如圖,在三棱錐A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O為BD的中點.(1)證明:OA⊥CD.(2)若△OCD是邊長為1的等邊三角形,點E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小為45°,求三棱錐A-BCD的體積.創(chuàng)新應(yīng)用練16.過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A作平面α,使正方形ABCD、正方形ABB1A1、正方形ADD1A1所在平面與平面α所成的二面角的平面角相等,則這樣的平面α可以作()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個17.(2023常州質(zhì)檢)《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著,是《算經(jīng)十書》中最重要的一部,成書于公元一世紀(jì)左右.它是一本綜合性的歷史著作,是當(dāng)時世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué),它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.《九章算術(shù)》中將由四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”,已知在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC.(1)從三棱錐P-ABC中選擇合適的兩條棱填空:若⊥,則三棱錐P-ABC為“鱉臑”.

(2)如圖,已知AD⊥PB,垂足為D,AE⊥PC,垂足為E,∠ABC=90°.①證明:平面ADE⊥平面PAC.②設(shè)平面ADE與平面ABC的交線為l,若PA=23,AC=2,求二面角E-l-C的大小.參考答案1.D2.B3.D4.B5.ABC6.ABC7.60°8.45°9.(1)證明由題意可知,CC1∥AA1,又AB⊥AA1,所以AB⊥CC1,連接AM,AC1,如圖所示.由∠A1AC=2π3,AA1=AC可知,△ACC1是正三角形,又M為棱CC1的中點,所以CC1⊥又AB?平面ABM,AM?平面ABM,AM∩AB=A,所以CC1⊥平面ABM,又AT?平面ABM,所以CC1⊥AT.(2)解由(1)知,CC1⊥BM,CC1⊥AM,根據(jù)二面角的定義可知,∠AMB即為所求二面角的平面角或其補(bǔ)角,在正三角形ACC1中,AC=2,所以AM=3,因為AB⊥AA1,BB1∥AA1,所以AB⊥BB1,又AB⊥BC,且BB1∩BC=B,所以AB⊥平面B1BCC1,而BM?平面B1BCC1,所以AB⊥BM,在Rt△ABM中,AM=3,AB=1,所以sin∠AMB=ABAM于是平面B1BCC1與平面A1ACC1所成的二面角的正弦值為310.C11.ABC12.D13.2∶114.315.(1)證明在△ABD中,∵AB=AD,O為BD的中點,∴AO⊥BD.∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO?平面ABD,∴AO⊥平面BCD.∵CD?平面BCD,∴AO⊥CD.(2)解如圖,過點E作EN∥AO交BD于點N,過點N作NM∥CD交BC于點M,連接EM.∵AO⊥平面BCD,EN∥AO,∴EN⊥平面BCD,又BC?平面BCD,∴EN⊥BC.在△BCD中,∵OB=OD=OC=1,∴∠BCD=90°,即DC⊥BC.∵NM∥CD,∴NM⊥BC.又EN∩NM=N,∴BC⊥平面EMN,又EM?平面EMN,∴BC⊥ME,∴二面角E-BC-D的平面角是∠EMN,且∠EMN=45°,故△EMN是等腰直角三角形.∵DE=2AE,∴ND=2ON,∴ND=23OD=2∴BN=43=∴MN=23CD=23∴EN=ND=23,∴AO=OD=1∵BC=BD∴VA-BCD=13S△BCD·AO=13×1216.D17.(1)解因為“鱉臑”是由四個直角三角形組成的四面體,又PA⊥平面ABC,BC,AB,AC?平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,即△PAB,△PAC為直角三角形.若BC⊥AB,由AB∩PA=A,AB,PA?平面PAB,可得BC⊥平面PAB,又PB?平面PAB,所以BC⊥PB,即△ABC,△PBC為直角三角形,滿足四個面都是直角三角形.同理,可得BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC,都能滿足三棱錐P-ABC的四個面都是直角三角形.故可填BC⊥AB或BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC.(2)①證明因為PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB,所以BC⊥平面PAB,又AD?平面PAB,所以BC⊥AD,又AD⊥PB,PB∩BC=B,PB,BC?平面PBC,所以AD⊥平面PBC,又PC?平面PBC,所以PC⊥AD,又AE⊥PC,AE∩AD=A,AD,AE?平面ADE,所以PC⊥平面ADE,又PC?平面PAC,所以平面ADE⊥平面PAC.②解由題意知,在平面PBC中,直線DE與直線BC相交.如圖所示,設(shè)DE∩BC=F,連接AF,則直線AF即為交線l.因為PC⊥平面AED,l?平面AED,所以PC⊥l,因為PA⊥平面ABC