小學(xué)奧數(shù)染色與操作問題教師版

PAGE|初一·數(shù)學(xué)·基礎(chǔ)-提高-精英·學(xué)生版|第1講第頁(yè)第第十一講：染色與操作問題一、染色問題這里的染色問題不是要求如何染色，然后問有多少種染色方法的那類題目，它指的是一種解題方法.染色方法是一種將題目研究對(duì)象分類的形象化方法，通過將問題中的對(duì)象適當(dāng)染色，我們可以更形象地觀察分析出其中所蘊(yùn)含的關(guān)系，再經(jīng)過一定的邏輯推理，便能得出問題的答案.這類問題不需要太多的數(shù)學(xué)知識(shí)，但技巧性，邏輯性較強(qiáng)，要注意學(xué)會(huì)幾種典型的染色問題.二、操作問題實(shí)際操作與策略問題這類題目能夠很好的提高學(xué)生思考問題的能力，激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的興趣，并通過尋找最佳策略過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，這也是各類考試命題者青睞的這類題目的原因。模塊一、染色問題六年級(jí)一班全班有35名同學(xué)，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每個(gè)座位的前后左右四個(gè)位置都叫做它的鄰座．如果要讓這35名同學(xué)各人都恰好坐到他的鄰座上去，能辦到嗎?為什么？劃一個(gè)5×7的方格表，其中每一個(gè)方格表示一個(gè)座位．將方格黑白相間地染上顏色，這樣黑色座位與白色座位都成了鄰座．因此每位同學(xué)都坐到他的鄰座相當(dāng)于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而實(shí)際圖中有17個(gè)黑格18個(gè)白格，個(gè)數(shù)不等，故不能辦到．右圖是某一湖泊的平面圖，圖中所有曲線都是湖岸.(1)如果P點(diǎn)在岸上，那么A點(diǎn)是在岸上還是在水中？(2)某人過此湖泊，他下水時(shí)脫鞋，上岸時(shí)穿鞋.如果他從A點(diǎn)出發(fā)走到某點(diǎn)B，他穿鞋與脫鞋的總次數(shù)是奇數(shù)，那么B點(diǎn)是在岸上還是在水中？為什么？（1）已知P點(diǎn)在陸地上，如果在圖上用陰影表示陸地，就可以看出A點(diǎn)在水中.（2）從水中經(jīng)過一次陸地到水中，脫鞋與穿鞋的次數(shù)的和為2，由于A點(diǎn)在水中，所以不管怎么走，走在水中時(shí)，脫鞋、穿鞋的次數(shù)的和總是偶數(shù).既然題中說“脫鞋的次數(shù)與穿鞋的次數(shù)的和是個(gè)奇數(shù)”，那么B點(diǎn)必定在岸上.某班有45名同學(xué)按9行5列坐好．老師想讓每位同學(xué)都坐到他的鄰座(前后左右)上去，問這能否辦到?將5×9長(zhǎng)方形自然染色，發(fā)現(xiàn)黑格的鄰座都是白格，白格的鄰座都是黑格，因此每位同學(xué)都坐到他的鄰座相當(dāng)于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而實(shí)際圖中有23個(gè)黑格22個(gè)白格，個(gè)數(shù)不等，故不能辦到．右圖是某一套房子的平面圖，共12個(gè)房間，每相鄰兩房間都有門相通．請(qǐng)問：你能從某個(gè)房間出發(fā)，不重復(fù)地走完每個(gè)房間嗎?如圖所示，將房間黑白相間染色，發(fā)現(xiàn)只有5個(gè)白格，7個(gè)黑格．因?yàn)槊看沃荒苡珊诘桨谆蛴砂椎胶?，路線必然黑白相問，顯然應(yīng)該從多的白格開始．但路線上1白1黑1白1黑……直到5白5黑后還余2黑，不可能從黑格到黑格，故無(wú)法實(shí)現(xiàn)不重復(fù)走遍．【鞏固】有一次車展共6×6=36個(gè)展室，如右圖，每個(gè)展室與相鄰的展室都有門相通，入口和出口如圖所示．參觀者能否從入口進(jìn)去，不重復(fù)地參觀完每個(gè)展室再?gòu)某隹诔鰜?如右下圖，對(duì)每個(gè)展室黑白相間染色，同樣每次只能黑格到白格或白格到黑格．入口和出口處都是白格，故路線黑白相間，首尾都是白格，于是應(yīng)該白格比黑格多1個(gè)，而實(shí)際上白格、黑格都是18個(gè)，故不可能做到不重復(fù)走遍每個(gè)展室．在一個(gè)正方形的果園里，種有63棵果樹，加上右下角的一間小屋，整齊地排列成八行八列，如圖（1）.守園人從小屋出發(fā)經(jīng)過每一棵樹，不重復(fù)也不遺漏(不許斜走)，最后又回到小屋，行嗎？如果有80棵果樹，如圖（2），連小屋排成九行九列呢？下圖(1)中可以回到小屋，守園人只能黑白相間地走，走到的第奇數(shù)棵樹是白的，第偶數(shù)棵樹是黑的，走到第63棵樹應(yīng)是白的，在小屋相鄰的樹都標(biāo)注白色，所以可以回到小屋.圖(2)不行,從小屋出發(fā),當(dāng)走到80棵樹應(yīng)是黑色,而黑樹與小木屋不相鄰，無(wú)法直接回到小木屋.“我把十七匹馬全都留給我的三個(gè)兒子.長(zhǎng)子得，次子得，給幼子.不許流血，不許殺馬.你們必須遵從父親的遺愿！”請(qǐng)你幫助他們分分馬吧！這三個(gè)兄弟迷惑不解，盡管他們?cè)趯W(xué)校里學(xué)習(xí)成績(jī)都不錯(cuò)，可是他們還是不會(huì)用17除以2、用17除以3、用17除以9，又不讓馬流血.于是他們就去請(qǐng)教當(dāng)?shù)匾晃还J(rèn)的智者.這位智者看了遺囑以后說：“我借給你們一匹馬，去按你們父親的遺愿分吧！”老人原有17匹馬，加上智者借給的一匹，一共18匹.于是三兄弟按照18匹馬的、和，分別得到了九匹、六匹和兩匹.9+6+2=17（匹）.還剩下一匹，是智者借給的那匹，還給智者.甲、乙、丙、丁分29頭羊.甲、乙、丙、丁分別得，應(yīng)如何分？借一頭羊，甲、乙、丙、丁依次分得15，6，5，3頭羊，再將借得1頭羊還回去.8個(gè)金幣中，有一個(gè)比真金幣輕的假金幣，你能用天平稱兩次就找出來嗎（天平無(wú)砝碼）?講解此題前，教師可先問學(xué)生：“3個(gè)金幣，有1個(gè)假的比較輕，你稱1次能把它找出來么？”將8個(gè)金幣分成：3+3+2，3組，把3和3進(jìn)行稱量，如果重量相同，稱剩下的2個(gè)金幣即可找到假幣；如果重量不同，將比較重的3個(gè)金幣拿出，用天平稱量2個(gè)，剩下1個(gè)，天平不平衡易得答案，若此時(shí)天平平衡則剩下的那個(gè)是假的.9個(gè)金幣中，有一個(gè)比真金幣輕的假金幣，你能用天平稱兩次就找出來嗎（天平無(wú)砝碼）?第一次在左右兩托盤各放置3個(gè)：(一)如果不平衡，那么較輕的一側(cè)的3個(gè)中有一個(gè)是假的．從中任取兩個(gè)分別放在兩托盤內(nèi)：①如果不平衡，較低的一側(cè)的那個(gè)是假的；②如果平衡，剩下的一個(gè)是假的；(二)如果平衡，剩下的三個(gè)中必有一個(gè)為假的．從中任取兩個(gè)分別放在兩托盤內(nèi)：①如果不平衡，較低的一側(cè)的那個(gè)是假的；②如果平衡，剩下的那個(gè)是假的．這類稱量找假幣的問題，一定要會(huì)分類，并盡量是每一類對(duì)應(yīng)天平稱量時(shí)的不同狀態(tài)(輕，重，平)，所以分成3堆是很常見的分法．據(jù)說有一天，韓信騎馬走在路上，看見兩個(gè)人正在路邊為分油發(fā)愁.這兩個(gè)人有一只容量10斤的簍子，里面裝滿了油；還有一只空的罐和一只空的葫蘆，罐可裝7斤油，葫蘆可裝3斤油.要把這10斤油平分，每人5斤.但是誰(shuí)也沒有帶秤，只能拿手頭的三個(gè)容器倒來倒去.應(yīng)該怎樣分呢？韓信給兩人說了一句話：“葫蘆歸簍，簍歸罐”，兩人按此分油，果然把油分成了兩半.具體做法如下表：韓信的話指明了倒油的方向，始終按從簍向罐中倒，從罐向葫蘆中倒，從葫蘆向簍中倒的方向操作.按照相反的方向倒，即“葫蘆歸罐，罐歸簍”怎樣?我們?cè)囋?看來也行，只是多倒了一次.要注意的是：保持一定的方向很重要.如果在倒油的過程中，出現(xiàn)從甲倒向乙，又從乙倒回甲(這兩步不一定挨著)，那么這兩步相互抵消，肯定可以簡(jiǎn)化掉，所以最佳的倒油方法是始終按一個(gè)方向倒.大桶能裝5千克油，小桶能裝4千克油，你能用這兩只桶量出6千克油嗎?怎先將5千克的桶倒?jié)M油；再用大桶將小桶倒?jié)M，大桶中還有5-4=1(千克)油；然后將小桶倒空，將大桶中1千克倒到小桶中；最后注滿大桶，連小桶中共是5+1=6(千克)．這道題要學(xué)會(huì)借助于大桶小桶容積的差量出想獲得的中間量(1千克)．有一個(gè)小朋友叫小滿，他學(xué)會(huì)了韓信分油的方法，心里很是得意.一天，他遇到了兩位農(nóng)婦.兩位農(nóng)婦有兩個(gè)各裝滿了10升奶的罐子，還有一個(gè)5升和一個(gè)4升的小桶，她們請(qǐng)求小滿就用這些容器將罐子中的奶給兩個(gè)小桶中各倒入2升奶.小滿按照韓信分油的方法，略加變通，就將奶分好了！你說說具體的做法！答案如表所示有大，中，小3個(gè)瓶子，最多分別可以裝入水1000克，700克和300克.現(xiàn)在大瓶中裝滿水，希望通過水在3個(gè)瓶子間的流動(dòng)使得中瓶和小瓶上標(biāo)出通過對(duì)三個(gè)數(shù)字的分析，我們發(fā)現(xiàn)700-300-300=100，是計(jì)算步數(shù)最少的得到100的方法．而由于我們每計(jì)算一步就相當(dāng)于倒一次水，所以倒水最少的方案應(yīng)該是：1．大瓶往中瓶中倒?jié)M水．2．中瓶往小瓶中倒?jié)M水，這時(shí)中瓶中還剩下400克水．3．小瓶中水倒回大瓶．4．中瓶再往小瓶中倒?jié)M水，這時(shí)中瓶中只剩下100克水，標(biāo)記．5．小瓶中水倒回大瓶．6．中瓶中100水倒入小瓶，標(biāo)記．所以最少要倒6次水．本題關(guān)鍵是，小瓶中的水每次都要倒掉，不然無(wú)法再往小瓶中倒水的．老師在黑板上畫了9個(gè)點(diǎn)，要求同學(xué)們用一筆畫出一條通過這9個(gè)點(diǎn)的折線(只許拐三個(gè)彎兒)．你能辦到嗎?大家開始嘗試多次之后可能會(huì)得出“不可能”的結(jié)論，但是大家不要忽略一點(diǎn)，題中并沒要求所有折線只能限定在這9個(gè)點(diǎn)的范圍之內(nèi)．我們把折線的范圍沖破本題9個(gè)點(diǎn)所限定的正方形，那么問題就容易解決了，如上右圖。你有四個(gè)裝藥丸的罐子，每個(gè)藥丸都有一定的重量，被污染的藥丸是沒被污染的重量＋1.只稱量一次，如何判斷哪個(gè)罐子的藥被污染了？第一瓶拿一個(gè)藥丸，第二瓶拿兩個(gè)藥丸，第三瓶拿三個(gè)，第四瓶拿四個(gè)，稱一下比標(biāo)準(zhǔn)的10個(gè)藥丸重多少，重多少就是第幾個(gè)瓶子里的藥丸被污染.如右圖所示，將1～12順次排成一圈.如果報(bào)出一個(gè)數(shù)a（在1～12之間），那么就從數(shù)a的位置順時(shí)針走a個(gè)數(shù)的位置.例如a=3，就從3的位置順時(shí)針走3個(gè)數(shù)的位置到達(dá)6的位置；a=11，就從11的位置順時(shí)針走11個(gè)數(shù)的位置到達(dá)10的位置.問：a是多少時(shí)，可以走到7的位置？不存在.當(dāng)1≤a≤6時(shí)，從a的位置順時(shí)針走a個(gè)數(shù)的位置，應(yīng)到達(dá)2a的位置；當(dāng)7≤a≤12時(shí)，從a的位置順時(shí)針走a個(gè)數(shù)的位置，應(yīng)到達(dá)2a-12的位置.由上面的分析知，不論a是什么數(shù)，結(jié)果總是走到偶數(shù)的位置，不會(huì)走到7的位置.對(duì)于任意一個(gè)自然數(shù)n，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，加上121；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，除以2，這算一次操作現(xiàn)在對(duì)231連續(xù)進(jìn)行這種操作，在操作過程中是否可能出現(xiàn)100？為什么？同學(xué)們碰到這種題，可能會(huì)“具體操作”一下，得到這個(gè)過程還可以繼續(xù)下去，雖然一直沒有得到100，但也不能肯定得不到100.當(dāng)然，連續(xù)操作下去會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)字一旦重復(fù)出現(xiàn)后，這一過程就進(jìn)入循環(huán)，這時(shí)就可以肯定不會(huì)出現(xiàn)100.因?yàn)檫@一過程很長(zhǎng)，所以這不是好方法.因?yàn)?31和121都是11的倍數(shù)，2不是11的倍數(shù)，所以在操作過程中產(chǎn)生的數(shù)也應(yīng)當(dāng)是11的倍數(shù).100不是11的倍數(shù)，所以不可能出現(xiàn).操作問題不要一味地去“操作”，而要找到解決問題的竅門.課后練習(xí)課后練習(xí)一只電動(dòng)老鼠從左下圖的A點(diǎn)出發(fā)，沿格線奔跑，并且每到一個(gè)格點(diǎn)不是向左轉(zhuǎn)就是向右轉(zhuǎn)。當(dāng)這只電動(dòng)老鼠又回到A點(diǎn)時(shí)，甲說它共轉(zhuǎn)了81次彎，乙說它共轉(zhuǎn)了82次彎。如果甲、乙二人有一人說對(duì)了，那么誰(shuí)正確？甲.如右下圖所示，將格點(diǎn)黑白相間染色，因?yàn)槔鲜笥龅礁顸c(diǎn)必須轉(zhuǎn)彎，所以經(jīng)過多少格點(diǎn)就轉(zhuǎn)了多少次彎。如左下圖所示，老鼠從黑點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)任何一個(gè)黑點(diǎn)都轉(zhuǎn)了奇數(shù)次彎，所以甲正確.如圖（1），對(duì)相鄰的兩格內(nèi)的數(shù)同時(shí)加上1或同時(shí)減去1叫做一次操作.經(jīng)過若干次操作后由1變成圖2，則圖2中A處的數(shù)是多少？按圖中要求操作，圖3中陰影方格的數(shù)字之和與空白方格的數(shù)字之和的差不變.所以A=（1+1+1+1+1）-（0+0+0+0）=5.一個(gè)大桶裝了12升水，另外有恰好能裝8升和5升水的桶各一個(gè).利用這三個(gè)桶最少倒幾次才能把這12升水平均分成兩份?答案如表所示甲、乙分43頭牛，甲得，乙得，應(yīng)如何分？借2頭牛，甲得18頭，乙得25頭，再將借來的2頭牛還回去.有6張電影票(如右圖)，想撕成相連的3張，共有________種不同的撕法.形如的有2種，形如的有8種.月測(cè)備選月測(cè)備選測(cè)試1、一個(gè)正方形果園里種有48棵果樹，加上右下角的一間小屋，整齊地排列成七行七列（見右圖）.守園人從小屋出發(fā)經(jīng)過每一棵樹，不重復(fù)也不遺漏（不許斜走），最后又回到小屋.可以做到嗎？不可以.如右下圖所示.守園人只能黑白相間地走，走到的第奇數(shù)棵樹是白的，第偶數(shù)棵樹是黑的，走到第48棵樹應(yīng)是黑的，而黑樹與小木屋不相鄰，無(wú)法直接回到小木屋.測(cè)試2、如右圖，缺兩格的8×8方格有62個(gè)格，能否用31個(gè)圖不重復(fù)地蓋住它且不留空隙?這種覆蓋問題是典型的用染色方法解決的問題之一．用來覆蓋，則用黑白相間染色，