山東省濟南市長清第一中學2025屆高三下學期2月份月考數(shù)學試題含解析

山東省濟南市長清第一中學2025屆高三下學期2月份月考數(shù)學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，，若存在實數(shù)，使成立，則正數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．已知底面為邊長為的正方形，側棱長為的直四棱柱中，是上底面上的動點.給出以下四個結論中，正確的個數(shù)是（）①與點距離為的點形成一條曲線，則該曲線的長度是；②若面，則與面所成角的正切值取值范圍是；③若，則在該四棱柱六個面上的正投影長度之和的最大值為.A． B． C． D．3．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A． B．C． D．4．定義在上的偶函數(shù)，對，，且，有成立，已知，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．5．函數(shù)在上單調遞減，且是偶函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（1，2） D．（﹣∞，1）6．已知數(shù)列滿足,(),則數(shù)列的通項公式()A． B． C． D．7．已知函數(shù)，，若對，且，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．不等式組表示的平面區(qū)域為，則（）A．， B．，C．， D．，9．“學習強國”學習平臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員?面向全社會的優(yōu)質平臺，現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動態(tài)?緊跟時代脈搏的熱門?該款軟件主要設有“閱讀文章”?“視聽學習”兩個學習模塊和“每日答題”?“每周答題”?“專項答題”?“挑戰(zhàn)答題”四個答題模塊?某人在學習過程中，“閱讀文章”不能放首位，四個答題板塊中有且僅有三個答題板塊相鄰的學習方法有（）A．60 B．192 C．240 D．43210．已知實數(shù)x，y滿足約束條件，若的最大值為2，則實數(shù)k的值為（）A．1 B． C．2 D．11．函數(shù)的定義域為，集合，則（）A． B． C． D．12．記單調遞增的等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在正方體中，為棱的中點，是棱上的點，且，則異面直線與所成角的余弦值為__________．14．設全集，，，則______.15．如圖所示，在邊長為4的正方形紙片中，與相交于.剪去，將剩余部分沿，折疊，使、重合，則以、、、為頂點的四面體的外接球的體積為________.16．已知函數(shù)，若關于的方程恰有四個不同的解，則實數(shù)的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：x2a2（1）求橢圓C的方程；（2）假設直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點．①若A為橢圓的上頂點，M為線段AB中點，連接OM并延長交橢圓C于N，并且ON=62OM，求OB的長；②若原點O到直線l的距離為1，并且18．（12分）在平面直角坐標系中，曲線（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的普通方程；（2）若P，Q分別為曲線，上的動點，求的最大值.19．（12分）在極坐標系中，曲線的極坐標方程為（1）求曲線與極軸所在直線圍成圖形的面積；（2）設曲線與曲線交于，兩點，求.20．（12分）已知橢圓的離心率為，直線過橢圓的右焦點,過的直線交橢圓于兩點(均異于左、右頂點).（1）求橢圓的方程；（2）已知直線,為橢圓的右頂點.若直線交于點，直線交于點，試判斷是否為定值，若是，求出定值；若不是，說明理由.21．（12分）如圖，四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，點分別是的中點．（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．22．（10分）如圖，橢圓的左、右頂點分別為，，上、下頂點分別為，，且，為等邊三角形，過點的直線與橢圓在軸右側的部分交于、兩點．（1）求橢圓的標準方程；（2）求四邊形面積的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

根據(jù)實數(shù)滿足的等量關系，代入后將方程變形，構造函數(shù)，并由導函數(shù)求得的最大值；由基本不等式可求得的最小值，結合存在性問題的求法，即可求得正數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)，，由題意得，即，令，∴，∴在上單調遞增，在上單調遞減，∴，而，當且僅當，即當時，等號成立，∴，∴.故選：A.本題考查了導數(shù)在求函數(shù)最值中的應用，由基本不等式求函數(shù)的最值，存在性成立問題的解法，屬于中檔題.2．C【解析】

①與點距離為的點形成以為圓心，半徑為的圓弧，利用弧長公式，可得結論；②當在（或時，與面所成角（或的正切值為最小，當在時，與面所成角的正切值為最大，可得正切值取值范圍是；③設，，，則，即，可得在前后、左右、上下面上的正投影長，即可求出六個面上的正投影長度之和．【詳解】如圖：①錯誤，因為，與點距離為的點形成以為圓心，半徑為的圓弧，長度為；②正確，因為面面，所以點必須在面對角線上運動，當在（或）時，與面所成角（或）的正切值為最?。橄碌酌婷鎸蔷€的交點），當在時，與面所成角的正切值為最大，所以正切值取值范圍是；③正確，設，則，即，在前后、左右、上下面上的正投影長分別為，，，所以六個面上的正投影長度之，當且僅當在時取等號.故選：.本題以命題的真假判斷為載體，考查了軌跡問題、線面角、正投影等知識點，綜合性強，屬于難題．3．D【解析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關性質可解.詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為，所以，又，則故選D.點睛：此題考查等比數(shù)列的實際應用，解決本題的關鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（），數(shù)列是等比數(shù)列；（2）等比中項公式法，若數(shù)列中，且（），則數(shù)列是等比數(shù)列.4．A【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質和單調性即可判斷.【詳解】解：對，，且，有在上遞增因為定義在上的偶函數(shù)所以在上遞減又因為，，所以故選：A考查偶函數(shù)的性質以及單調性的應用，基礎題.5．B【解析】

根據(jù)題意分析的圖像關于直線對稱，即可得到的單調區(qū)間，利用對稱性以及單調性即可得到的取值范圍?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，函數(shù)滿足是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖像關于直線對稱，若函數(shù)在上單調遞減，則在上遞增，所以要使，則有，變形可得，解可得：或，即的取值范圍為；故選：B．本題考查偶函數(shù)的性質，以及函數(shù)單調性的應用，有一定綜合性，屬于中檔題。6．A【解析】

利用數(shù)列的遞推關系式，通過累加法求解即可．【詳解】數(shù)列滿足：，，可得以上各式相加可得：，故選：．本題考查數(shù)列的遞推關系式的應用，數(shù)列累加法以及通項公式的求法，考查計算能力．7．D【解析】

先求出的值域，再利用導數(shù)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調性，結合函數(shù)值域，由方程有兩個根求參數(shù)范圍即可.【詳解】因為，故，當時，，故在區(qū)間上單調遞減；當時，，故在區(qū)間上單調遞增；當時，令，解得，故在區(qū)間單調遞減，在區(qū)間上單調遞增.又，且當趨近于零時，趨近于正無窮；對函數(shù)，當時，；根據(jù)題意，對，且，使得成立，只需，即可得，解得.故選：D.本題考查利用導數(shù)研究由方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍的問題，涉及利用導數(shù)研究函數(shù)單調性以及函數(shù)值域的問題，屬綜合困難題.8．D【解析】

根據(jù)題意，分析不等式組的幾何意義，可得其表示的平面區(qū)域，設，分析的幾何意義，可得的最小值，據(jù)此分析選項即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，不等式組其表示的平面區(qū)域如圖所示，其中，，

設，則，的幾何意義為直線在軸上的截距的2倍，

由圖可得：當過點時，直線在軸上的截距最大，即，當過點原點時，直線在軸上的截距最小，即，故AB錯誤；

設，則的幾何意義為點與點連線的斜率，由圖可得最大可到無窮大，最小可到無窮小，故C錯誤，D正確；故選：D.本題考查本題考查二元一次不等式的性質以及應用，關鍵是對目標函數(shù)幾何意義的認識，屬于基礎題.9．C【解析】

四個答題板塊中選三個捆綁在一起，和另外一個答題板塊用插入法．注意按“閱讀文章”分類．【詳解】四個答題板塊中選三個捆綁在一起，和另外一個答題板塊用插入法，由于“閱讀文章”不能放首位，因此不同的方法數(shù)為．故選：C．本題考查排列組合的應用，考查捆綁法和插入法求解排列問題．對相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插入法是解決這類問題的常用方法．10．B【解析】

畫出約束條件的可行域,利用目標函數(shù)的幾何意義,求出最優(yōu)解,轉化求解即可.【詳解】可行域如圖中陰影部分所示，，，要使得z能取到最大值，則，當時，x在點B處取得最大值，即，得；當時，z在點C處取得最大值，即，得（舍去）.故選:B.本題考查由目標函數(shù)最值求解參數(shù)值,數(shù)形結合思想,分類討論是解題的關鍵,屬于中檔題.11．A【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域得集合，解對數(shù)不等式得到集合，然后直接利用交集運算求解.【詳解】解：由函數(shù)得，解得，即；又，解得，即，則.故選：A.本題考查了交集及其運算，考查了函數(shù)定義域的求法，是基礎題.12．C【解析】

先利用等比數(shù)列的性質得到的值，再根據(jù)的方程組可得的值，從而得到數(shù)列的公比，進而得到數(shù)列的通項和前項和，根據(jù)后兩個公式可得正確的選項.【詳解】因為為等比數(shù)列，所以，故即，由可得或，因為為遞增數(shù)列，故符合.此時，所以或（舍，因為為遞增數(shù)列）.故，.故選C.一般地，如果為等比數(shù)列，為其前項和，則有性質：（1）若，則；（2）公比時，則有，其中為常數(shù)且；（3）為等比數(shù)列（）且公比為.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)題意畫出幾何題，建立空間直角坐標系，寫個各個點的坐標，并求得.由空間向量的夾角求法即可求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】根據(jù)題意畫出幾何圖形，以為原點建立空間直角坐標系：設正方體的棱長為1，則所以所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故答案為：.本題考查了異面直線夾角的求法，利用空間向量求異面直線夾角，屬于中檔題.14．【解析】

先求出集合，，然后根據(jù)交集、補集的定義求解即可．【詳解】解：，或；∴；∴．故答案為：．本題主要考查集合的交集、補集運算，屬于基礎題．15．【解析】

將三棱錐置入正方體中，利用正方體體對角線為三棱錐外接球的直徑即可得到答案.【詳解】由已知，將三棱錐置入正方體中，如圖所示，，故正方體體對角線長為，所以外接球半徑為，其體積為.故答案為：.本題考查三棱錐外接球的體積問題，一般在處理特殊幾何體的外接球問題時，要考慮是否能將其置入正（長）方體中，是一道中檔題.16．【解析】

設，判斷為偶函數(shù)，考慮x>0時，的解析式和零點個數(shù),利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性,作函數(shù)大致圖象，即可得到的范圍.【詳解】設，則在是偶函數(shù)，當時，，由得，記，，，故函數(shù)在增，而，所以在減，在增，，當時，，當時，，因此的圖象為因此實數(shù)的取值范圍是.本題主要考查了函數(shù)的零點的個數(shù)問題，涉及構造函數(shù)，函數(shù)的奇偶性，利用導數(shù)研究函數(shù)單調性，考查了數(shù)形結合思想方法，以及化簡運算能力和推理能力，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）x22+y2【解析】

（1）根據(jù)橢圓的幾何性質可得到a2，b2；（2）聯(lián)立直線和橢圓，利用弦長公式可求得弦長AB，利用點到直線的距離公式求得原點到直線l的距離，從而可求得三角形面積，再用單調性求最值可得值域．【詳解】（1）因為兩焦點與短軸的一個頂點的連線構成等腰直角三角形，所以a=2又由右準線方程為x=2，得到a2解得a=2,c=1，所以所以，橢圓C的方程為x2（2）①設B(x1,y1∵ON=6因為點B,N都在橢圓上，所以x122+y12所以OB=x②由原點O到直線l的距離為1，得|m|1+k2聯(lián)立直線l的方程與橢圓C的方程：y=kx+mx2設A(x1,y1OA=(1+k2)所以k△OAB的面積S==1因為S=2λ(1-λ)在[并且當λ=45時，S=225所以△OAB的面積S的范圍為[10圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：(1)幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：①利用判別式來構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．18．（1），；（2）【解析】試題分析：（1）由消去參數(shù)，可得的普通方程，由可得的普通方程；（2）設為曲線上一點，點到曲線的圓心的距離，結合可得最值，的最大值為，從而得解.試題解析：（1）的普通方程為.∵曲線的極坐標方程為，∴曲線的普通方程為，即.（2）設為曲線上一點，則點到曲線的圓心的距離.∵，∴當時，d有最大值.又∵P，Q分別為曲線，曲線上動點，∴的最大值為.19．（1）；（2）【解析】

（1）利用互化公式，將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，得出曲線與極軸所在直線圍成的圖形是一個半徑為1的圓周及一個兩直角邊分別為1與的直角三角形，即可求出面積；（2）聯(lián)立方程組，分別求出和的坐標，即可求出.【詳解】解：（1）由于的極坐標方程為，根據(jù)互化公式得，曲線的直角坐標方程為：當時，，當時，，則曲線與極軸所在直線圍成的圖形，是一個半徑為1的圓周及一個兩直角邊分別為1與的直角三角形，∴圍成圖形的面積.（2）由得，其直角坐標為，化直角坐標方程為，化直角坐標方程為，∴，∴.本題考查利用互化公式將極坐標方程化為直角坐標方程，以及聯(lián)立方程組求交點坐標，考查計算能力.20．（1）（2）定值為0.【解析】

（1）根據(jù)直線方程求焦點坐標，即得c，再根據(jù)離心率得，（2）先設直線方程以及各點坐標，化簡，再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理代入化簡得結果.【詳解】（1）因為直線過橢圓的右焦點,所以，因為離心率為，所以，（2），設直線，則因此由得