初中數(shù)學(xué)+列代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系+考點(diǎn)梳理及難點(diǎn)突破+課件+人教版（2024）數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)

第三章代數(shù)式考點(diǎn)梳理及難點(diǎn)突破2.3.1列代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系第一課時(shí)代數(shù)式●

考點(diǎn)清單解讀●

重難題型突破●

易錯(cuò)易混分析●

方法技巧點(diǎn)撥■考點(diǎn)一

用字母表示數(shù)意義用字母表示數(shù)，字母和數(shù)一樣可以參與運(yùn)算，可以用式子把數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)明地表示出來(lái)特點(diǎn)①簡(jiǎn)明性：可以把一般的數(shù)量關(guān)系或具有普遍意義的數(shù)量關(guān)系準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明地表述出來(lái)，如加法交換律可寫(xiě)成a＋b＝b＋a②普遍性：數(shù)與字母是特殊與一般的關(guān)系，一個(gè)字母可以表示無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)，如正整數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)，可以用字母

n表示正整數(shù)續(xù)表特點(diǎn)③相對(duì)性：在同一個(gè)問(wèn)題中，同一個(gè)字母應(yīng)表示同一個(gè)量，不同字母應(yīng)表示不同的量，不能混淆④條件性：用字母表示數(shù)，有時(shí)要受一定條件的限制，如字母作分母時(shí)，不能為0注意同一問(wèn)題中，不同的數(shù)或數(shù)量要用不同的字母表示；不同的問(wèn)題中，不同的數(shù)或數(shù)量可以用相同的字母表示；一個(gè)字母表示的數(shù)往往不止一個(gè)，具有任意性，但要受到實(shí)際問(wèn)題的限制歸納總結(jié)（1）用字母表示數(shù)或數(shù)量關(guān)系具有一般性，僅僅是將具體的數(shù)字用字母代替了，但有些時(shí)候，字母的取值也受實(shí)際情況的制約；（2）某些特定的字母表示特定的數(shù)，如π表示圓周率，是一個(gè)常數(shù).典例1

用含字母的式子表示：（1）某產(chǎn)品去年的產(chǎn)量是n件，今年的產(chǎn)量是去年產(chǎn)量的m倍，則今年的產(chǎn)量是__________件；（2）一件衣服原來(lái)賣(mài)x元，現(xiàn)在打九折銷(xiāo)售，則現(xiàn)在是________元；（3）如果長(zhǎng)方形的面積為20cm2，它的寬為xcm，那么它的長(zhǎng)為_(kāi)___cm；（4）n的相反數(shù)是_________.對(duì)點(diǎn)典例剖析

■考點(diǎn)二

代數(shù)式定義用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子稱(chēng)為代數(shù)式.單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母也是代數(shù)式舉例x+y，a+6，，ab，8m+9n,，a，1等都是代數(shù)式代數(shù)式意義代數(shù)式的意義就是將代數(shù)式中的字母及運(yùn)算符號(hào)賦予具體的含義，如3x-2y的意義就是x的3倍與y的

2倍的差續(xù)表代數(shù)式的書(shū)寫(xiě)①表示字母與字母或者數(shù)與字母相乘，乘號(hào)“×”通常寫(xiě)作“·”或者省略不寫(xiě)，如a×b可以寫(xiě)成a·b或ab②省略乘號(hào)時(shí)應(yīng)把數(shù)字寫(xiě)在字母的前面，如一般不寫(xiě)成a×6，要寫(xiě)成6a或6·a③1或-1和字母相乘時(shí)，1可以省略不寫(xiě)，如1×a可以寫(xiě)成a，-1×a可以寫(xiě)成-a續(xù)表代數(shù)式的書(shū)寫(xiě)④帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)，必須把帶分?jǐn)?shù)先化成假分?jǐn)?shù)，如2a應(yīng)寫(xiě)成a⑤在除法算式中，通常寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式，被除數(shù)作分子，除數(shù)作分母，如b÷a寫(xiě)成⑥式子后面若有單位，且式子是和差的形式，應(yīng)用括號(hào)把式子括起來(lái)，如（2m+3n）元；若式子是積或商的形式，則在式子后面直接寫(xiě)單位，如2m元，

m等

歸納總結(jié)

（1）運(yùn)算符號(hào)指的是“＋”“－”“×”“÷”等，“＞”“＜”“＝”“≠”均不是運(yùn)算符號(hào)，含有這些符號(hào)的式子均不是代數(shù)式；

（2）指出代數(shù)式的意義除靈活運(yùn)用和、差、積、商等詞語(yǔ)外,還要注意倒數(shù)、相反數(shù)等詞語(yǔ)的運(yùn)用，最后注意運(yùn)算順序.

對(duì)點(diǎn)典例剖析

［答案］D■考點(diǎn)三

列代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系含義列代數(shù)式就是把問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系用含有數(shù)、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來(lái).簡(jiǎn)言之，就是把用文字語(yǔ)言敘述的數(shù)量關(guān)系翻譯成代數(shù)式方法（1）抓關(guān)鍵性詞語(yǔ)：比如：多、少、和、差、積、商、增加、減少、擴(kuò)大、縮小等都是常用的表示數(shù)量關(guān)系的詞語(yǔ)，要掌握好它們和運(yùn)算之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系續(xù)表方法（2）理清運(yùn)算順序，一般是先讀先寫(xiě).如：a的平方與b

的平方的和，順序是先平方后求和，列代數(shù)式為a2+b2（3）在比較復(fù)雜的問(wèn)題中，要弄清題中數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算順序，正確使用表明運(yùn)算順序的括號(hào)，分出層次，逐步列出代數(shù)式

典例3

下列用代數(shù)式表示“m與

n的差的平方的3倍”，正確的是（

）A．（3m-n）2

B．3（m-n）2C．3m-n2

D．（m-3n）2對(duì)點(diǎn)典例剖析［解題思路］［答案］

B

例1

我們知道，用字母表示的代數(shù)式是具有一般意義的．請(qǐng)仔細(xì)分析下列賦予4a實(shí)際意義的例子中不正確的是（）A．若葡萄的價(jià)格是4元/kg，則4a表示買(mǎi)akg葡萄的金額B．若a表示一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，則4a表示這個(gè)正方形的周長(zhǎng)C．若三角形的底邊長(zhǎng)為3，面積為6a，則4a表示這條邊上的高D．若4和a分別表示一個(gè)兩位數(shù)中的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，則4a表示這個(gè)兩位數(shù)［答案］

D［解析］A，B，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)中若4和a分別表示一個(gè)兩位數(shù)中的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，則40+a表示這個(gè)兩位數(shù)，此選項(xiàng)錯(cuò)誤.變式衍生1

請(qǐng)為代數(shù)式6x+3y

賦予一個(gè)實(shí)際意義.

解：代數(shù)式6x+3y的意義可以是一支鋼筆

x元，一支鉛筆y元，小紅買(mǎi)了6支鋼筆和3支鉛筆，共付了（6x+3y）元錢(qián).（答案不唯一）解題通法

代數(shù)式的實(shí)際意義就是將代數(shù)式中的字母及運(yùn)算符號(hào)賦予具體的含義.代數(shù)式要與實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系保持一致.

例2

某地居民生活用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：若每月用水量不超過(guò)

10m3，則收費(fèi)為a元/m3；若超過(guò)10m3，則超過(guò)部分收費(fèi)為（a+1.5）元/m3，該地區(qū)某用戶(hù)上月用水量為16m3，則該用戶(hù)應(yīng)繳水費(fèi)為（

）A．10a元

B．16a元C．16（a+1.5）元

D．［10a+6（a+1.5）］元［解析］因?yàn)?6m3中，前10m3的單價(jià)為a元/m3，后面6m3的單價(jià)為（a+1.5）元/m3，所以應(yīng)繳水費(fèi)為［10a+6（a+1.5）］元.［答案］

D變式衍生2

若原價(jià)為a元的書(shū)包，提高20%后再打八折出售，則現(xiàn)售價(jià)為_(kāi)________元．0.96a解題通法

解答此類(lèi)問(wèn)題需將實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為用文字語(yǔ)言表示的數(shù)量關(guān)系，再用字母列代數(shù)式.■列代數(shù)式時(shí)漏掉括號(hào)例

“a的2倍與b的差的平方”用代數(shù)式表示，正確的是（

）A．（a-2b）2

B．2（a-b）2

C．2a-b2

D．（2a-b）2［解析］［答案］

D［易錯(cuò)］

C［錯(cuò)因］

寫(xiě)代數(shù)式時(shí)，遺漏括號(hào).易錯(cuò)警示

當(dāng)乘、除、乘方對(duì)和或差作用時(shí)，要加上括號(hào)，避免計(jì)算失誤.領(lǐng)悟提能

根據(jù)敘述列代數(shù)式時(shí)，要認(rèn)真審題，抓關(guān)鍵詞語(yǔ)，如“除”與“除以”“平方的差（或平方差）”與“差的平方”等詞義的區(qū)分，再根據(jù)題意列出代數(shù)式．第二課時(shí)反比例關(guān)系●

考點(diǎn)清單解讀●

重難題型突破●

易錯(cuò)易混分析■考點(diǎn)

反比例關(guān)系意義兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，一個(gè)量變化，另一個(gè)量也隨著變化，且這兩個(gè)量的乘積一定，這兩個(gè)量就叫作成反比例的量，它們之間的關(guān)系叫作反比例關(guān)系字母表達(dá)如果用字母x和y表示兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的積（k是一個(gè)確定的值，且k≠0），反比例關(guān)系可以用xy=k或y=來(lái)表示，其中k叫作比例系數(shù)續(xù)表與正比例關(guān)系比較正比例關(guān)系：變化方向相同，一個(gè)量擴(kuò)大（縮?。?，另一個(gè)量也擴(kuò)大（縮?。?相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)量的比值（商）一定反比例關(guān)系：變化方向相反，一個(gè)量擴(kuò)大（縮?。硪粋€(gè)量反而縮?。〝U(kuò)大）.相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)量的積一定續(xù)表舉例單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)（一定）單價(jià)和數(shù)量是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，單價(jià)變化，數(shù)量也隨著變化.當(dāng)單價(jià)和對(duì)應(yīng)數(shù)量的積總是一定（也就是總價(jià)一定）時(shí)，我們就稱(chēng)單價(jià)和購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量成反比例關(guān)系，單價(jià)和購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量是成反比例的量續(xù)表拓展已知反比例關(guān)系，求其中一個(gè)量：根據(jù)兩個(gè)量之間的反比例關(guān)系，設(shè)出形如xy=k或y=（k一定）的代數(shù)式，再由已知條件求出k值，最后將已知的量代入式子從而求出另一個(gè)量歸納總結(jié)判斷兩個(gè)量成正比例關(guān)系還是反比例關(guān)系的方法：典例下面各題中兩個(gè)量成反比例關(guān)系的是（

）①圓錐的體積V一定，它的底面積

S和高h(yuǎn)；②加工零件的總時(shí)間T一定，加工一個(gè)零件的時(shí)間t和加工零件的總個(gè)數(shù)x；③圓的周長(zhǎng)C一定，圓周率π和這個(gè)圓的直徑d；④比的前項(xiàng)a一定，比的后項(xiàng)b和比值c.A．①②③

B．①③④C．②③④

D．①②④對(duì)點(diǎn)典例剖析

［答案］

D

例

給一間房子鋪地磚，每塊地磚的面積S和所需地磚的數(shù)量x如下表：（1）每塊地磚的面積和所需地磚數(shù)量有什么關(guān)系？（2）若每塊地磚的面積是0.5m2，需要多少塊地磚？每塊地磚的面積/m20.20.30.40.60.8…所需地磚數(shù)量/塊30020015010075…［解析］（1）根據(jù)每塊地磚的面積×需要的塊數(shù)=鋪地面積，算出每一組對(duì)應(yīng)數(shù)量的乘積一定，從而進(jìn)行判斷；（2）將（1）中數(shù)量關(guān)系用式子表示出來(lái)，再把已知數(shù)據(jù)代入進(jìn)行計(jì)算即可.［答案］

解：（1）0.2×300=60，0.3×200=60，150×0.4=60，…所以每塊地磚的面積×需要的塊數(shù)=鋪地面積（一定），所以每塊地磚的面積和所需地磚的數(shù)量成反比例關(guān)系；

變式衍生

辦公室買(mǎi)進(jìn)一包白紙，計(jì)劃每天用18張，可以用30天．每天用的張數(shù)與可用天數(shù)成_______

關(guān)系，如果每天只用a張，這包紙實(shí)際能用_______天.反比例

思路點(diǎn)撥

先判斷兩個(gè)量之間是商一定，還是積一定，然后再根據(jù)關(guān)系代入求解．解題通法

解答此類(lèi)問(wèn)題需觀察實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，兩個(gè)數(shù)量成反比例關(guān)系時(shí)，它們的乘積為定值.■混淆正、反比例關(guān)系的概念例

下面各選項(xiàng)中，成反比例關(guān)系的是（

）A．路程一定，速度和時(shí)間B．時(shí)間一定，路程和速度C．單價(jià)一定，總價(jià)和數(shù)量D．?dāng)?shù)量一定，總價(jià)和單價(jià)［解析］選項(xiàng)關(guān)系判斷A速度×?xí)r間=路程（一定）速度和時(shí)間成反比例關(guān)系B