人教版數(shù)學(xué)九年級下冊教案-27.2.1-第4課時-兩角分別相等的兩個三角形相似

27.2.1相似三角形的判定?第4課時兩角分別相等的兩個三角形相似1．理解“兩角分別相等的兩個三角形相似”的含義，能分清條件和結(jié)論，并能用文字、圖形和符號語言表示；(重點）2.會運用“兩角分別相等的兩個三角形相似”判定兩個三角形相似,并解決簡單的問題.(難點)一、情境導(dǎo)入與同伴合作，一人畫△ＡBC,另一人畫△A′B′C′，使得∠Ａ和∠A′都等于給定的∠α，∠B和∠B′都等于給定的∠β，比較你們畫的兩個三角形,∠C與∠C′相等嗎?對應(yīng)邊的比eq\ｆ(AB,A′B′)，eq＼f(AC，A′C′),eq\f(BC,B′Ｃ′)相等嗎？這樣的兩個三角形相似嗎？和同學(xué)們交流．二、合作探究探究點：兩角分別相等的兩個三角形相似【類型一】利用判定定理證明兩個三角形相似如圖，在等邊△ABC中,D為BC邊上一點,Ｅ為ＡＢ邊上一點，且∠ADE＝60°．(１)求證：△ABＤ∽△DCE;(２)若ＢD=3,CE＝2,求△ABC的邊長．解析：(１)由題有∠B=∠C＝60°，利用三角形外角的知識得出∠BAD=∠CＤE,即可證明△AＢＤ∽△ＤCE；（２)根據(jù)△ＡBD∽△DCE,列出比例式，即可求出△ＡBC的邊長．(1)證明:在△AＢD中，∠ADC＝∠B+∠BＡD,又∠ＡDC＝∠AＤＥ＋∠EDC,而∠B=∠ADＥ＝60°，∴∠BAD=∠CＤE.在△ABD和△DＣE中，∠BAD=∠CDE，∠B=∠C＝60°，∴△ＡＢD∽△DCE;(2）解:設(shè)AB=ｘ，則DC＝x-３,由△ABD∽△DCE,∴eq＼f（AB，DC）=eｑ＼f(BD，DＥ）,∴eq\f(x，x－３)＝eｑ\f(3,2)，∴ｘ=9.即等邊△AＢC的邊長為9.方法總結(jié):本題主要是利用“兩角分別相等的兩個三角形相似”,解答此題的關(guān)鍵是利用三角形的外角的知識得出角相等.變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第5題【類型二】添加條件證明三角形相似如圖,在△ABＣ中,D為ＡB邊上的一點,要使△ＡBC∽△ＡED成立，還需要添加一個條件為＿_____＿＿___＿．解析:∵∠ABC=∠ＡＥD,∠A=∠Ａ，∴△AＢC∽△AED，故添加條件∠ＡBC＝∠AED即可求得△AＢC∽△ＡED.同理可得∠ADＥ=∠C或∠AEＤ=∠B或ｅq\f(AＤ，AＣ)=eｑ\f(AE,AＢ)可以得出△ABＣ∽△AＥD．故答案為∠ＡDE=∠Ｃ或∠AＥＤ＝∠B或eq＼f(AＤ,AC）=ｅq\ｆ(AE,AＢ)．方法總結(jié)：熟練掌握相似三角形的各種判定方法是解題關(guān)鍵.變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第3題【類型三】相似三角形與圓的綜合應(yīng)用如圖，ＡB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，CＤ⊥ＡＢ于點D，交AE于點Ｇ,弦CE交AB于點F,求證:AC2＝AG·AE.解析:延長CG，交⊙O于點M，連接AＭ，根據(jù)圓周角定理，可證明∠ＡCＧ＝∠Ｅ,根據(jù)相似三角形的判定定理，可證明△CAG∽△EAC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例,可得出結(jié)論．證明：延長ＣG，交⊙O于點M，連接ＡM,∵AB⊥CM,∴eq\o(AC，\s\uｐ８(︵）)=eq\o(AM，＼ｓ\uｐ８（︵)），∴∠ACG=∠Ｅ，又∵∠CAG=∠EＡC,∴△CAＧ∽△EAC,∴ｅq＼f(AC,ＡE)=eｑ\ｆ（AG，AＣ),∴AＣ2＝ＡG·AE.方法總結(jié):相似三角形與圓的知識綜合時,往往要用到圓的一些性質(zhì)尋找角的等量關(guān)系證明三角形相似.變式訓(xùn)練:見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第3題【類型四】相似三角形與四邊形知識的綜合如圖，在?ABCD中,過點B作ＢE⊥ＣD，垂足為E，連接AE,F為AＥ上一點,且∠BFE＝∠C.若ＡＢ＝８，BE＝6，ＡD=7,求BＦ的長.解析:可通過證明∠ＢAF＝∠ＡＥD，∠AFＢ=∠Ｄ，證得△ABF∽△EＡD，可得出關(guān)于AＢ,AＥ,AD,BF的比例關(guān)系．已知ＡD，ＡB的長，只需求出AE的長即可．可在直角三角形ABE中用勾股定理求出AE的長，進而求出BF的長．解：在平行四邊形AＢＣD中,∵AB∥CD,∴∠BＡF＝∠AEＤ．∵∠AFＢ+∠BＦＥ＝18０°，∠Ｄ+∠C＝18０°,∠BＦE＝∠C,∴∠AFB＝∠D,∴△ABＦ∽△EＡD.∵BＥ⊥CＤ，AＢ∥CＤ,∴BE⊥AB,∴∠ＡBE＝9０°，∴AE=eq\r(ＡＢ2+BＥ2)＝eｑ\r(８2＋62)＝1０.∵△AＢF∽△EAD，∴eq＼f(BF,AD)=ｅｑ＼f(AB,AE)，∴eq\f(ＢF,７)＝eq\f(８,１0）,∴ＢＦ=5.６.方法總結(jié)：相似三角形與四邊形知識綜合時,往往要用到平行四邊形的一些性質(zhì)尋找角的等量關(guān)系證明三角形相似.變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第7題【類型五】相似三角形與二次函數(shù)的綜合如圖,在△ABC中,∠C＝90°,BC＝5m，AB＝１0m.M點在線段CA上,從C向A運動,速度為１m/s;同時N點在線段AB上，從A向B運動,速度為２m／s.運動時間為ts．(1)當(dāng)t為何值時，△AＭN的面積為6ｍ2?（２)當(dāng)t為何值時，△ＡMN的面積最大？并求出這個最大值.解析:(１)作NH⊥ＡC于H，證得△ＡＮH∽△AＢC,從而得到比例式,然后用t表示出ＮH，根據(jù)△ＡMN的面積為6m2,得到關(guān)于t的方程求得t值即可;(2）根據(jù)三角形的面積計算得到有關(guān)ｔ的二次函數(shù)求最值即可.解:(１)在Rt△ABC中,∵AB２=BC2＋ＡC２,∴AC=5eｑ\r(3）m.如圖，作NＨ⊥ＡＣ于H,∴∠NHA＝∠C＝90°,∵∠A是公共角,∴△NHＡ∽△BCA,∴eq\ｆ(ＡN,ＡB)＝eq＼ｆ(NH,BＣ)，即eq\f（2ｔ,10)=ｅｑ\f（NＨ，5),∴NＨ=ｔ,∴S△ＡMN=eｑ\f（1,2)t(５eq＼ｒ(3）－t)=6,解得t1=eq\r(3），t2＝４eq＼ｒ(3）（舍去),故當(dāng)ｔ為eq＼r(３)秒時，△AMN的面積為6m2.(２)S△ＡMN＝eq\ｆ(1，2)ｔ(５eq\r(3)-ｔ）=－eq\f(1,2)（ｔ２－５eq\r(3)t+eq\ｆ（75,4）)+ｅq\f(７5,2)=-ｅq＼f(１,2)（ｔ-eq\ｆ(5\ｒ(３），2)）2＋eq＼f(7５，2），∴當(dāng)t＝ｅq＼f（5＼r(3）,2)時，S最大值＝eq＼f(75，2)ｍ2.方法總結(jié):解題的關(guān)鍵是根據(jù)證得的相似三角形得到比例式,從而解決問題.三、板書設(shè)計１.三角形相似的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似；2．應(yīng)用