2021年浙江省寧波市(初三學(xué)業(yè)水平考試)中考數(shù)學(xué)真題試卷含詳解

浙江省寧波市2021中考數(shù)學(xué)試卷

試卷卷I

一、選擇題（每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）

1.在-3,-1,0,2這四個數(shù)中，最小的數(shù)是（)

A.-3B.-1C.0D.2

2.計算6?.（一a）的結(jié)果是（）

22

A.aB.-aC./D.-a

3.2021年5月15日，“天問一號”著陸巡視器成功著陸于火星烏托邦平原，此時距離地球約320000000千米.數(shù)

320000000科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.32xl07B.3.2xlO8C.3.2xlO9D.0.32xlO9

4.如圖所示的幾何體是由一個圓柱和一個長方體組成的，它的主視圖是（）

C.D.

［I，］

5.甲、乙、丙、丁四名射擊運動員進行射擊測試，每人10次射擊成績的平均數(shù)［（單位：環(huán)）及方差S?（單位：

環(huán)2）如下表所示：

甲乙丙T

X9899

s21.60.830.8

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的運動員參加比賽，應(yīng)選擇（）

A.甲B.乙C.丙D.T

6.要使分式」一有意義，x的取值應(yīng)滿足（）

x+2

A.xwOB.xw-2C.x＞-2D.x＞-2

7.如圖，在ABC中，/5=45。,/。=60。,4。_13。于點￡）,BD=6若E,F分別為AS,6c的中點,

C.1V6

2

8.我國古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清灑一斗直粟十斗，醋酒一斗直粟三斗.今持粟三斛，得酒五

斗，問清、晶酒各幾何？”意思是：現(xiàn)在一斗清酒價值10斗谷子，一斗酷酒價值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共

換了5斗酒，問清酒、醋酒各幾斗？如果設(shè)清酒x斗，醋酒），斗，那么可列方程組為（）

x+y=30x+y=30

x+y=5x+y=5

C.D,<

10x+3y=303x+10y=30-x-nJ---=5—I=5

1103310

=々（幺＜0）的圖象相交于A,8兩點，點B的橫坐

9.如圖，正比例函數(shù)y（匕＜0）的圖象與反比例函數(shù)必

標為2,當y＞必時，x的取值范圍是（）

B.-2<x<0或x>2

C.x<-2或0cx<2D.-2<x<0或0<x<2

10.如圖是一個由5張紙片拼成的.ABCD,相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙，其中兩張等腰直角三角形紙片的面

積都為S1,另兩張直角三角形紙片的面積都為S?,中間一張矩形紙片瓦G"的面積為S3,FH與GE相交于點

O.當AEO?BFO,CGO,的面積相等時，下列結(jié)論一定成立的是（）

c.AB^ADD.EH=GH

試卷卷n

二、填空題（每小題5分，共30分）

11.-5的絕對值是.

2

12.分解因式：%-3X=.

13.一個不透明的袋子里裝有3個紅球和5個黑球，它們除顏色外其余都相同.從袋中任意摸出一個球是紅球的概

率為.

14.抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.如示意圖，AC,6。分別與。相切于點C,

D,延長AC,3。交于點P.若=120。，的半徑為6cm,則圖中CO的長為cm.（結(jié)果保留》）

15.在平面直角坐標系中，對于不在坐標軸上的任意一點A（x,y）,我們把點8稱為點4的“倒數(shù)點”.如

\xy）

2

圖，矩形OC0E的頂點C為（3,0）,頂點E在y軸上，函數(shù)y=-（x＞0）的圖象與交于點A.若點8是點A

X

的“倒數(shù)點”，且點8在矩形OC￡＞后的一邊上，貝IJ06c的面積為.

16.如圖，在矩形ABCD中，點E在邊上，ABEC與一FEC關(guān)于直線EC對稱,點B的對稱點F在邊AO上,

G為C￡＞中點，連結(jié)BG分別與CE,CT交于N兩點,若BM=BE,MG=1,則BN

的長為,sinNAEE的值為

三、解答題(本大題有8小題，共80分)

17.(1)計算：(l+a)(l-a)+(a+3)2.

圖1圖2

(1)在圖1中畫出以A8為邊且周長為無理數(shù)的.ABCD,且點C和點。均在格點上(畫出一個即可).

(2)在圖2中畫出以AB為對角線的正方形且點E和點F均在格點上.

19.如圖，二次函數(shù)y=(x—l)(x—。)(。為常數(shù))的圖象的對稱軸為直線x=2.

(1)求a的值.

(2)向下平移該二次函數(shù)的圖象，使其經(jīng)過原點，求平移后圖象所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達式.

20.圖1表示的是某書店今年1~5月的各月營業(yè)總額的情況，圖2表示的是該書店“黨史”類書籍的各月營業(yè)額占

書店當月營業(yè)總額的百分比情況.若該書店1~5月的營業(yè)總額一共是182萬元，觀察圖1、圖2,解答下列向題：

(1)求該書店4月份的營業(yè)總額，并補全條形統(tǒng)計圖.

(2)求5月份“黨史”類書籍的營業(yè)額.

(3)請你判斷這5個月中哪個月“黨史”類書籍的營業(yè)額最高，并說明理由.

21.我國紙傘的制作工藝十分巧妙.如圖1,傘不管是張開還是收攏，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的

角N54C,且AB=4C,從而保證傘圈。能沿著傘柄滑動.如圖2是傘完全收攏時傘骨的示意圖，此時傘圈。已

滑動到點次的位置，且4,B,次三點共線，4D'=40cm,8為中點，當/R4C=140°時，傘完全張開.

(1)求AB長.

(2)當傘從完全張開到完全收攏，求傘圈。沿著傘柄向下滑動的距離.(參考數(shù)據(jù)：

sin70°?094,cos70°之0.34,tan70°?2.75)

22.某通訊公司就手機流量套餐推出三種方案，如下表：

A方案8方案C方案

每月基本費用(元)2056266

每月免費使用流量（兆）1024m無限

超出后每兆收費（元）nn

A,B,C三種方案每月所需的費用y（元）與每月使用的流量x（兆）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

（1）請直接寫出孫〃的值.

（2）在A方案中，當每月使用的流量不少于1024兆時，求每月所需的費用y（元）與每月使用的流量x（兆）之

間的函數(shù)關(guān)系式.

（3）在這三種方案中，當每月使用的流量超過多少兆時，選擇C方案最劃算？

(1)如圖1,為ABC角平分線，ZAZX7=60°,點E在AB上，AE=AC.求證：平分NAZ5B.

【思考探究】

（2）如圖2,在（1）的條件下，尸為A8上一點，連結(jié)fC交AO于點G.若FB=FC,DG=2,CD=3,求

BO的長.

拓展延伸】

⑶如圖3,在四邊形43CD中，對角線AC平分N84r>,NBC4=2NOC4,點E在AC上，NEDC=ZABC若

BC=5,CD=2瓜AD=2AE,求AC的長.

24.如圖1,四邊形ABC。內(nèi)接于O,BO為直徑，AO上存在點￡滿足AE=CZ)，連結(jié)BE并延長交C￡)的

延長線于點尸，BE與AD交于懸G.

(1)若NDBC=a,請用含&的代數(shù)式表列NAG8.

(2)如圖2,連結(jié)CE,CE=8G.求證；EF=DG.

(3)如圖3,在(2)條件下，連結(jié)CG,AT>=2.

①若tanZ.ADB=,求_FGD的周長.

2

②求CG的最小值.

浙江省寧波市2021中考數(shù)學(xué)試卷

試卷卷I

一、選擇題（每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）

1.在-3,-1,0,2這四個數(shù)中，最小的數(shù)是（）

A.-3B.-1C.0D.2

【答案】A

【分析】畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上標出各點，再根據(jù)數(shù)軸的特點進行解答即可.

【詳解】這四個數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：

?I，I，41▲II?>

_S-4-2-101244s

由數(shù)軸的特點可知，這四個數(shù)中最小的數(shù)是-3.

故選A.

2.計算/.（一的結(jié)果是（）

224

A.aB.-aC.aD.—/

【答案】D

【分析】根據(jù)單項式乘以單項式和同底數(shù)募的運算法則解答即可.

【詳解】解：原式=-?4-

故選：D

【點睛】本題考查了整式的乘法，屬于基礎(chǔ)題目，熟練掌握運算法則是關(guān)鍵.

3.2021年5月15日，“天問一號”著陸巡視器成功著陸于火星烏托邦平原，此時距離地球約320000000千米.數(shù)

320000000科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.32xl07B.3.2xlO8C.3.2xlO9D.0.32xlO9

【答案】B

【分析】科學(xué)記數(shù)法的形式是：ax10",其中14時<10,〃為整數(shù).所以a=3.2,〃取決于原數(shù)小數(shù)點的移動

位數(shù)與移動方向，時是小數(shù)點的移動位數(shù)，往左移動，”為正整數(shù)，往右移動，”為負整數(shù).本題小數(shù)點往左移動

到3的后面，所以〃=8.

【詳解】解：320000000=3.2xlO8.

故選：B.

【點睛】本題考查的知識點是用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)，關(guān)鍵是在理解科學(xué)記數(shù)法的基礎(chǔ)上確定好。，〃的

值，同時掌握小數(shù)點移動對一個數(shù)的影響.

4.如圖所示的幾何體是由一個圓柱和一個長方體組成的，它的主視圖是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)主視圖是從物體的正面看到的圖形解答即可.

【詳解】解：由于圓柱的主視圖是長方形，長方體的主視圖是長方形，所以該物體的主視圖是：

故選：C.

【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，屬于?？碱}型，熟知主視圖是從物體的正面看到的圖形是解題關(guān)鍵.

5.甲、乙、丙、丁四名射擊運動員進行射擊測試，每人10次射擊成績的平均數(shù)［（單位：環(huán)）及方差S?（單位：

環(huán)2）如下表所示：

甲乙丙T

X9899

S21.60.830.8

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的運動員參加比賽，應(yīng)選擇（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】D

【分析】結(jié)合表中數(shù)據(jù)，先找出平均數(shù)最大的運動員；再根據(jù)方差的意義，找出方差最小的運動員即可.

【詳解】解：選擇一名成績好的運動員，從平均數(shù)最大的運動員中選取，

由表可知，甲，丙，丁的平均值最大，都是9,

二從甲，丙，丁中選取，

???甲的方差是1.6,丙的方差是3,丁的方差是0.8,

.,.S~yS~9<S2z,,

.??發(fā)揮最穩(wěn)定的運動員是丁，

從中選擇一名成績好又發(fā)揮穩(wěn)定的運動員參加比賽，應(yīng)該選擇丁.

故選：D.

【點睛】本題重點考查方差的意義.方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越

大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動

越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.

6.要使分式」一有意義，x的取值應(yīng)滿足（）

x+2

A.xwOB.xw-2C.x>-2D.x>-2

【答案】B

【分析】由分式有意義，分母不為零，再列不等式，解不等式即可得到答案.

【詳解】解：分式」一有意義，

x+2

x+2wO,

xw—2.

故選：B.

【點睛】本題考查的是分式有意義的條件，掌握“分式有意義，則分母不為零”是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在ABC中，NB=45°,NC=60°,AOJ.8C于點BD=#）.若E,尸分別為AB.8c的中點，

則族的長為（）

A.BB.?C.1D.如

322

【答案】C

【分析】根據(jù)條件可知△48。為等腰直角三角形，DU]BD=AD,是30°、60°的直角三角形，可求出AC長,

Ar

再根據(jù)中位線定理可知EF=—0

2

【詳解】解:因為A。垂直8C,

則△A8D和△AC。都是直角三角形，

又因為ZB=45°,NC=60°,

所以A￡>=BO=G，

因為sin/C=4^=1,

AC2

所以AC=2,

因為EF為AABC的中位線，

所以EF=---=1,

2

故選：C.

【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形、銳角三角形函數(shù)值、中位線相關(guān)知識，根據(jù)條件分析利用定理推導(dǎo)，是

解決問題的關(guān)鍵.

8.我國古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清灑一斗直粟十斗，酷酒一斗直粟三斗.今持粟三斛，得酒五

斗，問清、醋酒各幾何？”意思是：現(xiàn)在一斗清酒價值10斗谷子，一斗醋酒價值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共

換了5斗酒，問清酒、酷酒各幾斗？如果設(shè)清酒x斗，酷酒），斗，那么可列方程組為（）

x+y=30x+y=30

x+y=5x+y=5

C.%+丁—SD.

10x+3y=303x+10),=30---1——J—=5

11031310

【答案】A

【分析】根據(jù)“現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒”，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組，此題得解.

x+y=5

詳解】解：依題意，得：，八，“.

[10x+3y=30

故選：A.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組和數(shù)學(xué)常識，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解

題的關(guān)鍵.

9.如圖，正比例函數(shù)X=%押（仁<0）的圖象與反比例函數(shù)%A,8兩點，點8的橫坐

標為2,當X>%時，x的取值范圍是（）

B.-2<x<0或x>2

C.x<—2或0<x<2D.一2cx<0或0<x<2

【答案】c

【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到點A的橫坐標為-2,利用函數(shù)圖象即可確定答案.

【詳解】解：?.?正比例函數(shù)與反比例函數(shù)都關(guān)于原點對稱，

:.點4與點8關(guān)于原點對稱，

?點B的橫坐標為2,

:.點A的橫坐標為-2,

§的<0）的圖象

由圖象可知，當x<—2或0<x<2時，正比例函數(shù)x=《r（K<0）的圖象在反比例函數(shù)%=

的上方,

...當x<-2或0<x<2時，X〉乂,

故選：C.

【點睛】

此題考查正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)及相交問題，函數(shù)值的大小比較，正確理解圖象是解題的關(guān)鍵.

10.如圖是一個由5張紙片拼成的.ABCD,相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙，其中兩張等腰直角三角形紙片的面

積都為另兩張直角三角形紙片的面積都為$2，中間一張矩形紙片EFG”的面積為S,,FH與GE相交于點

。.當AEO,.BFO,CGO,DHO的面積相等時，下列結(jié)論一定成立的是（）

A.S,=S2B.S]=53C.AB=ADD.EH=GH

【答案】A

【分析】根據(jù)和ABCG是等腰直角三角形，四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形HEFG是矩形可得出

AE=DE=BG=CG=a、HE=GF,GH=E￡點O是矩形”EFG的中心，設(shè)AE=DE=BG=CG=a,HE=GF=b,GH=EF=

c,過點。作。P_LE尸于點P,OQJ_G尸于點Q,可得出OP,OQ分別是△"/后和^EG尸的中位線，從而可表示。P,

。。的長，再分別計算出S，S：進行判斷即可

【詳解】解：由題意得，△AE。和△2CG是等腰直角三角形，

ZADE=ZDAE=ZBCG=ZGBC=45°

:四邊形4BC。是平行四邊形，

：.AD=BC,CD=AB,NADC=NABC,ZBAD=ZDCB

：.ZHDC=ZFBA,NDCH=NBAF,

:.△AED沿XCGB、△CDH/ABF

：.AE=DE=BG=CG

「四邊形”￡FG是矩形

:.GH=EF、HE=GF

設(shè)AE=DE=BG=CG=a,HE=GF=b,GH=EF=c

過點。作OPLEF于點P.OQLGF于點。，

Z.OP!/HE,OQ//EF

???點O是矩形HEFG的對角線交點，即"F和EG的中點,

J.OP,。。分別是“"E和AEG尸的中位線，

AOP^-HE^-b,OQ^-EF--c

2222

V=^BF.OQ=^a-h)x^c=^a-b)c

SMOE=2AEQP=-ax-^h=—ah

一q-c

?JRBOF_U&4OE

/.—(a-b)c--ab,即ac-bc—ab

44

而S|=S11AED=2AE?DE=5,

11121212

S?=SMFB=—AF?BF=—(Q+C)(Q—b)=—(Q~—ctb+etc—he)=一(礦一cih+ab)=—a"

222

所以，S,=S2,故選項4符合題意,

S『HE?EF-(a-b)(a+c)=a2-hc-ab+ac=a2+ab-ah=a2

J.S^S.,故選項B不符合題意，

而AB=AD于都不一定成立，故C,。都不符合題意，

故選：A

【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是求出Si,S2,S3之間的關(guān)系.

試卷卷n

二、填空題（每小題5分，共30分）

11.-5的絕對值是.

【答案】5

【分析】根據(jù)絕對值的定義計算即可.

【詳解】解：1-51=5,

故答案為：5.

【點睛】本題考查了絕對值定義，掌握知識點是解題關(guān)鍵.

2

12.分解因式：X-3X=.

【答案】x(x-3)

【詳解】直接提公因式x即可，即原式=x(x-3).

13.一個不透明的袋子里裝有3個紅球和5個黑球，它們除顏色外其余都相同.從袋中任意摸出一個球是紅球的概

率為.

【答案】|

【分析】用紅球的個數(shù)除以球的總個數(shù)即可.

【詳解】解：從袋中任意摸出一個球有8種等可能結(jié)果，其中摸出的小球是紅球的有3種結(jié)果，

所以從袋中任意摸出一個球是紅球概率為9.

8

3

故答案為：I.

O

【點睛】本題主要考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握隨機事件A的概率P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)?所有可

能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).

14.抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.如示意圖，AC,BO分別與.。相切于點C,

D,延長AC,8。交于點P.若/「=120。，。。的半徑為6cm,則圖中CO的長為cm.(結(jié)果保留》)

【答案】2兀

【分析】連接oc、OD,利用切線的性質(zhì)得到NOC尸=NODP=90°,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求得NC8=60。,

再利用弧長公式求得答案.

【詳解】連接OC、OD,

?.?AC,BD分別與。相切于點C,D,

；?NOCP=NOD尸=90°,

,/NP=120。，ZOCP+ZODP+ZP+ZCOD=360°,

/.ZCOD=60°,

,,..60?6c,、

CD的長=ye=力QM，

1oU

故答案為：2兀.

【點睛】此題考查圓的切線的性質(zhì)定理，四邊形的內(nèi)角和，弧長的計算公式，熟記圓的切線的性質(zhì)定理及弧長的計

算公式是解題的關(guān)鍵.

(11A

15.在平面直角坐標系中，對于不在坐標軸上的任意一點A(x,y),我們把點B稱為點A的“倒數(shù)點”.如

yxy)

圖，矩形OCDE的頂點C為(3,0),頂點E在)，軸上，函數(shù)y=-(x>0)的圖象與OE交于點A.若點B是點4

的“倒數(shù)點”，且點3在矩形OCD石的一邊上，貝IJ.06。的面積為.

13

【答案】嚴萬

【分析】根據(jù)題意，點8不可能在坐標軸上，可對點B進行討論分析：①當點8在邊QE上時；②當點B在邊CQ

上時；分別求出點8的坐標，然后求出.OBC的面積即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，

(11、

;點B稱為點A(x,y)的“倒數(shù)點”，

1%y)

二xh0,y70,

，點8不可能在坐標軸上；

2

；點A在函數(shù)y=]（x>0）的圖像上，

21Y

設(shè)點A為（乂一），則點3為（一,大），

xx2

點C為（3,0）,

：.OC=3.

①當點8在邊OE上時；

點A與點8都在邊DE上,

???點A與點3的縱坐標相同，

2x

即一=二，解得：x=2,

x2

經(jīng)檢驗，尤=2是原分式方程的解；

.?.點8為（g,l）,

]3

.06c的面積為：S=-x3xl=-;

22

②當點B在邊CD上時；

點8與點C的橫坐標相同，

=3,解得：X--,

x3

經(jīng)檢驗，x=:是原分式方程的解；

3

二點8為（3,））,

6

?*..OBC的面積為：S——x3x———

264

故答案為：上1或3士.

42

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解分式方程，坐標與圖形等知識，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，運用分類討論的思想進行分析.

16.如圖，在矩形ABC。中，點E在邊A3上，△8￡。與_￡￡。關(guān)于直線EC對稱，點B的對稱點尸在邊AD上,

G為C￡>中點，連結(jié)8G分別與CE.CT7交于MN兩點，若BM=BE,MG=\,則BN的長為.，

sinNAFE的值為

D

【答案】①.2（2）.V2-1

【分析】由△BEC與二EEC關(guān)于直線EC對稱，矩形ABC。,證明BECMEEC,再證明.8CN0_CFD,可得

BN=CD,再求解CD=2,即可得8N的長；先證明.AEES~CBG,可得：—,設(shè)6M=x,則

CGBG

BE=BM=FE=x,BG=x+l,AE=2—x,再列方程，求解X,即可得到答案.

【詳解】解：△BEC與-EEC關(guān)于直線EC對稱，矩形A5C0,

BECgFEC,ZABC=ZADC=ZBCD=90°,

ZEBC=ZEFC=90°,NBEC=ZFEC,BE=FE,BC=FC,

BM=BE,

NBEM=ZBME,

：.NFEC=NBME,

：.EF//MN,

:.ZBNC=ZEFC=9Q°,

：./BNC=NFDC=90。,

"CD=90。，

NNBC+4BCN=90°=4BCN+NDCF,

：.NNBC=NDCF,

：._BCN^CFD,

：.BN=CD、

矩形ABC。,

AB//CD,AD//BC,

：.NBEM=ZGCM,

ZBEM=NBME=ACMG,MG=1,G為CD的中點，

ZGMC=NGCM,

：.CG=MG=\,CD=2,

：.BN=2.

如圖，BM=BE=FE,MN〃EF,四邊形ABC。都是矩形,

AB=CD,AD//BC,ZA=NBCG=90°,ZAEF=NABG,

ZAFE+ZAEF=90°=ZABG+ZCBG,

：.ZAFE=ZCBG,

.aAFES;CBG,

AEEF

■,而一而‘

設(shè)BM-x,則BE-BM=FE-x,BG=x+1,AE—2—x,

2-xx

-,

1---x+1

解得：x=±x/2,

經(jīng)檢驗：x=土正是原方程的根，但X=_起不合題意，舍去,

AE=2-4i,EF=n

sinZAFE=—==>/2—1.

故答案為：2,72-1.

【點睛】本題考查是矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用,

分式方程的解法，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題有8小題，共80分）

17.(1)計算:(l+a)(l-a)+(a+3)2.

..2x+l<9①

（2）解不等式組：、八

3—xK0②

【答案】（1）6a+10；（2）3Vx<4.

【分析】（1）根據(jù)平方差公式和完全平方公式進行多項式乘法，再將結(jié)果合并同類項即可；

（2）先解出①，得到x<4,再解出②，得到xN3,由大小小大中間取得到解集.

【詳解】解:（1）原式=1一/+〃+6。+9

=6。+10

（2）解不等式①，得X<4,

解不等式②，得xN3,

所以原不等式組的解是3<x<4.

【點睛】本題主要考查了整式的混合運算和解不等式組，關(guān)鍵在于平方差公式、完全平方公式以及不等式基本性質(zhì)

圖1圖2

（1）在圖1中畫出以AB為邊且周長為無理數(shù)的.ABCD,且點C和點。均在格點上（畫出一個即可）.

（2）在圖2中畫出以為對角線的正方形且點E和點下均在格點上.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)題意，只要使得AB的鄰邊AO的長是無理數(shù)即可；

（2）如圖，取格點瓜F,連接ER則E尸與A8互相垂直平分且相等，根據(jù)正方形的判定方法，則四邊形

AE8F為所作.

【詳解】.解：(1)如圖四邊形ABC。即為所作，答案不唯一.

【點睛】本題考查了在網(wǎng)格中作特殊四邊形，熟練掌握平行四邊形和正方形的判定方法是準確作圖的關(guān)鍵.

19.如圖，二次函數(shù)y=(x—l)(x—a)(〃為常數(shù))的圖象的對稱軸為直線x=2.

(2)向下平移該二次函數(shù)的圖象，使其經(jīng)過原點，求平移后圖象所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達式.

【答案】⑴。=3；⑵j=

h

【分析】(1)把二次函數(shù)化為一般式，再利用對稱軸：x=-上，列方程解方程即可得到答案；

2a

(2)由(1)得：二次函數(shù)的解析式為：)，=%2-4%+3,再結(jié)合平移后拋物線過原點，則c=0,從而可得平移方

式及平移后的解析式.

【詳解】解：(1)y=(x-1)(%-a)=x2-(1+a)x+a.

：圖象的對稱軸為直線x=2,

。+1-

?y=2,

67=3.

（2）?.，a=3,

二次函數(shù)的表達式為y=f一4%+3,

.?.拋物線向下平移3個單位后經(jīng)過原點,

.?.平移后圖象所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達式為》=尤2一4%.

【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像的平移，熟練掌握

二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.

20.圖1表示的是某書店今年1~5月的各月營業(yè)總額的情況，圖2表示的是該書店“黨史”類書籍的各月營業(yè)額占

書店當月營業(yè)總額的百分比情況.若該書店I~5月的營業(yè)總額一共是182萬元，觀察圖1、圖2,解答下列向題：

（1）求該書店4月份的營業(yè)總額，并補全條形統(tǒng)計圖.

（2）求5月份“黨史”類書籍的營業(yè)額.

（3）請你判斷這5個月中哪個月“黨史”類書籍的營業(yè)額最高，并說明理由.

【答案】（1）45萬元，見解析；（2）10.5萬元；（3）5月份黨史類書籍的營業(yè)額最高，見解析

【分析】（1）用該書店1~5月的營業(yè)總額減去其它4個月的營業(yè)總額即可求出該書店4月份的營業(yè)總額，進而可

補全統(tǒng)計圖；

（2）用5月份的營業(yè)總額乘以折線統(tǒng)計圖中其所占百分比即可；

（3）結(jié)合兩個統(tǒng)計圖可以發(fā)現(xiàn)：在5個月中4、5月份的營業(yè)總額最高，且1~3月份的營業(yè)總額以及“黨史”

類書籍的營業(yè)額占當月營業(yè)總額的百分比都低于4、5月份，故只需比較4、5月份“黨史”類書籍的營業(yè)額即可.

【詳解】解：⑴182-(30+40+25+42)=45(萬元),

答：該書店4月份的營業(yè)總額為45萬元.

補全條形統(tǒng)計圖：

某書店各月營業(yè)總額條形統(tǒng)計圖

答：5月份“黨史”類書籍的營業(yè)額為10.5萬元.

(3)4月份“黨史”類書籍的營業(yè)額為:45x20%=9(萬元).

V10.5>9,且1~3月份的營業(yè)總額以及“黨史”類書籍的營業(yè)額占當月營業(yè)總額的百分比都低于4、5月份，

.??5月份“黨史”類書籍的營業(yè)額最高.

【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖，屬于?？碱}型，讀懂圖象信息、熟練應(yīng)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

21.我國紙傘的制作工藝十分巧妙.如圖1,傘不管是張開還是收攏，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的

角NBAC,且A3=AC,從而保證傘圈。能沿著傘柄滑動.如圖2是傘完全收攏時傘骨的示意圖，此時傘圈。已

滑動到點0c的位置，且A,B,次三點共線，AD'=40cm,B為AD中點，當NB4C=140°時，傘完全張開.

(1)求AB的長.

(2)當傘從完全張開到完全收攏，求傘圈。沿著傘柄向下滑動的距離.(參考數(shù)據(jù)：

sin700工094,cos70°之0.34,tan70°。2.75)

【答案】⑴20cm；(2)26.4cm

【分析】(1)根據(jù)中點的性質(zhì)即可求得；

(2)過點8作AD于點E根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)求出AD=2AE利用角平分線的性質(zhì)求出NBAE

的度數(shù)，再利用三角函數(shù)求出4E,即可得到答案.

【詳解】解：(1)為中點，

AB=-AD',

2

AZ)'=40,

AB=20(cm).

(2)如圖，過點8作于點E.

*/AB=BD,

AD=2AE-

?：AP平分ABAC,ABAC=140°,

AZBAE^-ZBAC^1Q0.

2

在放八鉆石中，A6=20,

AE-AB-cos70°?20x0.34=6.8,

...AD=2A￡=13.6.

???AD'=40,

.*.40-13.6=26.4（cm）,

二傘圈。沿著傘柄向下滑動的距離為26.4cm.

【點睛】此題考查的是解直角三角形的實際應(yīng)用，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，線段中點的性質(zhì)，角平分線的性

質(zhì)，正確構(gòu)建直角三角形解決問題是解題的關(guān)鍵.

22.某通訊公司就手機流量套餐推出三種方案，如下表：

A方案8方案C方案

每月基本費用（元）2056266

每月免費使用流量（兆）1024m無限

超出后每兆收費（元）nn

A,B,C三種方案每月所需的費用y（元）與每月使用的流量x（兆）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

（1）請直接寫出孫〃的值.

（2）在A方案中，當每月使用的流量不少于1024兆時，求每月所需的費用y（元）與每月使用的流量x（兆）之

間的函數(shù)關(guān)系式.

（3）在這三種方案中，當每月使用的流量超過多少兆時，選擇C方案最劃算？

【答案】⑴m=3072,n=0.3；（2）y=0.3x—287.2（x21024）;⑶當每月使用的流量超過3772兆時，選

擇C方案最劃算

【分析】（1）m的值可以從圖象上直接讀取，〃的值可以根據(jù)方案A和方案8的費用差和流量差相除求得；

（2）直接運用待定系數(shù)法求解即可；

（3）計算出方案C圖象與方案8的圖象的交點表示的數(shù)值即可求解.

【詳解】解：⑴“3072,

56-20

n==0.3.

1144-1024

(2)設(shè)函數(shù)表達式為y=丘+匕伏？0),

把(1024,20),(1144,56)代入y=fcr+"得

20=1024)1+b

56=1144〃+。

A:=0.3

解得《

b=—287.2'

.力關(guān)于x的函數(shù)表達式y(tǒng)=0.3x—287.2(x>1024).

(注：x的取值范圍對考生不作要求)

(3)3072+(266—56)+0.3=3772(兆).

由圖象得，當每月使用的流量超過3772兆時，選擇C方案最劃算.

【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想

解答.

23.【證明體驗】

(1)如圖1,為43c的角平分線，NADC=60°,點E在A3上，A￡=AC.求證：DE平分NAD3.

【思考探究】

(2)如圖2,在(1)的條件下，尸為A8上一點，連結(jié)尸C交AD于點G.若=DG=2,CD=3,求

8。的長.

【拓展延伸】

⑶如圖3,在四邊形ABCO中，對角線AC平分N84O,/BC4=2NOC4,點E在AC上，ZEDC^ZABC若

BC=5,CD=2?AD=2AE,求AC的長.

916

【答案】(1)見解析；(2)-；(3);

23

【分析】⑴根據(jù)SAS證明△EAZ運△CW,進而即可得到結(jié)論；

先證明得二一=幺進而即可求解；

(2),EBOsGCD,，

CDDG

(3)在A3上取一點F,使得AF=A￡),連結(jié)。尸，可得_4產(chǎn)。也.ADC,從而得DCE^.BCF,可得

----=，/CED=NBFC,CE=4,最后證明_E4D00DAC,即可求解.

BCCF

【詳解】解：(1)；AD平分NBAC,

/.ZEAD=ZCAD,

?：AE=AC,AD=AD,

EAD^CAD(SAS),

：.ZADE=ZAT>C=60。，

ZEDB=180°-ZAZ)￡-ZADC=60°.

NBDE=/ADE,即DE平分ZADB；

(2),:FB=FC,

：.ZEBD=ZGCD.

ZBDE=NGDC=6U,

：.EBD^,GCD.

.BDDE

''~CD~~DG

,/△￡AD^AC4￡),

DE=DC=3.

<?,DG=2、

9

BD=-；

2

(3)如圖，在AB上取一點F,使得AF=A￡),連結(jié)CF

A

F

El

B’D

：AC平分

:.ZFAC=ZDAC

?：AC=AC.

.?.AFC"AZ)C(&45),

:.CF=CD,ZACF=ZACD,ZAFC=ZADC.

'：ZACF+ZBCF=ZACB=2ZACD,

ZDCE=ZBCF.

■:NEDC=NFBC,

：.DCEsBCF,

NCED=NBFC.

BCCF

BC=5,CF=CD=2非,

CE=4.

?；=1800-NCED=180°—NBFC=NA尸C=NA￡>C,

又：/EAD=/DAC,

：.EAD^DAC

.EAAD_I

,,AD-AC-2

:.AC=4AE,