(數(shù)一)高等數(shù)學(xué)習(xí)題集(含解答)

第一章函數(shù)?極限?連續(xù)

一.填空題

1.設(shè)lim[*]=[te'dt,貝Ua=________.

X—YJJ-X

a

解.可得e"=^te'dt=(te'-e')=ae"-ea,所以a=2.

-00

2.lini-------1—---------F???H—--------

+幾+1〃一+幾+2〃~+〃+幾

n2+n+nn2+n+n

12n12n

----------11----1----------<-----------11----1----------

〃？十九+1--/?2+n4-2fi2+幾十nn2+n+1---------+l/?2+n4-1

.l+2d----Fn12n1+2H----\-n

--2--------V-2----------2--------F…Hz-------<z---------

+〃---〃+〃+1〃+〃+2-------〃+〃+〃n+H+1

n(l+〃)

1+2+???+幾21

-2—j--------->-,(n-8)

n+〃+〃〃+〃+〃2

H(1+n)

1+2d----n21

-------7f-，(n-8)

/J+〃+1〃+〃+12

“I、Ii-\12n\1

所以111T)--------1z--------1-…H--------=一

+i+〃+2〃/+〃+〃)2

業(yè)入fllxl<l

3.已知函數(shù)/(x)=1,一，則f[f(x)]_______.

0lx1>1

解.f[f(x)]=1.

4.lim(V^+3Vn-yjn-yjn)=.

n—>oc

解.lim(Vn4-34n-\n-y/~n)=lim

“T8n-x?

「n+3y/~n-n+4n

=lim—T=-----/??=2

+3Vn+&_4n

1

5.limcotx

xfO

ksinxx

莊”..cosxx-sinx「x-sinx-1-cosx..sinx1

解.Iim--------------=Iim---------=lim--------=lim----=—

x—osinxxsinxx-oX'103x"1°6x6

^99。

6.已知lim------------=A(w0w00),則A=______,k=_______.

“—8n—(〃一1)

19901990

解.lim—'------r=lim———二A

ms幾-(n-1)8kn+???

所以k-1=1990.k=891;A,A='=^―

kk1991

二.選擇題

I.設(shè)危)和(p(x)在(-00,+00)內(nèi)有定義，段)為連續(xù)函數(shù)，且式x)wO,<p(x)有間斷點(diǎn)，貝IJ

(a)中道創(chuàng)必有間斷點(diǎn)(b)［卬⑴『必有間斷點(diǎn)(c)/［<p(x)］必有間斷點(diǎn)(d)，")必有間斷點(diǎn)

f(x)

1lxl<l

解.(a)反例9”)=joixi>r^)=t則喇2

(b)反例(p(x)=\,[(p(x)]2=1

-1lxl>1

(c)反例9(x)=<；lxKI

g>],?=1,則〃吟)口

(d)反設(shè)g(x)="在(-8,+00)內(nèi)連續(xù),則(p(x)=g(X)/U)在(—8,+00)內(nèi)連續(xù)，矛盾.所

/(X)

以(d)是答案.

2.設(shè)函數(shù)f(x)=x-tanx-es,nx,則f(x)是

(a)偶函數(shù)(b)無界函數(shù)(c)周期函數(shù)(d)單調(diào)函數(shù)

解.(b)是答案.

352〃+1

3.極限lim-------F------+,??+------------的值是

2222

H—>001X22X3/X(〃+I)2

(a)0(b)1(c)2(d)不存在

1.352n+1

lim----—H-----4----1—3---------

x2222x32n2x(M+1)2

I-+”—-

------=1,所以(b)為答案.

22227

…/223n(〃+1)2(?+1)-

(x+l)95(ax+l)5

4.設(shè)lim=8,則a的值為

XToo(1+1)5。

(a)1(b)2(c)我(d)均不對(duì)

(X+1)95("+1，,,(X+1)95/X95(OX+1)5/X5

8=lim----------------=lim-------------77——?-----

50

*T8(x-+1)…(x+1)/x

955

(1+l/x)(a+1/x)5$后b,、，“紅心

=lim---------------------a,a,所以(c)為答案.

—8(1+1/X2)50

5.設(shè)匕2)(三3)(匚4)底二5)=則a,0的數(shù)值為

?(3x-2廣

(a)a=1,0=；(b)a=5,B=；(c)a=5,(3=/(d)均不對(duì)

解.(c)為答案.

6.設(shè)/(x)=2、+3*-2,則當(dāng)xf0時(shí)

(a)f(x)是x的等價(jià)無窮小(b)f(x)是x的同階但非等價(jià)無窮小

(c)f(x)比x較低價(jià)無窮小(d)f(x)比x較高價(jià)無窮小

...2*+3、—221In2+3'In3__.,?.

解.lim----------=lim---------------=In2+In3,所rr以(b)為答案.

xf0x刀1°I

r、幾「(l+x)(l+2x)(1+3x)+4/4紅山

7.設(shè)hm-------------------——=6，則nila的值為

XT°x

(a)-1(b)1(c)2(d)3

解.Iim(l+x)(l+2x)(1+3x)+6f=0,l+a=0,a=-1,所以⑶為答案.

x70

8.設(shè)hm-a-t--a-n-x--+-b-(--l---c--o-s-x-)-=2八,具廿+中2+/2工0八,貝E|j必、，有一

』皿1—2x)+d(l—1)

(a)b=4d(b)b=-4d(c)a=4c(d)a=-4c

.h.

2+sin

tanx+/?(!-cosx)「rnor^^a

解.2=hm----------------------=hmco^A---------=-----,所以a=—4c,所以(d)

r

^°cln(l-2x)+J(l-e-)二2c+2%(/e-?2c

\-2x

為答案.

三.計(jì)算題

1.求下列極限

(1)lim(x+e)

ln(.v+eA)..ln(A'+ex)

lim-------------

解.lim(x+eA)'=lime6工->+?x

XT+ooA-->+00

⑵lim(sin—+cos-)r

I00xx

解.令y=一

X

.1..In(sin2y+cosy)2co$2y-si”

21—hm-------------------—

v->0y-?osin2y+cos>'_2

lim(sin—4-cos—)'=lim(sin2y+cosy)'=^C—C

A->°o]xyf0

1+tanx

(3)lim

XTOI1+sinx

%

附..f1+tanxtanx-sinx

解.lim--------=lim1+-----------

一。11+sinxx-。11+sinx

(anx-sinx

l+sin.v(l+sin.v)x3

tanx-sinx

tanX-SinXpanx-sinxhm--------r------

=01°”

1+sinx

2.求下列極限

,ln(l+Vx—1)

(1)hm—

、2

'flarcsin2\x-1

解.當(dāng)x-?l時(shí)，ln(l+U7=T)~V7=I,arcsin2Vx2-1~2^x2-1.按照等價(jià)無窮小

limE("尸

代換lim.=lim2_-=—

farcsin2vx2-1—2Vx2-12Vx+l2V2

(2)limf--cot2x

Ex2

解.方法1：

2.?22

..(1,2)J1cos/sinx-x^cos~x、

lim--cotx=lim—=lim

22

sin2x)A->0xsinx,

「一(/+Deos?Q「(-2xcos2x+2(x2+l)cosxsinx>

=hm----------------=hm-------------------------------

X4J,

-2xcos2x+sin2xlx1cosxsinx

=lim----------z-------+lim--------r-----

%->oA—>o

-2cos2x+4xcosxsinx+2cos2x1

=lim+—

XTO12/2

,,-2cos2x+2cos2x114cosxsinx-4sin2x11

=lim------------------------+—+—=lim---------------------------+—+—

io12-32io24x32

--2sin2x111112

=lim-----------+—+—=——+—+—=—

i。24x326323

方法2：

..(12i-f1cos2x\(sin-x—x~cos-x

lim--cot-x=lim------z—=hm-------z——；--------

尤)sinx)―支xsin**x

1,

2

1-(x2+l)cos2X、l--(x+I)(cos2x+1)

=lim=lim

x->0X4x->04

7x

、7

1,(2x)2(2x)4

l--(x2+1)(1+1-----------1---------+0(/)

=lim2!4!

x->0x4

7

l-1(2x2-2x4+2-2x2+0(x4))

x4

3.求下列極限

(1)lim----—1)

00Inn

解.lim(VH-1)=limn令底一I=xlim----------

Inn〃-00InNn==°ln(l+x)

⑵lim---------

…i+"政

1x>0

0x=0

加+配丫

⑶lim其中a>0,b>0

27

解.x=\ln,c=b/a=aex^

..In(l+c*)-ln2c1Inc[-T~

hm--------------------hm—,_?fA

=ae^0**-ae'^0*1+c，'=ajc-aJ—

4.求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)并判別類型

2'-1

(1)/W=--

2;+1

2X-12X-1

解./(0+)=limr一=1,/(0-)=lim「一=-1

2X+12'+1

所以x=0為第一類間斷點(diǎn).

x(2x+兀)x<0

2cosx

(2)/(x)=<

1

sin^——x>0

x2-1

解.f(+0)=-sinl,f(-0)=0.所以x=0為第一類跳躍間斷點(diǎn)；

lim/(x)=limsin^3-不存在.所以x=l為第二類間斷點(diǎn);

XTl—X2-1

八-9不存在，而吧嗖?=會(huì)所以X=0為第一類可去間斷點(diǎn);

2

limg+")=一,*=1,2,…)所以x=—攵萬―生為第二類無窮間斷點(diǎn).

1y2cosx2

fa.1八

sin—%>0

5.討論函數(shù)/(x)=4xx在x=0處的連續(xù)性.

解.當(dāng)a40時(shí)lim(x"sin，)不存在，所以x=0為第二類間斷點(diǎn)；

2。"x

當(dāng)a〉0,lim(xasin，)=O,所以

1。,X

B=-i時(shí)，在X=0連續(xù)，B—時(shí),X=0為第一類跳躍間斷點(diǎn).

6.設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù),且avxi〈x2V…<xn<b,Cj(I=1,2,3,…,n)為任意正數(shù)，則在(a,

b)內(nèi)至少存在一個(gè)。使/C)=Cj(xj+J/(X2)+.??+，”

J+G+…+%

證明：令M=max{/(x)},m=min{/(%.)}

IMiW"l<f<nz

所以m<C/(XJ+C2/(X2)+―,+C，YM

%+c2+---+cn

所以存在型a<X］*4Xn<b),使得f?=cJ(~)+Q/(X2)+…+g

。+c2+---+c?

7設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù),且f(a)va,f(b)>b,試證在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)&使f@=。

證明：假設(shè)F(x)=f(x)-x,則F(a)=f(a)—a<0,F(b)=f(b)—b>0

于是由介值定理在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)自，使f(0=。

8.設(shè)f(x)在［0,1］上連續(xù),且04f(x)41,試證在［0,1］內(nèi)至少存在一個(gè)&,使的)=。

證明：(反證法)反設(shè)VXW［O［］，9(X)=/(X)—XHO.所以0(x)=/(為一工恒大于0或恒

小于0.不妨設(shè)Vx€［0,l］，e(x)=/(x)-x>0.令〃?=感？夕(%),則〃?>0.

因止匕Vxw［0,l］,夕(x)=/(x)—xZ〃z.于是/⑴21+〃?>0,矛盾.所以在［0,1］內(nèi)至少

存在一個(gè)&,使f?)=g.

9.設(shè)f(x),g(x)在［a,b］上連續(xù),S.f(a)<g(a),f(b)>g(b),試證在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)二使

f@=g?.

證明：假設(shè)F(x)=f(x)—g(x),則F(a)=f(a)—g(a)<0,F(b)=f(b)—g(b)>0

于是由介值定理在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)《，使f(1)=。

10.證明方程X5-3X-2=0在(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.

證明:令F(x)=一3x-2,則F(l)=-4<0,F(2)=24>0

所以在(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)g,滿足F(g)=0.

-2

—(1-cosx)x<0

x

11.設(shè)/(x)=hx=0

試討論/（X）在X=。處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.

2

-［coszJr-lcost2at-x

解.以'(0)=lim/(?*)_/(。),.xJ。0

=lim--------------lim-------；------

KT0+XXT0+xD+廠

12

i---X

..cosx2-1..2A

=lim---------=lim--——=0

iir2x.—o-2X

「2(1-cosx)-x2

lim---------------

XT。-XXTO，X10+尤3

2sinx-2x1.2(cosx-l)八

=lim--------；-----=lim--------------=0

7+3》210+6x

所以y(o)=o,/(x)在x=o處連續(xù)可導(dǎo).

12.設(shè)f(x)在x=0的某領(lǐng)域內(nèi)二階可導(dǎo)，且網(wǎng)o,求

“(0"，(0%寧二

sin3x、

-------+/(x)

呼HmSin3x+M'(x)

W.lirnl所以

5x->0/lim-^~5-------=0.

x->0(YXT。X4

[.(sin3x1

歐丁+"r/x)J=0.f(x)在x=0的某領(lǐng)域內(nèi)二階可導(dǎo)，所以/(%),/'。)在*=0

連續(xù).所以f(0)=-3.因?yàn)?/p>

sin3x”、sin3x?、一

+f(x)---------3+/(x)+3

lim7------------=0,所以lim二----------------=0,所以

XT°v->0x”

sin3x

「/(x)+3「v--3x-sin3x..3-3cos3x

；

lim------z----=hm------z—=lim---------------=lim-------------

xf。xx->ox1。A—>0

XT。2x2

，，小1./U)-/(0)../(x)+3/(x)+39..

/(0)=lim~=lim——=rlimx-——=n0x-=0

x-0I。xiox2

由lim/(^+3=2,將我外臺(tái)勞展開，得

x2

22

/(0)+/'(0)x+'(/"(O)X+O(X)+3

也----------------5-----------------------f所以⑼:5,于是

廣(0)=9.

(本題為2005年教材中的習(xí)題，2008年教材中沒有選入.筆者認(rèn)為該題很好，故在題解中加

入此題)

第二章導(dǎo)數(shù)與微分

一.填空題

1—Y

1./(%)=--，則尸")(x)=.

1+X

解.廣⑺二匚^忘尸二號(hào)’假設(shè)〃(—1)*2/!

,則

(1+x嚴(yán)

i+l

(*+i)_(-D2-a+l)!(n)_(-l)"2-n!

=(i+x)…，所以/

尤=1+Jd2y

2.設(shè)4’則辭

y=cost

解生=*￡d~y_(sin，)dt_2tcosr-2sinr1_sinr-zcosz

m―[__4?It―

dx2t

3.設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程e">'+cos(xy)=0確定，則蟲=.

dx

解.0f（1+9）一（），+盯'）sinxy=0,所以

ysinxy-ex+y

)ex+y-xsinjy

4.已知f(-x)=—f(x),且/'(-%)=%,則/'(x())=.

解.由f（—x）=-f（x）得一7（一功=一尸（外,所以f（一無）=廣。）

所以巧(%)=/d

5,設(shè)f(x河導(dǎo)，則lim“/+mAx)-/(%-〃&)=

-Ax

解Hm"%+〃出)D+/(x°)-/(量一的)

-Ax

[./(x0+mAx)-/(x0)../(x0-?Ax)-/(x0).、

=/7?lim---------JQ+〃--------」°=(m+〃)/(%)

以TOmj\x仙TO—n/\x

6.設(shè)lim=!尸(x0),則k=________.

-0Ax3

解klim/(x0+^Ax)-/(x0)=1r(),所以4r(Xo)=；/'(Xo)

zok\x33

所以k=-

3

7已知知GOT則電卜——■

解■一/(!)|=?所以/(!)=—令X2=2,所以/'(5)=一1

8.設(shè)f為可導(dǎo)函數(shù)，y=sin{/[sin/(x)]},則生=.

dx

解.孚=:(x)COS/(x)/'[sin/(x)]cos{/[sin/(%)]}

dx

9.設(shè)y=f(x)由方程e2->-cos(xy)=e-1所確定，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,1)處的法線方程

為.

解.上式二邊求導(dǎo)e2>y(2+y)-(y+W)sin(尤y)=0.所以切線斜率

k=y'(0)=-2.法線斜率為1,法線方程為

y—1=,即x—2y+2=0.

二.單項(xiàng)選擇題

I.已知函數(shù)f(x)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且/'(x)="(x)]2,則當(dāng)n為大于2的正整數(shù)時(shí),f(x)的n

階導(dǎo)數(shù)是

(a)〃叮(x)產(chǎn)(b)”"(x)嚴(yán)(c)"(x)產(chǎn)(d)〃!"(x)產(chǎn)

解./"(X)=2/(X)/'(X)=2![/(X)]3,假設(shè)r*)(x)"!"(x)產(chǎn)I所以

+l)k![f(x)]kf'(x)=(k+l)!"(x)產(chǎn)2,按數(shù)學(xué)歸納法

/(,,)(x)=n![/(x)yi+l對(duì)一切正整數(shù)成立.(a)是答案.

2.設(shè)函數(shù)對(duì)任意x均滿足f(l+x)=af(x),且尸(0)=b,其中a,b為非零常數(shù)，則

(a)f(x)在x=1處不可導(dǎo)(b)f(x)在x=1處可導(dǎo)，且⑴=a

(c)f(x)^x=1處可導(dǎo)，且fll)=b(d)(x)4x=1處可導(dǎo),且/'⑴=ab

解.在f(l+x)=af(x)中代入x=0,得”1)=4(。)

+=礦(0)=。仇所以.(d)是答案

—M—AA

注：因?yàn)闆]有假設(shè)/(X)可導(dǎo)，不能對(duì)于/(l+x)=q/、(x)二邊求導(dǎo).

3.設(shè)/。)=3/+/I#,則使存在的最高階導(dǎo)數(shù)n為

(a)0(b)1(c)2(d)3

4x-3x>024xx>0

解.7(x)=〈,./"W=

2x-3x<012xx<0

24x-0

/'"(0+)lim---------==24

x->o+x-Q10+x

lim坐立3=.12x-0

/'"(O')im---------二12

Xf0-X-0Xf『X

所以n=2,(c)是答案.

4.設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)，當(dāng)自變量x由xo增加到x()+Ax時(shí)，記Ay為f(x)的增量,dy

為f(x)的微分，lim等于

-Ax

(a)-1(b)0(c)1(d)oo

解.由微分定義Ay=dy+o(Ax),所以lim"二女=lim幺?=0.(b)是答案.

心Ax10Ax

5.設(shè)sin^x>0在x=o處可導(dǎo)，則

ax+b

(a)a=1,b=0(b)a=0,b為任意常數(shù)(c)a=0,b=0(d)a=1,b為任意常數(shù)

解.在x=0處可導(dǎo)一定在x=0處連續(xù)，所以

1一

limx~0sin—=lim(ax+。)，所以b=0.

XT°+XX->0-

2.1

xsin—

r(0+)=r(0)lim------lim竺，所以O(shè)=a.(c)是答案.

XT0+XX

三.計(jì)算題

1.y=ln[cos(10+3x2)],求y

A”,-sin(10+3x-)-6x

解.y=-------------——=-6xtan(10+3x2)

cos(10+3x')

2.已知f(u)可導(dǎo)，y=/[ln(x+J.+F)],求y

/------i(2x

解.y，=/[ln(x+JQ+廠)]-----/、---/i

x+^Ja+x~V2A/Q+X

/[ln(x++-2)]

yla+x2

3.設(shè)y為x的函數(shù)是由方程In=arctan)確定的，求y'.

X

解,「2-2’_爐，

^x2+y22^x2+y212；

2

x+x/=y'x—y，所以

工一了

x=esin/d-y

4.已知v，求

y=ercostdx，

立力dyecost-esinrcosz-sinz

解.—=---------：----=-----------，

dxecost+esinrcosf+sin/

d2yd(cost-sint\dt-(cost+sint)2-(cost-sin/)21

dx2dtVcosZ+sinr)dx(cosf+sinf)2dx

~dt

d2y_2

dx2e'(cos，+sin%)3

5.設(shè)x=w=(x2+x)3/2,求生

du

解.dx=(2y+l)dy,=[(x?+x)%(2x+l)dx

(2y+l)dy_________dx_______

""；J—+x(2x+Y)dx

dy_2

du3(2y+1)J/+x(2x+1)

X=z/yJ2v

6.設(shè)函數(shù)f(x)二階可導(dǎo)，/(0)W0,且《箝，求竺八，廿八

y=f(e3t-l)dxt=0dx2t=0

辦，二十，一1)3/,所以◎

=3.

dx~f(t)dx”0

d2y?[/"(^-W3,)2+3^/,(e3,-WW-^7'(^-l)/"(r)

—r=3------------------------------；------------------------

dx2"()]3

所以

d2ya[3/"(0)+3/'(0)l/'(0)-/,(0)/"(0)9/(0)+6/"(0)

dx2t=0r/'(0)]3[/'(0)]2

7.設(shè)曲線乂=乂(。,丫=丫(。由方程組:'一'：確定.求該曲線在t=1處的曲率.

el+ey=2e

解產(chǎn)《=￡?所以小》焉1

(l+r)(e‘一2e)

dy1

所以

dxt=127

d~y_(1、力—2e(-2e+te'

亦一~dt[(l+f)(e'-2e))~dx~~+-2e)2e'

12V1

所以y=——1.在t=i的曲率為

dx2t^\8e2

1

k=―3"3=一盟~r=e(l+410

四.已知當(dāng)x40時(shí),Ax)有定義且二階可導(dǎo)，問a,b,c為何值時(shí)

.(7(x)x<0

尸(x)=2

ax+bx+cx>0

二階可導(dǎo).

解.F(x)連續(xù)，所以HmF(x)=limF(x),所以c=八-0)=犬0);

*f(rxfO"

因?yàn)镕(x)二階可導(dǎo)，所以尸(x)連續(xù)，所以b=，'(0)=/'(0),且

r(x)x<0

2ax+f：(0)x〉0

尸’(0)存在，所以￡''(0)=&''(0),所以

lim八i⑼=litn2以+小。)-/'(。)=之,，所以

xfOxA->0+x

?=1/"(0)

V-2

(M)

五.已知=~~r,W(0).

x

2(1-x),,+l2(l+x)n+1

y(2*+,)(0)=0,k=O,l,2,…

f2k(0)=n\,k=0,1,2,

六.設(shè)y=xlnx,求/(")(I).

解.使用萊布尼茲高階導(dǎo)數(shù)公式

/(")(x)=x.(lnx)的+〃(lnx)"T=x(—1)"“("二”+〃(—1)““二

XX

=(—1)7(〃—2)!^^2+合=(—1)7(〃—2)!)

所以/<">（1）=（-1）?-2（?_2）!

2

七.已知(),力=LcoszJr+siny,y\

2xcosx2

解.兩邊對(duì)x求導(dǎo)，eyy'=2xcosx2+2yy'cosy2,y'=—

e-2ycosy2

第三章一元函數(shù)積分學(xué)（不定積分）

求下列不定積分：

f1i1+x

----7In----axz

}l-x21-x

1,1+xj1fi1+X711+x1,1+x

解.----7In----ax=—In----aInIn----

1—廠1—x2J171-x41-x

2

11+x」1+x,1+%11+x

2.-----arctan-----axjarctan----aarctan-----=-arctan---+-C

1+x21-x1-x1-x21-x

-rcosx+sinx+11+sinx,

3.------------7------------dx

J(1+cosx)1+cosx

rcosx+sinx+11+sinx,r14-sinx,l+sinx\(14-sinxY

解.--------dx=--------d--------=---------+c

J(14-cosx)21+cosx11+cosx1+cosx211+cosx)

解.方法一：令X=1,

t

=小1+小

fdx=3y=_3(J___J_w

方法二:Jx(/+1)-Jx8(x8+1)-JX8/+?

6/(1+X8)InIxI--ln(l+x8)+c=--ln|1+^1-j+c

1+x8881xXJ

1.—(14-sinx+cosx)+-(sinx-cosx)4-

5.f1+smxdx=仔~--------2--------------------4x

J1+sinx+cosxJ1+sinx+cosx

1r,1rCOSX-sinX,1r1,

=-\dx——------------------dx+-\------------------dx

2J2J1+sinx+cosx2Jl+sinx+cosx

_11『d(l+sinx+cosx)1r1

22」1+sinx+cosx2J.xxx

o2sin—cos-+2cos2-

222

=-1x——1Iin11+si?nx+cosx1l+-1-f---l-----Jtan—工

222}X2

tan-+A1

2

111x

=—x——In11+sinx+cosxIH■—InItan—+11+c

2222

二.求下列不定積分：

1.f---------------六

J(x+1)23+2x+2

dt

解.f--------,，==f-------d(：+D=令x+1=tanfjc?s-，_

J(x+l)2Vx2+2x+2J(x+I)：J(x+I)?+1==========tan*tsect

rcostdt1J/+2x+2

—I--------=---------卜c=------------------

Jsin21sinzx4-1

2f中

,JX47T77

解.令x=tant,

dt

2

dxcos1fco§31出二cdsintrdsint=1?1

X4V1+X2tan4rsecrJsin41Jsin41Jsin213sin31sinr

dx

(2x2+1)71+x2

解.令i=tanf

dxsec2tcostrdsint

dt=J1+sin21

(2x2+1)71+x2=J(2tan21+l)secrd=J2sin2/+cos21

x

-arctansinf+c=arctan/+c

Vi+x2

rx~dxra2sin2t-acostdtrl-cos2r.11.

/=---------------=a2--------dt=—a2t——a2sin2t+c

Jda2_JJacostJ224

5.jJ(1dx

解.令冗=sin，

22

rr：777,r4.r(l+cos2^).r1+2cos2r+cosIt.

JW一二ydx=Jcos4tdt=J---------—dt=J-----------------dt

=—r+—sin2z+-f(l+cos4t)dt=-z+—sin2r+—sin4r+c

448J8432

311

=-arcsinx+—sin2r(1+—cos2r)+c

844

3.I。./4+l-2sin2八

=-arcsinx+—2sinrcost(-----------)+c

844

=-arcsinX+-XV1-X2(5-2x2)+c

88

」COS3M+C=+c

33/

x+1

7.