第06講 函數(shù)的單調(diào)性與最值（解析版）

第06講函數(shù)的單調(diào)性與最值1．增函數(shù)與減函數(shù)一般地，設函數(shù)的定義域為：(1)如果對于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，，當時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．(2)如果對于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，，當時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．2．函數(shù)的最大值與最小值一般地，設函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足：(1)對于任意的，都有；存在，使得，那么，我們稱是函數(shù)的最大值．(2)對于任意的，都有；存在，使得，那么我們稱是函數(shù)的最小值．3．函數(shù)單調(diào)性的兩個等價結論設則(1)(或在上單調(diào)遞增。(2)(或?f(x)在上單調(diào)遞減．考點一函數(shù)的單調(diào)性1．（江西省靖安中學高一月考）已知函數(shù)是上的減函數(shù)，若則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由于函數(shù)是在上的減函數(shù)，且，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A2．（海淀·北京市八一中學高三開學考試）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在上為增函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】對于A，定義域為，因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，任取，且，則，因為，且，所以，即，所以在上為增函數(shù)，所以A正確，對于B，因為定義域為，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，所以B錯誤，對于C，因為定義域為，因為，所以為偶函數(shù)，所以C錯誤，對于D，因為定義域為，因為，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，所以D錯誤，故選：A3．（太原市第五十六中學校高二月考（文））函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】二次函數(shù)，開口向下，對稱軸為，所以單調(diào)增區(qū)間為.故選：A4．（黑龍江哈爾濱三中高三月考（理））已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，又，則的解集是（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【詳解】∵在上是增函數(shù)，且為奇函數(shù)，∴在上是增函數(shù)，又，即，∴要使，則或，∴的解集為或.故選：B5．（巴楚縣第一中學（理））函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為（）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 D．在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增【答案】D【詳解】的對稱軸為，開口向上，所以在在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故選：D6．（全國高一專題練習）若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)的對稱軸為，由于在上是減函數(shù)，所以.故選:A7．（全國高一專題練習）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：函數(shù)的圖像的對稱軸為，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，所以的取值范圍為，故選：D8．（全國高一課時練習）若定義在上的函數(shù)對任意兩個不相等的實數(shù)，總有成立，則必有（）A．在上是增函數(shù) B．在上是減函數(shù)C．函數(shù)先增后減 D．函數(shù)先減后增【答案】A【詳解】由>0知f(a)-f(b)與a-b同號，即當a<b時，f(a)<f(b)，或當a>b時，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函數(shù).故選：A.9．（全國高三專題練習）已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的的取值范圍（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，若滿足，則，可得，∴，即.故選：A.10．（陜西省黃陵縣中學高一期末）設函數(shù)是上的增函數(shù)，則有（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)是R上的增函數(shù),則，即故選：A11．（懷仁市第一中學校高三月考（文））函數(shù)在單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)為開口向上的拋物線，對稱軸為函數(shù)在單調(diào)遞增，則，解得.故選：A.12．（福建寧德·高一期末）已知定義域為的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則滿足的取值范圍是（）．A． B．C． D．【答案】B【詳解】為奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減，，，且在上單調(diào)遞減，可得或或，即或或，即，故選：B.13．（全國高一課時練習）函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是（）A．(﹣∞，﹣3) B．(0，+∞)C．(3，+∞) D．(﹣∞，﹣3)∪(3，+∞)【答案】C【詳解】解：∵函數(shù)y＝f（x）在R上為增函數(shù)，且f（2m）f（﹣m+9），∴2m﹣m+9，解得m3，故選：C．14．（全國高一）定義在上的函數(shù)對任意兩個不等的實數(shù)，，總有成立，則必有（）A．函數(shù)在上是奇函數(shù) B．函數(shù)在上是偶函數(shù)C．函數(shù)在上是增函數(shù) D．函數(shù)在上是減函數(shù)【答案】D【詳解】，當時，，當時，，所以函數(shù)在上是減函數(shù)．故選：D．考點二函數(shù)的最值1．（全國）如果奇函數(shù)在上是增函數(shù)且最小值為5，那么在區(qū)間上是（）A．增函數(shù)且最小值為 B．減函數(shù)且最小值為C．增函數(shù)且最大值為 D．減函數(shù)且最大值為【答案】C【詳解】因為奇函數(shù)在上是增函數(shù)且最小值為5，而奇函數(shù)的圖像關于原點對稱，所以在區(qū)間上增函數(shù)且最大值為，故選：C.2．（上海高一專題練習）已知函數(shù)，則的最大值為（）．A． B． C．1 D．2【答案】D【詳解】因為在上單減，所以在上單減，即在上單減，所以f(x)的最大值為.故選：D3．（寧夏銀川·賀蘭縣景博中學高二期末（文））已知函數(shù)，則（）A．是單調(diào)遞增函數(shù) B．是奇函數(shù)C．函數(shù)的最大值為 D．【答案】C【詳解】A：由解析式知：是單調(diào)遞減函數(shù)，錯誤；B：由，顯然不關于原點對稱，不是奇函數(shù)，錯誤；C：由A知：在上，正確；D：由A知：，錯誤.故選：C.4．（合肥一六八中學高一期末）若奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則函數(shù)在區(qū)間上（）A．單調(diào)遞增，且有最小值 B．單調(diào)遞增，且有最大值C．單調(diào)遞減，且有最小值 D．單調(diào)遞減，且有最大值【答案】C【詳解】根據(jù)奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，所以其在y軸兩側單調(diào)性相同，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上有最大值，最小值,故選：C5．（玉林市育才中學（文））已知函數(shù)，則在區(qū)間上的最大值為（）A． B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】在單調(diào)遞減，.故選：C.6．（浙江高一單元測試）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是4，則實數(shù)的值為（）A．-1 B．1 C．3 D．1或3【答案】B【詳解】解：當時，在區(qū)間上為增函數(shù)，則當時，取得最大值，即，解得；當時，在區(qū)間上為減函數(shù)，則當時，取得最大值，即，解得舍去，所以，故選：B7．（全國高一）如果奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增且有最大值6，那么函數(shù)在區(qū)間上（）A．單調(diào)遞增且最小值為﹣6 B．單調(diào)遞增且最大值為﹣6C．單調(diào)遞減且最小值為﹣6 D．單調(diào)遞減且最大值為﹣6【答案】A【詳解】因為為奇函數(shù)，則在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)的圖像關于原點對稱，且所以在上的最小值為，故選：A8．（福建三明一中高三學業(yè)考試）函數(shù)在[2，3]上的最小值為（）A．2 B．C． D．－【答案】B【詳解】y＝在[2，3]上單調(diào)遞減，所以x=3時取最小值為，故選：B.9．（全國高一專題練習）若，都有不等式，則的最小值為（）A．0 B． C． D．【答案】D【詳解】