第09講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（解析版）

第09講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1、根式（1）次方根的概念與性質(zhì)次方根概念一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，.性質(zhì)①當(dāng)是奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的次方根是一個負數(shù).這時，的次方根用符號表示.②當(dāng)是偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).這時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號表示.正的次方根與負的次方根可以合并寫成.負數(shù)沒有偶次方根.③0的任何次方根都為0，記作.（2）根式的概念與性質(zhì)根式概念式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù).性質(zhì)①.②當(dāng)為奇數(shù)時，.③當(dāng)為偶數(shù)時，.2、實數(shù)指數(shù)冪（1）分數(shù)指數(shù)冪①我們規(guī)定正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是.于是，在條件下，根式都可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式.②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義與負整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定且.③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.（2）有理數(shù)指數(shù)冪規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義之后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)冪推廣到了有理數(shù)指數(shù).整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用，即對于任意有理數(shù)，均有下面的運算性質(zhì)：①；②；③.（3）無理數(shù)指數(shù)冪對于無理數(shù)指數(shù)冪，我們可以從有理數(shù)指數(shù)冪來理解，由于無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此可以取無理數(shù)的不足近似值和過剩近似值來無限逼近它，最后我們也可得出無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實數(shù).一般地，無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實數(shù).有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪.3、指數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是.【注】指數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：(1)底數(shù)：大于零且不等于1的常數(shù)；(2)指數(shù)：僅有自變量x；(3)系數(shù)：ax的系數(shù)是1.4、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象定義域值域奇偶性非奇非偶函數(shù)對稱性函數(shù)y=a?x與y=ax的圖象關(guān)于y軸對稱過定點過定點，即時，單調(diào)性在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)函數(shù)值的變化情況當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，底數(shù)對圖象的影響指數(shù)函數(shù)在同一坐標系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小關(guān)系如下圖所示，其中0<c<d<1<a<b.①在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變?。虎谠趛軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小.即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大.考點一指數(shù)與指數(shù)冪運算1．（湖南省邵東市第三中學(xué)高一月考）下列運算中正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】對于A，所以，故A錯；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯；對于D，，故D錯.故選：B.2．（全國）設(shè)a>0，b>0，化簡的結(jié)果是（）A． B． C． D．-3a【答案】D【詳解】因為，，所以.故選：D.3．（上海）在①，②，③，④中，n∈N*，a∈R時各式子有意義的是（）A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④【答案】B【詳解】由>0知①有意義；由<0知②無意義；③中開奇數(shù)次方根，所以有意義；當(dāng)a<0時，a5<0，此時④無意義.故選:B.4．（全國）計算：（）A． B． C．3 D．【答案】D【詳解】原式.故選：D5．（全國）設(shè)，將表示成分數(shù)指數(shù)冪的形式，其結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：因為，所以故選：C6．（全國）可以化簡成（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：，故選：B．7．（全國高一專題練習(xí)）計算的結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】故選：C8．（全國）=（）A．2 B．1 C．3 D．0【答案】B【詳解】解：故選：B9．（全國）設(shè)都是正整數(shù)，且，若，則不正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由都是正整數(shù)，且，，、得，故B選項錯誤，故選：B.10．（全國）已知正數(shù)滿足，則（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【詳解】因為正數(shù)滿足，所以，即，則，所以，即，因此.故選：B.考點二指數(shù)函數(shù)的概念1．（全國高一單元測試）指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則a的值是（）A． B． C．2 D．4【答案】B【詳解】因為的圖象經(jīng)過點，所以，解得，故選：B.2．（上海高一專題練習(xí)）下列是指數(shù)函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的特征:系數(shù)為1，底數(shù)滿足且，自變量在指數(shù)位置可知，A，B，C不滿足,D滿足.故選：D.3．（全國高一課前預(yù)習(xí)）函數(shù)，且，則（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【詳解】由，所以，故選：B4．（萬榮縣第二中學(xué)）已知（為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點，則的值為（）A．3 B．6 C．9 D．8【答案】C【詳解】，即故選：C5．（全國高一單元測試）如果指數(shù)函數(shù)(，且)的圖象經(jīng)過點，那么的值是（）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】由題意可知，解得或（舍）故選：B6．（全國高一）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則有（）A．或 B．C． D．或【答案】B【詳解】因為函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，所以，解得.故選：B.7．（全國高一課時練習(xí)）若函數(shù)（是自變量）是指數(shù)函數(shù)，則的取值范圍是（）A．且 B．且C．且 D．【答案】C【詳解】由于函數(shù)（是自變量）是指數(shù)函數(shù)，則且，解得且.故選：C8．（全國高一專題練習(xí)）已知正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，則（）A．2 B．3 C．9 D．16【答案】C【詳解】因為函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，所以，則，所以，，所以.故選：C.9．（全國高一專題練習(xí)）已知函數(shù)和都是指數(shù)函數(shù)，則（）A．不確定 B． C．1 D．【答案】C【詳解】因為函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，所以，由是指數(shù)函數(shù)，得，所以.故選：C.10．（全國高一專題練習(xí)）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（）A． B． C．或 D．且【答案】B【詳解】由指數(shù)函數(shù)的定義，得，解得．故選：B考點三指數(shù)函數(shù)圖象1．（全國高一課時練習(xí)）已知函數(shù)(且)恒過定點，則（）A．1 B．3C．4 D．2【答案】C【詳解】由題意知，當(dāng)x＝1時，y＝3，故A(1，3)，m＋n＝4,故選：C.2．（全國高一專題練習(xí)）如圖，①②③④中不屬于函數(shù)，，的一個是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【詳解】根據(jù)函數(shù)與關(guān)于對稱，可知①④正確，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，故③正確.所以②不是已知函數(shù)圖象.故選：B3．（廣西南寧·高一期末）函數(shù)的圖像恒過定點，則的坐標是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由指數(shù)函數(shù)恒過定點，所以函數(shù)的圖像恒過定點.故選：D4．（浙江高一期末）已知函數(shù)的圖象恒過定點，則點的坐標為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對于函數(shù)，令，得，所以圖象恒過定點，故選：D.5．（云南賓川四中高一月考）函數(shù)的大致圖像是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為，所以，排除ABD.故選：C6．（江西上饒·高一期末）當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖象可能是（）A．B．

C．D．

【答案】D【詳解】因為，所以是增函數(shù)；排除AB選項；二次函數(shù)開口向上，對稱軸，排除C選項；即D正確；故選：D.7．（北京房山·高一期末）如果函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，則，解得.故選：B8．（全國高一專題練習(xí)）已知函數(shù)恒過定點，則函數(shù)不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【詳解】恒過定點，，，為減函數(shù)，且過點，的函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限．故選：．9．（全國高一專題練習(xí)）若函數(shù)且的圖象經(jīng)過二、三、四象限，一定有A．且 B．且 C．且 D．且【答案】A【詳解】如圖所示，從圖象上看出其是一個減函數(shù)，則；圖象與軸的交點在軸的負半軸上（縱截距小于零），即，可得，，且．故選：A．10．（上海高一期末）已知，則函數(shù)的圖像必定不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【詳解】因為，故的圖象經(jīng)過第一象限和第二象限，且當(dāng)越來越大時，圖象與軸無限接近.因為，故的圖象向下平移超過一個單位，故的圖象不過第一象限.故選：A．11．（畢節(jié)三聯(lián)學(xué)校高一期末）已知函數(shù)（且）的圖象過定點，則（）A．5 B．6 C． D．8【答案】D【詳解】解：，當(dāng)時，所以過定點，則，，則故選：D.12．（全國高一專題練習(xí)）若函數(shù)（且）的圖象恒過定點，則m的值是（）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【詳解】由題意，函數(shù)的圖象恒過定點，可得，即，解得.故選：C.13．（吉林四平·高一期末）函數(shù)恒過定點（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意知：，即，此時，所以函數(shù)恒過定點，故選：B14．（廣東揭陽華僑高中高一月考）函數(shù)（且）的圖象一定經(jīng)過的點是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由函數(shù)解析式，知：當(dāng)時，，即函數(shù)必過，故選：D.15．（全國高一課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)，，的圖象如圖所示，則實數(shù)，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)取1時，三個函數(shù)的函數(shù)值分別為，，，由圖知.故選：D.16．（吉林延邊二中高一月考）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過定點P，則點P的坐標是（）A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)【答案】A【詳解】當(dāng)，即時，，為常數(shù)，此時，即點P的坐標為(－1，5).故選：A.考點四與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的定義域值域問題1．（全國高一單元測試）函數(shù)的定義域為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意得，所以，解得．故選：D.2．（全國高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，且當(dāng)時，，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)時，，解得，故選：B.3．（全國高一課時練習(xí)）函數(shù)的值域是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，且則，所以的值域是.故選：A4．（全國高一單元測試）函數(shù)的值域是A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為為單調(diào)遞增，所以值域是.

故選：B.5．（新疆維吾爾自治區(qū)阿克蘇地區(qū)第二中學(xué)高一期末）若滿足不等式，則函數(shù)的值域是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由可得，因為在上單調(diào)遞增，所以即，解得：，所以，即函數(shù)的值域是，故選：B.6．（全國高一課時練習(xí)）函數(shù)y＝的值域是（）A．[0，＋∞) B．[0，4]C．[0，4) D．(0，4)【答案】C【詳解】要使函數(shù)有意義，須滿足16－4x≥0,則，所以，則0≤16－4x＜16，即函數(shù)的值域為[0，4)．故選：C.7．（上林縣中學(xué)）若，則函數(shù)的最小值為（）A．4 B．0 C．5 D．9【答案】A【詳解】設(shè)，則（），對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，所以.故選：A.8．（全國）函數(shù)的值域為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，則，，，因為為減函數(shù)，所以，即值域為，故選：A.9．（全國）函數(shù)（且，）的值域是，則實數(shù)（）A．3 B．C．3或 D．或【答案】C【詳解】當(dāng)時，在上為增函數(shù)，，解得；當(dāng)時，在上為減函數(shù)，，解得．綜上可知：或．故選：C10．（福建省安溪第一中學(xué)高一月考）設(shè)函數(shù)，.若存在，使得，則b的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，所以，所以，解得.故選：C考點五指數(shù)函數(shù)單調(diào)性1．（全國）已知，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，，∵遞增，且，∴，即.故選：B.2．（全國高一專題練習(xí)）設(shè)，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為函數(shù)在上的增函數(shù)，且，所以，即又，所以，所以.故選：A.3．（浙江）已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，又函數(shù)單調(diào)遞增，故，即，故選：D.4．（吉林四平·高一期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：令，則，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)為減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故選：C5．（河南高一期末）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)在上既是奇函數(shù)，也是增函數(shù)B．函數(shù)在上既是奇函數(shù)，也是減函數(shù)C．函數(shù)在上既是偶函數(shù)，也是增函數(shù)D．函數(shù)在上既是偶函數(shù)，也是減函數(shù)【答案】A【詳解】因為，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，因為，且與均為增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，故選：A.6．（全國高一課時練習(xí)）若函數(shù)在實數(shù)集上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】∵在實數(shù)集R上是減函數(shù)∴有0＜1－2a＜1，解得0＜a＜即實數(shù)a的取值范圍是故選：B7．（全國高一課時練習(xí)）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由冪函數(shù)性質(zhì)可得：；由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得：，∴，又，∴，∴．故選：A．8．（全國高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為，故，所以在內(nèi)，為增函數(shù)；在內(nèi)，為減函數(shù).排除ACD,故選：B.9．（內(nèi)蒙古通遼實驗中學(xué)高一期末（文））若指數(shù)函數(shù)在上遞減，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題意得：，

解得：，

故選A．10．（江蘇高一課時練習(xí)）函數(shù)，滿足對任意，都有成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：滿足對任意，都有成立，在上是減函數(shù)，因為，解得，的取值范圍是．故選：．11．（全國高一課時練習(xí)）函數(shù)y＝的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．（－∞，0] B．[0，＋∞）C．（－∞，] D．[，＋∞）【答案】B【詳解】解:函數(shù)y＝u在R上為減函數(shù)，欲求函數(shù)y＝的單調(diào)遞減區(qū)間，只需求函數(shù)u＝x2－2的單調(diào)遞增區(qū)間，而函數(shù)u＝x2－2的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，＋∞），故所求單調(diào)遞減區(qū)間為[0，＋∞）.故選:B12．（全國高一單元測試）“”是“函數(shù)在上為增函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】若在上為增函數(shù)，則，即，因為是的充分不必要條件，所以“”是“函數(shù)在上為增函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A．13．（浙江高一期末）設(shè)函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】當(dāng)時，，，解得：；當(dāng)時，，解得：；綜上所述：的取值范圍為.故選：A.14．（浙江高一期末）已知函數(shù)（且），對任意，當(dāng)時總有，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為對任意，當(dāng)時總有，所以在上單調(diào)遞增，故有解得故選：A15．（全國）若函數(shù)f(x)＝是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．(1，＋∞) B．(1,8) C．(4,8) D．[4,8)【答案】D【詳解】由題意得解得4≤a＜8.故選：D.16．（全國）若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】令，由于函數(shù)在上是減函數(shù)，外層函數(shù)為上的增函數(shù)，則內(nèi)層函數(shù)為上的減函數(shù)，所以，，解得.故選：A.考點六指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用1．（上海市第二中學(xué)）中國銀行最新存款利率一年期為：1.75%.小明于2020年存入本金100000(元)，計算到2030年可獲得利息約18945(元)，其計算實質(zhì)采用的是（）模型.A．一次函數(shù) B．二次函數(shù) C．指數(shù)函數(shù) D．對數(shù)函數(shù)【答案】C【詳解】解：一年后，小明的本金和利息共有，兩年后，小明的本金和利息共有，則年后，小明的本金和利息共有，共取得的利息可構(gòu)建函數(shù)，采用了指數(shù)函數(shù)模型．故選：C．2．（全國高一課時練習(xí)）隨著我國經(jīng)濟的不斷發(fā)展，2018年年底某偏遠地區(qū)農(nóng)民人均年收入為3000元，預(yù)計該地區(qū)今后農(nóng)民的人均年收入將以每年6%的年平均增長率增長，那么2025年年底該地區(qū)的農(nóng)民人均年收入為（）A．元 B．元 C．元 D．【答案】B【詳解】設(shè)經(jīng)過x年，該地區(qū)的農(nóng)民人均年收人為y元，根據(jù)題意可得，從2018到2025年共經(jīng)過了7年，2025年年底該地區(qū)的農(nóng)民人均年收入為元.故選：B3．（全國）已知光通過一塊玻璃，強度要損失10%.那么要使光的強度減弱到原來的以下，則至少需要通過這樣的玻璃（參考數(shù)據(jù)：）（）A．12塊 B．13塊 C．14塊 D．15塊【答案】C【詳解】設(shè)光原來的強度為，通過塊這樣的玻璃以后強度為.光通過1塊玻璃后，強度，光通過2塊玻璃后，強度，…光通過塊玻璃后，強度.由題意得，即，兩邊同時取對數(shù)，可得.∵，∴.又，∴至少需要通過塊這樣的玻璃，光的強度能減弱到原來的以下.故選C.4．（廣東深圳·高一期末）在某個時期，某湖泊中的藍藻每天以的增長率呈指數(shù)增長，已知經(jīng)過天以后，該湖泊的藍藻數(shù)大約為原來的倍，那么經(jīng)過天后該湖泊的藍藻數(shù)大約為原來的（）A．18倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】C【詳解】某湖泊中的藍藻每天以的增長率呈指數(shù)增長，經(jīng)過30天以后，該湖泊的藍藻數(shù)大約為原來的6倍，設(shè)湖泊中原來藍藻數(shù)量為，則，經(jīng)過60天后該湖泊的藍藻數(shù)量為：經(jīng)過60天后該湖泊的藍藻數(shù)大約為原來的36倍.故選：C.5．（全國高一專題練習(xí)）毛衣柜里的樟腦丸會隨著時間揮發(fā)而體積縮小，剛放進的新丸體積為，經(jīng)過天后體積與天數(shù)的關(guān)系式為．若新丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)椋瑒t一個新丸體積變?yōu)樾杞?jīng)過的時間為（）A．125天 B．100天 C．75天 D．50天【答案】C【詳解】解析：由題意知，當(dāng)時，有．即，得．所以當(dāng)時，有．即，得．所以．故選：C6．（全國高一專題練習(xí)）國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京年冬奧會的標志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計，但整個系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到真正的智慧場館、綠色場館.并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進的污水、雨水過濾系統(tǒng).已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量與時間的關(guān)系為（為最初污染物數(shù)量）.如果前小時消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（）小時.A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可得，可得，設(shè)，可得，解得.因此，污染物消除至最初的還需要小時.故選：C.7．（湖北十堰·高一期末）在考古學(xué)中，要測定古物的年代，可