放縮法在解答數(shù)列題中的應(yīng)用技巧(十一種放縮方法全歸納)講義 高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習

第第頁放縮法在解答數(shù)列題中的應(yīng)用技巧（十一種放縮方法全歸納）證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強，需要有較高放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材.這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進行恰當?shù)胤趴s.一、放縮技巧(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(11)(12)(13)(14)(15)(16)二、經(jīng)典試題解析（一）、經(jīng)典試題01、裂項放縮1．（1）求的值；（2）求證:.2．求證:.3．求證:.4．求證:5．求證：6．求證:.7．已知，求證:.8．已知，，求證:.9．已知，，求證:.02、函數(shù)放縮10．求證：.11．求證:.12．求證:.03、分式放縮13．證明姐妹不等式:和（也可以表示成為和）14．證明:04、分類放縮15．求證:.16．在平面直角坐標系中，軸正半軸上的點列與曲線上的點列滿足，直線在x軸上的截距為.點的橫坐標為，.（1）證明>>4，；（2）證明有，使得對都有<.17．已知函數(shù)，若的定義域為[－1，0]，值域也為[－1，0].若數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，問是否存在正常數(shù)A，使得對于任意正整數(shù)都有？并證明你的結(jié)論.18．設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為，設(shè)內(nèi)整數(shù)坐標點的個數(shù)為.設(shè)，

當時，求證:.05、迭代放縮19．已知，，求證:當時，.20．設(shè)，求證:對任意的正整數(shù)k，若k≥n恒有:|Sn+k－Sn|<.06、借助數(shù)列遞推關(guān)系21．求證:.22．求證:07、分類討論23．已知數(shù)列的前項和滿足，，證明：對任意的整數(shù)，有.08、線性規(guī)劃型放縮24．設(shè)函數(shù).若對一切，，求的最大值.09、均值不等式放縮25．已知，求證：.26．已知函數(shù)，若，且在[0，1]上的最小值為，求證：27．已知為正數(shù)，且，試證：對每一個，.10、二項放縮，，28．已知證明.29．已知a+b=1，a>0，b>0，求證：.30．已知函數(shù)fx的定義域為[0，1]，且滿足下列條件：①對于任意[0，1]，總有，且；②若則有（1）求f0的值；（2）求證：fx≤4；（3）當時，試證明：.31．已知：，求證：.11、部分放縮（尾式放縮）32．求證:.33．設(shè)求證：34．已知數(shù)列的首項，，、、．（1）證明：對任意的，，、、；（2）證明：.12、經(jīng)典題目方法探究35．已知函數(shù).若在區(qū)間上的最小值為，令.求證:.36．設(shè)函數(shù)，如果對任何，都有，求的取值范圍37．若，其中且，，求證:.38．已知函數(shù)，若對任意恒有，求的取值范圍.39．證明:.40．已知證明.41．已知函數(shù)，若證明42．已知函數(shù)是在上每一點處均可導(dǎo)的函數(shù),若在上恒成立.(Ⅰ)①求證:函數(shù)在上是增函數(shù);②當時,證明:;(Ⅱ)已知不等式在且時恒成立,求證:43．若，求證:.44．求證：.45．已知，求證:46．已知，求證:47．若，求證:.48．已知函數(shù)，.對任意正數(shù)，證明：．49．求證:.（二）、詳細解析1.【分析】（1）根據(jù)裂項相消求和即可；（2）根據(jù)放縮再求和即可【詳解】(1)因為，所以(2)因為，所以2.【分析】根據(jù)放縮后利用裂項相消求和即可【詳解】因為，故，故3.【詳解】由根據(jù)得所以4.【分析】利用分式放縮法證明出，進而利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】由，得，所以，要證，只需證，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：累加相消，可得.故得證.6.【分析】先證右邊，根據(jù)放縮，再證左邊，根據(jù)放縮，討論和時的情況即可【詳解】一方面:因為，所以另一方面:當時，，成立當時，，當時，，所以綜上有7.【分析】由分析可知要證明的不等式等價于，只需證，即，證明對于恒成立，即可求證.【詳解】首先可以證明:令，則，當時，恒成立，符合題意；當時，由可得，因為，所以，可得在單調(diào)遞增，由可得，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即對于恒成立，因為，所以要證，只要證：，只需證，只需證，即等價于，，因為，所以和顯然成立，所以原命題成立.8.【分析】由題意求出，通過化簡、裂項求得，進而可證明.【詳解】所以從而9.【分析】分奇偶代入，再根據(jù)與放縮求和即可【詳解】證明:，因為，所以所以10.【分析】觀察不等式，構(gòu)造函數(shù)不等式，變形得，累加，再放縮即可得證.【詳解】先構(gòu)造函數(shù)，，易知在遞增，在遞減，所以所以有，從而所以11.【分析】構(gòu)造函數(shù)，得到，再證明，由此可得，求和后可以得到答案.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，∴當時，，函數(shù)在上為減函數(shù)，又，，∴，∴，即，設(shè)，則，當時，，函數(shù)在上為減函數(shù)，又時，∴，即，∴，∴，，…，，∴，∴，∴12.【分析】構(gòu)造函數(shù)先證明，得到，再疊加求和即可證明【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，故當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增故，故，所以，令，則，故，即故三、分式放縮姐妹不等式:和記憶口訣”小者小，大者大”，解釋:看b，若b小，則不等號小于號，反之.13.【分析】根據(jù)放縮證明即可【詳解】利用假分數(shù)的一個性質(zhì)可得即故，即，故，即14.【分析】進行兩次放縮，再相乘化簡即可【詳解】運用兩次次分式放縮:因為，故，所以兩式相乘，可以得到:，故即所以有15.【分析】根據(jù)放縮即可【詳解】當時，，故16.【分析】（1）根據(jù)軸正半軸上的點列與曲線上的點列滿足得出，再根據(jù)直線在軸上的截距為求解即可（2）設(shè)，代入化簡，利用放縮方法得到，再設(shè)，證明當時即可證明【詳解】（1）依題設(shè)有：，由得：，又直線在軸上的截距為滿足故，顯然，對于，有(2)證明：設(shè)，則設(shè)，則當時，.所以，取，對都有：故有<成立.17.【分析】首先計算出，再利用放縮法求出.【詳解】因為的定義域為[－1，0]，值域也為[－1，0]所以∵∴∵，，…，故當時，，因此，對任何常數(shù)A，設(shè)是不小于A的最小正整數(shù)，則當時，必有.故不存在常數(shù)A使對所有的正整數(shù)恒成立.18.【分析】容易得到，所以，要證只要證，由于，進而記，得故，所以原命題得證【詳解】因為，，所以，即，所以或所以內(nèi)整數(shù)坐標點在直線和上，所以與的交點縱坐標為，有整數(shù)點個，與的交點縱坐標為，有整數(shù)點個所以內(nèi)整數(shù)坐標點的個數(shù)為因為，所以所以，即，所以，即所以，記，則所以要證，即證，所以只需證，因為所以當時，求證:成立.19.【分析】推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，求得，分析可知，當時，，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可證得結(jié)論成立.【詳解】因為，，且，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項和公比均為，所以，，解得，所以，，當時，，，因為數(shù)列為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，故數(shù)列為遞增數(shù)列，當時，，故，所以，，因此，.相加后就可以得到:所以22.【分析】利用分式放縮法證明出，進而利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】由，得，所以，要證，只需證，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：當時，左邊=，右邊=，因為，所以<，不等式成立；假設(shè)時不等式成立，即，那么當時，，要證，只需證，即證，也就是證：3<4，此時顯然成立.所以當時不等式成立.綜上所述，，所以23.【分析】由與的關(guān)系，結(jié)合待定系數(shù)法可求得，由于通項中含有，考慮分項討論，分析得出當且為奇數(shù)時，，然后分為奇數(shù)和偶數(shù)進行分類討論，結(jié)合放縮法以及等比數(shù)列的求和公式可證得所證不等式成立.【詳解】當時，，解得，當時，由可得，兩式作差得，即，設(shè)，即，所以，，得，所以，，故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且首項為，所以，，故，由于通項中含有，很難直接放縮，考慮分項討論：當且為奇數(shù)時，（減項放縮）.①當且為偶數(shù)時，；②當且為奇數(shù)時，所以，.因此，對任意的整數(shù)，有.24.【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的最值，對一切，的充要條件是，得到約束條件，結(jié)合線性規(guī)劃可得的最大值.【詳解】由題意得，，當時，；當時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故的極小值，極大值.又當時，；當時，，所以的最小值為，最大值為，故對一切，的充要條件是，即，滿足約束條件，作出可行域，如圖所示，當直線過點時，取得最大值，且最大值為5．25.【分析】構(gòu)造函數(shù)，通過計算判斷單調(diào)性，可得，進而可得；構(gòu)造函數(shù)，通過計算判斷單調(diào)性，可得，進而可得.【詳解】證明構(gòu)造函數(shù)，則，故單調(diào)遞減，于是，即.同理，構(gòu)造函數(shù)，則，故單調(diào)遞減，于是，即.26.【分析】根據(jù)，結(jié)合單調(diào)性與最值求得，再根據(jù)放縮，累加求和證明即可【詳解】因為，故，即，故所以在[0，1]上為單調(diào)函數(shù)，又，故，，故代入可得，故，又27.【分析】根據(jù)與基本不等式可得，再根據(jù)二項展開式構(gòu)造，倒序相加求和再結(jié)合基本不等式證明即可【詳解】由得，又，故，而，令，則=，因為，倒序相加得=，而，則，所以，即對每一個，.28.【分析】分當和時兩種情況，當時，根據(jù)與進行放縮，得到再累加證明即可【詳解】當時，；當時，.設(shè)，則，故在上單調(diào)遞減，故，故.令，則，即29.【分析】由題意可認為成等差數(shù)列，設(shè)，結(jié)合基本不等式可得，整理即可.【詳解】因為a+b=1，a>0，b>0，可認為成等差數(shù)列，設(shè)，則，所以，當且僅當時取等號，即，所以.30.【分析】（1）令，由①，②可得（2）任取且設(shè)結(jié)合已知條件可得，所以在[0，1]上遞增，所以，（3）先用數(shù)學(xué)歸納法證明：，而當時，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論【詳解】（1）解：令，由①對于任意[0，1]，總有，∴又由②得即∴（2）解：任取且設(shè)則因為，所以，即∴.∴在[0，1]上遞增，∴當[0，1]時，.（3）證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明：當n=1時，，不等式成立；假設(shè)當n=k時，由得即當n=k+1時，不等式成立由（1）、（2）可知，不等式對一切正整數(shù)都成立.于是，當時，，而[0，1]，單調(diào)遞增∴，所以，31.【分析】通過構(gòu)造對偶式：，，首先證明，然后構(gòu)造，從而利用基本不等式證明.【詳解】構(gòu)造對偶式：令，，則，所以，又因為，所以，所以.32.【分析】利用放縮法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可求證【詳解】，33.【分析】利用放縮法得，又，結(jié)合裂項相消求和法即可證明.【詳解】證明：因為，所以，又（只將其中一個變成，進行部分放縮），所以，所以34.【分析】（1）推出數(shù)列是等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，可求出數(shù)列的通項公式，進而可求得的通項公式，然后利用配方法可證得結(jié)論成立；（2）取，由（1）中的結(jié)論結(jié)合等比數(shù)列求和可證得所證不等式成立.【詳解】（1）對任意的，，則，因為，可得，，，以此類推，可知，對任意的，，且有，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為，公比為，所以，，解得，，對任意的，，，得證；（2）由（1）可知，對任意的，有取，所以，，故原不等式成立.35.【分析】確定，再證明，相加相消，即可證明結(jié)論．【詳解】證明：，，的單調(diào)減區(qū)間為，在上單調(diào)遞減，，，，即有，．36.【分析】令，由題意可得對于恒成立，求，分別討論、和時，的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】因為，所以，因為，，則，①當時，恒成立，在上單調(diào)遞增，，所以當時，恒成立.②當時，，因此當時，不符合題意；③當時，令，則，故當時，，在上單調(diào)遞增，故，即，所以當時，，所以不符合題意；所以綜上有的取值范圍是.37.【分析】由三角恒等變換的公式化簡得到，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在單調(diào)遞增，得出，進而得到，結(jié)合題意，即可證明.【詳解】由，當時，令，則，所以當時，，所以單調(diào)遞增，所以，即，可得，即，所以，因為，所以38.【分析】先確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，判定函數(shù)的單調(diào)性，按0＜a≤2，a＞2，a≤0進行分類討論，即可得到結(jié)論．【詳解】函數(shù)的定義域為（﹣∞，1）∪（1，+∞），求導(dǎo)函數(shù)可得，當0＜a≤2時，f′（x）＞0，函數(shù)在（﹣∞，1）和（1，+∞）上為增函數(shù)，對任意x∈（0，1）恒有f（x）＞f（0）＝1；當a＞2時，函數(shù)在（﹣∞，﹣），（，1）和（1，+∞）上為增函數(shù)，在（﹣，）上為減函數(shù)，取x0＝∈（0，1），則f（x0）＜f（0）＝1；當a≤0時，對任意x∈（0，1）恒有且e﹣ax≥1，∴.綜上，當a∈時，對任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1．39.【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性可證明，再令累加求和即可【詳解】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，可以得到:，令有，令有，所以，所以，令有，所以，故，所以40.【分析】分當和時兩種情況，當時，根據(jù)與進行放縮，得到再累加證明即可【詳解】當時，；當時，.設(shè)，則，故在上單調(diào)遞減，故，故.令，則，即41.【分析】根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)，得到，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，得到，進而得到，再令，代入即可求解.【詳解】設(shè)函數(shù)，因為，所以，則，可得，令，則有，即，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最小值為，即總有，又由所以，即，令，則所以，即42.【分析】(I)①先利用導(dǎo)數(shù)的四則運算,求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),結(jié)合已知證明導(dǎo)函數(shù)在上恒成立,即可證明其在上是增函數(shù);②利用①的結(jié)論,且時,,且,得,從中解出、即可證得結(jié)論;構(gòu)造一個符合條件的函數(shù),利用(I)的結(jié)論,得,令,再將放縮,即可證得所證不等式【詳解】(Ⅰ)①

，在上恒成立,

從而有在上是增函數(shù).

②由