2022屆新高考復(fù)習(xí)沖刺數(shù)學(xué)試卷分項(xiàng)解析15 一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用【解答題解析版】

2022屆新高考復(fù)習(xí)沖刺數(shù)學(xué)試卷分項(xiàng)解析

專題15一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(解答題)

28.(2021?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三二模)已知函數(shù)/(x)=e'-or(〃€R).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)。=2時(shí)，求函數(shù)g(x)=/(x)-cosx在(g,+oo)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】(1)答案見解析；(2)2個(gè).

【分析】

(1)求導(dǎo)得到r*)=er-。，再對(duì)。分類討論得到函數(shù)/(X)的單調(diào)性;

(2)由題得g'a)=e*+sinx-2,再對(duì)“分三種情況討論得解.

【詳解】

(1)f(x)=ex-ax,其定義域?yàn)镽,f\x)=ex-a

①當(dāng)。40時(shí),因?yàn)閞(x)>0,所以/(力在R上單調(diào)遞增，

②當(dāng)口>0時(shí)，令/'(力>0得x>lna,令f'(x)<0得x<lna

所以在(―，Ina)上單調(diào)遞減，(lna,w)上單調(diào)遞增，

綜上所述：

當(dāng)aWO時(shí)，〃力在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(YO,Ina)單調(diào)遞減，(Ina,+oo)單調(diào)遞增，

(2)已知得g(x)=eX-2x-cosx,

貝l]+sinx-2

①當(dāng)”｛一5時(shí)，因?yàn)間'(x)=(6、-1)+($inx-1)<0

所以屋力在(g。)單調(diào)遞減，

所以g(x)>g(O)=O,

所以屋力在卜宗。)上無零點(diǎn)；

②當(dāng)/e0,y時(shí)，因?yàn)間<x）單調(diào)遞增，且g'（0）=—l<0,訃

所以存在與（0,3,使/（%）=°

當(dāng)x?0,Xo）時(shí)，g'（x）〈O,

當(dāng)“€卜。3時(shí)，g'（x）>o

所以g（x）在[0,天）遞減卜遞增，旦g⑼=0,所以g（玉）<0,

又因?yàn)槟?gt;0

所以g（x（）>g圖<°

所以g（力在卜0,上存在一個(gè)零點(diǎn)，

所以晨力在[。仁上有兩個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)“￡（宗+8）時(shí),g，（x）=et+sinx_2>——3>0,

所以g（x）在（條+8）單調(diào)遞增

因?yàn)間[9>0,所以g（H在（多+8）上無零點(diǎn)；

綜上所述，屋力在（一夕+8）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：函數(shù)的零點(diǎn)問題常見的解法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）圖象法（直接研究函數(shù)f（x）

的圖象得解）；（3）方程+圖象法（令/（就=0得到g（x）=〃（x）,再研究函數(shù)g（"）M（x）圖象性質(zhì)即得解）.要

根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.

29.（2021?山東高三其他模擬）已知函數(shù)/（X）=/—Inx.

（1）求段）的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：四+―

x44

【答案】（1）增區(qū)間為（①，+oo）,減區(qū)間為（0,正）；（2）證明見解析.

22

【分析】

（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法即可求出；

（2）原不等式等價(jià)于;丁+；%—[g>0,設(shè)g（x）=（d+；x—lnx（x>0）,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）的最小

值大于零，即可證出.

【詳解】

（1）=的定義域是（0,4-oo）,

*1）=版__1=（缶+】）（缶7）,

當(dāng)X>立時(shí)，f（x）>0,函數(shù)7U）在（立，4-00）上單調(diào)遞增；

22

當(dāng)04V立時(shí)，/（A）<0,函數(shù)人x）在（0,立）上單調(diào)遞減，

22

綜上，函數(shù)人處的增區(qū)間為（也，+oo）,減區(qū)間為（0,也）；

22

（2）證明：由于K>0,要證明-H—-x>—,即證明/（X）*!—X3—x~4--x=-X3H—x—lnx>0,令

x444444

g（x）=-x3+-x-\nx（x>0）,

44

則/（工）=3彳2+,_3=31+X―4,令《川=3/+X_4。>0）,?%）=3/+1>0恒成立，???《x）在（0,+s）

44x4x

單調(diào)遞增，即g'（x）在（0,+8）單調(diào)遞增，又/（1）=0,即/（I）=0,??.g（x）在（0,1）上單調(diào)遞減，

在（1,+oo）上單調(diào)遞增，

???g（x）最小值=g（x）極小值=g（1）=；+；=；>0成立，

所以原結(jié)論成立.

30.（2021?廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)附屬天河學(xué)校高二期中）設(shè)函數(shù)/（x）=21nx-M2+l.

（1）當(dāng)有極值時(shí)，若存在毛，使得〃?。?gt;6-1成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

（2）當(dāng)桃-1時(shí)，若在f（x）定義域內(nèi)存在兩實(shí)數(shù)0與滿足工一吃且/（七）=〃.），證明，芭+々）2.

【答案】（1）（0,1）；（2）證明見解析.

【分析】

（1）根據(jù)/（x）有極值可確定相>0,利用導(dǎo)數(shù)可求得由能成立的思想可知

m-l</（x）imx,得到m+ln〃I<0,令旗川=m+lnm-l,利用導(dǎo)數(shù)可知耳機(jī)）單調(diào)遞增，結(jié)合人（加）零點(diǎn)

可確定胴的范圍；

（2）利用導(dǎo)數(shù)可求得“力單調(diào)性，由此確定Oj<l<再;令尸（力=〃力一〃2-力,xe（O,l）,利用導(dǎo)數(shù)

可求得尸(x)vO,即f(x)v〃2r),代入"=百后,置換成〃w)v/(2f)，結(jié)合“可單調(diào)性可確定自

變量的大小關(guān)系，由此證得不等式.

【詳解】

(1)/(X)定義域?yàn)?0,+8),/'(%)=--2/7ir=-(-/nr24-l),

XX

當(dāng)mWO時(shí)，/'(力對(duì)，即“X)在(0,+?1上單調(diào)遞增，不合題意，.?.相>0；

令一/n*+1=0，解得：x=^~1

.?.當(dāng)xw0,?時(shí)，/(x)>0；當(dāng)時(shí)，/'(x)<0；

\17\17

???/(?在。噌上單調(diào)遞增,在(。，口)上單調(diào)遞減，，也7閨;

閶,

存在再，使得f(飛)>加一1成立，則加一1</(力1rax,即/

又f_1=21nJ---m-_+1=-Inw,：.m-\<-ln/n,

IV機(jī)JVmtn

即zn+lnw-1<0,

h(m\=m+\nm-\,則/7'(〃?)=l+L=/!Ltl>o,

inm

.?./?(〃!)在(0,+8)上單調(diào)遞增，XA(l)=l+lnl-l=O,/.0</n<l,

即實(shí)數(shù)胴的取值范圍為(0,1).

二2—292(12)

(2)當(dāng)m=1時(shí)，f(x)=2\nx-x2+\,則/[x)=2_2x

XX

.?.當(dāng)xw(O,l)時(shí)，r(x)>0；當(dāng)x?l,y)時(shí)，r(x)vO：

.j("在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減,

二由％<%2且/(%)=/(9)知：

令尸(x)=/(x)—/(2—x),X€(0,l),

則/X)=婦上2(127))3,=鈔>0

\)x2-x''x(2-x\

.?.尸(力在(0,1)上單調(diào)遞增，.??尸(力〈4(1)=0,即/(力<〃2-同；

”(石)<〃2-％)，又/&)=/(%),?.?/(/)<f(2-x)：

???Pw(0,l),.?.2-%w(l,2),又且〃%)在(L+oo)上單調(diào)遞減,

/.x2>2-xt,口(J內(nèi)+占>2.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛:本題第二問考查了導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題的變形，處理極值點(diǎn)偏移問題中的類似于再十七>。的

問題的基本步驟如下：

①求導(dǎo)確定/(X)的單調(diào)性，得到與W的范圍；

②構(gòu)迨函數(shù)尸(x)=f(x)-/(a—X),求導(dǎo)后可得尸(力恒正或恒負(fù)；

③得到/&)與/(。―西)的大小關(guān)系后，將/(5)置換為〃王)；

④根據(jù)々與。-3所處的范圍，結(jié)合/(X)的單調(diào)性，可得到與與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.

31.(2021?山東泰安?高三其他模擬)已知函數(shù)/(xAf+x+sinr-aln(x+l).

(1)當(dāng)a=T時(shí)，求/(4)圖象在點(diǎn)(OJ(O))處的切線方程；

(2)當(dāng)。>0且。工2時(shí)，證明：/(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

【答案】(1)、=3%；(2)證明見解析；

【分析】

(1)當(dāng)。=-1時(shí)，代入，求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義即切線斜率，求得切線方程：

(2)通過二次求導(dǎo)判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得原函數(shù)單調(diào)性，從而解決零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.

【詳解】

(1)當(dāng)〃=一1時(shí)，/(x)=x2+x+sinx+ln(x+l).

則/r(x)=2x+l+cosjc+——-,

貝iJf(0)=3,又/(0)=0

則/(x)圖象在點(diǎn)(OJ(。))處的切線方程為y=3x：

(2)由r(x)=2x+l+cosx——'.(〃>())

則廣(x)=2-sinx+尸&>0恒成立，/J)單調(diào)遞增；

(x+1)

又XT-1,/'*)->—；X->+ooJ'")f-,

則必然存在一點(diǎn)七e(T,+°o),使得/'(%)=o,且xe(T,%),r(x)v0,/(%)單減，xe(/,+oo),f(x)>0t

f(x)單增，即〃X)min=/(%)，

則/U)4f(0)=0,

故若/(*)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則f(Xo)<O,只需最小值點(diǎn)不在x=0處取得即可，

即八0)=2-?0,即〃工2,

故當(dāng)〃>0且。工2時(shí)，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

32.(2021?山東煙臺(tái)二中高三三模)已知函數(shù)/(x)=e*(加2+x),g(x)=cT^-i-ax+a\nx+\.

(1)若函數(shù)/(x)在x=l處取得極大值，求實(shí)數(shù)〃?的值；

(2)當(dāng)機(jī)=1時(shí)，若對(duì)Dx>0,不等式/(x)Ng(x)恒成立，求實(shí)數(shù)〃的值.

2

【答案】(1)m=--;(2)a=l.

【分析】

(1)先根據(jù)極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值為零求解出m的可取值，然后檢驗(yàn)小的取值下/(“在％=1處是否取極大

值，由此確定出陽的值：

(1)先將問題轉(zhuǎn)化為“x>0時(shí)，^+,nx>?(x+lnx)+r\再通過換元將問題轉(zhuǎn)化為“必€凡，-.”120恒成

立“，然后構(gòu)造函數(shù)戶(/)=--點(diǎn)-1,采用分類討論的方法分析尸(。的最小值與。的關(guān)系，由此求解出。的

值.

【詳解】

(1)因?yàn)?(x)=e"(儂2+%),所以八彳)=/(儂2+x+2/nr+l),

因?yàn)椤傲υ赬=1處取極大值，所以.尸⑴=0,所以4加+1+2帆+1)=0,所以次=—；

21

當(dāng)m二—§時(shí)，r(x)=--^(2x+3)(x-l),

_3

X

~21(1，司

r（x）一0+0一

/W單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

所以〃力在X=1處取極大值，符合題意；

(2)當(dāng)相=1時(shí)，/(x)=eA(x2+x),g(x)=e：xx2+ax+a\nx+l.

又因?yàn)閷?duì)Dx>0,不等式/(x)Ng(x),所以x>0時(shí)，ex(X2+X)^eV4-ar+?lnx+H

所以"0時(shí)，ex+]nx>a(x+\nx)+},

令，=x+lnx,因?yàn)榱?x)=x+lnx為(0,+力)上的增函數(shù)，且力(力的值域?yàn)镽,所以，eR,

故問題轉(zhuǎn)化為“切￡昭--"-120恒成立'’,不妨設(shè)/。)=/一。一1,所以9(。=/一%

當(dāng)aw。時(shí)，F(xiàn)\t)=ef-a>0,所以尸(。在R上單調(diào)遞增，且尸(O)=e°-1=0,

所以當(dāng)E?7),0)時(shí)，F(xiàn)(r)<F(O)=O,這與題意不符；

當(dāng)a>0時(shí)，令尸'(。=0,解得x=lna,

當(dāng)」￡(Yo,lna)時(shí),F(r)<0,尸⑺單調(diào)遞減，當(dāng)f?lna,E)時(shí),F(r)>0,尸⑺單調(diào)遞增，

所以尸(。而n=/(lna)=*"-a\na-l=a-alna-l>0,

所以l-lna-L之o,所以Ina+'-iwo,

aa

記O=lna+g_l”(a)=^^,

當(dāng)ae(0,l)時(shí)，"(a)<0,°⑷單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，9⑷單調(diào)遞增，

所以。(0)*=。。)=°，

又因?yàn)閘n〃+』-l<0,即0(〃)WO,所以a=l.

a

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)范圍的兩種常用方法：

(1)分離參數(shù)法：將參數(shù)和自變量分離開來，構(gòu)造關(guān)于自變量的新函數(shù)，研究新函數(shù)最值與參數(shù)之間的關(guān)

系，求解出參數(shù)范圍；

(2)分類討論法：根據(jù)題意分析參數(shù)的臨界值，根據(jù)臨界值作分類討論，分別求解出滿足題意的參數(shù)范圍

最后取并集.

33.(2021.江蘇泰州市.泰州中學(xué)高二期中)已知函數(shù)/(x)=xsin工

(1)判斷函數(shù)〃功在區(qū)間|o,1J上的單調(diào)性，并說明理由；

(2)求證：函數(shù)/(')在內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；

(3)求函數(shù)8*)=華里在區(qū)間(1,4］上的最小值.

【答案】(1)增函數(shù)，理由見解析(2)證明見解析(3)

【分析】

(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷可得結(jié)果；

(2)利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)極值點(diǎn)的定義可證結(jié)論正確；

(3)根據(jù)/*)+1在％="時(shí)取得最小值，Inx在x=/r時(shí)取得最大值，可得?；迷趚=乃時(shí)取得最小值.

【詳解】

(1)因?yàn)閒(x)=xsinx,所以rCr)=sinM+x?cosx,

因?yàn)?<x<、，所以ra)>o,

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間(0，1)上為增函數(shù).

(2)設(shè)〃(x)=/'(x),則/z'(x)=cosx+cosx-x?sinx=2cosx-xsinx,

當(dāng)］。<乃時(shí)，力'(x)<0,所以〃⑴在停，上為減函數(shù)，

又A(—)=1>0,躍兀)=一乃<0,

2

所以存在唯一.￡弓"),使得〃(%)=0,

即存在唯一飛￡弓,幻，使得八%)=0,

M與f'(x)在區(qū)間(］，兀)內(nèi)的變化情況如下：

X(名“*0(■㈤

f'W+0—

/(X)增函數(shù)極大值減函數(shù)

所以函數(shù)/⑴在(宗，內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn).

(3)由(1)(2)知，在(1,小)內(nèi)單調(diào)遞增，在(小，乃)內(nèi)單調(diào)遞減，

又因?yàn)閒(l)=sinl>。，fW=O,所以當(dāng)xe(l,;r|時(shí)，/(x)+l^l,

又因?yàn)楫?dāng)xw(l,乃]時(shí)，0<lnx<ln^-,

所以雙幻=華里之丁匚，當(dāng)且僅當(dāng)％=不時(shí)等號(hào)成立，

InxIn4

所以g(x)在(1㈤上的最小值為丁L.

\n7T

34.(2021?山東高三月考)已知函數(shù)/(x)=?+ar+g/]nx(?eR)/(力是/(力的導(dǎo)函數(shù).

(1)若。>0,曲線y=/(x)在(IJ。))處的切線為y=gx+力，求“，b的值：

(2)設(shè)8(6二靖(力一/,若g(x)K0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴。=2,b=-1；(2)卜瓜2-1112].

【分析】

o

(1)求得導(dǎo)函數(shù)/'(幻，由/?)=]求得。，再求得切線坐標(biāo)后可得b；

(2)先求得8(力=312+衣+(_一產(chǎn)，XG(O,-KX)),求導(dǎo)函數(shù)g'(x),再設(shè)g'a)=A3,求導(dǎo)A(x),得g'(x)

的單調(diào)性，g'(0)=。-1,a-l<OW,由g(0)?0得范圍,。一1>0時(shí)，由g'(0)=a—1>0,計(jì)算gQiZz),

由導(dǎo)數(shù)證明g'(ln2)是減函數(shù),得g'(ln2a)<0,

這樣存在唯一x()e(0,ln(2a)),使得g'(F)=0,得8(旦皿=g(x。)，由g5)40求得4的范圍，再由。,真的

關(guān)系得。的范圍，綜合可得結(jié)論.

【詳解】

解：⑴“力的定義域?yàn)?0,+功，/'(力=*。+9

所以r(l)=1+a+且=?,解得a=2或白=-4(舍)，

所以"1)=(，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(用，代入切線方程得6=-(,

9

所以〃=2,力=-1

⑵g(K)=#+〃+>xe(0,+oo),

所以g'(x)=x+i]

設(shè)〃(力=x+〃一，，xe(0,+00),

所以/f(x)=l-F<0,

所以g'(x)在(。，+8)上是減函數(shù),且g'(%)<g'(O)=aT,

①當(dāng)〃-1K0時(shí)，即時(shí)，g'(x)vg'(0)<0,

所以g(x)在(0,e)上是減函數(shù),

所以g(x)<g(O)=^~T?O，解得-

所以-

②當(dāng)〃-1>0時(shí)，即a>l時(shí)，g'(0)=a-l>0,g'(\nla)=\n2a-a,

^,m(a)=\n2a-a,所以加(〃)=』_],

所以相(4)在(1.g)上是減函數(shù)，

所以g〈ln2a)=ln2t?-aV"?⑴=ln2-lv0,

所以存在唯一/e(O,ln2a)滿足/(不)=0,即/+。一e、'=0,

所以當(dāng)x?0,.")時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xw(如ln2a)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

所gG)max=g(%)=jXj+叫++-*=g(X°+/—*=；-^'<0,

解得0We%42，所以0v/Wln2,

因?yàn)椤?c與一/且0</工In2,

設(shè)尹(工)=ex-x,xw(O,In2],

所以夕'(力二d一1>0,

所以。⑺在(0M2]上是增函數(shù),

因?yàn)橄?0)=0,^(In2)=2-ln2,

所以lva?2-ln2,

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是卜&，2-1間.

qin丫

35.(2022?全國(guó)高三專題練習(xí))已知函數(shù)/("=—/(x>0).

(1)判斷函數(shù)/(力在(0,4)上的單調(diào)性；

（2）證明函數(shù)“力在（4,2乃）內(nèi)存在唯一的極值點(diǎn)內(nèi),且/伉）〈一弓.

【答案】（1）函數(shù)/（X）在（0,乃）上的單調(diào)遞減；（2）證明見解析.

【分析】

（1）求導(dǎo)得r（x）="c°s：；sm"a＞。）,再令g（x）=xcosx-sinx求導(dǎo)得在區(qū)間（0㈤上，g（x）單調(diào)遞減

且g（o）=o,故在區(qū)間（（U）上,r（x）＜0,進(jìn)而得答案；

（2）結(jié)合（1）易得在區(qū)間（肛2外上g（x）單調(diào)遞增,再結(jié)合函數(shù)值的分布得天?處2]），使得r（%）=0.

且與為函數(shù)/（同在（匹2%）上的唯一極小值，再結(jié)合/傳％]=匚也

\3）8萬

【詳解】

解：（1）由于/（%）=包丫（x＞0），

xcosx-sinx

得/（力=(x>0),

-

設(shè)g(x)=x8sx-sinx,其導(dǎo)函數(shù)g'(x)=-xsinx,

在區(qū)間（0,外上，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，且g（0）=0,

所以在區(qū)間（0,乃）上,g（x）〈0,

所以在區(qū)間（。,萬）上,ra）＜o(jì),

所以函數(shù)〃%）在（0,句上的單調(diào)遞減.

（2）由第（1）問，在區(qū)間（肛2萬）上,y（x）＞0,g（x）單調(diào)遞增,

且g（%）=-乃＜0，g（2;r）=2%＞0,

所以存在唯一的天?乃,2乃），使得r伍）=0,

在區(qū)間（%,為）上,r（x）＜o(jì),“外單調(diào)遞減，

在區(qū)間（七,2%）上,ff（x）＞0,外力單調(diào)遞增，

所以修為函數(shù)/（1）在（4,2萬）上的唯一極小值，

x/32

-----冗3乃

4乃23；=白>0

其中廣<0,29/

316,97r

—714

9

43-2

所以七e—n—n，且f

3y2￥8萬3萬

由于/9

2

3乃

36.（2022?全國(guó)高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，（6二4（/7）-lnx（a￡R）.

（1）討論函數(shù)/（X）的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)無>1時(shí)，—>4—

Inxxi—x

【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.

【分析】

（1）求出函數(shù)八封的定義域?yàn)椋?,+8），求得廣（力=2%",對(duì)實(shí)數(shù)4的取值進(jìn)行分類討論，討論

/'（力在（0,+功上的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)/（X）的單調(diào)性：

（2）利用（1）中的結(jié)論可得當(dāng)x>l時(shí)，0<lnx<f-x,利用導(dǎo)數(shù)證明出表5N/+]>0，利用不等式的

基本性質(zhì)可證得結(jié)論成立.

【詳解】

（1）函數(shù)/"）的定義域?yàn)椋ā?也），/'（1）=〃（2工一1）」=2冰;一1

g（x）=2ax2-ax-\.

①當(dāng)〃=0時(shí)，g（x）=TvO,/（力=幽〈0,故/（力在（0,+力）單調(diào)遞減；

②當(dāng)〃工0時(shí)，g（x）為二次函數(shù),A=a2+8a.

若AKO,即-8W〃<0,則g（x）的圖象為開口向下的拋物線且g（x）VO,

所以r（x）40,故在（0,侄）單調(diào)遞減；

若△>（）,即av-8或。>0,令g（"=0,得$=°一或2+犯,“a+,"+8。

4a4a

當(dāng)。<-8時(shí)，g（x）圖象為開I響下的拋物線，0<與<斗,

所以當(dāng)工?0,占)或工式內(nèi),”)時(shí)，g(x)〈O，所以/'(x)<。，/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xw(孫％)時(shí),g(x)>0,所以/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)。>0時(shí)，g(x)圖象為開口向上的拋物線，為<。<占，

所以當(dāng)％e(O，Z)，g(x)KO,所以/'(刈<0,故“力單調(diào)遞減;

當(dāng)XW(孫田)時(shí),g(x)>0,所以/'(x)>o,/(X)單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)。<~8時(shí)，f(力在空學(xué)也］和卜一“2+8。,—］上單調(diào)遞減,

74a4a

\Z\/

2

(a+y/a?+8aa->/a+8a］…、…41V

在----:-----，----:-----上單調(diào)遞增；

4。4。

X/

當(dāng)°>0時(shí)，/(X)在［o,世華也］單調(diào)遞減,在卜+'/+8。，”)上單調(diào)遞增:

''4。4a

XZ\/

當(dāng)-8￡a40,/(力在(0,+8)單調(diào)遞減；

(2)由(1)知，當(dāng)〃=1時(shí)，/(X)在(0,1)單調(diào)遞減，在。，“0)單調(diào)遞增，

因此對(duì)Vx>1恒有f(力>/(1),即fr>In-

因?yàn)镺clnxv/—%,若2eiNf+i成立，則三.成立.

令/(工)=——3任+1)(工21),則以力二―一%,(p\x)=ex~'-1.

因?yàn)樗?(X)之0,所以“(力在口，也)單調(diào)遞增，

又0'(1)=0,所以當(dāng)KN1時(shí)，/(x)NO,所以>(x)在［1,位)單調(diào)遞增，

又夕(1)=0,所以對(duì),>1恒有/(力>/(1)=0,即列戶,k+1.

當(dāng)x>l時(shí)，0<lnxvf—x,則：>__>(),由不等式的基本性質(zhì)可得、?

Inxx-xInxx-x

因此，原不等式成立.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式/(x)>g(x)(或/(x)vg(x))轉(zhuǎn)化為證明〃x)-g(x)>0(或

f(x)-g(x)<0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)力(x)=/(力-g(x);

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)陶構(gòu)造輔助函數(shù).

37.(2021.山東高三其他模擬)已知函數(shù)/*)=+，g(x)=ar-21nx-a(aw為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

e

(1)求〃x)的極值：

(2)在區(qū)間(0㈤上，對(duì)于任意的毛,總存在兩個(gè)不同的內(nèi)，/，使得g($)=gX)=f(/)，求〃的取值范圍.

【答案】(1)極大值，(1)=1,無極小值.(2),拓)

e-1

【詳解】

試題分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值，先求導(dǎo)函數(shù)，再在定義域內(nèi)求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn).列表分析函數(shù)單調(diào)性變

化規(guī)律，得出結(jié)論；/(X)在*=1時(shí)取得極大值/⑴=1,無極小值.(2)先確定當(dāng)XG(0㈤時(shí)，函數(shù)/(X)的

值域?yàn)?0』.因此函數(shù)g(x)=ar-21nx-a必然不單調(diào)，即g(x)=ar-21nx-〃的導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)，函數(shù)必須

有極值點(diǎn)，由于函數(shù).堂的或先減后增，所以結(jié)合圖像可知端點(diǎn)值及極小值必須滿足&a對(duì)于不等式

遂⑹21,

公-旃-窗以一三期的求解，又需結(jié)合導(dǎo)數(shù)：研究函數(shù)m(a)=2-〃-21nW單調(diào)變化趨勢(shì)，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)最大值

砌a

不大于零

試題解析：(1)因?yàn)椋?幻=弓，所以r(力=縣二普，

ee

令第x)=0,得x=l.

當(dāng)xw(YO,l)時(shí)，/^x)>0,/(x)是增函數(shù)；

當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，/^x)<0,/(x)是減函數(shù).

所以〃力在x=l時(shí)取得極大值/⑴=1,無極小值.

(2)由(1)知，當(dāng)xe(0,l)時(shí)，/")單調(diào)遞增；當(dāng)xe(l,e］時(shí)，/(x)單調(diào)遞減.

又因?yàn)?(0)=0J⑴=1J(e)=e?e?>0,

所以當(dāng)xw(0㈤時(shí),函數(shù)/(x)的值域?yàn)?0』.

當(dāng)〃=0時(shí)，g(x)=-21nx在(0?上單調(diào)，不合題意；

當(dāng)時(shí)，，/、2ax-2"("一//八「

8(x)=a——=-------=------^,xe(O,e|

XXX

故必須滿足0＜工2＜e,所以2

ae

此時(shí)，當(dāng)X變化時(shí)，g(x),g(x)的變化情況如下:

2

X(oF)

a

g'(x)——0+

g(x)單調(diào)減最小值單調(diào)增

22

所以x—0,g(x)->+oo,g(一)=2-a-21n-,g(e)=a(e-l)-2.

aa

所以對(duì)任意給定的i?O,e］,在區(qū)間(O,e］上總存在兩個(gè)不同的演，x2

使得g(X)=g(X2)=/(/)，當(dāng)且僅當(dāng)4滿足下列條件''

、g(e)Nl,

2

2-fl-21n—<0,

即Ja

?(e-l)-2>l.

2

令/w⑷=2-a-21n—,

in\a)=-------,由m\d)=0,得a=2.

a

當(dāng)ae(2,+oo)時(shí)，H(a)v0,函數(shù)，〃3)單周遞減；

2

當(dāng)ae(*,2)時(shí)，/(〃)>(),函數(shù)見㈤單調(diào)遞增.

e

2

所以，對(duì)任意ae(-,+co)有m(a)<皿2)=0,

e

即2—a—21n2忘0對(duì)任意”(2,+00)恒成立.

ae

由。(e—l)-221,解得。之義.

e-1

3

綜上所述，當(dāng)?！辏凵?，+00)時(shí)，對(duì)于任意給定的X。w(0,e］,在區(qū)間(o,e］上總存在兩個(gè)不同的K，x2,使得

e-l

g(X])=g(%2)=/*(>).

38.(2022?全國(guó)高三專題練習(xí))已知函數(shù),?x)=a(cosx-1)-/?Iar+xsinx.

(1)若。=1,b=0,證明：段)在區(qū)間(0,乃)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；

(2)若a=0,b=7t,

①證明：時(shí)，y(x)>0：

②證明：V—sinl^+-|>41n(/i+l)-ln2](其中定2,且〃￡N+).

宏〃V3nJ

【答案】(1)證明見解析；(2)①證明見解析；②證明見解析.

【分析】

(1)將〃=1,〃=0代入求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)_/U)零點(diǎn)存在性定理即可證明.

(2)?f'(x)<—+tanxcosx+sinx=—+2sinx,

XX

令ga)=-?+2sinx,xe(0,、)可知g。)<=0,進(jìn)而判斷的單調(diào)性，即證.

②巴An住+，]>乃In四，結(jié)合累加法即可證明.

【詳解】

(1)若a=l,b=0,則危)=cosx-l+xsinx,/(x)=xcosx,

當(dāng)時(shí)，/(x)>°，當(dāng)時(shí)，/(x)V0，

??瓜“)在(°'1)上單調(diào)遞增，在(^，冗)上單調(diào)遞減，

又f(0)=0j圖>0J(玻=-2<0,

?VAX)在區(qū)間(0，乃)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；

(2)若a=0,b=兀,則/(%)=-6nx+/sinxj'(x)=—+xcosx+sinx,

x

①r(x)<--+tanxcosA+sinx=--+2sinx,

XX

令g(x)=-t+2sinx,xe(0,]),易知g(x)在(0,萬)上單調(diào)遞增，

???8。)<?0=0,即，a)vo,

,段)在上單調(diào)遞減，

??.")>/圖一嗚+介41-1吟)

>0,即得證;

②當(dāng)心，〃”時(shí),尹桂

由①矢L時(shí)，xsirtr>dnx,

以上各式相加得,

【點(diǎn)睛】

(I)有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，解題的基本思想是“數(shù)形結(jié)合”，即通過研究函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、極值、函數(shù)

值的極限位置等)，作出函數(shù)的大致圖象，然后通過函數(shù)圖象得出其與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，或者兩個(gè)相關(guān)函數(shù)

圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，基本步驟是“先數(shù)后形

(2)函數(shù)中與正整數(shù)有關(guān)的不等式，其實(shí)質(zhì)是利用函數(shù)性質(zhì)證明數(shù)列不等式，證明此類問題時(shí)常根據(jù)已知的

函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)〃的不等式替代函數(shù)不等式中的自變量，通過多次求和達(dá)到證明的目的.

39.(2021?山東聊城一中高三其他模擬)已知函數(shù)/(x)=alnx-&+l(x>0),awR.

(1)討論/(x)的單調(diào)性;

(2)若對(duì)任意“?0,*o),均有〃力40,求。的值:

(3)假設(shè)某籃球運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率均為0.81,若其10次投籃全部命中的概率為乙證明：p<e-2.

【答案】(1)答案見解析；(2)(3)證明見解析.

【分析】

(1)求出函數(shù)〃力的定義域，求得;但=幺二立

,對(duì)實(shí)數(shù)〃的取值進(jìn)行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化,

由此可得出函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間;

（2）由已知可得/（力皿、W0,利用（1）中的結(jié)論可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的不等式，由此可求得實(shí)數(shù)，的值;

（3）由（2）可得出lnxK2（五-1）,令I(lǐng)=0.8嚴(yán)可證得所證不等式成立.

【詳解】

1_2a-\[x

（1）函數(shù)“X）的定義域?yàn)椋?,+8），/（工）=7-

14x2x

若a〈0,則f'（x）vO對(duì)任意的x>0恒成立，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0,+功為減函數(shù);

若a>0,由/'（力>0可得0vxv4/,由/（力<0可得“心.

此時(shí)，函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,4a?）,單調(diào)遞減區(qū)間為（d2,位）.

綜上所述，當(dāng)心0時(shí)，函數(shù)/（力在（0,+8）為減函數(shù)；

當(dāng)〃>0時(shí)，函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為［0,4片），單調(diào)遞減區(qū)間為（aA+oo）；

（2）當(dāng)040時(shí),函數(shù)/（力在（0,+8）上為減函數(shù)，且/。）=0,

則當(dāng)Ovx<l時(shí)，/(x)>/(l)=O,不合乎題意；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0,4/),單調(diào)遞減區(qū)間為(牝z,長(zhǎng)o),

,,/(")max=/(4a2)=aln(4a2)_24<+l=2aln(2a)-勿+1<0,

令，=2n>0,可得flnET+lWO,Bpinr-l+-<0,

t

令g(f)=ln/+；-1,其中,>0,尸S=

當(dāng)0<f<l時(shí)，g'(z)<0,此時(shí)函數(shù)g⑺單調(diào)遞減；

當(dāng)￡>1時(shí),g'（l）>0,此時(shí)函數(shù)g（f）單調(diào)遞增.

所以，g（An=g6=°，則g（f）Ng（l）=O,由g（f）<。，所以，2a=t=l,解得

（3）由題意可得〃=0.8產(chǎn)，

由（2）可知，當(dāng)a=g時(shí)，^-^+1<0,即lnxK2（4—1）,

所以，In0.81,0=10In0.81<20（>/081-1）=-2,因此，p<e~2.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：討論含參函數(shù)的單調(diào)件.通常注意以下幾個(gè)方面：

(1)求導(dǎo)后看最高次項(xiàng)系數(shù)是否為0,須需分類討論；

(2)若最高次項(xiàng)系數(shù)不為0,通常是二次函數(shù)，若二次函數(shù)開口方向確定時(shí)，再根據(jù)判別式討論無根或兩

根相等的情況；

(3)再根據(jù)判別式討論兩根不等時(shí)，注意兩根大小比較，或與定義域比較.

40.(2022?全國(guó)高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(力=疣'-。1|1工，aeR.

(1)若/(x)在點(diǎn)(1J(1))處的切線過原點(diǎn)，求。的值；

(2)在(1)條件下，若f+a(lnx+l)恒成立，求6的取值范圍.

【答案】(1)a=e；(2)bQe.

2

【分析】

(1)求出切線方程，然后利用切線過點(diǎn)(0,0)可得答案；

(2)將不等式變形為把，一2elnx-6(x-l/一eNO,令〃2(X)=把，-2elnx-力(x-lj-e,

/z(x)=(x+l)er-^-2A(x-l),°(x)=(￡+2)e\*—見然后可得=,然后分

hw|e、〃>|e兩種情況討論即可.

【詳解】

(1)?."(司的定義域?yàn)?0,+8).

ra)=a+i)e'，，

X

：.f\[)=2e-a,又〃l)=e,

???切線方程為yY=(2e—a)(x-l).

由切線過點(diǎn)(0,0),

得一e二-(2e-a),即〃=?.

(2)由(1)知。=0,

???由/(x)之/?(%—1)2+a(lnx+1),-2elnx-Z?(x-l)2-e>0(*)

令m(x)=朧，-2elnx—人(x-l)2-e,易知z?z(l)=O,

則加(x)=(x+l)e*_至_3"_1),且加(1)=0,

^/I(A)=(x+l)er---2Z?(x-l),則力")=(x+2)e*+與-乃.

令0(])=(%+2戶+乎見則如)=(工+3川一/在(0,+功上是增函數(shù),

且中'(1)=0

當(dāng)“?0,1)時(shí),“(x)v0,力")是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，^(x)>0,l(x)是增函數(shù)，

???"(.*="⑴=5e-?-

①當(dāng)先一》20即bSqe時(shí)，廳(x)N“(l)20.

則加(x)單調(diào)遞增.

又加(1)=0

當(dāng)x40,1)時(shí)，m(x)<0,?n(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)時(shí),rn(x)>0,加(x)單調(diào)遞增,

/w(A)>/n(l)=0,(*)式恒成立.

②當(dāng)時(shí)，力'(1)<0，

又X—>+00時(shí)，”(x).+oo,

，存在毛>1,使〃(鵬)=0，

，當(dāng)才e(l,%)時(shí)，有Z/(x)<0,即加(x)單調(diào)遞減，

:.加(x)〈加(1)=0,此時(shí)機(jī)(x)單調(diào)遞減.

故當(dāng)/￡(1,左)時(shí)，m(x)</n(1)=0,(*)式不成立.

綜上，可知bvge.

41.(2021?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三一模)己知函數(shù)/(x)=xlnx+"2geR)

(1)若在其定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)+xcosx—sinx-jdnx.

①若g(x)在(0，1J上恰有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

②證明：當(dāng)時(shí)，f{x)<jr-ex-x.

1一4

【答案】(1)(2)?0<d<—：②證明見解析.

24'

【分析】

(1)將問題轉(zhuǎn)化為“2。4土二恒成立”，構(gòu)造函數(shù)力(幻=土二，分析其單調(diào)性和最值，由此求解出力(外

XX

的最小值，則。的取值范圍可求；

(2)①先求解出g'(x),然后根據(jù)三角函數(shù)的有界性對(duì)。進(jìn)行分類討論：a>^0<a<3、分別確

定出鼠力的單調(diào)性并分析其最值由此確定出零點(diǎn)個(gè)數(shù)并求解出。的取值范圍；

②先將不等式變形為“l(fā)nx+ax4x/-l”，然后結(jié)合(1)的結(jié)論InxWx-l進(jìn)行證明.

【詳解】

解:(1)法一:r(x)=lnx+l+2arK0在(0,+8)上恒成立,

llivi/—In%-1八，/、一Inx—1ri-/、Inx

所以2a?-------,令/i(x)=--------,貝ij力(x)=^",

XxX

Ini

由岑>0,得X>1,所以人(X)在(I,y)單調(diào)遞增，

InA

rh<0,得Ovxvl,所以人(x)在(0,1)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)K=1時(shí)，人。)取得最小值?1)二-1,

所以?！?工

2

法二：/?)=1g+1+*《0在(0,?)上恒成立，/"(x)=—+2a,

當(dāng)aNO時(shí)，/'(1)>0,不滿足題設(shè),

當(dāng)a<0時(shí)，令/"(x)=—+2。=0,x=一一—,

x2a

在(0，-上/")單調(diào)遞增；在(一點(diǎn)什8)上/〃(")<0，，(幻單調(diào)遞減;

-1-111

八乩”=ln(—)+1+2a(—)=ln(--)<0,所以a?一不

2a2a2a2

（2）①且（幻=加+xcosx-sinx，O.y，

所以g'（x）=M2。-sinx）,

當(dāng)azg時(shí)，2a-sinx>0,所以g。）在（。e］單調(diào)遞增，

又因?yàn)間（0）=0,所以g（x）在（。弓上無零點(diǎn).

當(dāng)0<"g時(shí)，W￡（0,5，使得sin/=2°,

當(dāng)時(shí),g'（x）<0,當(dāng)X￡（0,%）時(shí),g'（x）>0.

所以g（x）在1°,、］單調(diào)遞減，在（0,%）單調(diào)遞增，

又因?yàn)間（o）=o,g（g=q-i,

所以若里_1>0,即時(shí),g⑶在（0,』上無零點(diǎn),

4#I2」

若絲即0<五3時(shí)，g*）在上有一個(gè)零點(diǎn)，

47T\2J

當(dāng)。工0時(shí)，^（x）=2zz-xsinx<0,gQ）在（0段上單調(diào)遞減且g（0）=0,所以g*）在（。仁上無零點(diǎn)，

綜上：當(dāng)■時(shí)，g（“）在（口、上有一個(gè)零點(diǎn).

②證明：f（x）<x2ex-x,等價(jià)于Inx+orWx/T，

即證，M'Nlnx+or+l,

由（1）得InxKx-l,可得/Nx+1，所以eAWtlnx+x+l,

又當(dāng)〃VI時(shí)，lnx+x+l^lnx+ar+1,所以產(chǎn)1n'Nlnx+or+1,

所以/&）4爐?爐一%恒成立.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)范圍的兩種常用方法：

（1）分離參數(shù)法：將參數(shù)和自變量分離開來，構(gòu)造關(guān)于自變量的新函數(shù)，研究新函數(shù)最值與參數(shù)之間的關(guān)

系，求解出參數(shù)范圍；

（2）分類討論法：根據(jù)題意分析參數(shù)的臨界值，根據(jù)臨界值作分類討論，分別求解出滿足題意的參數(shù)范圍

最后取并集.

42.（2021?重慶市黔江新華中學(xué)校高三月考）已知函數(shù)/（x）=hu-履（2€/?）,晨力=乂--2）.

（1）若/（x）有唯一零點(diǎn)，求2的取值范圍;

(2)若g(x)-恒成立,求攵的取值范圍.

【答案】(1)%=1或％?0：(2)431.

e

【分析】

(1)轉(zhuǎn)化為2=年有唯一實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)〃("=岑，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)的圖象，根據(jù)

圖象可得結(jié)果；

(2)轉(zhuǎn)化為&之上曲-夕+2恒成立，構(gòu)造函數(shù)。(力=匕皿-，+2,利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值，利用最

xx

大值可得解.

【詳解】

(1)由f(x)=lnx-履有唯一零點(diǎn),

詈有唯一實(shí)根,

可得方程lnx-Ax=O，即攵=

令人口)=岑，則