中考數(shù)學(xué)必刷壓軸題：拋物線之全等存在性問題（含解析）

中考數(shù)學(xué)拋物線壓軸題之全等

1.如圖1,二次函數(shù)丫=-2乂2+^^+3的圖象交*軸于A、13兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于C點(diǎn)，

84

連結(jié)AC,過點(diǎn)C作CDLAC交AB于點(diǎn)D.

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)如圖2,已知點(diǎn)E是該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，在線段A0上取一點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FHLCD,交該二次函數(shù)

的圖象于點(diǎn)H(點(diǎn)H在點(diǎn)E的右側(cè))，當(dāng)五邊形FCEHB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)H的橫坐標(biāo)；

(3)如圖3,在直線BC上取一點(diǎn)\1(不與點(diǎn)B重合)，在直線CD的右上方是否存在這樣的點(diǎn)N,使得以C、

M、N為頂點(diǎn)的三角形與aBCD全等？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax、bx+4經(jīng)過點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B(3,2),與y軸

相交于點(diǎn)C.

(1)求這條拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP,如果點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)D恰好落在x軸上，求直

線AP的截距；

(3)在(2)小題的條件下，如果點(diǎn)E是y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F是直線AP上一點(diǎn).當(dāng)△￡△()與aEAF全

等時(shí)，求點(diǎn)E的縱坐標(biāo).

y小

5-

4-

3-

2-

1-

-3-2-101234x

-1-

-2-

-3-

3.已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2-bx+c與直線y=mx+n相交于點(diǎn)A(0,3)且經(jīng)過點(diǎn)B

(m-b,-m"+mb+n),其中a,b,c,m,n為實(shí)數(shù)，且aWO,mWO.

(1)求a的值；

(2)當(dāng)m=l,b=2時(shí)，若第二象限中的點(diǎn)P(x,y)是拋物線y=ax，-bx+c上的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直

線丫=11^+門的距離為d,求d關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求d取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)將拋物線丫=2*2-6*+。沿著它的對稱軸x=-l向下平移1個單位長度，得到新拋物線，設(shè)新拋物線

與y軸的交點(diǎn)為M,對稱軸與X軸交于點(diǎn)N,動點(diǎn)R在對稱軸上，問新拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)N,Q,

R為頂點(diǎn)的三角形與AMON全等？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

y..

40,3)

Ox

4.綜合與探究：

在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax?+bx+2的圖象與x軸交于A(-3,0),B(1,0)兩點(diǎn)，與y軸交于

點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D.

(1)如圖1,分別求這個二次函數(shù)和直線AC的表達(dá)式；

(2)如圖2,連接AD,CD,求四邊形AOCD的面積；如圖3,若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，且使△

ACP的面積最大.請解答下面問題：

①求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②此時(shí)平面內(nèi)是否存在另一點(diǎn)Q,使AACQ和4ACP全等？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy,已知二次函數(shù)y=-工x?+bx的圖象過點(diǎn)A(4,0),頂點(diǎn)為B,連接AB、

2

B0.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若C是B0的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AB上，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線CQ的對稱點(diǎn)為B',當(dāng)△OCB'為等邊三角形時(shí)，

求BQ的長度；

(3)若點(diǎn)D在線段B0上，0D=2DB,點(diǎn)E、F在AOAB的邊上，且滿足aDOF與ADEF全等，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax?+bx+c(a^O)的頂點(diǎn)為B(2,1),且過點(diǎn)A(0,2),直線

y=x與拋物線交于點(diǎn)D,E(點(diǎn)E在對稱軸的右側(cè))，拋物線的對稱軸交直線y=x于點(diǎn)C,交x軸于點(diǎn)G,

EFJ_x軸，垂足為F,點(diǎn)P在拋物線上，且位于對稱軸的右側(cè)，PQ_Lx軸，垂足為點(diǎn)Q,△PCQ為等邊三角形

(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)求證：CE=EF；

(4)連接PE,在x軸上點(diǎn)Q的右側(cè)是否存在一點(diǎn)M,使aCQAI與aCPE全等？若存在，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo);

若不存在，請說明理由.［注：3+2我=(V2+1)

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=kx+l(k#0)與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,

過點(diǎn)C的拋物線y=ax?-(6a-2)x+b(a￥0)與直線AC交于另一點(diǎn)B,點(diǎn)B坐標(biāo)為(4,3).

(1)求a的值；

(2)點(diǎn)P是射線CB上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQLx軸，垂足為點(diǎn)Q,在x軸上點(diǎn)Q的右側(cè)取點(diǎn)M,使MQ

,在QP的延長線上取點(diǎn)N,連接PM,AN,已知tan/NAQ-tanNMPQ=」，求線段PN的長；

82

(3)在(2)的條件下，過點(diǎn)C作CDLAB,使點(diǎn)D在直線AB下方，且CD=AC,連接PD,NC,當(dāng)以PN,PD,

NC的長為三邊長構(gòu)成的三角形面積是空時(shí)，在y軸左側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)E,連接NE,PE,使得AENP

8

8.如圖，拋物線y=ax=c(a￥0)與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于B,C兩點(diǎn)(點(diǎn)C在x軸正半軸上)，AABC

為等腰直角三角形，且面積為4,現(xiàn)將拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線過點(diǎn)C時(shí)，與x軸的另一點(diǎn)

為E,其頂點(diǎn)為F,對稱軸與x軸的交點(diǎn)為H.

(1)求a、c的值.

(2)連接OF,試判斷AOEF是否為等腰三角形，并說明理由.

(3)現(xiàn)將一足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)Q放在射線AF或射線HF上，一直角邊始終過點(diǎn)E,另一直角邊與

y軸相交于點(diǎn)P,是否存在這樣的點(diǎn)Q,使以點(diǎn)P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與APOE全等？若存在，求出點(diǎn)Q

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

9.已知拋物線y=x2-l和x軸交于A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B右邊)兩點(diǎn)，和y軸交于點(diǎn)C,P為拋物線上的動點(diǎn).

(1)求出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求動點(diǎn)P到原點(diǎn)0的距離的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上運(yùn)動時(shí)，過P的直線交x軸于E,若aPOE和APOC全等，求此時(shí)點(diǎn)P的

10.已知：如圖，拋物線Cl：交y軸交于點(diǎn)B,交X軸于點(diǎn)A、E(點(diǎn)E在點(diǎn)A的右邊).且連接AB=J而,

cotZABO=3,Q(-2,-5)在6上.

x

(1)求拋物線3的解析式；

(2)若一個動點(diǎn)P自O(shè)B的中點(diǎn)H出發(fā)，先到達(dá)x軸上某點(diǎn)(設(shè)為N),再到達(dá)拋物線的對稱軸上某點(diǎn)(設(shè)

為點(diǎn)K)最后到達(dá)點(diǎn)B,求使點(diǎn)P運(yùn)動的總路徑最短的點(diǎn)N,點(diǎn)K的坐標(biāo)，并求出這個最短總路徑的長；

(3)設(shè)拋物線G的對稱軸與x軸交于點(diǎn)F,頂點(diǎn)為D,另一條拋物線C2經(jīng)過點(diǎn)E(拋物線C?與拋物線G不

重合)且頂點(diǎn)為M(a,b)b<0,對稱軸與x軸相交于點(diǎn)G,且以M、G、E為頂點(diǎn)的三角形與以D、E、F為

頂點(diǎn)的三角形全等，求a、b的值(只需寫結(jié)果，不必寫出解答過程)

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax'+bx+c交y軸于點(diǎn)C(0,4),對稱軸x=2與x軸交于

點(diǎn)D,頂點(diǎn)為M,且DM=OC+OD.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)P(x,y)是第一象限內(nèi)該拋物線上的一個動點(diǎn)，△PCD的面積為$,求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,

并寫出自變量x的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，若經(jīng)過點(diǎn)P的直線PE與y軸交于點(diǎn)E,是否存在以0、P、E為頂點(diǎn)的三角形與△

OPD全等？若存在，請求出直線PE的解析式；若不存在，請說明理由.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)M(2,0)為圓心的。M與y軸相切于原點(diǎn)0,過點(diǎn)B(-2,0)作

。\1的切線，切點(diǎn)為C,拋物線y=qSx2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)比

(1)求這條拋物線解析式；

(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)C是否在(1)中拋物線上；

(3)動點(diǎn)P從原點(diǎn)0出發(fā)，沿y軸負(fù)半軸以每秒1個單位長的速度向下運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)動t秒時(shí)到達(dá)點(diǎn)Q處.此

時(shí)△B0Q與△MCB全等，求t的值.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax、bx+c(a^O)的頂點(diǎn)為B(2,1),且過點(diǎn)A(0,2),直

線y=x與拋物線交于點(diǎn)D,E(點(diǎn)E在對稱軸的右側(cè))，拋物線的對稱軸交直線y=x于點(diǎn)C,交x軸于點(diǎn)G,

EFJ_x軸，垂足為點(diǎn)F,點(diǎn)P在拋物線上，且位于對稱軸的右側(cè)，PMLx軸，垂足為點(diǎn)M,ZXPCM為等邊三角

形.

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)試判斷CE與EF是否相等，并說明理由；

(4)連接PE,在x軸上點(diǎn)M的右側(cè)是否存在一點(diǎn)N,使ACMN與4CPE全等？若存在，試求出點(diǎn)N的坐標(biāo);

若不存在，請說明理由.

14.如圖，拋物線y=與x軸交于點(diǎn)A、B,且經(jīng)過點(diǎn)D(-,—)

22

(1)求c；

(2)若點(diǎn)C為拋物線上一點(diǎn)，且直線AC把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，試說明AC平分BD,且求

出直線AC的解析式；

(3)x軸上方的拋物線y=-lx2+c上是否存在兩點(diǎn)P、Q,滿足Rt^AQP全等于RtAABP?若存在，求出P、

2

Q兩點(diǎn)；若不存在，請說明理由.

15.如圖所示，拋物線y=-(x-?m)2加＞0)的頂點(diǎn)為A,直線1：y。巨XF與丫軸交點(diǎn)為民

(1)寫出拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)A的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示)；

(2)證明點(diǎn)A在直線1上，并求NOAB的度數(shù)；

(3)動點(diǎn)Q在拋物線對稱軸上，問拋物線上是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)P、Q、A為頂點(diǎn)的三角形與△OAB全等？

若存在，求出m的值，并寫出所有符合上述條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

16.已知：如圖，拋物線5經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D,且與x軸的另一個交點(diǎn)為E.

(1)求拋物線Q解析式；

(2)求四邊形ABDE的面積；

(3)ZXAOB與ABDE是否相似，如果相似，請予以證明；如果不相似，請說明理由；

(4)設(shè)拋物線5的對稱軸與x軸交于點(diǎn)F,另一條拋物線C2經(jīng)過點(diǎn)E(拋物線C2與拋物線5不重合)，且

頂點(diǎn)為M(a,b),對稱軸與x軸相交于點(diǎn)G,且以M,G,E為頂點(diǎn)的三角形與以D,E,F為頂點(diǎn)的三角形

全等，求a,b的值.(只需寫出結(jié)果，不必寫出解答過程)

17.如圖，已知拋物線y=2x?-4x+n與x軸交于不同的兩點(diǎn)A、B,其頂點(diǎn)是C,點(diǎn)D是拋物線的對稱軸與

x軸的交點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)n的取值范圍；

(2)求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)和線段AB的長度(用含有m的式子表示)；

(3)若直線了二方乂+1分別交x軸、y軸于點(diǎn)E、F,問△!?(：與aEOF是否有可能全等？如果可能，請證明；

如果不可能，請說明理由.

18.已知：拋物線Ci：y=-W-(x+4)=3向右平移4個單位后得到拋物線C2.

16

(1)寫出拋物線C2的函數(shù)解析式；

(2)如果拋物線Cz交x軸于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，交y軸于點(diǎn)P,聯(lián)結(jié)PB,求線段PB的長；

(3)另有一條與拋物線C2不同的拋物線C3,它經(jīng)過點(diǎn)B,頂點(diǎn)為Q,對稱軸與x軸交于點(diǎn)D,且以Q,D,B

為頂點(diǎn)的三角形與以P,0,B為頂點(diǎn)的三角形全等，請求出滿足條件的頂點(diǎn)Q的坐標(biāo).6.如圖，已知在平

面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax?+bx+4經(jīng)過點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B(3,2),與y軸相交于點(diǎn)C.

(1)求這條拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP,如果點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)D恰好落在x軸上，求直

線AP與y軸相交的縱坐標(biāo)；

(3)在(2)小題的條件下，如果點(diǎn)E是y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F是直線AP上一點(diǎn).當(dāng)AEA。與4EAF全

等時(shí)，求點(diǎn)E的縱坐標(biāo).

5-

-3-2-101234x

19.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax、bx+4經(jīng)過點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B(3,2),與y軸

相交于點(diǎn)C.

(1)求這條拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP,如果點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)D恰好落在x軸上，求直

線AP與y軸相交的縱坐標(biāo)；

(3)在(2)小題的條件下，如果點(diǎn)E是y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F是直線AP上一點(diǎn).當(dāng)△EAO與4EAF全

等時(shí)，求點(diǎn)E的縱坐標(biāo).

y小

5-

4-

3-

2-

1-

-3-2-101234x

-1-

-2-

-3-

20.綜合與探究：

在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)丫=@*^^+2的圖象與x軸交于A(-3,0),B(1,0)兩點(diǎn)，與y軸交于

點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D.

(1)如圖1,分別求這個二次函數(shù)和直線AC的表達(dá)式；

(2)如圖2,連接AD,CD,求四邊形A0CD的面積；如圖3,若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，且使△

ACP的面積最大.請解答下面問題：

①求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②此時(shí)平面內(nèi)是否存在另一點(diǎn)Q,使AACQ和4ACP全等？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax?+bx+c(aWO)的頂點(diǎn)為B(2,1),且過點(diǎn)A(0,2),直

線y=x與拋物線交于點(diǎn)D,E(點(diǎn)E在對稱軸的右側(cè))，拋物線的對稱軸交直線y=x于點(diǎn)C,交x軸于點(diǎn)G,

EFLx軸，垂足為F,點(diǎn)P在拋物線上，且位于對稱軸的右側(cè)，PQLx軸，垂足為點(diǎn)Q,4PCQ為等邊三角形

(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)求證：CE=EF；

(4)連接PE,在x軸上點(diǎn)Q的右側(cè)是否存在一點(diǎn)M,使△CQM與4CPE全等？若存在，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo);

若不存在，請說明理由.[注：3+2點(diǎn)=(亞+1)2].

22.如圖，拋物線yuax'+c(a￥0)與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于B,C兩點(diǎn)(點(diǎn)C在x軸正半軸上)，AABC

為等腰直角三角形，且面積為4,現(xiàn)將拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線過點(diǎn)C時(shí)，與x軸的另一點(diǎn)

為E,其頂點(diǎn)為F,對稱軸與x軸的交點(diǎn)為H.

(1)求a、c的值.

(2)連接OF,試判斷AOEF是否為等腰三角形，并說明理由.

(3)現(xiàn)將一足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)Q放在射線AF或射線HF上，一直角邊始終過點(diǎn)E,另一直角邊與

y軸相交于點(diǎn)P,是否存在這樣的點(diǎn)Q,使以點(diǎn)P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與APOE全等？若存在，求出點(diǎn)Q

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax?+bx+c交y軸于點(diǎn)C(0,4),對稱軸x=2與x軸交于

點(diǎn)D,頂點(diǎn)為M,且DM=OC+OD.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)P(x,y)是第一象限內(nèi)該拋物線上的一個動點(diǎn)，△PCD的面積為$,求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，

并寫出自變量x的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，若經(jīng)過點(diǎn)P的直線PE與y軸交于點(diǎn)E,是否存在以0、P、E為頂點(diǎn)的三角形與△

OPD全等？若存在，請求出直線PE的解析式；若不存在，請說明理由.

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)M(2,0)為圓心的。M與y軸相切于原點(diǎn)0,過點(diǎn)B(-2,0)作

。\1的切線，切點(diǎn)為C,拋物線yuQ^x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)比

(1)求這條拋物線解析式；

(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)C是否在(1)中拋物線上；

(3)動點(diǎn)P從原點(diǎn)0出發(fā)，沿y軸負(fù)半軸以每秒1個單位長的速度向下運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)動t秒時(shí)到達(dá)點(diǎn)Q處.此

時(shí)△B0Q與△MCB全等，求t的值.

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax?+bx+c(aWO)的頂點(diǎn)為B(2,1),且過點(diǎn)A(0,2),直

線y=x與拋物線交于點(diǎn)D,E(點(diǎn)E在對稱軸的右側(cè))，拋物線的對稱軸交直線y=x于點(diǎn)C,交x軸于點(diǎn)G,

EFLx軸，垂足為點(diǎn)F,點(diǎn)P在拋物線上，且位于對稱軸的右側(cè)，PM，x軸，垂足為點(diǎn)M,Z\PCM為等邊三角

形.

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)試判斷CE與EF是否相等，并說明理由；

(4)連接PE,在x軸上點(diǎn)M的右側(cè)是否存在一點(diǎn)N,使ACMN與4CPE全等？若存在，試求出點(diǎn)N的坐標(biāo);

若不存在，請說明理由.

26.如圖，拋物線y=-2x，c與x軸交于點(diǎn)A、B,且經(jīng)過點(diǎn)9)

2ns2

(1)求c；

(2)若點(diǎn)C為拋物線上一點(diǎn)，且直線AC把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，試說明AC平分BD,且求

出直線AC的解析式；

(3)x軸上方的拋物線y=-lx2+c上是否存在兩點(diǎn)P、Q,滿足Rt^AQP全等于RtAABP?若存在，求出P、

2

Q兩點(diǎn)；若不存在，請說明理由.

27.如圖所示，拋物線y=-(x-?m)2(m>0)的頂點(diǎn)為A,直線1：與丫軸交點(diǎn)為民

(1)寫出拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)A的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示)；

(2)證明點(diǎn)A在直線1上，并求NOAB的度數(shù)；

(3)動點(diǎn)Q在拋物線對稱軸上，問拋物線上是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)P、Q、A為頂點(diǎn)的三角形與△OAB全等？

若存在，求出m的值，并寫出所有符合上述條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，0A=4,0C=3,

若拋物線經(jīng)過0、A兩點(diǎn)，物線的頂點(diǎn)為D,在CD〃x軸，直線AC交拋物線于點(diǎn)B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的平行線與直線AC交于點(diǎn)E,F.以

PE,PF為邊構(gòu)造矩形PEKF,設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為(m,n),求出m,n之間的關(guān)系式.

(3)點(diǎn)P是x軸上方拋物線上的一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)D重合).過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的平行線與直線AC

交于點(diǎn)E,F.對稱軸與直線AC交于點(diǎn)Q,4PEF與4CDQ全等？求點(diǎn)P坐標(biāo).

備用圖

1.【解答】解：（1）

令x=0,則y=3,

：.C(0,3),

.?.OC=3.

2

令y=0,則--X+AX+3=0,

84

解得：X|--4,X2=6,

；.A(-4,0),B(6,0),

...OA=4,0B=6.

VCD1AC,

...NACD=90°,

VCO±AD,

.,.OC2=OA?0D,

.",OD=—,

4

.?/)(9,0).

4

2

(2)Vy=-AX+JLX+3=-A(x-1)2+空,

8488

AE(1,空).

8

設(shè)H(m,_—m'+—m+3),則P(m,_.

8484

HG=—-m2+—m+3,HP—yn-yp---m2+—m-—.

84884

2

.,.SABIIE=—(XB-XE)?IIP=$(-Am+Zm-2)---H.

2288416168

VFH±CD,AC1CD,

：.AC〃FH,

；./HFG=/CAO,

VZA0C=ZFGH=90°,

...△ACO?AFHG,

?FG=0A=j4

,,HGocy

2

，F(xiàn)G=9HG=--lm+Am+4,

363

AF—AG-FG—m+4+—m'-—m-4=—m'+—m,

6363

SAAFC~~"AF*0C=2"(—m+—m)——m+m,

22624

SHa，?ACEB_SAACO+SAOCE+SAOEB——X4X3+—X3X1+—6義2^=工^^,

22288

；?S三邊形FCEHB=S四邊彤ACEB+S^BHE-SYAFC=」L^^+(—5nf+2^~m_)-(—in+m)=-9m~+.l9m+15=-§

8161684161616

(3)2+迎，

18576

?"當(dāng)m=[^"時(shí)，S五也形FCEHB取得最大值9001.

18576

此時(shí)，H的橫坐標(biāo)為」些.

18

(3)VB(6,0),C(0,3),D(20),

4

；.CD=BD=號，BC=3遙，

.,.ZDCB=ZDBC.

①如圖3-1,ACMN^ADCB,MN交y軸于K,

圖3-1

則CM=CN=DC=DB=E,MN=BC=3旄，NCMN=/CNM=/DBC=NDCB,

4

/.MN±y軸，

.,.ZCKN=ZC0B=90°,MK=NK=AMN=^^,

22

.?.△CKN?ACOB,

.CK_CO_V5

"CNCB~5~,

.?.CK=^^,

4_

OK=OC+CK=I?+0'后,

_4

?.N.12+3近）

24

②如圖3-2,AMCN^ADBC,

圖3-2

則CN=CB=3泥，ZMCN=ZDBC,

：.CN〃AB,

：.N（3旄，3）.

③如圖3-3,ACMN^ADBC,

則NCMN=NDCB,CM=CN=DC=DB=1^,MN=BC=3泥，

4

??.MN〃CD,

作MRJ_y軸于R,

則煦=典=2_=近.

AC0OBCB'T'

.?.CR=‘近，|?1=盟5,

42

.?,OR=3--^ZE,

4

作MQ〃y軸,NQLMQ于點(diǎn)Q,

則/NMQ=NDCO,ZNQM=ZD0C=90°,

.,.△COD?AMQN,

.MQ=C0=j4

"NQDOy

.?.MQ=4MN=°^區(qū)，NQ=3MN=%55,

5555

.,欣國二冬區(qū)OR+MQ=-°+33^,

1020

??.N(-運(yùn)60+33/).

1020___

綜上所述，滿足要標(biāo)的N點(diǎn)坐標(biāo)有：(昌返，竺曳近)、(3泥，3)、(-昌返，60+33叫

241020

2.【解答】解：(1)二?拋物線y=ax?+bx+4過點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B(3,2),

.(9a-3b+4=0

19a+3b+4=2

(2)如圖1,連接AC,DH,

丁點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)D,

：.AD=AC,

x+4與y軸交于點(diǎn)c(0,4),與x軸交于點(diǎn)A(-3,0),

.?.AC=5,

；.AD=5,

...點(diǎn)D(2,0),

(4-a)2=a2+22,

.3

,,a=rr,

2

二直線AP的截距為旦；

2

(3)：,點(diǎn)E是y軸正半軸上一點(diǎn)，

...△AOE是直角三角形，且NA0E=90°

當(dāng)AEA。與aEAF全等時(shí)，存在兩種情況：

①如圖2,當(dāng)/EFA=NA0E=90°,AEFA^AAOE,

AEF=OA,

VZAHO=ZEHF,ZA0H=ZEFH=90°,

/.△AOH^AEFH(AAS),

/.AH=EH,

由(2)知：OH=3,

2

.?.EH=AH=OE--,

2

RtAAHO+,AH2=AO2+OH2,

(OE-3)2=32+2,

2

解得：OE=空運(yùn)或生2近.(舍),

22

..?點(diǎn)E的縱坐標(biāo)是空匹;

2

②如圖3,當(dāng)/EFA=NA0E=90°,AEFA^AEOA,

；.AF=AO=3,EF=OE,

RtAAHO中，AH=

2

/<FH=3V^-3,EH=--OE,

22

RtZXEFH中，由勾股定理得：EH2=FH2+EF2,

二(2.-0E)2=(^ZE-3)2+0E2,

22

解得：0E=3遙-6,

二點(diǎn)E的縱坐標(biāo)是3遙-6；

綜上，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)是空近■或3旄-6.

3.【解答】解：(1)點(diǎn)A(0,3)在直線y=mx+n上，得n=3.

?.,點(diǎn)A(0,3)、點(diǎn)B(m-b,-m'+mb+n)在拋物線y=ax°-bx+c上，

.,.c=3,-m2+mb+3=a(m-b)--b(m-b)+3.

(a+1)(m-b)2=0,

若m-b=0,則(m-b,-m'+mb+n)與(0,3)重合，與題意不合.

/.a=-1；

(2)當(dāng)m=l,b=2時(shí)，直線y=x+3與x軸的交點(diǎn)C(-3,0),

拋物線的解析式為y=-x2-2x+3,

如圖，作PHJ_AC,PF^x軸，垂足分別為H,F.作CD〃y軸，HD〃x軸，交點(diǎn)為1),HD與PF的交點(diǎn)為E.

則△CDHS/\HEP.

ACDH是等腰直角三角形，

...△HEP是等腰直角三角形，

；.PE=HE,d=PH=^HE,

設(shè)點(diǎn)H(m,m+3),P(x,-x~-2x+3),

則E(x,m+3).

-x2-2x+3-m-3=m-x.

解得m=—-x2-—x,

22

1?d與x的函數(shù)解析式為d=&(m-x)=亞(-—x2-—x-x)=-YZ(x>3x).

__222

d=-返(X2+3X)=-返(x、3x+S)&

2248

故當(dāng)x=-3時(shí)，d有最大值2返.此時(shí)點(diǎn)p(-3,!§.)；

2824

（3）存在，如圖,

由(1)知，a=-1,c=3,

?.?對稱軸為x=-1,

/.b=-2

二拋物線的解析式為y=-x2-2x+3,

???新拋物線的解析式為y=-x2-2x+2,

AM(0,2),N(-1,0),

；.ON=1,0M=2,

?.?以點(diǎn)N,Q,R為頂點(diǎn)的三角形與aMON全等，且NM0N=90°,

...NNRQ=90°,

...①RQ=ON=1,NR=0M=2,

?.Q(-2,2),或Q(0,2)

②NR=ON=1,RQ=2,

Q(_3,-1)或(1,-1),

???符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：(-2,2),(0,2),(-3,-1),(1,-1).

4.【解答】解：(1)設(shè)：二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=a(x+3)(x-1)=ax2+2ax-3a,即：-3a=2,解得:

故拋物線的表達(dá)式為：y=a(x+3)(x-1)=-2x?-馬x+2,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,g),

333

__f

將點(diǎn)A、C坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=kx+b得：J(°=Tk+b,解得：首方，

1b=2b=2

則直線AC的表達(dá)式為：y=—x+2；

3

(2)過點(diǎn)P、D分別作PH〃y軸、DG〃y軸，分別交AC于點(diǎn)H、G,

點(diǎn)D(-1,—),則點(diǎn)G(-1,A),

33

S四邊形Aoa>=S&\cD+SaBc==XGDXOA+《XABX0C=-^-X《X3+=X4X2=6;

22232

2

①設(shè)點(diǎn)P(x,--？-x-AX+2),則點(diǎn)H(x,2X+2),

333

22

SAACP=—XPHX0A=^X3(-—x--^-x+2-^-x-2)=-x+3x,

22333

V-l<0,拋物線開口向下，故S&CP有最大值，

當(dāng)x=-3時(shí)，S&CP有最大值，

2

點(diǎn)p坐標(biāo)為(-3,$)；

22

②(I)當(dāng)點(diǎn)Q在直線AC上方時(shí)，

△QAC^APCA,則點(diǎn)P、Q關(guān)于線段AC的中垂線對稱，

線段AC的中點(diǎn)M（1）,

2

AC的中垂線L,過點(diǎn)M,且其表達(dá)式中的k值為：-3,

則直線L的表達(dá)式為：y=-2x-$…①，

24

同理過點(diǎn)P平行于直線AC的直線k的表達(dá)式為：y=2x+[…②,

32

聯(lián)立①②并解得：x=-“，即點(diǎn)N（-4,至3）,

262626

點(diǎn)N是P、Q的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式得點(diǎn)Q（-正，處）；

2626

（II）當(dāng)點(diǎn)Q在直線AC的下方時(shí)，

△Q'AC^APAC,

同理可得PQ，表達(dá)式為：y=-3x+1,

24

設(shè)點(diǎn)0坐標(biāo)為（x,-3x+Jo,點(diǎn)p（-3,S）,

2422

,.,AP=AQr,即：（-3+旦）2+（8）2=（x+3）2+（-3X+JL）2,

2224

整理得：13X2+21X+9=1,解得：x=2?或旦（舍去旦），

42622

當(dāng)△￡;''AC^APCA,

同理Q"為（-3,A）；

213

故：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（-至，絲）或（A,或（-3,J_）.

262626春,213

5.【解答】解：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式得：-工*屋+處=0,解得b=2,

2

2

二二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-AX+2X.

2

(2)：y=-U+2x=_2(x-2)2+2,

22

；.B(2,2),拋物線的對稱軸為x=2.

如圖1所示：

由兩點(diǎn)間的距離公式得：OB=yj22+2=25/2^BA=4(4一2)2+(2_0)2=2"^"^.

是0B的中點(diǎn),

：.0C=BC=6

VAOB,C為等邊三角形，

.，.ZOCB,=60°.

又。點(diǎn)B與點(diǎn)B'關(guān)于CQ對稱，

,NB'CQ=ZBCQ=60°.

?；OA=4,0B=2A/2.AB=2血，

.,.OB2+ABZ=OA2

.?./0BA=90°.

在RtZ\CBQ中，ZCBQ=90°,ZBCQ=60°,BC=&,

?.tan60°=里

BC

.?.BQ=?CB=V^XM=捉.

(3)分兩種情況：

i)當(dāng)F在邊OA上時(shí)，

①如圖2,過D作DF_Lx軸，垂足為F,

VADOF^ADEF,且E在線段0A上,

.?.OF=FE,

由(2)得：0B=2&,

?.?點(diǎn)D在線段B0上,0D=2DB,

；.0[)=20B=^X

33

VZBOA=45°,

；.cos45°,

OD

.,.OF=OD?cos45°=^/2_x—=—.

323

則0E=20F=2,

3

.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為（旦，0）；

3

②如圖3,過D作DFJ_x軸于F,過D作l）E〃x軸，交AB于E,連接EF,過E作EG_Lx軸于G,

/.△BDE^ABOA,

.BD_DE_1

"OB"0A~3'

?；0A=4,

,-.DE=A,

3

VDE#0A,

?.Z0FD=ZFDE=90°,

?；DE=OF=g,DF=DF,

3

.,.△OFD^AEDF,

同理可得：Z\EDF也△FGE,

.,.△OFD^AEDF^AFGE,

.?.0G=0F+FG=0F+DE=^+9=B,EG=DF=OD-sin45°=匹，

3333

；.E的坐標(biāo)為（旦，-1）；

33

③如圖4,將aDOF沿邊DF翻折，使得0恰好落在AB邊上，記為點(diǎn)E,

過B作BM±x軸于M,過E作EN1BM于N,

由翻折的性質(zhì)得：△D0FZ4DEF,

.,.OD=DE=&^,

3_

?.?BD=20D=2i但，

23_

二在RtZM）BE中，由勾股定理得：

BE=^DE2_B［）2=

3

則BN=NE=BE?cos45°返

_323

0M+NE=2+^^,BM-BN=2-

33

二點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（2+Z返，2-2返）；

33

ii）當(dāng)點(diǎn)F在AB上時(shí),

①過D作DF〃x軸，交AB于F,連接OF與DA,

：DF〃x軸，

.,.△BDF^ABOA,

?.?BDBF）

BOBA

由拋物線的對稱性得：OB=BA,

；.BD=BF,

則NBDF=NBFD,Z0DF=ZAFD,

；.OD=OB-BD=BA-BF=AF,

則aDOF絲Z\DAF,

；.E和A重合,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4,0）；

②如圖6,由①可知：當(dāng)E與0重合時(shí)，△DOF與ADEF重合，

此時(shí)點(diǎn)E（0,0）；

綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（包，0）或（3，A）或（2+2運(yùn)，2-2幽）或（4,0）

或（0,0）.

33333

6.【解答】解：(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x-2)2+1,將點(diǎn)A(0,2)代入，得a(0-2)2+1=2,

解這個方程，得@=工，

4

22

二拋物線的表達(dá)式為y=2(x-2)+1=AX-x+2；

44

(2)將x=2代入y=x,得y=2

...點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,2)即CG=2,

?/aPCQ為等邊三角形

AZCQP=60°,CQ=PQ,

VPQ±x軸，

.,.ZCQG=30°,

：.CQ=4,GQ=2?.

00=2+273，PQ=4,

將y=4代入y=L(x-2)2+l,得4=」(x-2)2+l

44

解這個方程，得XI=2+2J5=0Q,X2=2-2A/§<0(不合題意，舍去).

二點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2+2V3-4)；

(3)把y=x代入y=」x2-x+2,得x=Lx?-x+2

44

解這個方程，得小=4+2血，X2=4-2A/5<2(不合題意，舍去)

；.y=4+2&=EF

.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4+2&,4+2如)

°E=>/EF2+0F2=4+4&，

又0C=VcG2-H3G2=2圾，

.,.CE=0E-0C=4+2圾，

，CE=EF；

(4)不存在.

如圖，假設(shè)x軸上存在一點(diǎn)，使△CQM絲aCPE,貝1cM=CE,ZQCM=ZPCE

/./MCE=60°

又；CE=EF,

；.EM=EF,

又?.?點(diǎn)E為直線y=x上的點(diǎn),

.,.ZCEF=45°,

二點(diǎn)M與點(diǎn)F不重合.

???EF_Lx軸,這與“垂線段最短”矛盾,

二原假設(shè)錯誤，滿足條件的點(diǎn)M不存在.

7.【解答】解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，由y=kx+l得y=l,貝!JC(0,1).

二?拋物線丫=2*~-（6a-2）x+b(aWO)經(jīng)過C(0,1),(4,3),

.（b=l

I3=16a-4（6a~2）+b

'普

解得：a=7,

b=l

(2)把B(4,3)代入y=kx+l中，得

3=4k+l,解得：k=—,

2

..?直線AB的解析式為y=—x+1.

2

由y=0得O=2x+1,

2

解得：x=-2,

\A(-2,0),0A=2,

：C(0,1),

*.OC=1,

\tanZCAO=-^=A

OA2

；PQ_Lx軸，

/.tanZPAQ=^-=—,

QA2

設(shè)PQ=m,貝!|QA=2m,

VtanZNAQ-tanZMPQ=-^,

2

.NQMQ=1

,前方~2,

?.?MQ=5,

8

5_

.PN+m_8_1

2m丁5，

,?.PN=2

4

(3)方法一：

在y軸左側(cè)拋物線上存在E,使得AENP與以PN,PD,NC的長為三邊長的三角形全等.

過點(diǎn)D作DFLCO于點(diǎn)F,如圖2,

VDF1CF,CD1AB,

Z.ZCDF+ZDCF=90°,ZDCF+ZAC0=90°,

ZCDF=ZACO,

?.?CO_Lx軸，DF±CO,

二NA0C=/CFD=90°,

在aACO和ACDF中，

，ZACO=ZCDF

<ZAOC=ZCFD?

CA=CD

?.AACO^ACDF(AAS),

.,.CF=AO=2,I)F=CO=1,

；.OF=CF-CO=1,

作PH〃CN,交y軸于點(diǎn)H,連接DH,

VCH/7PN,

二四邊形CHPN是平行四邊形，

；.CN=HP,CH=PN=§,

4

.?.HF=CF-CH=t，

DH=A/DF2+HF2=-1,

/.DH=PN.

...△PHD是以PN,PD,NC的長為三邊長的三角形，

延長FD、PQ交于點(diǎn)G,

??，PQ〃y軸，

/.ZG=1800-ZCFD=90°,

??S四邊形HFGP=S2MFD+SZ\PHD+SAPDG,

/.A(HF+PG)FG=AHF?FD+空+』DG?PG.

2282

.點(diǎn)P在y=Lx+l上，.?.可設(shè)P(t,—1+1),

22

.?.A(3,+At+i+i).t=AxAxi+^+A(t-1)?(At+1+i),

24224822

，t=4,P(4,3),

?.N(4,—),tan/DPG=W^=§.

4PG4

?；tanNHDF=^=3,

FD4

NDPG=NHDF.

VZDPG+ZPDG=90°,

?.ZHDF+ZPDG=90",

Z.ZHDP=90°.

VPN=DH,若AENP與△PDH全等,則有兩種情況：

①當(dāng)/ENP=NPD