山東省德州市平原中英文實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)2025年高三4月模擬考試數(shù)學(xué)試題理試題含解析

山東省德州市平原中英文實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)2025年高三4月模擬考試數(shù)學(xué)試題理試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，，分別記二面角，，的平面角為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．2．將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)在上的值域是（）A． B． C． D．3．如圖，在中，，且，則（）A．1 B． C． D．4．已知集合，，則等于（）A． B． C． D．5．已知，，則（）A． B． C．3 D．46．已知函數(shù)，，則的極大值點(diǎn)為()A． B． C． D．7．已知數(shù)列滿足,(),則數(shù)列的通項(xiàng)公式()A． B． C． D．8．已知數(shù)列對任意的有成立，若，則等于（）A． B． C． D．9．定義在上的奇函數(shù)滿足，若，，則（）A． B．0 C．1 D．210．已知函數(shù)若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知點(diǎn)是拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上且滿足，若取得最大值時(shí)，點(diǎn)恰好在以為焦點(diǎn)的橢圓上，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．12．在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),己知A(3,1),B(-1,3),若點(diǎn)C滿足,其中α,β∈R,且α+β=1,則點(diǎn)C的軌跡方程為14．如圖，在菱形ABCD中，AB=3，，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點(diǎn)，，若線段EF上存在一點(diǎn)M，使得，則____________，____________．（本題第1空2分，第2空3分）15．已知雙曲線：（，），直線：與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn).若（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為32，且雙曲線的焦距為，則雙曲線的離心率為________.16．設(shè)f（x）＝etx（t＞0），過點(diǎn)P（t，0）且平行于y軸的直線與曲線C：y＝f（x）的交點(diǎn)為Q，曲線C過點(diǎn)Q的切線交x軸于點(diǎn)R，若S（1，f（1）），則△PRS的面積的最小值是_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的焦距為2，且過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于兩點(diǎn)，（?。┳C明：平分線段（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（ⅱ）當(dāng)取最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．18．（12分）已知函數(shù)（），是的導(dǎo)數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，令，為的導(dǎo)數(shù).證明：在區(qū)間存在唯一的極小值點(diǎn)；（2）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍.19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，點(diǎn)為線段上的點(diǎn)，過三點(diǎn)的平面與交于點(diǎn).將①，②，③中的兩個(gè)補(bǔ)充到已知條件中，解答下列問題：（1）求平面將四棱錐分成兩部分的體積比；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）如圖，為等腰直角三角形，，D為AC上一點(diǎn)，將沿BD折起，得到三棱錐，且使得在底面BCD的投影E在線段BC上，連接AE.（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值.21．（12分）已知函數(shù).（1）若，求不等式的解集；（2）若“，”為假命題，求的取值范圍.22．（10分）已知拋物線的準(zhǔn)線過橢圓C：（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F，且點(diǎn)F到直線l：（c為橢圓焦距的一半）的距離為4.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)F做直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，線段AB的中垂線交直線l于點(diǎn)Q.若，求直線AB的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

過點(diǎn)作，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【詳解】解：因?yàn)?，，所以，即過點(diǎn)作，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，，，，0，，，1，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，同理可求平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量．，，．．故選：D．本題考查二面角的大小的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．2．D【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，余弦函數(shù)的值域，求得結(jié)果.【詳解】解：把函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長度后，可得的圖象；再根據(jù)得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，，，，函數(shù).在上，，，故，即的值域是，故選：D.本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．3．C【解析】

由題可,所以將已知式子中的向量用表示，可得到的關(guān)系，再由三點(diǎn)共線，又得到一個(gè)關(guān)于的關(guān)系，從而可求得答案【詳解】由，則，即，所以，又共線，則.故選：C此題考查的是平面向量基本定理的有關(guān)知識(shí)，結(jié)合圖形尋找各向量間的關(guān)系，屬于中檔題.4．A【解析】

進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【詳解】，1，2，，，，1，．故選：．本題主要考查了列舉法、描述法的定義，考查了交集的定義及運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的特征，求出和，再利用復(fù)數(shù)的模公式，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，解得則.故選：A.本題考查相等復(fù)數(shù)的特征和復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.6．A【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為零，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，求得極大值點(diǎn)即可.【詳解】因?yàn)?，故可得，令，因?yàn)?，故可得或，則在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的極大值點(diǎn)為.故選：A.本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題.7．A【解析】

利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，通過累加法求解即可．【詳解】數(shù)列滿足：，，可得以上各式相加可得：，故選：．本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列累加法以及通項(xiàng)公式的求法，考查計(jì)算能力．8．B【解析】

觀察已知條件，對進(jìn)行化簡，運(yùn)用累加法和裂項(xiàng)法求出結(jié)果.【詳解】已知，則，所以有，，，，兩邊同時(shí)相加得，又因?yàn)?，所?故選：本題考查了求數(shù)列某一項(xiàng)的值，運(yùn)用了累加法和裂項(xiàng)法，遇到形如時(shí)就可以采用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和，需要掌握數(shù)列中的方法，并能熟練運(yùn)用對應(yīng)方法求解.9．C【解析】

首先判斷出是周期為的周期函數(shù)，由此求得所求表達(dá)式的值.【詳解】由已知為奇函數(shù)，得，而，所以，所以，即的周期為.由于，，，所以，，，.所以，又，所以.故選：C本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于基礎(chǔ)題.10．D【解析】

由恒成立，等價(jià)于的圖像在的圖像的上方，然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解答案.【詳解】因?yàn)橛珊愠闪?，分別作出及的圖象，由圖知，當(dāng)時(shí)，不符合題意，只須考慮的情形，當(dāng)與圖象相切于時(shí)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義，此時(shí)，故.故選：D此題考查的是函數(shù)中恒成立問題，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.11．B【解析】

設(shè)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出的最大值時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)槭菕佄锞€的對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，所以，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，，點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上，，由橢圓的定義得，所以橢圓的離心率，故選B.本題主要考查橢圓的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解．12．A【解析】

由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.本題以天文學(xué)問題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運(yùn)算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)向量共線定理得A,B,C三點(diǎn)共線，再根據(jù)點(diǎn)斜式得結(jié)果【詳解】因?yàn)?且α+β=1，所以A,B,C三點(diǎn)共線，因此點(diǎn)C的軌跡為直線AB:本題考查向量共線定理以及直線點(diǎn)斜式方程，考查基本分析求解能力，屬中檔題.14．【解析】

根據(jù)題意，設(shè)，則，所以，解得，所以，從而有.15．或【解析】

用表示出的面積，求得等量關(guān)系，聯(lián)立焦距的大小，以及，即可容易求得，則離心率得解.【詳解】聯(lián)立解得.所以的面積，所以.而由雙曲線的焦距為知，，所以.聯(lián)立解得或故雙曲線的離心率為或.故答案為：或.本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力以及函數(shù)與方程思想，屬中檔題.16．【解析】

計(jì)算R（t，0），PR＝t﹣（t），△PRS的面積為S，導(dǎo)數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值.【詳解】∵PQ∥y軸，P（t，0），∴Q（t，f（t））即Q（t，），又f（x）＝etx（t＞0）的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝tetx，∴過Q的切線斜率k＝t，設(shè)R（r，0），則k，∴r＝t，即R（t，0），PR＝t﹣（t），又S（1，f（1））即S（1，et），∴△PRS的面積為S，導(dǎo)數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，當(dāng)t＞1時(shí)，S′＞0，當(dāng)0＜t＜1時(shí)，S′＜0，∴t＝1為極小值點(diǎn)，也為最小值點(diǎn)，∴△PRS的面積的最小值為．故答案為：．本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）（?。┮娊馕觯áⅲc(diǎn)的坐標(biāo)為．【解析】

（1）由題意得，再由的關(guān)系求出，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）（i）設(shè)，的中點(diǎn)為，，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程中，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合三點(diǎn)共線的方法：斜率相等，即可得證；（ii）利用兩點(diǎn)間的距離公式及弦長公式將表示出來，由換元法的對勾函數(shù)的單調(diào)性，可得取最小值時(shí)的條件獲得等量關(guān)系，從而確定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】解：（1）由題意得，，所以，所以橢圓方程為（2）設(shè)，的中點(diǎn)為，（?。┳C明：由，可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，得，所以，所以，則直線的斜率為，因?yàn)?，所以，所以三點(diǎn)共線，所以平分線段；（ii）由兩點(diǎn)間的距離公式得由弦長公式得所以，令，則，由在上遞增，可得，即時(shí)，取得最小值4，所以當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為此題考那可是橢圓方程和性質(zhì)，主要考查橢圓方程的運(yùn)用，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，同時(shí)考查弦長公式，屬于較難題.18．（1）見解析；（2）【解析】

（1）設(shè)，，注意到在上單增，再利用零點(diǎn)存在性定理即可解決；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在恒成立，即在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)討論的最值即可.【詳解】（1）由已知，，所以，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，而，，且在上圖象連續(xù)不斷.所以在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn)，即在區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn)；（2）設(shè)，，，∴在單調(diào)遞增，，即，從而，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，∴在上恒成立，令，∵，∴，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，，符合題意.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以一定存在，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，與題意不符，舍去.綜上，的取值范圍是本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)、不等式恒成立問題，在處理恒成立問題時(shí)，通常是構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值來處理，本題是一道較難的題.19．（1）；（2）.【解析】

若補(bǔ)充②③根據(jù)已知可得平面，從而有，結(jié)合，可得平面，故有，而，得到，②③成立與①②相同，①③成立，可得，所以任意補(bǔ)充兩個(gè)條件，結(jié)果都一樣，以①②作為條件分析;（1）設(shè)，可得，進(jìn)而求出梯形的面積，可求出，即可求出結(jié)論；（2），以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)，由（1）得為平面的法向量，根據(jù)空間向量的線面角公式即可求解.【詳解】第一種情況：若將①，②作為已知條件，解答如下：（1）設(shè)平面為平面.∵，∴平面，而平面平面，∴，又為中點(diǎn).設(shè)，則.在三角形中，，由知平面，∴，∴梯形的面積，，，平面，，，∴，故，.（2）如圖，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由（1）得為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，所以直線與平面所成角的正弦值為.第二種情況：若將①，③作為已知條件，則由知平面，，又，所以平面，，又，故為中點(diǎn)，即，解答如上不變.第三種情況：若將②，③作為已知條件，由及第二種情況知，又，易知，解答仍如上不變.本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，以及體積、直線與平面所成的角，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.20．（1）見解析；（2）【解析】

（1）由折疊過程知與平面垂直，得，再取中點(diǎn)，可證與平面垂直，得，從而可得線面垂直，再得線線垂直；（2）由已知得為中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，在平面內(nèi)過作的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知求出線段長，得出各點(diǎn)坐標(biāo)，用平面的法向量計(jì)算二面角的余弦．【詳解】（1）易知與平面垂直，∴，連接，取中點(diǎn)，連接，由得，，∴平面，平面，∴，又，∴平面，∴；（2）由，知是中點(diǎn)，令，則，由，，∴，解得，故．以為原點(diǎn)，所在直線為軸，在平面內(nèi)過作的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則．又易知平面的