湖南省2024年數(shù)學(xué)中考第一輪復(fù)習(xí)微專題14圓中常用輔助線的探尋課件

微專題14圓中常用輔助線的探尋湖南2024年數(shù)學(xué)中考第一輪復(fù)習(xí)類型1

見弦連半徑,得等腰三角形圖形示例輔助線在求圓中有關(guān)邊長和角度時(shí),連接圓心和弦的兩個(gè)端點(diǎn),組成等腰三角形,利用等腰三角形的性質(zhì)求解思路結(jié)論OA=OB,∠OAB=∠OBA

B

CA

2

類型2

見弦作垂徑,得直角三角形圖形示例輔助線在求圓中有關(guān)弦長和半徑時(shí),過圓心作弦的垂線段,再連接半徑,組成直角三角形,利用垂徑定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)求解思路結(jié)論AC=BC,OC2+BC2=OB2【針對訓(xùn)練】5.(2023·株洲炎陵模擬)筒車是我國古代發(fā)明的一種水力灌溉工具,明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理,如圖1.筒車盛水筒的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓,如圖2.已知圓心O在水面上方,且☉O被水面截得的弦AB長為6米,☉O半徑長為4米.若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn),則點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是___________米.

7.如圖是一根圓形下水管道的橫截面,管內(nèi)有少量的污水,此時(shí)的水面寬AB為0.6米,污水的最大深度為0.1米.(1)求此下水管橫截面的半徑;(2)隨著污水量的增加,水位又被抬升0.7米,求此時(shí)水面的寬度增加了多少?

類型3

見直徑作弦,得90°圓周角圖形示例輔助線在求圓中有關(guān)邊長和角度時(shí),如果見到直徑,連接圓上一點(diǎn)和直徑的兩個(gè)端點(diǎn),組成直角三角形,利用勾股定理和銳角三角函數(shù)求解思路結(jié)論∠C=90°,AC2+BC2=AB2【針對訓(xùn)練】8.(2023·長沙芙蓉三模)如圖,AB是☉O的直徑,若∠BAC=36°,則∠ADC的度數(shù)為()A.36° B.45°C.54° D.72°C

類型4

見切線連圓心和切點(diǎn),得切線垂直半徑圖形示例輔助線在圓中,出現(xiàn)切線,連接圓心和切點(diǎn),得到垂直,進(jìn)而用直角三角形的相關(guān)性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)解決問題思路結(jié)論OA⊥PA【針對訓(xùn)練】10.(2023·長沙一模)如圖,點(diǎn)A,B,D在☉O上,∠A=20°,BC是☉O的切線,B為切點(diǎn),OD的延長線交BC于點(diǎn)C,則∠OCB的度數(shù)為()

A.20° B.40° C.50° D.80°C11.(2023·婁底一模)如圖,△ABC的內(nèi)切圓圓O與AB,BC,CA分別相切于點(diǎn)D,E,F,若∠DEF=53°,則∠A的度數(shù)是()A.36° B.53° C.74° D.128°C

C

【解析】(1)連接OC,則OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵CD為☉O的切線,∴OC⊥CD,∵AD⊥CD,∴OC∥AD,∴∠OCA=∠DAC,∴∠OAC=∠DAC,∴AC平分∠DAB;(2)連接CE,BC,∵四邊形ABCE是☉O的內(nèi)接四邊形,∴∠ABC+∠AEC=180°,∵∠AEC+∠CED=180°,∴∠ABC=∠CED,∵AB是☉O的直徑,∴∠ABC+∠BAC=90°,∴∠CED+∠BAC=90°,∵∠OAC=∠DAC,∴∠DAC+∠CED=90°,

類型5

連半徑證垂直或作垂直證半徑,得相切圖形示例輔助線圖1:連接圓心和切點(diǎn),通過證明OA⊥PA,進(jìn)而說明PA是圓O的切線;圖2:過圓心作OA⊥PM,通過證明OA是圓O的半徑,進(jìn)而說明PA是圓O的切線思路結(jié)論P(yáng)A是圓O的切線【針對訓(xùn)練】15.(2023·衡陽珠暉模擬)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=10,BC=6,∠ACB的平分線CO交AB于點(diǎn)O,以O(shè)B為半徑作☉O.(1)請判斷AC與☉O的位置關(guān)系,并說明理由;(2)求☉O的半徑.【解析】(1)AC與☉O相切,理由如下:過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D,∵∠ABC=90°,∴OB⊥CB,又∵OC平分∠ACB,∴OD=OB,∴AC與☉O相切;

16.(2023·長沙模擬)如圖,點(diǎn)A,B,C是☉O上三點(diǎn),且點(diǎn)A是弦BC所對優(yōu)弧的中點(diǎn),過點(diǎn)A作EF∥BC.(1)如圖1,求證:EF是☉O的切線;(2)如圖2,作射線BO交AC于點(diǎn)G,交☉O于點(diǎn)I,交直線EF于點(diǎn)H,當(dāng)AG=3,CG=5時(shí),求sin∠AHB的值.

17.(全等證垂直·2022·常德中考)如圖,已知AB是☉O的直徑,BC⊥AB于B,E是OA上的一點(diǎn),ED∥BC交☉O于D,OC∥AD,連接AC交ED于F.(1)求證:CD是☉O的切線;(2)若AB=8,AE=1,求ED,EF的長.【解析】(1)連接OD,∵BC⊥AB,∴∠OBC=90°,∵AD∥OC,∴∠BOC=∠OAD,∠DOC=∠ODA,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠BOC=∠DOC,

18.(作垂直證半徑)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,CD平分∠ACB,交AB于點(diǎn)D,以點(diǎn)D為圓心,DA為半徑的圓與AB相交于點(diǎn)E,與CD相交于點(diǎn)F,連接EF.(1)求證:BC是☉D的切線;(2)若EF∥BC,且BC=6,求圖中陰影部分的面積.

類型6

見內(nèi)心連頂點(diǎn),得角平分線圖形示例輔助線點(diǎn)I是三角形ABC的內(nèi)心,連接內(nèi)心I和頂點(diǎn)A,用三角形內(nèi)心的性質(zhì)解決問題思路結(jié)論∠IAB=∠IAC【針對訓(xùn)練】19.如圖,