6.4.1平面幾何中的向量方法練習高一下學期數(shù)學人教A版

6.4.1平面幾何中的向量方法一、基礎鞏固1.已知A,B,C,D四點的坐標分別為(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),則此四邊形為()A.梯形 B.菱形C.矩形 D.正方形2.如圖,BC,DE是半徑為1的圓O的兩條直徑,BF=2FO,則FD·FE的值是(A.34 B.89 C.143.在四邊形ABCD中,若AC=(1,2),BD=(4,2),則該四邊形的面積為()A.5 B.25 C.5 D.104.已知在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,則當AC⊥BC時,AD=()A.1 B.2 C.3 D.45.在四邊形ABCD中,AB=CD,AC·BD=0,則四邊形A.平行四邊形 B.矩形C.等腰梯形 D.菱形6.已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,點E,F分別為BC,CD的中點,則(AE+AF)·BD=7.正方形OABC的邊長為1,點D,E分別為AB,BC的中點,則cos∠DOE=.8.已知點A(1,2),B(0,2),且2|AD|=3|BD|,若點D在線段AB上,求點D的坐標.9.已知在正方形ABCD中,點E,F分別是CD,AD的中點,BE,CF交于點P.求證:(1)BE⊥CF;(2)AP=AB.二、能力提升10.在△ABC中,D為BC邊的中點,已知AB=a,AC=b,則下列向量中與AD同向的是()A.a+b|C.a-b|11.在△ABC中,AB=3,AC=2,BD=12BC,則A.52 B.52 C.5412.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,點E為BC的中點,點F在邊CD上,若AB·AF=2,則A.2 B.2 C.0 D.113.如圖,設點P為△ABC內(nèi)一點,且2PA+2PB+PC=0,則S△ABPA.15 B.25 C.1414.在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,M,N為AC邊上的兩個動點(M,N不與A,C重合),且滿足|MN|=2,則BM·BN的取值范圍為15.如圖所示,若點D是△ABC內(nèi)的一點,且AB2AC2=DB2DC2,求證:AD⊥BC.16.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=6,求兩條直角邊的中線所夾的銳角的余弦值.三、拓展創(chuàng)新17.(多選題)已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點,則下列說法正確的是()A.若PA+3PB+2PC=0,則點P在△ABC的中位線上B.若PA+PB+PC=0,則PC.若AB·AC>0,則△D.若AP=13AB+23AC,則參考答案一、基礎鞏固1.答案:A解析:∵AB=(3,3),CD=(2,2),∴AB=32CD,∴AB又|AB|≠|(zhì)CD|,∴該四邊形為梯形.2.答案:B解析:因為FD=且OD=OE,所以FD·FE=(FO+OD)·(FO+OE)3.答案:C解析:∵AC·BD=0,∴AC⊥∴四邊形ABCD的面積S=12|AC||BD|=12×54.答案:A解析:建立平面直角坐標系,如圖所示.設AD=t(t>0),則A(0,0),C(1,t),B(2,0),故AC=(1,t),BC=(1,t).由AC⊥BC,知AC·BC=1+t2解得t=1,故AD=1.5.答案:D解析:∵AB=CD,即AB=∴AB與DC平行且相等,∴四邊形ABCD是平行四邊形.又AC·BD=0,∴AC⊥BD,即∴四邊形ABCD是菱形.6.答案:9解析:如圖,以A為坐標原點,以AB,AD的方向分別為x軸、y軸正方向建立平面直角坐標系,則A(0,0),B(2,0),D(0,1),C∵點E,F分別為BC,CD的中點,∴E2,12∴AE+AF=∴(AE+AF)·BD=3×(2)+32×17.答案:4解析:以OA,OC所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系,如圖所示,由題意知,OD=(1,12),OE=(12,1故cos∠DOE=OD·即cos∠DOE的值為458.解:設D(x,y),由題意知,2|AD|=3|BD|,且點D在線段AB上,所以2AD=3DB,即2(x+1,y2)=3(x,2y).所以2x+2=故點D的坐標為-29.證明:建立平面直角坐標系如圖所示,設AB=2,則A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)∵BE=(1,2),CF=(2,1),∴BE·CF=(1)×(2)+2×(1)∴BE⊥CF,即BE⊥(2)設點P坐標為(x,y),則FP=(x,y1),FC=(2,1),∵FP∥FC,∴x=2(y1),即x=2y2,同理,由BP∥BE,得y=2由x∴點P的坐標為65∴|AP|=652+852即AP=AB.二、能力提升10.答案:A解析:AD=12AB+12AC=111.答案:C解析:因為BD=12BC,所以點則AD=12所以AD·BD=12(AB+AC)·12(AC-AB)=14(|AC|2|12.答案:A解析:∵AF=∴AB·AF=AB·(AD+DF∴|DF|=1,|CF|=21,∴AE·BF=(AB+BE)·(BC+CF)=AB·CF+BE·BC=13.答案:A解析:設點D為AB的中點,連接PD(圖略).∵PA+PB=2PD=12PC,∴∴點P為CD的五等分點,∴△ABP的面積為△ABC的面積的1514.答案:3解析:不妨設點M靠近點A,點N靠近點C,分別以等腰直角三角形ABC的直角邊所在的直線為坐標軸建立平面直角坐標系,如圖所示,則B(0,0),A(0,2),C(2,0),線段AC的方程為x+y2=0(0≤x≤2).設M(a,2a),N(a+1,1a)(0<a<1),所以BM=(a,2a),BN=(a+1,1a),所以BM·BN=a(a+1)+(2a)(1a)=2a22a+2=2又0<a<1,所以由二次函數(shù)的知識可得BM·15.證明:設AB=a,AC=b,AD=e,DB=c,DC=d,則a=e+c,b=e+d,所以a2b2=(e+c)2(e+d)2=c2+2e·c2e·dd2,又已知a2b2=c2d2,所以e·c=e·d,即e·(cd)=0,得AD·CB所以AD⊥BC.16解:方法一:如圖(1),(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,點D,E分別是BC,AC邊的中點,BC=4,AC=6.則CD=2,CE=3,所以|AD|=AC2+C|BE|=BC2AD·EB=(AC+CD)=AC·EC+AC·CB+CD·EC+CD·CB=設AD與EB的夾角為則cosθ=AD·故直線AD與BE所夾的銳角的余弦值為1310方法二:如圖(2)所示,(2)以點C為坐標原點,CB,CA的方向分別為x軸、y其中點A(0,6),B(4,0),D(2,0),E(0,3),則AD=(2,6),EB=(4,3),所以AD·EB=2×4+(6)×(3)|AD|=22+(-6|EB|=42+(-設AD與EB的夾角為則cosθ=AD·故直線AD與BE所夾的銳角的余弦值為1310三、拓展創(chuàng)新17.答案:ABD解析:對于A,設AB中點為D,BC中點為E,∵PA+3PB+2PC=0,∴PA+2(PB+PC),∴2PD=4PE,即PD=2EP,∴P,D,E三點共線,又DE為△ABC的中位線,∴點P在△ABC的中位線上,A正確;對于B,設AB中點為D,由PA+PB+PC