第2章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1微分方程式的建立2.2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化2.3傳遞函數(shù)2.4系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及其等效變換2.5信號(hào)流圖

2.1微分方程式的建立

微分方程式是系統(tǒng)的一種時(shí)域數(shù)學(xué)模型,建立微分方程的一般步驟如下:

(1)根據(jù)各元件的工作原理和作用,確定輸入量和輸出量。

(2)分析各元件所遵循的基本物理或化學(xué)定律,列寫相應(yīng)的微分方程。

(3)消去中間變量,得到輸出量和輸入量之間的微分方程。

(4)將微分方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式,輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)按降階排列寫在等號(hào)的左邊,輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)按降階排列寫在等號(hào)的右邊,即“左出右入”降階。

2.1.1機(jī)械系統(tǒng)

例2-1設(shè)彈簧阻尼機(jī)械系統(tǒng)如圖2-1所示,試列寫當(dāng)外力F(t)作用于系統(tǒng)時(shí),外力F(t)與位移x(t)之間的微分方程。圖2-1彈簧阻尼機(jī)械系統(tǒng)

解根據(jù)牛頓第二定律可得

式中,F1(t)為彈簧的彈力,F2(t)為阻尼器的阻尼力,這兩個(gè)力的方向都與運(yùn)動(dòng)方向相反,則

其中,K為彈簧的彈性系數(shù),f為阻尼器的阻尼系數(shù)。

把式(2-2)代入式(2-1),得

整理得

從式(2-4)可以看出,該機(jī)械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)二階常微分方程,其所描述的系統(tǒng)為一個(gè)二階系統(tǒng)。

例2-2-扭擺系統(tǒng)如圖2-2所示,其中擺錘的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量用J表示,擺錘與空氣之間的摩擦阻尼系數(shù)用B表示,吊桿彈性作用的扭簧系數(shù)用K表示。試列寫輸入為作用在擺錘上的力矩M(t),輸出為擺錘轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ(t)的微分方程。

解根據(jù)題意得

2.1.2-電氣系統(tǒng)

例2-3運(yùn)算電路如圖2-3所示,試列寫輸入量為ui(t)、輸出量為uo(t)的微分方程。

解根據(jù)運(yùn)算放大器的“虛短”和“虛斷”概念以及

基爾霍夫電流定律,可得

把式(2-6)和式(2-7)代入式(2-8),得

寫成標(biāo)準(zhǔn)形式為

例2-4RC電路網(wǎng)絡(luò)如圖2-4所示,試列寫輸入量為ui(t)、輸出量為uo(t)的微分方程。圖2-4RC電路網(wǎng)絡(luò)

2.2-非線性數(shù)學(xué)模型的線性化

嚴(yán)格地說,物理系統(tǒng)都是非線性的,往往存在著間隙、飽和、死區(qū)等非線性現(xiàn)象,因此嚴(yán)格意義上的線性系統(tǒng)是不存在的。一般地,對(duì)于任何一個(gè)實(shí)際的系統(tǒng),只要其中至少有一部分是非線性環(huán)節(jié),這個(gè)系統(tǒng)就是非線性系統(tǒng),描述它的數(shù)學(xué)模型也是非線性的方程。

一種線性化方法是當(dāng)非線性因素對(duì)系統(tǒng)的影響較小時(shí),一般直接將這些非線性元件看作線性元件。例如,通常認(rèn)為常數(shù)的彈簧的彈性系數(shù)實(shí)際上是其位移量的函數(shù);通常認(rèn)為

常數(shù)的電阻、電感和電容等參數(shù)實(shí)際上也是變化的,它們與周圍的環(huán)境(溫度、濕度、壓力等)以及流經(jīng)它們的電流有關(guān)。而平時(shí)在分析問題時(shí),這些參數(shù)都被當(dāng)作常數(shù)來處理,這是通常采用的一種線性化方法。

另外一種線性化方法叫作切線法或小偏差法。這種方法特別適合具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)特性,其實(shí)質(zhì)就是在一個(gè)很小的范圍內(nèi),將非線性特性用一段直線來代替,如圖2-5所示。圖2-5切線法示意圖

在對(duì)非線性特性數(shù)學(xué)模型進(jìn)行線性化時(shí),應(yīng)滿足下面幾個(gè)基本假定:

(1)非線性環(huán)節(jié)y=f(x)具有靜態(tài)非線性特性,非線性函數(shù)y=f(x)連續(xù)且各階導(dǎo)數(shù)存在。

(2)控制系統(tǒng)有一個(gè)額定的工作狀態(tài),即系統(tǒng)有一個(gè)靜態(tài)工作點(diǎn)(平衡狀態(tài))。

(3)系統(tǒng)工作過程中,自變量偏離工作點(diǎn)的偏差量Δx很小,即滿足微偏條件。

例2-5鐵芯線圈電路如圖2-6(a)所示,鐵芯線圈的磁通Φ與線圈中的電流i之間的關(guān)系如圖2-6(b)所示,試列寫輸入量為ui(t)、輸出量為i(t)的電路微分方程。圖2-6鐵芯線圈電路及其特性

利用切線法或小偏差法進(jìn)行線性化時(shí),要注意以下問題:

(1)在線性化之前,必須確定非線性元件的工作點(diǎn)。

(2)線性化是相對(duì)于某一個(gè)工作點(diǎn)的,當(dāng)工作點(diǎn)變化時(shí),所得到的線性化方程的系數(shù)往往不同。

(3)增量方程可認(rèn)為其初始條件為零。

(4)變量的偏差越小,線性化的程度越高。

(5)線性化只適用于沒有間斷點(diǎn)、折斷點(diǎn)的單值函數(shù)。

(6)對(duì)于嚴(yán)重非線性元件,一般不能用切線法或小偏差法。

2.3傳遞函數(shù)

2.3.1傳遞函數(shù)的定義一般情況下,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型可表示為

傳遞函數(shù)輸入與輸出的關(guān)系可以用方框圖表示,如圖2-7所示。圖2-7傳遞函數(shù)方框圖

例2-6已知控制系統(tǒng)的微分方程為

試求控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

解根據(jù)傳遞函數(shù)的定義,在零初始條件下,對(duì)微分方程式(2-27)兩邊求拉普拉斯變換,可得

控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

試求控制系統(tǒng)的微分方程。

解交叉相乘得到

在零初始條件下,對(duì)式(2-31)兩邊求拉普拉斯反變換,可得

2.3.2-傳遞函數(shù)的性質(zhì)

傳遞函數(shù)的性質(zhì)主要有如下幾點(diǎn)。

(1)傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式,具有復(fù)變函數(shù)的性質(zhì),且所有系數(shù)都是實(shí)數(shù);n≥m,這是由于實(shí)際系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的慣性所造成的。

(2)傳遞函數(shù)適用于線性定常連續(xù)系統(tǒng),這是由于傳遞函數(shù)是經(jīng)拉普拉斯變換導(dǎo)出的,而拉氏變換是一種線性積分運(yùn)算。

(3)傳遞函數(shù)表示線性定常系統(tǒng)輸出量與輸入量之間的關(guān)系,它只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù),而與輸入量或輸入函數(shù)的形式無關(guān)。

(4)傳遞函數(shù)與微分方程之間可以互相轉(zhuǎn)換。

(5)傳遞函數(shù)只表示單輸入和單輸出(SISO)系統(tǒng)之間的關(guān)系,對(duì)多輸入多輸出(MI－MO)系統(tǒng),可用多個(gè)傳遞函數(shù)或傳遞函數(shù)陣表示。

(6)傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式N(s)稱為特征多項(xiàng)式,記為

而

稱為特征方程。解特征方程得到的根稱為特征根或傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。

(7)傳遞函數(shù)的拉普拉斯反變換是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g(t)。單位脈沖響應(yīng)是在零初始條件下,線性系統(tǒng)對(duì)理想單位脈沖輸入信號(hào)的輸出響應(yīng)。這是傳遞函數(shù)的物理意義。

因?yàn)閱挝幻}沖輸入信號(hào)為r(t)=δ(t),其拉普拉斯變換R(s)=L[δ(t)]=1,則系統(tǒng)脈沖響應(yīng)為

例2-8已知系統(tǒng)的階躍輸入r(t)=1(t),零初始條件下的輸出響應(yīng)c(t)=1-e-2t+e-t,試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和脈沖響應(yīng)。

2.3.3傳遞函數(shù)的常用形式

1.有理真分式形式

有理真分式形式如下:

2.零極點(diǎn)表示形式(在根軌跡法中使用最多)

零極點(diǎn)表示形式如下:

如果把傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)表示中的一對(duì)共軛復(fù)數(shù)的一階因子合并,用一個(gè)系數(shù)為實(shí)數(shù)的二階因子表示,同時(shí)在傳遞函數(shù)中有ν個(gè)等于0的極點(diǎn),那么式(2-41)可寫為

3.時(shí)間常數(shù)表示形式(在頻域法中使用較多)

傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式因式分解后,還可以寫成如下因子連乘積的形式:

2.3.4典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

1.比例環(huán)節(jié)

比例環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量成一定比例,其時(shí)域數(shù)學(xué)模型——微分方程為

式中,K稱為比例增益。

比例環(huán)節(jié)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型———傳遞函數(shù)為

在單位階躍輸入信號(hào)r(t)=1(t)作用下,如圖2-8(a)所示,比例環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)為

比例環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)如圖2-8(b)所示。比例環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量成比例,且無失真,無時(shí)間延遲。圖2-8比例環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)

2.積分環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)的輸出量是輸入量的積分,其時(shí)域數(shù)學(xué)模型——微分方程為

式中,Ti稱為積分時(shí)間常數(shù)。

積分環(huán)節(jié)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型———傳遞函數(shù)為

在單位階躍輸入信號(hào)r(t)=1(t)作用下,積分環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)為

積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖2-9所示,輸出量隨時(shí)間變化直線上升,積分作用的強(qiáng)弱由Ti決定,Ti

越小,積分環(huán)節(jié)就越強(qiáng)。當(dāng)t=t'時(shí),階躍輸入信號(hào)消失,積分作用停止,輸出維持不變,所以稱積分作用具有記憶功能。圖2-9積分環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)

由運(yùn)算放大器構(gòu)成的積分電路如圖2-10所示,其微分方程和傳遞函數(shù)分別為圖2-10運(yùn)算放大器構(gòu)成的積分電路

3.微分環(huán)節(jié)

微分環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量的導(dǎo)數(shù)成比例關(guān)系,其

時(shí)域數(shù)學(xué)模型——微分方程為

式中,Td稱為微分時(shí)間常數(shù)。

微分環(huán)節(jié)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型———傳遞函數(shù)為

在單位階躍輸入信號(hào)r(t)=1(t)作用下,微分環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)為

微分環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)如圖2-11所示。圖2-11微分環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)

實(shí)際中理想的微分難以實(shí)現(xiàn),所以在分析時(shí)常采用帶有慣性的微分環(huán)節(jié),稱其為實(shí)際微分,實(shí)際微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

其階躍響應(yīng)為

實(shí)際微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖2-12-所示。圖2-12-實(shí)際微分環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)

如圖2-13所示的RC電路網(wǎng)絡(luò)就是一個(gè)實(shí)際微分環(huán)節(jié),其微分方程和傳遞函數(shù)分別為圖2-13RC電路網(wǎng)絡(luò)

在分析微分環(huán)節(jié)時(shí),也常遇到一階微分環(huán)節(jié)(也叫比例微分環(huán)節(jié))和二階微分環(huán)節(jié)。一階微分環(huán)節(jié)的微分方程為

相應(yīng)的傳遞函數(shù)為

二階微分環(huán)節(jié)的微分方程為

相應(yīng)的傳遞函數(shù)為

4.一階慣性環(huán)節(jié)

一階慣性環(huán)節(jié)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型——微分方程為

式中,T為慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。

一階慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

在單位階躍輸入信號(hào)r(t)=1(t)作用下,慣性環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)為

慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖2-14所示。圖2-14慣性環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)

5.二階振蕩環(huán)節(jié)

6.延遲環(huán)節(jié)圖2-15延遲環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)

2.4系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及其等效變換

2.4.1結(jié)構(gòu)圖的組成結(jié)構(gòu)圖包括四種基本的組成部分,分別為信號(hào)線、方框(或環(huán)節(jié))、比較點(diǎn)(或綜合點(diǎn))、引出點(diǎn)(測量點(diǎn))。有些教材上也把引出點(diǎn)叫作分支點(diǎn),把比較點(diǎn)叫作相加點(diǎn)。(1)信號(hào)線是帶有箭頭的直線,箭頭的方向表示信號(hào)傳遞的方向,信號(hào)線代表的變量直接標(biāo)記在直線上,如圖2-16(a)所示。

(2)方框(或環(huán)節(jié))表示對(duì)信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換,方框中為環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),如圖2-16(b)所示。指向方框的變量為方框的輸入變量,離開方框的變量為方框的輸出變量,它們之間的關(guān)系為

(3)比較點(diǎn)(或綜合點(diǎn))表示兩個(gè)及其以上的信號(hào)相加減?！?”表示相加,一般可省略不寫;“-”表示相減,如圖2-16(c)所示。

(4)引出點(diǎn)(測量點(diǎn))表示信號(hào)的引出或測量的位置,信號(hào)引出并不代表取出能量,所以,從同一引出點(diǎn)引出的信號(hào)在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同,如圖2-16(d)所示。圖2-16結(jié)構(gòu)圖的基本組成

系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種,可根據(jù)系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)微分方程式及其拉普拉斯變換來繪制?？砂聪旅娴牟襟E繪制:

(1)列寫系統(tǒng)中各元件的微分方程或傳遞函數(shù),將它們用方框表示。

(2)將輸入信號(hào)放在圖的左邊,輸出信號(hào)放在圖的右邊。

(3)根據(jù)各元件信號(hào)的流向,用信號(hào)線把各方框連接起來。

例2-9如圖2-17所示RC電路網(wǎng)絡(luò),試列寫其結(jié)構(gòu)圖。圖2-17RC電路網(wǎng)絡(luò)

解采用電路中的“運(yùn)算阻抗”的概念和方法,可直接列寫出各元件的傳遞函數(shù)為

將上述傳遞函數(shù)用方框表示,如圖2-18所示。將輸入信號(hào)放在圖的左邊,輸出信號(hào)放在圖的右邊。然后根據(jù)各元件信號(hào)的流向,用信號(hào)線把各方框連接起來,就得到了RC電路的結(jié)構(gòu)圖,如圖2-19所示。圖2-18各環(huán)節(jié)方框圖圖2-19RC電路的結(jié)構(gòu)圖

2.4.2-典型連接的等效傳遞函數(shù)

1.串聯(lián)連接

結(jié)構(gòu)圖中幾個(gè)方框按照信號(hào)流向首尾連接,前一方框的輸出作為后一方框的輸入,這種連接方式稱為串聯(lián)連接。兩個(gè)方框的串聯(lián)連接如圖2-20(a)所示,根據(jù)結(jié)構(gòu)圖可得

消去中間變量,可得

所以圖2-20(a)可等效變換為圖2-20(b),等效變換后的傳遞函數(shù)為圖2-20串聯(lián)連接的結(jié)構(gòu)圖及簡化

可見,串聯(lián)連接的兩個(gè)環(huán)節(jié)可以簡化或等效變換為一個(gè)環(huán)節(jié),等效的傳遞函數(shù)為兩個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。此結(jié)論可以推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況,等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為各

串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積,即

2.并聯(lián)連接

當(dāng)兩個(gè)或多個(gè)環(huán)節(jié)具有相同的輸入量,而總輸出量為各環(huán)節(jié)輸出量的代數(shù)和時(shí),稱各環(huán)節(jié)為并聯(lián)連接。一個(gè)有兩個(gè)方框的并聯(lián)連接如圖2-21(a)所示,根據(jù)結(jié)構(gòu)圖可得

消去中間變量,可得

所以圖2-21(a)可等效變換為圖2-21(b),等效變換后的傳遞函數(shù)為

可見,并聯(lián)連接的兩個(gè)環(huán)節(jié)可以簡化或等效變換為一個(gè)環(huán)節(jié),等效的傳遞函數(shù)為兩個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。此結(jié)論可以推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)的情況,等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

各并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和,即圖2-21并聯(lián)連接的結(jié)構(gòu)圖及簡化

3.反饋連接

如圖2-22(a)所示,將環(huán)節(jié)的輸出量反送到輸入端與輸入信號(hào)進(jìn)行比較后作為環(huán)節(jié)的輸入量,這樣就構(gòu)成了反饋連接。圖中B(s)為反饋信號(hào),E(s)為偏差信號(hào)。如果反饋信號(hào)在相加點(diǎn)處取“+”號(hào),稱為正反饋;取“-”號(hào),稱為負(fù)反饋。

由圖2-22(a)可得圖2-22-反饋連接的結(jié)構(gòu)圖及簡化

在反饋連接中經(jīng)常遇到一些術(shù)語,下面簡要介紹一下:

(1)前向通道。信號(hào)輸入點(diǎn)R(s)到信號(hào)輸出點(diǎn)C(s)的通道稱為前向通道,前向通道上所有環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積定義為前向通道傳遞函數(shù)G(s)。

(2)反饋通道。輸出信號(hào)C(s)到反饋信號(hào)B(s)的通道稱為反饋通道,反饋通道上所有環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積定義為反饋通道傳遞函數(shù)H(s)。

(3)回路。偏差信號(hào)E(s)到輸出信號(hào)C(s)再經(jīng)反饋信號(hào)B(s)到偏差信號(hào)E(s)的封閉通道稱為回路,回路上所有環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積定義為回路傳遞函數(shù)。

(4)開環(huán)傳遞函數(shù)。通常將反饋信號(hào)B(s)與偏差信號(hào)E(s)之比定義為開環(huán)傳遞函數(shù)GK

(s),即

顯然,開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)是前向通道傳遞函數(shù)G(s)與反饋通道傳遞函數(shù)H(s)的乘積。由此可見,反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)、開環(huán)傳遞函數(shù)和前向通道傳遞函數(shù)符合下面的關(guān)系:

2.4.3比較點(diǎn)及引出點(diǎn)的變位運(yùn)算

1.比較點(diǎn)后移

圖2-23所示為比較點(diǎn)后移前后的結(jié)構(gòu)圖,它們之間是等效的圖2-23比較點(diǎn)后移的等效變換

2.比較點(diǎn)前移

2-24所示為比較點(diǎn)前移前后的結(jié)構(gòu)圖,它們之間是等效的。圖2-24比較點(diǎn)前移的等效變換

3.引出點(diǎn)后移

2-25所示為引出點(diǎn)后移前后的結(jié)構(gòu)圖,它們之間是等效的。圖2-25引出點(diǎn)后移的等效變換

4.引出點(diǎn)前移

圖2-26所示為引出點(diǎn)前移前后的結(jié)構(gòu)圖,它們之間是等效的。圖2-26引出點(diǎn)前移的等效變換

由圖2-26(a)可得

由圖2-26(b)可得

比較式(2-100)和式(2-101)可知,要使引出點(diǎn)后移前后的傳遞函數(shù)等效,則

5.相鄰的比較點(diǎn)位置交換

相鄰的比較點(diǎn)之間只要保證交換前后傳遞函數(shù)等效,就可以交換位置或合并。例如,由圖2-27(a)可得圖2-27交換比較點(diǎn)位置的等效變換1

可見,圖2-28(a)的結(jié)構(gòu)圖可以通過交換比較點(diǎn)位置等效變換為圖2-28(b)的結(jié)構(gòu)圖。圖2-28交換比較點(diǎn)位置的等效變換2

6.相鄰的引出點(diǎn)位置交換

一條信號(hào)線上無論有多少引出點(diǎn),它們都代表同一個(gè)信號(hào),所以一條信號(hào)上的各引出點(diǎn)之間可以任意交換位置。如圖2-29所示,無需任何變動(dòng),只要交換引出點(diǎn)位置即可。圖2-29交換引出點(diǎn)位置

利用結(jié)構(gòu)圖的等效變換可對(duì)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行簡化,具體思路是:

(1)利用串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種基本連接的等效方法合并串聯(lián)、并聯(lián)和內(nèi)回路。

(2)利用比較點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動(dòng),使得相同類型的點(diǎn)通過交換位置把交叉的環(huán)路分開,形成大環(huán)套小環(huán)的形式,解除交叉環(huán)路。當(dāng)某個(gè)回環(huán)和其他環(huán)路沒有交叉時(shí),可先利用反饋連接等效變換將該回環(huán)消掉。

(3)利用串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種基本連接的等效方法,把各環(huán)逐個(gè)消掉,得到最簡結(jié)構(gòu)圖,同時(shí)得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

例2-10請(qǐng)對(duì)例2-9中得到的RC電路結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行等效變換,求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

解首先將例2-9的電路結(jié)構(gòu)圖中的I2(s)引出點(diǎn)后移,然后與Uo(s)引出點(diǎn)交換位置,得到圖2-30。圖2-30例2-10引出點(diǎn)后移等效變換后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

利用串聯(lián)和反饋等效變換,消掉與其他環(huán)路無交叉的回環(huán),得到圖2-31。圖2-31例2-10反饋等效變換后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖2-31中的第二個(gè)比較點(diǎn)前移后和第一個(gè)比較點(diǎn)交換位置,得到圖2-32。圖2-32-例2-10比較點(diǎn)前移等效變換后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

利用串聯(lián)和反饋等效變換,消掉內(nèi)回環(huán),得到圖2-33。圖2-33例2-10消掉內(nèi)環(huán)等效變換后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

利用串聯(lián)和反饋等效變換,得到圖2-34。圖2-34例2-10串聯(lián)和和反饋等效變換結(jié)構(gòu)圖

所以可以得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

例2-11已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖2-35所示,試簡化該結(jié)構(gòu)圖,求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)圖2-35例2-11的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

解將第一個(gè)比較點(diǎn)和第二個(gè)比較點(diǎn)交換位置,同時(shí),將第一個(gè)引出點(diǎn)后移后與第二個(gè)引出點(diǎn)交換位置,得到圖2-36。圖2-36例2-11比較點(diǎn)交換、后移等效變換后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

利用反饋等效變換,消掉內(nèi)回環(huán),得到圖2-37。圖2-37例2-11反饋等效變換、消掉內(nèi)環(huán)后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

交換兩個(gè)引出點(diǎn)位置后,利用串聯(lián)、反饋等效變換,消掉內(nèi)回環(huán),得到圖2-38。圖2-38例2-11串聯(lián)、反饋等效變換后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

利用反饋等效變換得到圖2-39。圖2-39例2-11反饋等效變換后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

所以可以得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

例2-12-已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖2-40所示,簡化該結(jié)構(gòu)圖,求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)圖2-40例2-12的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

解將第三個(gè)比較點(diǎn)前移后與第二個(gè)比較點(diǎn)交換位置,第一個(gè)引出點(diǎn)后移后與第二個(gè)引出點(diǎn)交換位置,得到圖2-41。圖2-39例2-11反饋等效變換后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

利用串聯(lián)、并聯(lián)、反饋等效變換,得到圖2-42。圖2-42-例2-12串聯(lián)、并聯(lián)、反饋等效變換后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

利用串聯(lián)、反饋等效變換,消掉內(nèi)回環(huán),得到圖2-43。圖2-43例2-12再次串聯(lián)、并聯(lián)、反饋等效變換后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

利用反饋等效變換,得到圖2-44。圖2-44例2-12反饋等效變換后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

所以可以得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

2.4.4系統(tǒng)對(duì)給定作用和擾動(dòng)作用的傳遞函數(shù)

系統(tǒng)同時(shí)存在給定輸入和擾動(dòng)作用時(shí)的結(jié)構(gòu)圖如圖2-45所示。圖2-45給定輸入和擾動(dòng)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)線性系統(tǒng)滿足疊加原理,當(dāng)給定輸入R(s)和擾動(dòng)輸入N(s)同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí),系統(tǒng)總的輸出為

例2-13已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖2-46所示,求系統(tǒng)輸出C(s)的表達(dá)式。圖2-46例2-13的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

解由題意可知有三個(gè)輸入同時(shí)作用于系統(tǒng),根據(jù)線性系統(tǒng)滿足疊加原理,令N1(s)=0,N2(s)=0,可得R(s)單獨(dú)作用下的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,如圖2-47所示。圖2-47R(s)單獨(dú)作用下的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

通過結(jié)構(gòu)圖簡化方法,可得傳遞函數(shù)為

令R(s)=0,N2(s)=0,可得N1(s)單獨(dú)作用下的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,如圖2-48所示。通過結(jié)構(gòu)圖簡化方法,可得傳遞函數(shù)為圖2-48N1(s)單獨(dú)作用下的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

令R(s)=0,N1(s)=0,可得N2(s)單獨(dú)作用下的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,如圖2-49所示。圖2-49N2(s)單獨(dú)作用下的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

通過結(jié)構(gòu)圖簡化方法,可得傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)輸出C(s)的表達(dá)式為

2.5信號(hào)流圖

2.5.1信號(hào)流圖的組成信號(hào)流圖起源于梅遜利用圖示法描述一個(gè)或一組線性方程組。信號(hào)流圖是一種表示線性代數(shù)方程組的圖示方法。下面的一組線性方程:

可用如圖2-50所示的信號(hào)流圖來表示。圖2-50信號(hào)流圖

2.5.2-信號(hào)流圖的常用術(shù)語

信號(hào)流圖的常用術(shù)語如下。

(1)輸入支路:進(jìn)入節(jié)點(diǎn)的支路。

(2)輸出支路:離開節(jié)點(diǎn)的支路。

(3)輸入節(jié)點(diǎn):只有信號(hào)輸出支路,沒有信號(hào)輸入支路的節(jié)點(diǎn)。一般代表自變量或外部輸入變量,也稱源節(jié)點(diǎn),如圖2-50中的節(jié)點(diǎn)X1。

(4)輸出節(jié)點(diǎn):只有信號(hào)輸入支路,而沒有信號(hào)輸出支路的節(jié)點(diǎn)。一般代表系統(tǒng)的輸出變量,也稱匯節(jié)點(diǎn),如圖2-50中的節(jié)點(diǎn)X6。

(5)混合節(jié)點(diǎn):既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn),一般代表系統(tǒng)的中間變量,如圖2-50中的節(jié)點(diǎn)X2~X5?；旌瞎?jié)點(diǎn)兼有結(jié)構(gòu)圖中信號(hào)相加點(diǎn)和信號(hào)分支點(diǎn)的功能?；旌瞎?jié)點(diǎn)處的信號(hào)是所有輸入支路信號(hào)的和,而由混合節(jié)點(diǎn)引出的所有信號(hào)是同一個(gè)信號(hào)。任何一個(gè)混合節(jié)點(diǎn)都可以通過增加一條單位傳輸?shù)妮敵鲋范兂奢敵龉?jié)點(diǎn),如圖2-50中的節(jié)點(diǎn)X3。

(6)通道:是指從一個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā),沿著支路箭頭方向通過一些支路和中間節(jié)點(diǎn),并且每個(gè)中間節(jié)點(diǎn)最多只通過一次,到達(dá)另一個(gè)節(jié)點(diǎn)的路徑。通道上各支路增益的乘積稱為通道增益(或稱為通道傳輸)。

(7)前向通道:是指從輸入節(jié)點(diǎn)(源節(jié)點(diǎn))到輸出節(jié)點(diǎn)(匯節(jié)點(diǎn))且每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多只經(jīng)過一次的通道。前向通道上各支路增益(或支路傳輸)的乘積稱為前向通道增益(或前向通道傳輸)。

(8)回路:是指起點(diǎn)和終點(diǎn)為同一個(gè)節(jié)點(diǎn)且每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多只經(jīng)過一次的閉合通道,也稱回環(huán)或反饋環(huán)。回路上各支路增益(或支路傳輸)的乘積稱為回路增益(或回路傳輸)。

(9)不接觸回路:沒有任何公共節(jié)點(diǎn)的回路。

2.5.3信號(hào)流圖的性質(zhì)

信號(hào)流圖的性質(zhì)如下:

(1)信號(hào)流圖只適用于線性定常系統(tǒng)。

(2)信號(hào)流圖是表達(dá)線性方程組的一種數(shù)學(xué)模型,該線性方程組形式應(yīng)為因果函數(shù)形式。

(3)信號(hào)只能按支路的箭頭方向傳遞,支路相當(dāng)于乘法器。

(4)節(jié)點(diǎn)標(biāo)志系統(tǒng)的變量,節(jié)點(diǎn)把所有輸入支路的信號(hào)疊加,并把總和信號(hào)傳送到所有輸出支路。

(5)對(duì)于某一給定的系統(tǒng),信號(hào)流圖不是唯一的。

2.5.4信號(hào)流圖的繪制

1.由系統(tǒng)的微分方程繪制

由系統(tǒng)的微分方程式繪制信號(hào)流圖時(shí),首先經(jīng)拉氏變換將微分方程化成s域中的代數(shù)方程,再給每個(gè)變量指定一個(gè)節(jié)點(diǎn),并按照系統(tǒng)中變量的因果關(guān)系從左向右按順序排列,最后根據(jù)數(shù)學(xué)表達(dá)式用標(biāo)明了方向和增益的支路將各個(gè)節(jié)點(diǎn)連接起來,系統(tǒng)的信