人教版七年級數(shù)學(xué)-相交線與平行線教案

第五章相交線與平行線

教材內(nèi)容

本章主要內(nèi)容是兩條直線的位置關(guān)系：相交線和平行線，以及平移變

換的內(nèi)容。

本章首先研究了相交的情形，探索了兩條直線相交所成角的位置和大

小關(guān)系，給出了鄰補(bǔ)角和對頂角的概念，得出了“對頂角相等”的結(jié)論；

并著重研究了相交的特殊情形一一垂直，探索了垂直的性質(zhì)，給出了點到

直線的距離的概念。接著研究了平行的情形，教科書首先引入了一個根本

領(lǐng)實〔平行公理），以此為出發(fā)點探討了兩條直線平行的性質(zhì)和判定，并給

出了兩條平行線間的距離的概念，還對命題以及命題的構(gòu)成作了簡單的介

紹。最后研究了平移的概念和性質(zhì)，以及利用平移設(shè)計圖案和分析解決實

際生活中的問題。

本章知識是學(xué)習(xí)線和角的繼續(xù)，也是學(xué)習(xí)幾何知識的重要根底，以后

幾乎所有幾何圖形的學(xué)習(xí)都用到本章知識。

教學(xué)目標(biāo)

〔知識與技能〕

1、了解兩條直線的位置關(guān)系有相交與平行兩種，理解相交線、平行

線、平移的有關(guān)概念及性質(zhì)，會運用這些概念和性質(zhì)進(jìn)行簡單的推理和計

算；2、會用三角板、量角器等工具熟練地畫垂線、平行線及有關(guān)簡單幾何

圖形，逐步培養(yǎng)學(xué)生的識圖和繪圖能力；3、進(jìn)一步熟悉和掌握幾何語言，

能夠把學(xué)過的概念和性質(zhì)，用圖形或符號語言表示出來；4、逐步了解幾何

推理要步步有據(jù)，會準(zhǔn)確地填寫推理的根據(jù)，并會作簡單的推理。

〔過程與方法〕

1、通過探索、猜測，進(jìn)一步體會學(xué)會推理的必要性，開展學(xué)生初步推

理能力；2、通過揭示一些概念和性質(zhì)之間的聯(lián)系，對學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新精神和

實踐能力的培養(yǎng).

〔情感、態(tài)度與價值觀〕

1、通過觀察、實驗、歸納、類比、推斷，體驗數(shù)學(xué)活動的趣味性，以

感受推理過程的嚴(yán)謹(jǐn)性以及結(jié)論確實定性；2、開展探究性活動，充分表達(dá)

學(xué)生的自主性和合作精神，激發(fā)學(xué)生樂于探索的熱情。

重點難點

垂線的概念與平行線的判定與性質(zhì)及平移是重點；學(xué)會寫推理過程和

對直線平行的性質(zhì)和判定的靈活運用是難點。

課時分配

5.1相交線...............................2課時

5.2平行線...............................3課時

5.3平行線的性質(zhì)........................3課時

5.4平移.................................5課時

本章小結(jié).................................2課時

相交線

（教學(xué)目標(biāo)）1、經(jīng)歷探究對頂角、鄰補(bǔ)角的位置關(guān)系的過程；2、了

解對頂角、鄰補(bǔ)角的概念；3、知道“對頂角相等〃并會運用它進(jìn)行簡單的

說理。

（重點難點）對頂角、鄰補(bǔ)角的概念和“對頂角相等〃是重點；正確

區(qū)別互為鄰補(bǔ)角與互為補(bǔ)角和運用“對頂角相等"說理是難點。

（教學(xué)過程）

一、情景導(dǎo)入

以下圖是一段鐵路橋梁的側(cè)面圖，找出圖中的相交線、平行線。

“米〃字形中的線段都相交，“米〃字形中間的線段都平行，等等。

相交線和平行線都有許多重要性質(zhì)，并且在生產(chǎn)和生活中有廣泛應(yīng)用。

我們將在前一章的根底上，進(jìn)一步研究直線間的位置關(guān)系，同時還要介紹

一些有關(guān)推理證明的常識，為后面的學(xué)習(xí)做些準(zhǔn)備。

二、鄰補(bǔ)角和對頂角

下面是一把剪刀，你能聯(lián)想到什么幾何圖形？

兩條直線相交，如圖。

上圖中兩條相交直線形成的四個角中，兩兩相配共能組成六對角，即:

Z1和N2、Z1和N3、Z1和N4、Z2和N3、Z2和/4、Z3和/4。

量一量各個角的度數(shù)，你能將上面的六對角分類嗎？

可分為兩類：/I和N2、/I和N4、/2和N3、N3和/4為一類，

它們的和是180°；N1和N3、/2和N4為二類，它們相等。

第一類角有什么共同的特征？

一條邊公共，另一條邊互為反向延長線。

具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補(bǔ)角。

討論：鄰補(bǔ)角與補(bǔ)角有什么關(guān)系？

鄰補(bǔ)角是補(bǔ)角的一種特殊情況，數(shù)量上互補(bǔ)，位置上有一條公共邊,

而互補(bǔ)的角與位置無關(guān)。

第二類角有什么共同的特征？

有公共的頂點，兩邊互為反向延長線。

具有這種位置關(guān)系的角，互為對頂角。

思考：〔投影3〕以下圖形中，/I和/2是對頂角的是（）

ABCD

注意：對頂角形成的前提條件是兩條直線相交，而鄰補(bǔ)角不一定是兩

條直線相交形成的；每個角的對頂角只有一個，而每個角的鄰補(bǔ)角有兩個。

三、對頂角的性質(zhì)

在用剪刀剪布片的過程中，隨著兩個把手之間的角逐漸變小，剪刀刃

之間的角也相應(yīng)變小，直到剪開布片。在這過程中，兩個把手之間的角與

剪刀刃之間的角有什么關(guān)系？

為了答復(fù)這個問題，我們先來研究下面的問題。

如圖，直線AB和直線CD相交于點0,/I和/3有什么關(guān)系？為什么?

Z1和N3相等。

VZ1+Z2=18O°,Z2+Z3=180°

AZ1=Z3（同角的補(bǔ)角相等〕

同理/2和/4相等。

這就是說：對頂角相等。

你能利用這個性質(zhì)答復(fù)上面的問題嗎？

因為剪刀的構(gòu)造可以看成兩條相交的直線，所以兩個把手之間的角與

剪刀刃之間的角互為對頂角，由于對頂角相等，因此，兩個把手之間的角

與剪刀刃之間的角始終相等。

四、例題

如圖，直線a、b相交，Zl=40°,求N2、/3、N4的度數(shù)。

A1D

分析：/I和/2有什么關(guān)系？/I和/3有什么關(guān)系？/2和/4有什

么關(guān)系？

解：：/1+/2=180°,Z2=180°—Z1=180°—40°=140°.

Z3=Z1=4O°,Z4=Z2=140°.

五、課堂練習(xí)

1、一個角的對頂角有個，鄰補(bǔ)角最多有個，而補(bǔ)角那么可

以有個。

2、以下圖中直線AB、CD相交于0,/B0C的對頂角是,鄰

補(bǔ)角是________________________________

3、課本5面練習(xí)。

4、如2題圖，ZA0C=80°,Zl=30°,求/2的度數(shù)

六、課堂小結(jié)

1、什么是鄰補(bǔ)角？鄰補(bǔ)角與補(bǔ)角有什么區(qū)別？

2、什么是對頂角？對頂角有什么性質(zhì)？

作業(yè)：

課本8面1、2；9面7、8題。

垂線〔一〕

（教學(xué)目標(biāo)）1、了解垂線的概念；2、理解垂線的性質(zhì)1；3、會用三

角尺或量角器過一點畫一條直線垂直于直線。

（重點難點）垂線的概念、性質(zhì)1和畫法是重點；畫線段和射線的垂

線是難點。

（教學(xué)過程）

一、情景導(dǎo)入

如圖，取兩根木條a、b,將它們釘在一起，固定木條a,轉(zhuǎn)動木條b。

當(dāng)b的位置變化時，a、b所成的角a是如何變化的?其中會有特殊情況出

現(xiàn)嗎?當(dāng)這種情況出現(xiàn)時,a與b是什么位置關(guān)系？

有，當(dāng)a=90°時；垂直。

二、垂線

顯然，垂直是相交的一種特殊情形，即兩條直線相交成90°的情況。

兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的

交點叫做垂足。如圖，直線AB垂直于直線CD,記作ABLCD,垂足為0。

在生產(chǎn)和日常生活中,兩條直線互相垂直的情形是很常見的，如：〔投

影2〕

十字路口的兩條道路方格本的橫線和豎線

你能再舉一些其它的例子嗎？

思考：下面所表達(dá)的兩條直線是否垂直？

①兩條直線相交所成的四個角相等；

②兩條直線相交,有一組鄰補(bǔ)角相等；

③兩條直線相交,對頂角互補(bǔ).

①②③都是垂直的。

三、垂線的性質(zhì)

探究:?學(xué)生用三角尺或量角器畫直線1的垂線.

(1)畫直線1的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？

(2)經(jīng)過直線1上的一點A畫1的垂線,這樣的垂線能畫幾條?

(3)經(jīng)過直線1外的一點B畫1的垂線,這樣的垂線能畫幾條?

由畫圖可知：（1）可以畫無數(shù)條；（2）可以畫一條；（3）可以畫一條。

這就是說，經(jīng)過直線上或直線外一點，可以畫一條垂線，并且只能畫

一條垂線，即：

性質(zhì)1過一點有耳?有一條直線與直線垂直。

注意：①“有〃指存在，“只有〃指唯一；②“過一點〃中的“點〃在

直線上或在直線外。

四、課堂練習(xí)

1、課本9面9題；

2、課本5面練習(xí)2題。

五、課堂小結(jié)

1、垂線的概念，垂直的表示；

2、垂直的性質(zhì)1；

3、垂線的畫法。

作業(yè)：

課本8面3、4、5題，10面12題。

垂線〔二〕

（教學(xué)目標(biāo)）1、了解垂線段的概念；2、理解“垂線段最短”的性質(zhì)；

3、體會點到直線的距離的意義，并會度量點到直線的距離.

（重點難點）“垂線段最短〃的性質(zhì)，點到直線的距離的概念及其簡單

應(yīng)用是重點；理解點到直線的距離的概念是難點。

（教學(xué)過程）

一、情景導(dǎo)入

如圖〔課本圖5.1-8）,在灌溉時，要把河中的水引到農(nóng)田P處,如何挖

渠能使渠道最短？

說到最短，上學(xué)期我們曾經(jīng)學(xué)過什么最短的知識，還記得嗎？

兩點之間，線段最短.

如果把渠道看成是線段，它的一個端點自然是點P,那么另一個端點的

位置在什么地方呢?把江河看成直線1,那么原問題就是這樣的數(shù)學(xué)問題：

在連接直線1外一點P與直線1上各點的線段中期B一條最短？

二、垂線的性質(zhì)2

演示：在黑板上固定木條1,1外一點P,木條a一端固定在點P,使之與

1相交于點A。

p

左右擺動木條a,1與a的交點A隨之變動，線段PA的長度也隨之變化,

a與1的位置關(guān)系怎樣時，PA最短？

a與1垂直時，PA最短。這時的線段PA叫做垂線段。

畫出PA在擺動過程中的幾個位置，如圖，點Ai、Ai、A3……在1上,

連接PAi、PA2、PA3……,P0±1,垂足為O,用疊合法或度量法比擬P0、

PAi、PA2、PA3……的長短，可知垂線段PO最短。

連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短，簡單說成：

垂線段最短.

二、點到直線的距離

我們知道，連接兩點的線段的長度叫做兩點間的距離，這里我們把直

線外一點到這條直線的垂線段的長度,叫做點到直線的距離.如上圖，P0就

是點P到直線1的距離。

注意：點到直線的距離和兩點間的距離一樣是一個正值，是一個數(shù)量,

所以不能畫距離，只能量距離。

三、課堂練習(xí)

1、判斷正確與錯誤，如果正確，請說明理由，假設(shè)錯誤，請訂正.

(1)直線外一點與直線上的一點間的線段的長度是這一點到這條直線

的距離.

(2)如圖，線段AE是點A到直線BC的距離.

(3)如圖，線段CD的長是點C到直線AB的距離.

2直線a、b,過點a上一點A作ABLa,交b于點B,過B作BCLb交a

上于點C.請說出線段AE的長是哪一點到哪一條直線的距離?CD的長是哪

一點到哪一條直線的距離？

3、課本中水渠該怎么挖?在圖上畫出來.如果圖中比例尺為1:100000,

水渠大約要挖多長？

四、課堂小結(jié)

1、垂線段、點到直線的距離概念；

2、垂線的性質(zhì)2及應(yīng)用.

作業(yè)：

課本8面6題，9面10題，10面13題。

第五章復(fù)習(xí)一（5.1）

一、雙基回憶

1、對頂角和鄰補(bǔ)角：有并且兩邊的

兩個角是對頂角；有并且的兩個

角是鄰補(bǔ)角。

〔注〕兩條直線相交是形成對頂角的前提，但不一定是形成鄰補(bǔ)角的

前提。

2、對頂角的性質(zhì)：對頂角.

（1）以下說法正確的選項是（）

A、相等的角是對頂角B、一個角的鄰補(bǔ)角只有一個

C、補(bǔ)角即為鄰補(bǔ)角D、對頂角的平分線在一條直線上

3、垂直和垂線：當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中時,

這兩條直線互相垂直，其中的叫做的垂線。

（2）如圖，ABLCD,垂足為0,EF經(jīng)過點0,且N3=26°,那么/I

4、垂直的性質(zhì)：（1）經(jīng)過一點有且只有與_______垂直；［2）垂

線段o

〔注〕性質(zhì)（1）說明垂線的存在性和唯一性，是垂線作圖的依據(jù)；性

質(zhì)［2）是定義點到直線距離的依據(jù)。

（3）如圖，三角形ABC是直角三角形，ZC=90°,其中最長的線段

是.

5、點到直線的距離：直線外一點到這條直線的,叫

做點到直線的距離。

14）如圖，線段的長度表示點D到直線BC的距離，線段的

長度表示點B到直線CD的距離，線段的長度表示點A、B之間的距

離。

二、例題導(dǎo)引

例1以下說法：①一條直線有且只有一條垂線；②畫出點P到直線1

的距離；③兩條直線相交就是垂直；④線段和射線也有垂線，其中正確的

有.

例2如圖，一輛汽車在筆直的公路AB上由A向B行駛，MN分別是

位于公路AB兩側(cè)的村莊。（1）設(shè)汽車行駛到公路AB上點P位置時，距離

村莊M最近，行駛到點Q位置時，距離村莊N最近，請在圖中的AB上分別

畫出點P、Q的位置；［2）當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時，在哪一個位置到村

莊M、N的路程之和最短？請在圖中標(biāo)出這個位置。

-M

A-------------------------B

■N

例3如圖，直線AB、CD相交于點0,0D平分/BOF,EO_LCD于0,

ZE0F=118°,求/C0A的度數(shù)。

三、練習(xí)提高

夯實根底

1、如下圖，/I和/2是對頂角的圖形有（）

2、如下圖,直線AB與直線CD的位置關(guān)系是,記作，此

時，ZAOD=Z.=Z__________=Z

2題3題

3、如下圖,直線AB,CD,EF相交于點0,那么/A0D的對頂角是,

ZA0C的鄰補(bǔ)角是;假設(shè)/A0C=50°,那么/B0D=,Z

C0B=.

4、如下圖，直線AB,CD相交于點0,ZA0C=70°,0E平分NB0D,那么/

E0D=.

4題5題

5、如圖,直線AB和CD相交于點0,假設(shè)NA0D與NB0C的和為236°,

那么/A0C的度數(shù)為〔）

A.62°B.118°C.72°D.59°

6、如下圖，以下說法不正確的選項是（）

A.點B到AC的垂線段是線段AB;B.點C到AB的垂線段是線段AC

C.線段AD是點D到BC的垂線段；D.線段BD是點B到AD的垂線段

6題7題11題

7、如圖，AB、CD相交于點0,0E_LAB于0,NE0C=28°,那么NA0D

=度。

8、如下圖,村莊A要從河流1引水入莊,需修筑一水渠,請你畫出修筑

水渠的路線圖.

?A

1

9、如下圖，如果0A，0C,0是垂足,0B是一條射線，且NAOB：ZAOC=2

:3,求NBOC的度數(shù)。

能力提高

10、點P為直線m外一點，點A,B,C為直線m上三

點,PA=4cm,PB=5cm,PO2cm,那么點P到直線m的距離為()

A.4cmB.2cm;C.小于2cmD.不大于2cm

11、如下圖,AD_LBD,BC_LCD,AB=a,BC=b,那么BD的范圍是()

A.大于aB.小于b

C.大于a或小于bD.大于b且小于a

12、如圖，過鈍角頂點B作AB、BC、CA的垂線，分別交于AC于D、E、

F,并指出所畫三條垂線的垂足。

13、如圖，MN_LAB,垂足為M,MC平分NAMD,NBMD=44°,求NCMN

的度數(shù)。

AMB

探索創(chuàng)新

14、0C把/AOB分成兩局部且有下面兩個等式成立：①/AOC=l/3

直角+1/3/BOC;②/BOC=l/3平角一1/3/AOC.

問：［1）OA與OB的位置關(guān)系怎樣？

12）OC是否為/AOB的平分線？并寫出判斷的理由。

平行線

（教學(xué)目標(biāo)）1、了解平行線的概念，理解同一平面內(nèi)兩條直線間的位

置關(guān)系；2、掌握平行公理及平行線的畫法。

〔重點難點）平行線的概念、畫法及平行公理是重點；理解平行線的

概念和根據(jù)幾何語言畫出圖形是難點。

（教學(xué)過程）

一、情景導(dǎo)入

我們知道兩條直線相交只有一個交點，除相交外，兩條直線還存在其

它的位置關(guān)系嗎？看下面的圖片：〔投影1〕

雙桿上面的兩根橫桿、支撐橫桿的直干它們所在的直線相交嗎？游泳

池中分隔泳道的線它們所在的直線相交嗎？屏風(fēng)的折處和邊所在的直線相

交嗎？

今天我們就來討論這樣的問題。

二、平行線

演示：分別將木條a、b與木條c釘在一起,，并把它們想象成三條直

線。轉(zhuǎn)動a,直線a從在c的左側(cè)與直線b相交逐步變?yōu)樵谟覀?cè)與b相交。

想象一下，在這個過程中，有沒有直線a與直線b不相交的位置呢？

有，這時直線a與直線b左右兩旁都沒有交點。

同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.

直線AB與直線CD平行，記作“AB〃CD".

注意：①“同一平面內(nèi)"是前提，以后我們會知道，在空間即使不相

交，可能也不平行；②平行線是“兩條直線〃的位置關(guān)系，兩條線段或兩

條射線平行，就是指它們所在的直線平行；③“不相交〃就是說兩條直線

沒有公共點。

歸納一下，在同一平面內(nèi)，兩條直線有幾種位置關(guān)系？動手畫一畫。

相交和平行兩種。

注意：這里所指的兩條直線是指不重合的直線。

三、平行公理

再來看上面的實驗，想象一下，在轉(zhuǎn)動木條a的過程中,有幾個位置能

使a與b平行？

有且只有一個位置使a與b平行.

B.

如圖，過點B畫直線a的平行線，能畫幾條?試試看。

只能畫一條。

從實驗和作圖，我們可以得到怎樣的事實？

經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

這一根本領(lǐng)實是人們在長期的實踐中總結(jié)出來的結(jié)論，我們稱它為公

理，這個結(jié)論叫做平行公理。

在上圖中，過點C畫直線a的平行線，它與過點B畫的的平行線平行

嗎?試試看。

過點C畫的直線a的平行線與過點B畫的直線a的平行線相互平行。

這說是說，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這條直線也互相平

行.

符號語言：,；b〃a,c〃a；.b〃c.

如果b與c不平行，那么經(jīng)過直線外一點就有兩條直線與直線平行，

所以上面的結(jié)論是平行公理的推論。

四、課堂練習(xí)

〔投影2〕1、判斷以下說法是否正確？

11）在同一平面內(nèi)，兩條線段不相交就平行；

12）在同一平面內(nèi)，平行于直線AB的直線只有一條。

（3）如果幾條直線都和同一條直線平行,那么這幾條直線都互相平行。

2、課本13面練習(xí).

五、課堂小結(jié)

1、什么是平行線？“平行〃用什么表示？

2、平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有哪些？

3、平行公理及推論是什么？

作業(yè)：

課本16面3題，17面8題，18面9、H題。

同位角'內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

（教學(xué)目標(biāo)）1、理解同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念；2、會識別

同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角.

［重點難點）同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念與識別是重點；識別

同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是難點。

［教學(xué)過程）

一、導(dǎo)入新課

前面我們研究了一條直線與另一條直線相交的情形，接下來，我們進(jìn)

一步研究一條直線分別與兩條直線相交的情形。

二、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

如圖，直線a、b與直線c相交，或者說，兩條直線a、b被第三條直

線c所截，得到八個角。

我們來研究那些沒有公共頂點的兩個角的關(guān)系。

N1與N2、/4與/8、/5與N6、N3與N7有什么位置關(guān)系？

在截線的同旁，被截直線的同方向（同上或同下）.

具有這種位置關(guān)系的兩個角叫做同位角。

同位角形如字母"F〃。

/3與/2、/4與/6的位置有什么共同的特點？

在截線的兩旁，被截直線之間。

具有這種位置關(guān)系的兩個角叫做內(nèi)錯角.

內(nèi)錯角形如字母"N〃。

/3與/6、/4與/2的位置有什么共同的特點？

在截線的同旁，被截直線之間。

具有這種位置關(guān)系的兩個角叫做同旁內(nèi)角.

同旁內(nèi)角形如字符“匚”。

思考：這三類角有什么相同的地方？

（1〕都不相鄰即不存在共公頂點；12）有一邊在同一條直線（截線）

上。

三、例題

例如圖，直線DE,BC被直線AB所截，（1）/I與/2、/I與/3、

/I與/4各是什么角？為什么？[2）如果/1=/4,那么/I與/2相等

嗎？/I與/3互補(bǔ)嗎？為什么？

解：[1）/I與/2是內(nèi)錯角，因為/I與/2在直線DE,BC之間，在

截線AB的兩旁；/I與/3是同旁內(nèi)角，因為/I與/3在直線DE,BC之

間，在截線AB的同旁；/I與/4是同位角，因為/I與/4在直線DE,

BC的同方向，在截線AB的同方向。（2）如果/1=/4,又因為/2=/4,

所以Nl=/2；因為/3+/4=180°,又/1=/4,所以/1+/3=180°,即N1

與/3互補(bǔ)。

四、課堂練習(xí)

1、課本7面練習(xí)1；

2、指出圖中所有的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角；

作業(yè)：

課本9面11題.

平行線的判定〔一〕

（教學(xué)目標(biāo)）經(jīng)歷探索兩直線平行條件的過程，理解兩直線平行的條

件.

（重點難點）探索兩直線平行的條件是重點，理解“同位角相等，兩條

直線平行〃是難點。

（教學(xué)過程）

一、情景導(dǎo)入.

如圖1,裝修工人正在向墻上釘木條，如果木條6與墻壁邊緣垂直，

那么木條a與墻壁邊緣所夾角為多少度時，才能使木條a與木條6平行？

圖1

要解決這個問題，就要弄清楚平行的判定。

二、直線平行的條件

以前我們學(xué)過用直尺和三角尺畫平行線，如圖（課本13面圖5.2-5）

在三角板移動的過程中，什么沒有變？

三角板經(jīng)過點P的邊與靠在直尺上的邊所成的角沒有變。

簡化圖5.2-5,得圖3.

圖3

/1與N2是三角板經(jīng)過點P的邊與靠在直尺上的邊所成的角移動前后

的位置，顯然N1與N2是同位角并且它們相等，由此我們可以知道什么？

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.

簡單地說:同位角相等，兩條直線平行.

符號語言：VZ1=Z2.?.AB/7CD.

如圖（課本14面5.2-7）,你能說出木工用圖中這種叫做角尺的工具

畫平行線的道理嗎？

用角尺畫平行線，實際上是畫出了兩個直角，根據(jù)“同位角相等，兩條

直線平行."，可知這樣畫出的就是平行線。

如圖，（1）如果N2=N3,能得出a〃b嗎？⑵如果N2+N4=180。,

能得出a〃b嗎？

⑴VZ2=Z3〔）N3=N1〔對頂角相

等）

.\Z1=Z2（等量代換）

；.a〃b〔同位角相等，兩條直線平行）

你能用文字語言概括上面的結(jié)論嗎？

兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.

簡單地說：內(nèi)錯角相等,兩直線平行.

符號語言：?；/2=/3a〃b.

［2）,/Z4+Z2=180°,Z4+Z1=180°（）

??.Z2=Z1［同角的補(bǔ)角相等）

，a〃b.〔同位角相等，兩條直線平行）

你能用文字語言概括上面的結(jié)論嗎？

兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么兩條直線平行.

簡單地說：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

符號語言：：/4+/2=180°a//b.

四、課堂練習(xí)

1、課本15面練習(xí)1,補(bǔ)充［3）由/A+/ABC=180?？梢耘袛嗄膬?/p>

條直線平行？依據(jù)是什么？

2、課本16面2題。

五、課堂小結(jié)

怎樣判斷兩條直線平行？

作業(yè)：

16面1、2題；17面4、5、6o

平行線的判定〔二〕

（教學(xué)目標(biāo)）1、掌握直線平行的條件，并能解決一些簡單的問題；2、

初步了解推理論證的方法，會正確的書寫簡單的推理過程。

（重點難點）直線平行的條件及運用是重點；會正確的書寫簡單的推

理過程是難點。

(教學(xué)過程)

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

我們學(xué)習(xí)過哪些判斷兩直線平行的方法？

(1)平行線的定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線平行。

(2〕平行公理的推論：如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩

條直線也互相平行。

(3)兩直線平行的條件：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相

等，那么這兩條直線平行.

兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.

兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.

二、例題

例在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線,那么這兩條直

線平行嗎?為什么？

答：這兩條直線平行。

bXac_La()

，/1=/2=90。(垂直的定義)

；.b〃c(同位角相等，兩直線平行)

你還能用其它方法說明b//c嗎？

方法一：如圖(1),利用“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”說明；方法二:

如圖〔2),利用“同旁內(nèi)角相等,兩直線平行”說明.

3cbe

(1)⑵

注意：本例也是一個有用的結(jié)論。

例2如圖，點B在DC上，BE平分/ABD.NDBE=NA,那么BE〃AC,

請說明理由。

DBC

分析：由BE平分/ABD我們可以知道什么？聯(lián)系/DBE=/A,我們

又可以知道什么？由此能得出BE〃AC嗎？為什么？

解：：BE平分/ABD

.-.ZABE=ZDBE〔角平分線的定義）

又/DBE=/A

AZABE=ZA〔等量代換）

；.BE〃AC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

注意：用符號語言書寫證明過程時，要步步有據(jù)。

四、課堂練習(xí)

1、如圖，N1=N2=55°,試說明直線AB,CD平行？.

1題2題

2、如下圖，直線a,b,c,d,e,且/1=/2,/3+/4=180°,那么a與c平

行嗎？為什么？

作業(yè)：

課本17面7,18面12題〔提示：畫圖說明〕。

補(bǔ)充題：如下圖,/l=/2,AB平分/DAB,試說明DC〃AB.

DC

AB

第五章復(fù)習(xí)二〔5.2〕

一、雙基回憶

1、平行線：在同一平面內(nèi)，的兩條直線叫做平行線。

2、兩條直線的位置關(guān)系：.

〔注〕這里指不重合的兩條直線，兩條直線重合視為一條直線。

[1]判斷正誤并改錯：

①兩條直線不相交就平行，不平行就相交；

②在同一平面內(nèi)，兩條線段不相交就平行；

③兩條直線的位置關(guān)系有：相交、垂直、平行.

3、平行公理：經(jīng)過直線有且只有與這條直線平

行。

推論：如果兩條直線都和平行，那么這兩條直

線。

4、同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角

兩條直線被第三條直線所截，在截線的,被截直線的的

兩個角叫做同位角;在截線的,被截直線的兩個角叫做內(nèi)錯角；

在截線的，被截直線的兩個角叫做同旁內(nèi)角。

[2]指出圖中所有的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角。

5、平行線的判定

〔1)，兩直線平行；

(2),兩直線平行；

[3),兩直線平行.

[3]如圖，判斷DE〃AC的條件有哪些？依據(jù)是什么？

二、例題導(dǎo)引

例1如圖，以下推理中正確的有〔)

①因為/1=/2,所以BC〃AD；

②因為/2=/3,所以AB〃CD；

③因為/BCD+/ADC=180°,所以BC〃AD；

④因為/BCD+/ADC=180°,所以BC:〃AD.

A、1個B、2個

C、3個D、4個

例2如圖，BE平分/ABC,Z1=Z2,你能推斷哪兩條線段平行？說

明理由。

例3如圖，AC，AE,BD，BF,/1=/2,AE與BF平行嗎？為什么？

三、練習(xí)提高

夯實根底

1、以下說法正確的有〔）

①不相交的兩條直線是平行線;②在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段平

行;③過一點有且只有一條直線與直線平行;④假設(shè)a〃b,b〃c,那么a與c

不相交.

A.1個B.2個C.3個D.4個

2、在同一平面內(nèi)，兩條不重合直線的位置關(guān)系可能是（）

A.平行或相交B.垂直或相交C.垂直或平行D.平行、垂

直或相交

3、如圖，點E在CD上，點F在BA上,G是AD延長線上一點.

(1)假設(shè)NA=N1,那么可判斷//,因為.

⑵假設(shè)Z1=Z_________，那么可判斷AG〃BC,因為.

⑶假設(shè)Z2+Z________=180。，那么可判斷CD〃AB,因為

3題

4、如圖，光線AB、CD被一個平面鏡反射，此時/1=/3,Z2=Z4,

那么AB和CD的位置關(guān)系是，BE和DF的位置關(guān)系是.

5、如圖,一個合格的變形管道ABCD需要AB邊與CD邊平行，假設(shè)

一個拐角/ABC=72。,那么另一個拐角/BCD=時,這個管道符合

要求.

6、不相鄰的兩個直角，如果它們有一邊在同一直線上，那么另一邊相互

【)

A.平行B.垂直C.平行或垂直D.平行或垂直或相交

7、如圖,AB〃EF,NECD=/E,那么CD〃AB.說理如下：

VZECD=ZE()

；.CD〃EF()

又AB〃EF()

；.CD〃AB()-

8、根據(jù)以下要求畫圖.

⑴如圖⑴所示,過點A畫MN/7BC;

(2)如圖(2)所示,過點P畫PE〃OA,交0B于點E,過點P畫PH〃OB,交

0A于點H;

⑶如圖(3)所示,過點C畫CE//DA,與AB交于點E,過點C畫CF//DB,

與AB的延長線交于點F.

9、如下圖,Z1=Z2,AC平分/DAB,試說明DC〃AB.

10、如下圖，直線a,b,c,d,e,且N1=N2,Z3+Z4=180°,那么a與c

平行嗎？為什么？

10題11題13題

能力提高

11、如圖1所示，以下條件中，能判斷AB〃CD的是()

A.ZBAD=ZBCDB.Z1=Z2;C.Z3=Z4D.ZBAC=Z

12、在同一平面內(nèi)，直線a,b相交于P,假設(shè)a〃c,那么b與c的位置關(guān)

系是.

13、如下圖，直線a,b被直線c所截，現(xiàn)給出以下四個條件:?①N1=N5;

②/1=/7;③/2+/3=180°;④/4=/7.其中能說明a〃b的條件序號為

()

A.①②B.①③C.①④D.③④

14、在同一平面內(nèi)的三條直線，假設(shè)其中有且只有兩條直線互相平行,

那么它們交點的個數(shù)是()

A、0個B、1個C、2個D、3個

17、，如圖，點B在AC上,BD_LBE,N1+NC=9O。,問射線CF與BD平行

嗎?試用兩種方法說明理由.

18、如下圖，AB、CD被EF所截,EG平分/BEF,FG平分NEFD,

且/1+/2=900,試說明AB〃CD.

探索創(chuàng)新

19、如圖，當(dāng)/BEF=/B,/BED=/B+/D時，AB與CD有什么位

置關(guān)系，試說明理由。

5.3.1平行線的性質(zhì)

［教學(xué)目標(biāo)］經(jīng)歷探索直線平行的性質(zhì)的過程,掌握平行線的性質(zhì)，并能

用它們進(jìn)行簡單的推理和計算.

［重點難點］直線平行的性質(zhì)是重點；區(qū)別平行線的性質(zhì)和判定，綜合

運用平行線的性質(zhì)和判定是難點。

［教學(xué)過程］

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

怎樣判定兩條直線平行？

這就是說，利用同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角可以判定兩條直線平行，

反過來，兩條直線平行，同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角各有什么關(guān)系呢？

二、平行線的性質(zhì)

利有練習(xí)本上的橫線畫兩條平行線a〃b,然后畫一條直線c與這兩條

直線相交，標(biāo)出所形成的八個角，如圖。

哪些角是同位角?它們具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？哪些角是內(nèi)錯角?它們具

有怎樣的數(shù)量關(guān)系?哪些角是同旁內(nèi)角?它們具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

再任意畫一條截線d,同樣度量并計算各個角的度數(shù)，這種數(shù)量關(guān)系還

成立嗎？

那么由此你得到怎樣的事實：

1、平行線被第三條直線所截，同位角相等，簡單說成：兩直線平行，同

位角相等.

2、平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，簡單說成：兩直線平行，內(nèi)

錯相等.

3、平行線被第三條線所截,同旁內(nèi)角互補(bǔ)，簡單說成：兩直線平行，同

旁內(nèi)角互補(bǔ).

思考：平行線的性質(zhì)與平行線的判定有什么關(guān)系？

由角的數(shù)量關(guān)系得出兩條直線平行是''判定〃，由兩條直線平行得出角

的數(shù)量關(guān)系是“性質(zhì)”，因此，兩者的條件和結(jié)論正好互換。

你能根據(jù)性質(zhì)1,推出性質(zhì)2嗎？

如上圖，：a〃b.?.Nl=/2（兩直線平行洞位角相等）

又/3=/1（對頂角相等）Z2=Z3.

對于性質(zhì)3,你能寫出類似的推理過程嗎？

三、例題

如圖是一塊梯形鐵片的線全局部，量得/D=10（r,/C=n5。，梯形另外

兩個角分別是多少度？

分析：梯形有什么特征？/A與/D、ZB與/C有什

么關(guān)系？

解：：AB〃CD/.ZA+ZD=180°,ZB+ZC=180°

ZA=180°-ZD=180°-100°=80°

ZB=180°-ZC=180°-115°=65°

答:梯形的另外兩個角分別是80。，65。。

四、課堂練習(xí)

課本21面練習(xí)1、2。

五、課堂小結(jié)

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)，要注意平行線的性質(zhì)與平行線的判

定的區(qū)別與聯(lián)系，以便我們能準(zhǔn)確地運用。

作業(yè)：

課本22面1題，23面2、3、4、5題。

命題、定理

［教學(xué)目標(biāo)］1、了解命題、定理、證明的含義，會區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)

論。

［重點難點］命題及組成是重點；區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論是難點。

［教學(xué)過程］

一、情景導(dǎo)入

我們平常說的話細(xì)究起來是有區(qū)別的，例如，“你吃飯了嗎？〃與“今

天天氣不好〃就有區(qū)別，前一句表示疑問，沒有作出判斷，后一句作出了

判斷。數(shù)學(xué)中象這類對某件事情作出判斷的語句還很多，值得我們研究。

二、命題

再來看幾個句子：

①如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；

②等式兩邊都加同一個數(shù)，結(jié)果仍是等式；

③相等的角是對頂角；

④如果兩條直線不平行,那么內(nèi)錯角不相等；

⑤同位角相等。

這些語句都對某一件事情作出了“是"或"不是〃的判斷，象這樣判斷

一件事情的語句，叫做命題。

思考：以下語句是命題嗎？為什么？

①藍(lán)藍(lán)的天空白云飄；②這不是坑人嗎？③畫AB〃CD。

不是命題。因為它們只是對某件事情進(jìn)行了陳述，表達(dá)了疑問，并沒

有作出判斷。

二、命題的構(gòu)成

命題由題設(shè)和結(jié)論兩局部組成。題設(shè)是事項，結(jié)論是由事項推出的事

項。

命題常可以寫成“如果……那么……〃的形式，這時“如果〃后面的

局部是題設(shè)，“那么〃后面的局部是結(jié)論。例如，上面命題①中，"兩條直

線都與第三條直線平行〃是事項，是題設(shè)，”這兩條直線也互相平行〃是由

事項推出的事項，是結(jié)論。

有些命題的題設(shè)和結(jié)論不明顯，怎樣才能找出題設(shè)和結(jié)論呢？我們可

以將它們改寫成“如果……那么……〃的形式。例如，上面命題⑤可改寫

成：如果兩個角是同位角，那么這兩個角相等。

請你把上面的命題②、③改寫成“如果……那么……〃的形式，并指

出它的題設(shè)和結(jié)論。

三、命題的真假

上面的命題中有正確的，也有錯誤的，正確的命題叫做真命題，錯誤

的命題叫做假命題，如果是真命題，題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，如果

是假命題，題設(shè)成立，不一定能保證結(jié)論成立。

要確定一個命題是真命題，必須通過推理證實，推理的過程叫做證明，

通過證明是真的命題叫做定理，定理是推理的依據(jù)；要確定一個命題是假

命題，只需舉一個反例即可。

探究：［投影3］下面的命題是真命題，還是假命題？

1、銳角小于它的余角；

2、假設(shè)那么,a>b.

3、如圖，如果Nl=/2,CE〃BF,那么AB〃CD；

1、是假命題,如65。角的余角是35。,而65。大于35。。

2、是假命題,如當(dāng)a=—3,b=—2時a~>b;而a<b。

3、是真命題。

證明：：CE〃BF.-.ZC=Z2〔兩直線平行，同位角相等）

又/1=/2U

〔等量代換）

；.AB〃CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

四、課堂練習(xí)

［投影4］1、判斷以下句子是不是命題：

（1）平行用符號“〃〃表示；（2）你喜歡數(shù)學(xué)嗎？13）熊貓沒有翅

膀。

2、將以下命題改寫成“如果……那么……”的形式，并指出它的題

設(shè)與結(jié)論。

11）等角的補(bǔ)角相等；（2）負(fù)數(shù)之和仍為負(fù)數(shù)；［3）兩點確定一條

直線。

3、如圖，如果AC〃DE,Z1=Z2,那么AB〃CD,這個命題是真命題,

還是假例題？

五、課堂小結(jié)

1、命題及構(gòu)成；

2、公理、定理、證明的概念.

作業(yè)：

課本23面6題；24面7、8、11、12題。課外完成24面9、10題。

5.4平移

〔教學(xué)目標(biāo)〕①經(jīng)歷欣賞、觀察、分析圖形的過程，理解平移的概念,

探索平移的性質(zhì)；②通過動手操作，學(xué)會平移后圖形的畫法；③學(xué)會用運

動的觀點分析問題，在欣賞和操作中獲得數(shù)學(xué)美的熏陶.

〔重點難點〕平移的性質(zhì)和作平移后的圖形是重點；作平移后的圖形

是難點。

〔教學(xué)過程〕

一、情景導(dǎo)入

仔細(xì)觀察下面的圖案，它們有什么共同特點？

它們都是由一些相同的局部組成的。

能否根據(jù)其中相同的局部繪制出整個圖案？假設(shè)能，請你想象可以怎

么繪制？

這種繪制方法實際上就是平移。那么究竟什么是平移？平移有哪

些性質(zhì)？下面我們就來探討一下。

二、平移的性質(zhì)

探究：如何在一張半透明的紙上，畫出一排形狀大小如圖5.4-2的雪人?

[投影3]

圖5.4-2

可以把半透明的紙蓋在圖5.4-2上，先描出一個雪人，然后按同一方

向陸續(xù)移動這張紙，再描出第二個、第三個……

觀察：在所畫的相鄰兩個雪人中，找出鼻尖A,帽頂B,紐扣C的對

應(yīng)點A，、B\C,連接這些對應(yīng)點，觀察得出的線段，它們的位置、長度有

什么關(guān)系？

B'

可以發(fā)現(xiàn)：AA，〃BB，〃CC3AA，=BB，=CC'

請你用平推三角尺的方法驗證三條線段是否平行，用刻度尺度量三條

線段是否相等.

再作出一些其他對應(yīng)點的線段，它們是否仍有前面的關(guān)系？

歸納：[投影6]

①把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原

圖形的形狀和大小完全相同.

②新圖形中的每一個點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩

個點是對應(yīng)點，連接各組對應(yīng)點的線段平行且相等.

三、平移的概念

一個圖形沿著某個方何移動一定的卑登圖形的這種移動，叫做平移變

換，簡稱平移.

注意：圖形平移的方向，不一定是水平的，也不一定是豎直的，如圖

平移在我們?nèi)粘Ｉ钪惺呛艹Ｒ姷?利用平移可以制作出很多美麗的

圖案，請欣賞：[投影9]

你能舉出生活中一些利用平移的例子嗎？

如在筆直公路上跑著的汽車，工廠里傳送帶上的產(chǎn)品，大廈中電梯的

升降……

四、平移作圖

例如圖，平移三角形ABC,使點A移動到點AI畫出平移后的三角形

A'B'C'.

分析：“點A移動到點A，〃這句話告訴我們什么？

平移的方向和距離。

解：連接AA，,過點B作AA，的平行線1,在1上截取BB』AN,點、B僦

是點B的對應(yīng)點.

類似地，你能作出點C的對應(yīng)點C嗎？

連接A，B，,B，C,A，C,那么△ABC，就是平移后的三角形.

反思：1、作平移后的圖形必須知道平移的方向和距離；2、作平移后

的圖形只須作出幾個關(guān)鍵點。

五、課堂練習(xí)

1、以下圖中，圖形⑵可以通過圖形⑴平移得到嗎？

過平移圖案11）得到？

3、將圖中的小船向左平移四格.

六、課堂小結(jié)

1、什么是平移？平移的條件是什么？

2、平移有哪些性質(zhì)？

3、平移作圖形的依據(jù)是什么？怎樣作平移后的圖形?

作業(yè)：

課本30面1、2、3、4、5題。

第五章復(fù)習(xí)三(5.3-5.4]

一、雙基回憶

1、平行線的性質(zhì)：

(1)兩直線平行，__________________________

(2)兩直線平行，__________________________

(3)兩直線平行，__________________________

[1]如圖，：AB〃EF()；./A+_=180°()

：DE〃BC〔)；.NDEF=()

2、命題：叫命題；命題是由

組成的；命題有和兩種。

[2]把命題“垂直于同一條直線的兩條直線平行?！ǜ膶懗伞叭绻?

那么……〃的形式，并指出它的條件和結(jié)論。

3、平移：圖形的平移必須具備兩個根本條件，一是；二

是O

4、平移的性質(zhì)：(1)把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個

新的圖形，新的圖形與原圖形的完全相同；(2)新圖形

中的每一點，都是由原圖形中的某一點平移得到的，這兩個點是，

連接各組對應(yīng)點的線段=

［3］下面2,3,4,5幅圖中圖［］是由圖1平移得到的.

12345

二、例題導(dǎo)引

例1如圖,/1=110。,/2=110。,/3=70。,求/4的度數(shù).

例2如圖,B、E分別是AC、DF上的點,/l=/2,/C=/D.

(1)/ABD與NC相等嗎?為什么.

(2)NA與NF相等嗎?請說明理由.

三、練習(xí)升華

夯實根底

1、以下運動不是平移的是〔）

A、屋檐下滴落的雨點B、飛機(jī)在跑道上滑行

C、籃球在中飛行D、電梯中的人

2、如下圖,ADEF經(jīng)過平移可以得到△ABC,那么/C的對應(yīng)角和ED的

對應(yīng)邊分別是〔）

A.ZF,ACB.ZBOD,BAC.ZF,BAD.ZBOD,AC

3、如圖，直線