山東青島市2025年高考押題金卷（全國(guó)卷Ⅱ）數(shù)學(xué)試題試卷含解析

山東青島市2025年高考押題金卷（全國(guó)卷Ⅱ）數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，，且，則（）A．128 B．65 C．64 D．632．已知曲線且過(guò)定點(diǎn)，若且，則的最小值為（）.A． B．9 C．5 D．3．已知函數(shù)，且)，則“在上是單調(diào)函數(shù)”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A．2 B．3 C．5 D．85．已知命題，且是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．6．如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，且，則（）A． B．C． D．7．下列函數(shù)中，圖象關(guān)于軸對(duì)稱的為（）A． B．，C． D．8．已知雙曲線：的焦點(diǎn)為，，且上點(diǎn)滿足，，，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．59．已知數(shù)列滿足：)若正整數(shù)使得成立，則（）A．16 B．17 C．18 D．1910．定義在上的函數(shù)滿足，則（）A．-1 B．0 C．1 D．211．函數(shù)的圖象大致為()A． B．C． D．12．已知集合，集合，若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，P為拋物線上的點(diǎn)，且，若雙曲線C中心在原點(diǎn)，F(xiàn)是它的一個(gè)焦點(diǎn)，且過(guò)P點(diǎn)，當(dāng)m取最小值時(shí)，雙曲線C的離心率為_(kāi)_____.14．函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．15．如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，且，將射線繞著逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，并在所得射線上取一點(diǎn)，使得，連接，則的面積為_(kāi)_________．16．已知的展開(kāi)式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)點(diǎn)，動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且和直線相切.記動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，且直線與軸交于點(diǎn)，設(shè)，，求證：為定值.18．（12分）語(yǔ)音交互是人工智能的方向之一，現(xiàn)在市場(chǎng)上流行多種可實(shí)現(xiàn)語(yǔ)音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛(ài)同學(xué)”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱，它們可以通過(guò)語(yǔ)音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷商為了了解不同智能音箱與其購(gòu)買者性別之間的關(guān)聯(lián)程度，從某地區(qū)隨機(jī)抽取了100名購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”和100名購(gòu)買“天貓精靈”的人，具體數(shù)據(jù)如下：“小愛(ài)同學(xué)”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計(jì)男4560105女554095合計(jì)100100200（1）若該地區(qū)共有13000人購(gòu)買了“小愛(ài)同學(xué)”，有12000人購(gòu)買了“天貓精靈”，試估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性比購(gòu)買“天貓精靈”的女性多多少人？（2）根據(jù)列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān)？附：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）求函數(shù)的最大值．21．（12分）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦，已知以為直徑的圓與相切于點(diǎn).（1）求的值及圓的方程；（2）設(shè)為上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，證明：.22．（10分）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知成等差數(shù)列.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

根據(jù)，得到，即，由等比數(shù)列的定義知數(shù)列是等比數(shù)列，然后再利用前n項(xiàng)和公式求.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是等比數(shù)列，又因?yàn)?，所以?故選：D本題主要考查等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.2．A【解析】

根據(jù)指數(shù)型函數(shù)所過(guò)的定點(diǎn)，確定，再根據(jù)條件，利用基本不等式求的最小值.【詳解】定點(diǎn)為,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)取得最小值.故選：A本題考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式求最值，意在考查轉(zhuǎn)化與變形，基本計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.3．C【解析】

先求出復(fù)合函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)的充要條件，再看其和的包含關(guān)系，利用集合間包含關(guān)系與充要條件之間的關(guān)系，判斷正確答案.【詳解】，且)，由得或，即的定義域?yàn)榛?，（且）令，其在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，在上是單調(diào)函數(shù)，其充要條件為即.故選：C.本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷問(wèn)題，充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.4．D【解析】

畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用數(shù)形結(jié)合即可得出.【詳解】解：函數(shù)，如圖所示當(dāng)時(shí)，，由于關(guān)于的不等式恰有1個(gè)整數(shù)解因此其整數(shù)解為3，又∴，，則當(dāng)時(shí)，，則不滿足題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有整數(shù)解當(dāng)時(shí)，，至少有兩個(gè)整數(shù)解綜上，實(shí)數(shù)的最大值為故選：D本題主要考查了根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，屬于較難題.5．D【解析】

求出命題不等式的解為，是的必要不充分條件，得是的子集，建立不等式求解.【詳解】解：命題，即:，是的必要不充分條件，，，解得．實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：．本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍，其思路方法：(1)解決此類問(wèn)題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解．(2)求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)．6．C【解析】

畫(huà)出圖形，以為基底將向量進(jìn)行分解后可得結(jié)果．【詳解】畫(huà)出圖形，如下圖．選取為基底，則，∴．故選C．應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問(wèn)題（1）只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面的一組基底，基底可以有無(wú)窮多組，在解決具體問(wèn)題時(shí)，合理選擇基底會(huì)給解題帶來(lái)方便．（2）利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算．7．D【解析】

圖象關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù),用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷可解.【詳解】圖象關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù)；A中，，，故為奇函數(shù)；B中，的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為非奇非偶函數(shù)；C中，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，為奇函數(shù)；D中，且，，故為偶函數(shù).故選：D.本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:(1)定義法：對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)都有，則函數(shù)是奇函數(shù)；都有，則函數(shù)是偶函數(shù)(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)(軸)對(duì)稱．8．D【解析】

根據(jù)雙曲線定義可以直接求出，利用勾股定理可以求出，最后求出離心率.【詳解】依題意得，，，因此該雙曲線的離心率.本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率，考查了運(yùn)算能力.9．B【解析】

計(jì)算，故，解得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，且.故，，故.故選：.本題考查了數(shù)列的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.10．C【解析】

推導(dǎo)出，由此能求出的值．【詳解】∵定義在上的函數(shù)滿足，∴，故選C．本題主要考查函數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題.11．A【解析】

確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，計(jì)算時(shí)的函數(shù)值可排除三個(gè)選項(xiàng)．【詳解】時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，排除B，時(shí)，函數(shù)也是減函數(shù)，排除D，又時(shí)，，排除C，只有A可滿足．故選：A.本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，可通過(guò)解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等等排除，可通過(guò)特殊的函數(shù)值，函數(shù)值的正負(fù)，函數(shù)值的變化趨勢(shì)排除，最后剩下的一個(gè)即為正確選項(xiàng)．12．A【解析】

根據(jù)或，驗(yàn)證交集后求得的值.【詳解】因?yàn)?，所以?當(dāng)時(shí)，，不符合題意，當(dāng)時(shí)，.故選A.本小題主要考查集合的交集概念及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由點(diǎn)坐標(biāo)可確定拋物線方程，由此得到坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線定義可得，可知當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，取得最小值；利用拋物線切線的求解方法可求得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線定義得到實(shí)軸長(zhǎng)，結(jié)合焦距可求得所求的離心率.【詳解】是拋物線準(zhǔn)線上的一點(diǎn)拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則設(shè)直線的傾斜角為，則當(dāng)取得最小值時(shí)，最小，此時(shí)直線與拋物線相切設(shè)直線的方程為，代入得：，解得：或雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距為雙曲線的離心率故答案為：本題考查雙曲線離心率的求解問(wèn)題，涉及到拋物線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用、雙曲線定義的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠確定當(dāng)取得最小值時(shí)，直線與拋物線相切，進(jìn)而根據(jù)拋物線切線方程的求解方法求得點(diǎn)坐標(biāo).14．【解析】

求出的范圍，再由函數(shù)值為零，得到的取值可得零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【詳解】詳解：由題可知，或解得,或故有3個(gè)零點(diǎn)．本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．15．【解析】

由余弦定理求得，再結(jié)合正弦定理得，進(jìn)而得，得，則面積可求【詳解】由，得，解得.因?yàn)?，所以，，所?又因?yàn)椋?因?yàn)?，所?故答案為本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題16．【解析】

根據(jù)的展開(kāi)式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，得到，再利用組合數(shù)公式求解.【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，即，所以，即，解得.故答案為：10本題主要考查二項(xiàng)式的系數(shù)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）；（2）見(jiàn)解析．【解析】

（1）已知點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，由此可得曲線的方程；（2）設(shè)直線方程為，，則，設(shè)，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元應(yīng)用韋達(dá)定理得，，由，，用橫坐標(biāo)表示出，然后計(jì)算，并代入，可得結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心，由拋物線定義知：點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)其方程為，則，解得．∴曲線的方程為；（2）證明：設(shè)直線方程為，，則，設(shè)，由得，①，則，，②，由，，得，，整理得，，∴，代入②得：．本題考查求曲線方程，考查拋物線的定義，考查直線與拋物線相交問(wèn)題中的定值問(wèn)題．解題方法是設(shè)而不求的思想方法，即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線方程，直線方程代入拋物線（或圓錐曲線）方程得一元二次方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得，，代入題中其他條件所求式子中化簡(jiǎn)變形．18．（1）多2350人；（2）有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【解析】

（1）根據(jù)題意，知100人中購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性有55人，購(gòu)買“天貓精靈”的女性有40人，即可估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性人數(shù)和購(gòu)買“天貓精靈”的女性的人數(shù)，即可求得答案；（2）根據(jù)列聯(lián)表和給出的公式，求出，與臨界值比較，即可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）由題可知，100人中購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性有55人，購(gòu)買“天貓精靈”的女性有40人，由于地區(qū)共有13000人購(gòu)買了“小愛(ài)同學(xué)”，有12000人購(gòu)買了“天貓精靈”，估計(jì)購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性有人.估計(jì)購(gòu)買“天貓精靈”的女性有人.則，∴估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”的女性比購(gòu)買“天貓精靈”的女性多2350人.（2）由題可知，，∴有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛(ài)同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).本題考查隨機(jī)抽樣估計(jì)總體以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.19．（1）；（2）.【解析】

（1）求導(dǎo)得到，討論和兩種情況，計(jì)算函數(shù)的單調(diào)性，得到，再討論，，三種情況，計(jì)算得到答案.（2）計(jì)算得到，討論，兩種情況，分別計(jì)算單調(diào)性得到函數(shù)最值，得到答案.【詳解】（1），①當(dāng)時(shí)恒成立，所以單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以有唯一零點(diǎn)，即符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)。（i）當(dāng)即,所以符合題意，（ii）當(dāng)即時(shí)，因?yàn)?，故存?所以不符題意（iii）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，設(shè)，所以,單調(diào)遞增，即，故存在，使得，不符題意；綜上，的取值范圍為。（2）。①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以單調(diào)遞增，所以，即符合題意；②當(dāng)時(shí)，恒成立，所以單調(diào)遞增，又因?yàn)椋源嬖?，使得，且?dāng)時(shí)，。即在上單調(diào)遞減，所以，不符題意。綜上，的取值范圍為.本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，恒成立問(wèn)題，意在考查學(xué)生的分類討論能力和綜合應(yīng)用能力.20．【解析】

試題分析：由柯西不等式得試題解析：因?yàn)?，所以．等?hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立．所以的最大值為．考點(diǎn)：柯西不等式求最值21．（1）2，；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）由題意得的方程為，根據(jù)為拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦，以為直徑的圓與相切于點(diǎn)..利用拋物線和圓的對(duì)稱性，可得，圓心為，半徑為2.（2）設(shè)，的方程為，代入的方程，得，根據(jù)直線與拋物線相切，令，得，代入，解得.將代入的方程，得，得到點(diǎn)N的坐標(biāo)為，然后求解.【詳解】（1）解：由題意得的方程為，所以，解得.又由拋物線和圓的對(duì)稱性可知，所求圓的圓心為，半徑為2.所以圓的方程為.（2）證明：易知直線的斜率存在且不為0，設(shè)，的方程為，代入的方程，得.令，得，所以，解得.