天津市河西區(qū)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGEPAGE15天津市河西區(qū)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題（共9小題）.1.假如，是兩個(gè)單位向量，則與肯定（）A.相等 B.平行 C.方向相同 D.長度相等【答案】D【解析】【分析】依據(jù)，是兩個(gè)單位向量；可得到其模長相等，方向不定，即可推斷答案．【詳解】因?yàn)?，是兩個(gè)單位向量；所以其模長相等，方向不定；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量的概念和關(guān)系，還考查了理解辨析的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題。2.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】解：因?yàn)檫xC3.在“世界杯”足球賽閉幕后，某中學(xué)學(xué)生會(huì)對(duì)本校高一年級(jí)1000名學(xué)生收看競(jìng)賽的狀況用隨機(jī)抽樣方式進(jìn)行調(diào)查，樣本容量為50，將數(shù)據(jù)分組整理后，列表如表：觀看場(chǎng)數(shù)01234567觀看人數(shù)占調(diào)查人數(shù)的百分比8%10%20%26%m%12%6%2%從表中可以得出正確的結(jié)論為（）A.表中m的數(shù)值為8B.估計(jì)觀看競(jìng)賽不低于4場(chǎng)的學(xué)生約為360人C.估計(jì)觀看競(jìng)賽不低于4場(chǎng)的學(xué)生約為720人D.估計(jì)觀看競(jìng)賽場(chǎng)數(shù)眾數(shù)為2【答案】B【解析】【分析】由頻率分布表的性質(zhì)，求出m＝12,否定A;先由頻率分布表求出觀看競(jìng)賽不低于4場(chǎng)的學(xué)生所占比率為36%，由此估計(jì)觀看競(jìng)賽不低于4場(chǎng)的學(xué)生約為360人；出現(xiàn)頻率最高的為3．即可作出選擇.【詳解】由頻率分布表的性質(zhì)，得：m＝100﹣8﹣10﹣20﹣26﹣16﹣6﹣2＝12，故A錯(cuò)誤；∵觀看競(jìng)賽不低于4場(chǎng)的學(xué)生所占比率為：16%+12%+6%+2%＝36%，∴估計(jì)觀看競(jìng)賽不低于4場(chǎng)的學(xué)生約為：1000×36%＝360人，故B正確，C錯(cuò)誤；出現(xiàn)頻率最高的為3．故D錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布表以及利用頻率分布表估計(jì)人數(shù)與眾數(shù)，考查基本分析推斷實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.4.甲、乙兩個(gè)元件構(gòu)成一串聯(lián)電路，設(shè)=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，則表示電路故障的事務(wù)為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，可知串聯(lián)電路中，甲元件故障或者乙元件故障，都會(huì)造成電路故障，依據(jù)并事務(wù)的定義，即可得出答案.【詳解】解：由題意知，甲、乙兩個(gè)元件構(gòu)成一串聯(lián)電路，=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，依據(jù)串聯(lián)電路可知，甲元件故障或者乙元件故障，都會(huì)造成電路故障，所以電路故障的事務(wù)為：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)并事務(wù)的理解，屬于基礎(chǔ)題.5.若為虛數(shù)單位，且，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則化簡原式，利用復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，即，因?yàn)闉樘摂?shù)單位，所以，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6.小波一星期的總開支分布如圖1所示，一星期的食品開支分布如圖2所示，則小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為A.30% B.10% C.3% D.不能確定【答案】C【解析】雞蛋開支占食品開支，小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為7.設(shè)A、B是兩個(gè)概率大于0的隨機(jī)事務(wù)，則下列論述正確的是（）A.事務(wù)A?B，則P（A）＜P（B）B.若A和B互斥，則A和B肯定相互獨(dú)立C.若A和B相互獨(dú)立，則A和B肯定不互斥D.P（A）+P（B）≤1【答案】C【解析】【分析】依據(jù)事務(wù)的包含關(guān)系，對(duì)立事務(wù)與相互獨(dú)立事務(wù)的概率與性質(zhì)進(jìn)行推斷．【詳解】若事務(wù)B包含事務(wù)A，則P（A）≤P（B），故A錯(cuò)誤；若事務(wù)A、B互斥，則P（AB）＝0，若事務(wù)A、B相互獨(dú)立，則P（AB）＝P（A）P（B）＞0，故B錯(cuò)誤，C正確；若事務(wù)A，B相互獨(dú)立，且P（A），P（B），則P（A）+P（B）＞1，故D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查概率的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8.設(shè)在中,角所對(duì)的邊分別為,若,則的形態(tài)為（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理可得，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式可得，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理可得，，所以，所以是直角三角?【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（肯定要留意探討鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個(gè)角的對(duì)邊，求另一個(gè)角的對(duì)邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.9.已知向量，是兩個(gè)不共線的向量，且向量m3與（2﹣m）共線，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.﹣1或3 B. C.﹣1或4 D.3或4【答案】A【解析】分析】由向量共線可得存在實(shí)數(shù)k使得m3k[（2﹣m）]，整理，利用平面對(duì)量基本定理列關(guān)于k，m的方程組，解出即可.【詳解】解：∵向量m3與（2﹣m）共線，∴存在實(shí)數(shù)k使得：m3k[（2﹣m）]，化為：（m﹣k）[﹣3﹣k（2﹣m）]，∵向量，是兩個(gè)不共線的向量，∴，解得m＝3或﹣1.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量共線定理的應(yīng)用以及平面對(duì)量基本定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.10.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)___________.【答案】4–i【解析】分析：由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則得：.點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和計(jì)算求解實(shí)力.11.某高校為了解在校本科生對(duì)參與某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采納分層抽樣的方法，從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查．已知該校一年級(jí)、二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6，則應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取_______名學(xué)生．【答案】60【解析】【分析】采納分層抽樣的方法，從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查的.【詳解】∵該校一年級(jí)、二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)的本科生人數(shù)之比為4:5:5:6，∴應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取學(xué)生人數(shù)為：.故答案為60.12.將一顆質(zhì)地勻稱的正方體骰子（六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為x，其次次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為y．則事務(wù)“x+y≤3”的概率為_____．【答案】【解析】【分析】基本領(lǐng)件總數(shù)n＝6×6＝36，利用列舉法求出事務(wù)“x+y≤3”包含的基本領(lǐng)件（x，y）有3個(gè)，由此能求出事務(wù)“x+y≤3”的概率．【詳解】將一顆質(zhì)地勻稱的正方體骰子（六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為x，其次次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為y．基本領(lǐng)件總數(shù)n＝6×6＝36，事務(wù)“x+y≤3”包含的基本領(lǐng)件（x，y）有：（1，1），（1，2），（2，1），共3個(gè)，則事務(wù)“x+y≤3”的概率為p．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.13.在三角形ABC中，角A,B,C所對(duì)應(yīng)的長分別為a，b，c，若a=2，B=，c=2，則b=【答案】：2【解析】【詳解】因?yàn)橐阎獌蛇吋捌鋳A角，所以干脆用余弦定理得b=2.14.已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量，＝－2，＝k＋，若·＝0，則實(shí)數(shù)k的值為________．【答案】【解析】解：因?yàn)闉閮蓚€(gè)夾角為的單位向量，，所以即為15.如圖，在平面四邊形中，，，，.若點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，得出，，利用向量的數(shù)量積公式即可得出，結(jié)合，得出的最小值.【詳解】因?yàn)?，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以直線的斜率為，易得，因?yàn)?，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，令，解得，所以，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，則，，所以又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量基本定理及坐標(biāo)表示、平面對(duì)量的數(shù)量積以及直線與方程．三、解答題：本大題共5小題，共49分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或驗(yàn)算步驟．16.隨機(jī)觀測(cè)生產(chǎn)某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數(shù)（單位：件），獲得數(shù)據(jù)如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．依據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[25，30]30.12（30，35]50.20（35，40]80.32（40，45]n1f1（45，50]n2f2（1）確定樣本頻率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）依據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖；（3）依據(jù)樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取4人，至少有1人日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30，35]的概率．【答案】（1）n1＝7，f1＝0.28；n2＝2，f2＝0.08；（2）見解析（3）0.5904【解析】【分析】（1）利用所給數(shù)據(jù)，可得樣本頻率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）依據(jù)上述頻率分布表，可得樣本頻率分布直方圖；（3）利用對(duì)立事務(wù)可求概率．【詳解】（1）（40，45]的頻數(shù)n1＝7，頻率f1＝0.28；（45，50]的頻數(shù)n2＝2，頻率f2＝0.08；（2）分組頻數(shù)頻率頻率/組距[25，30]30.120.024（30，35]50.200.04（35，40]80.320.064（40，45]70.280.056（45，50]20.080.016繪制頻率分布直方圖如圖所示：（3）設(shè)在該廠任取4人，沒有一人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30，35]為事務(wù)A，則至少有一人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30，35]為事務(wù)，已知該廠每人日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30，35]的概率為，0.4096，∴，∴在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30，35]的概率0.5904．【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布表、頻率分布直方圖、求事務(wù)的概率，屬于中檔題.17.在一次猜燈謎活動(dòng)中，共有20道燈謎，兩名同學(xué)獨(dú)立競(jìng)猜，甲同學(xué)猜對(duì)了12個(gè)，乙同學(xué)猜對(duì)了8個(gè)，假設(shè)猜對(duì)每道燈謎都是等可能的，試求：（1）任選一道燈謎，恰有一個(gè)人猜對(duì)的概率；（2）任選一道燈謎，甲、乙都沒有猜對(duì)的概率．【答案】（1）．（2）【解析】【分析】（1）設(shè)事務(wù)A表示“甲猜對(duì)”，事務(wù)B表示“乙猜對(duì)”，求出，，任選一道燈謎，恰有一個(gè)人猜對(duì)的概率為：，由此能求出結(jié)果．（2）任選一道燈謎，甲、乙都沒有猜對(duì)的概率為，由此能求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)事務(wù)A表示“甲猜對(duì)”，事務(wù)B表示“乙猜對(duì)”，則P（A），P（B），∴任選一道燈謎，恰有一個(gè)人猜對(duì)的概率為：P（A）＝P（A）P（）+P（）P（B）（1）．（2）任選一道燈謎，甲、乙都沒有猜對(duì)的概率為：P（）＝P（）P（）＝（1）（1）【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事務(wù)概率乘法公式和互斥事務(wù)概率加法公式等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題.18.在△ABC中的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知B＝30°，b，c＝2，解這個(gè)三角形．【答案】a1，A＝15°，C＝135°或，A＝105°，C＝45°．【解析】【分析】依據(jù)正弦定理求得C，進(jìn)而得到A，依據(jù)余弦定理求得a即可．【詳解】解：由正弦定理可得sinCsinB，因?yàn)閎＜c，則C＝135°或45°，所以A＝15°或105°；依據(jù)余弦定理可得cosB，即，解得a1或1，時(shí)，，時(shí)，．故該三角形a1，A＝15°，C＝135°或a1，A＝105°，C＝45°．【點(diǎn)睛】本題考查解三角形，確定選用公式的依次是解題關(guān)鍵．本題依據(jù)已知條件先用正弦定理求出，從而得角，然后由余弦定理求出．19.已知（2，1），（1，7），（5，1），設(shè)C是直線OP上的一點(diǎn)（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）求使取到最小值時(shí)的；（2）依據(jù)（1）中求出的點(diǎn)C，求cos∠ACB．【答案】（1）；（2）cos∠ACB．【解析】【分析】（1）依據(jù)題意設(shè)點(diǎn)，從而將數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出來，可得一個(gè)關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案；（2）依據(jù)（1）中的點(diǎn)C，可以求得，的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積即可求得cos∠ACB的值．【詳解】（1）∵，則直線OP的方程為y，∵C是直線OP上的一點(diǎn)，則設(shè)點(diǎn)，∴，∴（1﹣x）（5﹣x）+（7）（1），∴當(dāng)x＝4時(shí)，取到最小值，此時(shí)C（4，2），∴；（2）由（1）可知，C（4，2），∴，∴，故cos∠ACB．【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積坐標(biāo)表示、向量夾角坐標(biāo)表示、二次函數(shù)最值，考查基本分析求角實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.20.設(shè)z1是虛數(shù)，z2＝z1是實(shí)數(shù)，且﹣1≤z2≤1．（1）求|z1|的值以及z1的實(shí)部的取值范圍；（2）若ω，求證ω為純虛數(shù)；（3）求z2﹣ω2的最小值．【答案】（1）|z1|＝1，取值范圍為[，]．（2）見解析（3）1【解析】分析】（1）設(shè)z1代數(shù)形式代入z2，依據(jù)z2是實(shí)數(shù)，求得|z1|，再依據(jù)﹣1≤z2≤1，求得z1的實(shí)部的取值范圍；（2）依據(jù)復(fù)數(shù)除法法則化簡ω，再依據(jù)純虛數(shù)概念推斷證明；（3）先化簡z2﹣ω2，再利用基本不等式求最小值．【詳解】（1）設(shè)z1＝a+bi，（a，b∈R，且b≠0），則z2＝z1（a+bi）（a+bi）（a+bi）（a）