2024-2025新教材高中數(shù)學(xué)第六章計(jì)數(shù)原理素養(yǎng)檢測(cè)含解析新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

PAGE單元素養(yǎng)檢測(cè)(一)(第六章)(120分鐘150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.5位同學(xué)報(bào)名參與兩個(gè)課外活動(dòng),每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)活動(dòng),則不同的報(bào)名方法共有 ()A.10種B.20種C.25種D.32種【解析】選D.因?yàn)?位同學(xué)報(bào)名參與兩個(gè)課外活動(dòng),每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)活動(dòng),都有2種方法,則不同的報(bào)名方法共有25=32種.2.在QUOTE的綻開式中,常數(shù)項(xiàng)為 ()A.-120 B.120 C.-160 D.160【解析】選C.QUOTE綻開式的通項(xiàng)Tk+1=(-1)k2kQUOTEx2k-6,令2k-6=0,k=3,常數(shù)項(xiàng)T3+1=(-1)323QUOTE=-160.3.記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相鄰但不排在兩端,不同的排法共有 ()A.1440種 B.960種 C.720種 D.480種【解析】選B.5名志愿者先排成一排,有QUOTE種方法,2位老人作一組插入其中,且兩位老人有左右依次,共有2·4·QUOTE=960種不同的排法.4.中國(guó)古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”,主要指德育;“樂”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和勞動(dòng);“書”,指各種歷史文化學(xué)問;“數(shù)”,指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動(dòng),每“藝”支配一節(jié),連排六節(jié),一天課程講座排課有如下要求:“數(shù)”必需排在第三節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰排課,則“六藝”課程講座不同的排課依次共有 ()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種【解析】選C.由題意,“數(shù)”排在第三節(jié),則“射”和“御”兩門課程相鄰時(shí),可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6節(jié),有3種,再考慮兩者的依次,有QUOTE=2種,剩余的3門全排列,支配在剩下的3個(gè)位置,有QUOTE=6種,所以“六藝”課程講座不同的排課依次共有3×2×6=36種不同的排法.5.四所高校同時(shí)向甲、乙、丙、丁四名學(xué)生發(fā)出錄用通知書,若這四名學(xué)生都情愿進(jìn)這四所高校的任一所就讀,則僅有兩名學(xué)生被錄用到同一所高校的就讀方式有 ()A.288種 B.144種 C.108種 D.72種【解析】選B.先把人分成2,1,1三組,有QUOTE種方法,再給其支配學(xué)校有QUOTE種支配方法,依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得就讀方式有QUOTE=144(種).6.因新冠肺炎疫情防控工作須要,M,N兩社區(qū)須要招募義務(wù)宣揚(yáng)員,現(xiàn)有A,B,C,D,E,F六位高校生和甲、乙、丙三位黨員老師志愿參與,現(xiàn)將他們分成兩個(gè)小組,分別派往M,N兩社區(qū)開展疫情防控宣揚(yáng)工作,要求每個(gè)社區(qū)都至少支配1位黨員老師及3位高校生,且B由于工作緣由只能派往M社區(qū),則不同的選派方案種數(shù)為 ()A.120 B.90 C.60 D.30【解析】選C.由于B只能派往M社區(qū),所以分組時(shí)不用考慮B.依據(jù)要求分步將高校生和黨員老師分為兩組,再分別派往兩個(gè)社區(qū).第一步:按題意將剩余的5位高校生分成一組2人,一組3人,有QUOTE=10種;其次步:按題意將3位黨員老師分成一組1人,一組2人,有QUOTE=3種;再分別派往兩個(gè)社區(qū)的不同選派種數(shù)為10×3×2=60.7.設(shè)(QUOTE-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,則(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2的值為 ()A.0 B.-1 C.1 D.(QUOTE-1)10【解析】選C.由(QUOTE-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10可得:當(dāng)x=-1時(shí),(QUOTE+1)10=a0+a1×1+a2×12+…+a10×110=a0+a1+a2+…+a10,當(dāng)x=1時(shí),(QUOTE-1)10=a0-a1+a2+…+a10.所以(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+a10)(a0-a1+a2-a3+…+a10)=(QUOTE-1)10(QUOTE+1)10=[(QUOTE-1)(QUOTE+1)]10=1.8.羅馬數(shù)字是歐洲在阿拉伯?dāng)?shù)字傳入之前運(yùn)用的一種數(shù)碼,它的產(chǎn)生標(biāo)記著一種古代文明的進(jìn)步.羅馬數(shù)字的表示法如表:數(shù)字123456789形式ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨ其中“Ⅰ”須要1根火柴,“Ⅴ”與“Ⅹ”須要2根火柴,若為0,則用空位表示.(如123表示為,405表示為)假如把6根火柴以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃氲谋砀裰?那么可以表示的不同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 ()A.87 B.95 C.100 D.103【解析】選D.用6根火柴表示數(shù)字,全部搭配狀況如下:①1根火柴和5根火柴:1根火柴可表示的數(shù)為1;5根火柴可表示的數(shù)為8,和0一起能表示的數(shù)共有4個(gè)(108,180,801,810).②2根火柴和4根火柴:2根火柴可表示的數(shù)為2,5;4根火柴可表示的數(shù)為7,和0一起能表示的數(shù)有QUOTE×4=8(個(gè)).③3根火柴和3根火柴:3根火柴可表示的數(shù)為3,4,6,9,和0一起能表示的數(shù)分為2類:(ⅰ)除0外的兩個(gè)數(shù)字相同,可表示的數(shù)有QUOTE×4=8(個(gè));(ⅱ)除0外的兩個(gè)數(shù)字不同,則有QUOTE×4=24(個(gè)),所以共有8+24=32(個(gè)).④1根火柴、1根火柴和4根火柴:即有1,1,7組成的數(shù),共有3個(gè)(117,171,711);⑤1根火柴、2根火柴和3根火柴:即由1,2或5中的一個(gè),3,4,6,9中的一個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù),共有QUOTE=2×4×3×2=48(個(gè)).⑥2根火柴、2根火柴、2根火柴:即由2或5組成的三位數(shù),分為兩類:(ⅰ)三個(gè)數(shù)字都相同,共有2個(gè)(222,555);(ⅱ)三個(gè)數(shù)字中的兩個(gè)數(shù)字相同,則有QUOTE×3=6(個(gè)),共有2+6=8(個(gè)).綜上可知,可組成的三位數(shù)共有4+8+32+3+48+8=103(個(gè)).二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.下列等式中,成立的有 ()A.QUOTE=QUOTE B.QUOTE+QUOTE=QUOTEC.QUOTE=QUOTE D.QUOTE=nQUOTE【解析】選BCD.QUOTE=n(n-1)…(n-m+1)=QUOTE,A錯(cuò);依據(jù)組合數(shù)性質(zhì)知B,C正確;QUOTE=QUOTE=QUOTE=nQUOTE,D正確.10.現(xiàn)有8個(gè)人排成一排照相,其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有種 ()

A.QUOTE(QUOTE+QUOTE) B.QUOTE-QUOTE·QUOTEC.QUOTE·QUOTE D.QUOTE-QUOTE【解析】選AB.除了甲、乙、丙三人以外的5人先排,有QUOTE種排法,5人排好后產(chǎn)生6個(gè)空當(dāng),第一類插入甲、乙、丙三人有QUOTE種方法,這樣共有QUOTE·QUOTE種排法,其次類甲、乙、丙三人任兩人有QUOTE種方法,和剩余一人插入6個(gè)空當(dāng)有QUOTE種方法,這樣共有QUOTE·QUOTE·QUOTE種排法,一共有QUOTE(QUOTE+QUOTE)種排法,在8個(gè)人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù),就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數(shù),即QUOTE-QUOTE·QUOTE,故B正確.11.有四名男生,三名女生排隊(duì)照相,七個(gè)人排成一排,則下列說(shuō)法正確的有 ()A.假如四名男生必需連排在一起,那么有720種不同排法B.假如三名女生必需連排在一起,那么有576種不同排法C.假如女生不能站在兩端,那么有1440種不同排法D.假如三個(gè)女生中任何兩個(gè)均不能排在一起,那么有1440種不同排法【解析】選CD.A中,假如四名男生必需連排在一起,將這四名男生捆綁,形成一個(gè)“大元素”,此時(shí),共有QUOTE=242=576種不同的排法,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;B中,假如三名女生必需連排在一起,將這三名女生捆綁,形成一個(gè)“大元素”,此時(shí),共有QUOTE=6×120=720種不同的排法種數(shù),B選項(xiàng)錯(cuò)誤;C中,假如女生不能站在兩端,則兩端支配男生,其他位置的支配沒有限制,此時(shí),共有QUOTE=12×120=1440種不同的排法種數(shù),C選項(xiàng)正確;D中,假如三個(gè)女生中任何兩個(gè)均不能排在一起,將女生插入四名男生所形成的5個(gè)空中,此時(shí),共有QUOTE=24×60=1440種不同的排法種數(shù),D選項(xiàng)正確.12.現(xiàn)支配甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參與2024年杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng),有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以支配,以下說(shuō)法正確的是()A.每人都支配一項(xiàng)工作的不同方法數(shù)為45B.每人都支配一項(xiàng)工作,每項(xiàng)工作至少有一人參與,則不同的方法數(shù)為QUOTEC.假如司機(jī)工作擔(dān)心排,其余三項(xiàng)工作至少支配一人,則這5名同學(xué)全部被支配的不同方法數(shù)為(QUOTE+QUOTE)QUOTED.每人都支配一項(xiàng)工作,每項(xiàng)工作至少有一人參與,甲、乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作,丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作,則不同支配方案的種數(shù)是QUOTE+QUOTE【解析】選AD.①每人都支配一項(xiàng)工作的不同方法數(shù)為45,即選項(xiàng)A正確;②每項(xiàng)工作至少有一人參與,則不同的方法數(shù)為QUOTE,即選項(xiàng)B錯(cuò)誤;③假如司機(jī)工作擔(dān)心排,其余三項(xiàng)工作至少支配一人,則這5名同學(xué)全部被支配的不同方法數(shù)為:QUOTE,即選項(xiàng)C錯(cuò)誤;④分兩種狀況:第一種,支配一人當(dāng)司機(jī),從丙、丁、戊選一人當(dāng)司機(jī)有QUOTE,從余下四人中支配三個(gè)崗位QUOTE,故有QUOTE=QUOTE;其次種狀況,支配兩人當(dāng)司機(jī),從丙、丁、戊選兩人當(dāng)司機(jī)有QUOTE,從余下三人中支配三個(gè)崗位QUOTE,故有QUOTE;所以每項(xiàng)工作至少有一人參與,甲、乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作,丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作,則不同支配方案的種數(shù)是QUOTE+QUOTE.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.QUOTE的綻開式中x3項(xiàng)的系數(shù)是.(用數(shù)字作答)

【解析】QUOTE綻開式的通項(xiàng)為Tk+1=QUOTE(2x)6-kQUOTE=QUOTE·26-kQUOTE,k=0,1,…6,令6-QUOTEk=0,k=4,6-QUOTEk=3,k=2,QUOTE綻開式中,常數(shù)項(xiàng)為T5=QUOTE·22=60,含x3項(xiàng)為T3=QUOTE·24x3=240x3,QUOTE的綻開式中x3項(xiàng)系數(shù)為60+240=300.答案:30014.某市政府確定派遣8名干部(5男3女)分成兩個(gè)小組,到該市甲、乙兩個(gè)縣去檢查扶貧工作,若要求每組至少3人,且女干部不能單獨(dú)成組,則不同的派遣方案共有種.(用數(shù)字作答)

【解析】由題意知,派遣8名干部分成兩個(gè)小組,每組至少3人,可得分組的方案有3,5和4,4兩類,第一類有(QUOTE-1)·QUOTE=110種;其次類有QUOTE·QUOTE=70種,由分類計(jì)數(shù)原理,可得共有N=110+70=180種不同的方案.答案:18015.(2024·浙江高考)在二項(xiàng)式(QUOTE+x)9的綻開式中,常數(shù)項(xiàng)是,系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是.

【解析】綻開式通項(xiàng)是:Tr+1=QUOTE(QUOTE)9-rxr,所以常數(shù)項(xiàng)是T1=QUOTE(QUOTE)9=16QUOTE,若系數(shù)為有理數(shù),則9-r為偶數(shù),所以r為奇數(shù),所以r可取1,3,5,7,9.答案:16QUOTE516.用1,2,3,4,5,6組成六位數(shù)(沒有重復(fù)數(shù)字),要求任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同,且1和2不相鄰,這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是(用數(shù)字作答).

【解析】任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同,且1和2相鄰,可分三步來(lái)做這件事:第一步:先將3,5排列,共有QUOTE種排法;其次步:再將4,6插空排列,共有2QUOTE種排法;第三步:將1,2放到3,5,4,6形成的空中,共有QUOTE種排法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有QUOTE·2QUOTE·QUOTE=40(種).又任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同,共有2QUOTE=72種,所以任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同,且1和2不相鄰,這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是72-40=32.答案:32四、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分,解答時(shí)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(10分)求證:2n+2·3n+5n-4能被25整除.【證明】因2n+2·3n+5n-4=4·6n+5n-4=4·(5+1)n+5n-4=4·(5n+QUOTE5n-1+QUOTE5n-2+…+QUOTE52+QUOTE5+1)+5n-4=4·(5n+QUOTE5n-1+QUOTE5n-2+…+QUOTE52)+25n明顯(5n+QUOTE5n-1+QUOTE5n-2+…+QUOTE52)能被25整除,25n能被25整除,所以2n+2·3n+5n-4能被25整除.18.(12分)用0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)滿意下列條件的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)?(1)被4整除.(2)比21034大的偶數(shù).(3)左起其次、四位是奇數(shù)的偶數(shù).【解析】(1)被4整除的數(shù),其特征應(yīng)是末兩位數(shù)是4的倍數(shù),可分為兩類:當(dāng)末兩位數(shù)是20,40,04時(shí),其個(gè)數(shù)為3QUOTE=18,當(dāng)末兩位數(shù)是12,24,32時(shí),其個(gè)數(shù)為3QUOTE=12.故滿意條件的五位數(shù)共有18+12=30(個(gè)).(2)可分五類:當(dāng)末位數(shù)是0,而首位數(shù)是2時(shí),有QUOTE=6(個(gè));當(dāng)末位數(shù)字是0,而首位數(shù)字是3或4時(shí),有QUOTE=12(個(gè));當(dāng)末位數(shù)字是2,而首位數(shù)字是3或4時(shí),有QUOTE=12(個(gè));當(dāng)末位數(shù)字是4,而首位數(shù)字是2時(shí),有QUOTE+QUOTE=3(個(gè));當(dāng)末位數(shù)字是4,而首位數(shù)字是3時(shí),有QUOTE=6(個(gè)).故共有6+12+12+3+6=39(個(gè)).(3)可分兩類,0是末位數(shù),有QUOTE=4(個(gè));2或4是末位數(shù),有QUOTE=4(個(gè)).故共有4+4=8(個(gè)).19.(12分)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.【解析】QUOTE依據(jù)所給的等式求得常數(shù)項(xiàng)a0=1,令x=1,所以a0+a1+a2+…+a7=-1,則a1+a2+…+a7=-2.QUOTE在所給的等式中,令x=1,可得a0+a1+a2+…+a7=-1①令x=-1,則a0-a1+a2-a3+…-a7=37②用①-②再除以2可得a1+a3+a5+a7=-1094.QUOTE用①+②再除以2可得a0+a2+a4+a6=1093.QUOTE在QUOTE中,令x=-1,可得QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=a0-a1+a2-a3+…-a7=37=2187.20.(12分)某班有6名同學(xué)報(bào)名參與校運(yùn)會(huì)的四個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目,在下列狀況下各有多少種不同的報(bào)名方法.(用數(shù)字回答)(1)每人恰好參與一項(xiàng),每項(xiàng)人數(shù)不限;(2)每項(xiàng)限報(bào)一人,且每人至多參與一項(xiàng);(3)每人限報(bào)一項(xiàng),人人參與,且每個(gè)項(xiàng)目均有人參與.【解析】(1)每人都可以從這四個(gè)項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng),各有4種不同的選法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有46=4096種.(2)每項(xiàng)限報(bào)一人,且每人至多報(bào)一項(xiàng),因此可由項(xiàng)目選人,第一個(gè)項(xiàng)目有6種不同的選法,其次個(gè)項(xiàng)目有5種不同的選法,第三個(gè)項(xiàng)目有4種不同的選法,第四個(gè)項(xiàng)目有3種不同的選法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有報(bào)名方法QUOTE=6×5×4×3=360(種).(3)每人限報(bào)一項(xiàng),人人參與,且每個(gè)項(xiàng)目均有人參與,因此需將6人分成4組,有QUOTE+QUOTE=20+QUOTE=65(種).每組參與一個(gè)項(xiàng)目,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有QUOTE=QUOTE×24=1560(種).21.(12分)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù),問(1)能夠組成多少個(gè)五位奇數(shù)?(2)能夠組成多少個(gè)正整數(shù)?(3)能夠組成多少個(gè)大于40000的正整數(shù)?【解析】(1)首先排個(gè)位數(shù)字,從1,3,5中選1個(gè)數(shù)排在個(gè)位有QUOTE=3種,其余4個(gè)數(shù)全排列有QUOTE=24種,依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得有QUOTE=72個(gè)五位奇數(shù).(2)依據(jù)題意,若組成一