2024秋新教材高中數(shù)學課時跟蹤檢測二向量的加法運算新人教A版必修第二冊

PAGEPAGE2向量的加法運算層級(一)“四基”落實練1．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))，則四邊形ABCD是 ()A．梯形 B．矩形C．正方形 D．平行四邊形解析：選D由平行四邊形法則可得，四邊形ABCD是以AB，AD為鄰邊的平行四邊形．故選D.2．(多選)對于隨意一個四邊形ABCD，下列式子能化簡為eq\o(BC,\s\up7(→))的是 ()A．eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→)) B．eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))C．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→)) D．eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))解析：選ABD在A中，eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))；在B中，eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))；在C中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))；在D中，eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→)).3.如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，對角線AC與BD相交于點O，則eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(DO,\s\up7(→))＝ ()A．eq\o(CD,\s\up7(→)) B．eq\o(DC,\s\up7(→)) C．eq\o(DA,\s\up7(→)) D．eq\o(DO,\s\up7(→))解析：選Beq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(DO,\s\up7(→))＝eq\o(DO,\s\up7(→))＋eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→)).4．若向量a表示“向東航行1km”，向量b表示“向北航行eq\r(3)km”，則向量a＋b表示 ()A．向東北方向航行2kmB．向北偏東30°方向航行2kmC．向北偏東60°方向航行2kmD．向東北方向航行(1＋eq\r(3))km解析：選B如圖，易知tanα＝eq\f(1,\r(3))，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏東30°.又|a＋b|＝2km，故選B.5．(多選)下列命題是假命題的是 ()A．假如非零向量a與b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必與a，b之一的方向相同B．△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0C．若eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0，則A，B，C為一個三角形的三個頂點D．若a，b均為非零向量，則|a＋b|與|a|＋|b|肯定相等解析：選ACDA是假命題，當a＋b＝0時，命題不成立；B是真命題；C是假命題，當A，B，C三點共線時也可以有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0；D是假命題，只有當a與b同向時，兩式子相等，其他狀況均為|a＋b|<|a|＋|b|.6．如圖，在平行四邊形ABCD中，eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝________，eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝________，eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＝________.解析：利用三角形法則和平行四邊形法則求解．答案：eq\o(AC,\s\up7(→))eq\o(AC,\s\up7(→))eq\o(BC,\s\up7(→))(或eq\o(AD,\s\up7(→)))7．在矩形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝4，|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝2，則向量eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))的長度為________．解析：因為eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))的長度為eq\o(AC,\s\up7(→))的模的2倍．又|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，所以向量eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))的長度為4eq\r(5).答案：4eq\r(5)8．已知向量a，b，c（1）如圖①，求作向量a＋b；（2）如圖②,求作向量a＋b＋c；解：(1)在平面內(nèi)隨意取一點O，作eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up7(→))＝a＋b.(2)在平面內(nèi)隨意取一點O，作eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝c，則eq\o(OC,\s\up7(→))＝a＋b＋c.層級(二)實力提升練 1．已知△ABC的三個頂點A，B，C及平面內(nèi)一點P滿意eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＝eq\o(PC,\s\up7(→))，則下列結(jié)論中正確的是 ()A．P在△ABC的內(nèi)部B．P在△ABC的邊AB上C．P在AB邊所在的直線上D．P在△ABC的外部解析：選Deq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＝eq\o(PC,\s\up7(→))，依據(jù)平行四邊形法則，如圖，則點P在△ABC外．故選D.2．(多選)若a＝(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→)))＋(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→)))，b是任一非零向量，則在下列結(jié)論中正確的是 ()A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)＋b＝aC．a(chǎn)＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|解析：選AC∵a＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝0，b為任一非零向量，∴a∥b，即A對；0eq\a\vs4\al(＋)b＝b，即B錯，C對；D中|0eq\a\vs4\al(＋)b|＝|b|＝|0|eq\a\vs4\al(＋)|b|，即D錯．3．若向量a，b滿意|a|＝8，|b|＝12，則|a＋b|的最小值是________．解析：由向量的三角形不等式，知|a＋b|≥|b|－|a|，當且僅當a與b反向，且|b|≥|a|時，等號成立，故|a＋b|的最小值為4.答案：44.如圖所示，已知電線AO與天花板的夾角為60°，電線AO所受拉力|F1|＝24N，繩BO與墻壁垂直，所受拉力|F2|＝12N．求F1和F2的合力大?。猓喝鐖D，依據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得到合力F＝F1＋F2＝eq\o(OC,\s\up7(→)).在△OCA中，|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝24，|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝12，∠OAC＝60°，∴∠OCA＝90°，∴|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝12eq\r(3).∴F1與F2的合力大小為12eq\r(3)N，方向為與F2成90°角豎直向上．5.如圖，已知?ABCD，O是兩條對角線的交點，E是CD的一個三等分點(靠近D點)，求作：(1)eq\o(AO,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))；(2)eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→)).解：(1)延長AC，在延長線上截取CF＝AO，則向量eq\o(AF,\s\up7(→))即為所求．(2)在AB上取點G，使AG＝eq\f(1,3)AB，則向量eq\o(BG,\s\up7(→))即為所求．層級(三)素養(yǎng)培優(yōu)練在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|＝1，eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))＝0，cos∠DAB＝eq\f(1,2).求|eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))|與|eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))|的值．解：∵eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\o(CO,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(DO,\s\up7(→)).∴四邊形ABCD是平行四邊形．又|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|＝1，∴四邊形ABCD為菱形．又cos∠DAB＝eq\f(1,2)，0°