江蘇省南通市如皋市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期二模考試試題含解析

PAGE30-江蘇省南通市如皋市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期二模考試試題（含解析）第Ⅰ卷（必做題，共160分）一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上.）1.設(shè)全集，集合，，__________.【答案】【解析】【分析】先化簡集合,再求得解.【詳解】由題得，所以,所以.故答案為：【點睛】本題主要考查集合交、并、補運算，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.2.若復(fù)數(shù)滿意（為虛數(shù)單位），則______________．【答案】【解析】由，得，則，故答案為.3.某工廠為了了解一批產(chǎn)品凈重（單位：克）狀況，從中隨機抽測了100件產(chǎn)品的凈重，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[96，106]中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的100件產(chǎn)品中，凈重在區(qū)間上的產(chǎn)品件數(shù)是．【答案】55【解析】試題分析：產(chǎn)品凈重在區(qū)[100，104]上的頻率為（0.15+0.125）×2=0.55，所以產(chǎn)品數(shù)為100×0.55=55；考點：1.頻率分布直方圖；4.某醫(yī)院欲從主動扱名的甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生中選擇2人去支援武漢抗擊“新型冠狀病毒”，若毎名醫(yī)生被選擇的機會均等，則甲、乙2人中至少有1人被選擇的概率為__________.【答案】【解析】【分析】先求出甲乙都不被選擇的概率，再利用對立事務(wù)的概率求解即可.【詳解】由題得甲乙都不被選擇的概率為,由對立事務(wù)的概率公式得甲、乙2人中至少有1人被選擇的概率為.故答案為：【點睛】本題主要考查古典概型的概率的計算，考查對立事務(wù)的概率的計算，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平.5.執(zhí)行下邊的偽代碼后，輸出的結(jié)果是__________.【答案】7【解析】【分析】干脆模擬運行程序即得解.【詳解】由題得：0＜27，,不滿意,輸出：.故答案為：7【點睛】本題主要考查程序框圖，意在考查學(xué)生對該學(xué)問的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線：的左，右焦點分別為，，設(shè)過右焦點且與軸垂直的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，若是正三角形，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】不妨設(shè)點在軸上方，先求出點坐標(biāo)，再由題得，化簡即得雙曲線的離心率.【詳解】不妨設(shè)點在軸上方，聯(lián)立得.因為是正三角形，所以.所以.故答案為：【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率的計算，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平.7.已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，所得圖象與原函數(shù)圖象重合，則的最小值等于__________.【答案】4【解析】【分析】由題得，化簡即得解.【詳解】由題得,因為，所以的最小值等于4.故答案為：4【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的周期性，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.8.已知等比數(shù)列的前項和為，若，且，，成等差數(shù)列，則滿意不等式的的最小值為__________.【答案】12【解析】【分析】先分析得到等比數(shù)列的公比，再列方程組解方程組求出首項和公比，再代入化簡即得解.【詳解】因為，，成等差數(shù)列。所以等比數(shù)列的公比.由題得因為，所以因為時，，時，.所以的最小值為12.故答案為：12【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的基本量的計算，考查等比數(shù)列的通項和前項和的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平.9.在三棱錐中，平面，，，則該三棱錐的外接球的表面積為__________.【答案】【解析】【分析】如圖，設(shè)的中點為,連接，證明點就是外接球的球心.外接球的半徑為，即得外接球的表面積.【詳解】如圖，設(shè)的中點為,連接，由勾股定理得,因為所以平面,∴.因為平面,所以平面,所以,所以,因為,所以.所以,所以點就是外接球的球心.所以外接球的半徑為.所以外接球的表面積為.故答案為：【點睛】本題主要考查幾何體的外接球表面積的計算問題，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平.10.已知實數(shù)，滿意條件，若不等式恒成立，則實數(shù)的最大值是__________.【答案】【解析】【分析】先作出不等式組對應(yīng)的可行域，如圖所示，求出，化簡已知得恒成立，再換元利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即得解.【詳解】作出不等式組對應(yīng)的可行域，如圖所示，聯(lián)立得,所以.因為不等式恒成立，所以恒成立，設(shè)，恒成立，設(shè)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.所以.所以.故答案為：【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查不等式的恒成立問題的求解，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平.11.如圖，在四邊形中，對角線與相交于點.已知，，，且是的中點，若，則的值為__________.【答案】【解析】【分析】如圖，設(shè)，先求出,再依據(jù)得到，再求的值得解.【詳解】如圖，四點共圓，為圓的直徑.設(shè)，所以，由相交弦定理得，在直角△中，由勾股定理得，在△中，由余弦定理得.因為，所以，又,所以.所以.故答案為：【點睛】本題主要考查平面對量的數(shù)量積的計算，考查平面幾何圓的學(xué)問，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平.12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知在圓：上運動，且.若直線：上的隨意一點都滿意，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】先求出，再化簡得，再代點到直線的距離公式解不等式得解.【詳解】由題得圓的圓心.且,,（其中是的夾角），，因為，所以,所以，所以，所以.所以.故答案為：【點睛】本題主要考查平面對量的數(shù)量積，考查直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實力.13.已知函數(shù)，若存在實數(shù)，使得函數(shù)有6個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】先作出函數(shù)的圖象，由題得，三點的高度應(yīng)滿意或,所以或，解不等式即得解.【詳解】由題得函數(shù)的圖象和直線有六個交點.明顯有.,（），所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且.由題得，三點的高度應(yīng)滿意或,所以或，因為所以或，綜合得.故答案為：【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點問題，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實力.14.在中，角，，所對的邊分別是，，，若是邊上的中線，且，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】如圖，過點作,設(shè)，求出，再利用基本不等式求最小值得解.【詳解】過點作,設(shè)，由三角函數(shù)定義得.當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以的最小值為故答案為：【點睛】本題主要考查三角函數(shù)和基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平.二、解答題（本大題共6小題，共計90分，請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.在中，角，，所對的邊分別是，，，已知.（1）求角的大?。唬?）若，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡得，即得角的大??；（2）由余弦定理得，由正弦定理得，，即得的值.【詳解】（1）因為，依據(jù)正弦定理，得，因為，所以，所以，即，整理得，所以，又，故.（2）在中，，，，由余弦定理得，得，故由正弦定理得，解得.因為，故，，所以.所以.【點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實力.16.在三棱柱中，，，且，為的中點.（1）求證：平面；（2）求證：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）證明，平面即得證；（2）取的中點，連校、,，先證明面，即得證.【詳解】（1）連接，交于點，連接．在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，因為，所以是的中點，所以．又面，面面．所以平面．（2）取的中點，連接、．囚為，．所以是正三角形，．因為是的中點，所以．因為，是的中點，所以．又，，面，所以面．因為面，所以．【點睛】本題主要考查空間直線平面位置關(guān)系的證明，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平和空間想象分析推理實力.17.現(xiàn)有一塊廢棄的半圓形鋼板，其右下角一小部分因生銹無法運用，其形態(tài)如圖所示，已知該鋼板的圓心為，線段為其下沿，且，.現(xiàn)欲從中截取一個四邊形，其要求如下：點，均在圓弧上，平分，且，垂足在邊上.設(shè)，四邊形的面積為.（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出其定義域；（2）當(dāng)為何值時，四邊形的面積最大？【答案】（1），其定義域為（2）【解析】【分析】（1）連接，取的中點，的中點，連接，．依據(jù)，求出關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出其定義域；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即得解.【詳解】（1）連接，取的中點，的中點，連接，．因為，所以，因為平分，所以，所以，故，所以．在中，，，所以，，在中，，，所以，，在中，，，所以，，所以，所以，其定義域為．（2）因為，，．令，得，設(shè)銳角滿意，列表：0極大值所以當(dāng)時，取得最大值．答：當(dāng)時，四邊形的面積最大．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平和應(yīng)用實力.18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的焦距為2，且經(jīng)過點，過左焦點且不與軸重合的直線與橢圓交于點，兩點.（1）求橢圓的方程；（2）若直線，，的斜率之和為0，求直線的方程；（3）設(shè)弦的垂直平分線分別與直線，橢圓的右準(zhǔn)線交于點，，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)已知求出的值，即得橢圓的的方程；（2）設(shè)直線：，，聯(lián)立直線和橢圓的方程得到韋達定理，依據(jù)直線，，的斜率之和為0，求出，即得直線的方程；（3）直線的斜率不存在時，；直線的斜率存在時，求出.即得解.【詳解】（1）因為橢圓的焦距為2，所以橢圓的焦點為，所以點到焦點，的距離分別為，，故，得．所以，橢圓的方程為．（2）依題意，左焦點，設(shè)直線：，，，．聯(lián)立方程組整理得，所以，．因為直線，，的斜率之和為0，所以，即，整理得，即，解得．所以直線的方程為．（3）若直線的斜率不存在，；若直線的斜率存在，由（2）可得，又，直線的斜率為，，所以．故，令，則，故當(dāng)時，，，所以．明顯，，所以的最小值為2．【點睛】本題主要考查橢圓方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的最值問題的求解，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實力.19.已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若函數(shù)在定義域上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)在區(qū)間)上存在極值，求證：.【答案】（1）（2）或（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在處的切線方程；（2）對分兩種狀況探討，當(dāng)時，再分三種狀況結(jié)合導(dǎo)數(shù)分類探討；（3）先求出，要使得在上存在極值，則須滿意即分析推理即可得到.【詳解】（1）當(dāng)時，，，，，所以函數(shù)在處得切線方程為．（2）因為，，，所以．①若，則，在上是單調(diào)增函數(shù)，所以在上至多一個零點，與題意不符合．②若，令，得．0微小值（?。┤?，即時，有且僅有一個零點，與題意不符．（ⅱ）若，即時，，，又，且的圖像在上不間斷，所以存在，使得．此時，在恰有兩個不同得零點和．所以符合題意．（ⅲ）若，即時，．令，，，所以在上單調(diào)增函數(shù)，，所以在上是單調(diào)增函數(shù)，．所以，且，的圖像在上不間斷，所以存在，使得．此時，在恰有兩個不同得零點和．所以符合題意．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是或．（3）依題意，．則，令，，，所以在上是單調(diào)增函數(shù)．要使得在上存在極值，則須滿意即所以，，即．由（2）可知，當(dāng)時，，所以，．所以，即，所以．【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的零點問題，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實力.20.已知數(shù)列的前項和為，設(shè).（1）若，記數(shù)列的前項和為.①求證：數(shù)列為等差數(shù)列；②若不等式對隨意的都成立，求實數(shù)的最小值；（2）若，且，是否存在正整數(shù)，使得無窮數(shù)列，，，…成公差不為0等差數(shù)列？若存在，給出數(shù)列的一個通項公式；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）不存在；詳見解析【解析】【分析】（1）①，，兩式相減化簡得，所以數(shù)列為等差數(shù)列；②先利用錯位相減求出，由不等式對隨意的都成立得到對隨意恒成立，求出的最大值得解；（2）由題得當(dāng)，時，.假設(shè)存在，，，，…成等差數(shù)列，公差為，則，再對分兩種狀況探討得解.【詳解】（1）①因為，，（i）所以．（ii）將（i）（ii），得，即．（iii）所以，當(dāng)，時，，（iv）將（iii）（iv）得，當(dāng)，時，，整理得，，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列．②因為，令，2，得，解得，，結(jié)合①可知，，故．所以，，兩式相減，得，所以．依題意，不等式對隨意的都成立，即對隨意恒成立，所以對隨意恒成立．令，則，所以當(dāng)，2時，，即，且當(dāng)，時，，即所以當(dāng)時，取得最大值，所以，實數(shù)的最小值為．（2）因為，所以，即．因為，所以，．所以，，．所以當(dāng)，時，，．假設(shè)存在，，，，…成等差數(shù)列，公差為．則，（ⅰ）若，則當(dāng)，時，，而，，所以與題意沖突．（ⅱ）若，則當(dāng)，時，與題意沖突．所以不存在，使得無窮數(shù)列，，，…成公差不為0的等差數(shù)列．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的證明和錯位相減法求和，考查數(shù)列不等式的恒成立問題的求解，考查數(shù)列中的探究性問題的求解，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實力.第II卷（附加題，共40分）21.已知矩陣，，求矩陣，使得.【答案】【解析】【分析】先求出，再依據(jù)求解.【詳解】因為，所以由，得，所以．【點睛】本題主要考查矩陣，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.22.在極坐標(biāo)系中，求直線被曲線所截得的弦長.【答案】【解析】【分析】聯(lián)立方程組求出，即得直線被曲線所截得的弦長.【詳解】聯(lián)立方程組得．又因為直線與曲線都經(jīng)過極點，所以直線被曲線所截得的弦長為．【點睛】本題主要考查極坐標(biāo)中弦長的計算，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分，解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.23.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：上一點到準(zhǔn)