八年級數(shù)學(xué)人教版（上冊）第1課時 等邊三角形的性質(zhì)與判定

13.3.2等邊三角形第十三章軸對稱第1課時等邊三角形的性質(zhì)與判定目錄頁講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點學(xué)習(xí)重點學(xué)習(xí)難點理解并掌握等邊三角形的定義，探索等邊三角形的性質(zhì)和判定方法探索等邊三角形的性質(zhì)和判定能運用等邊三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行計算和證明

學(xué)習(xí)目標(biāo)新課導(dǎo)入下列圖片中有你熟悉的數(shù)學(xué)圖形嗎？你能說出此圖形的名稱嗎？情景引入新課導(dǎo)入小明想制作一個三角形的相框，他有四根木條長度分別為10cm，10cm，10cm，6cm，你能幫他設(shè)計出幾種形狀的三角形？問題引入新課導(dǎo)入等腰三角形等邊三角形一般三角形在等腰三角形中，有一種特殊的情況，就是底與腰相等，即三角形的三邊相等，我們把三條邊都相等的三角形叫作等邊三角形.新課導(dǎo)入名稱圖形定義性質(zhì)

判定等腰三角形等邊對等角三線合一等角對等邊兩邊相等兩腰相等軸對稱圖形ABC有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形溫故而知新講授新課典例精講歸納總結(jié)講授新課等邊三角形的性質(zhì)類比探究ABCABC問題1等邊三角形的三個內(nèi)角之間有什么關(guān)系？等腰三角形AB=AC∠B=∠C等邊三角形AB=AC=BCAB=AC∠B=∠CAC=BC∠A=∠B∠A=∠B=∠C內(nèi)角和為180°=60°講授新課結(jié)論：

等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°.已知：AB=AC=BC，

求證：∠A=∠B=∠C=60°.

證明：∵AB=AC.∴∠B=∠C.(等邊對等角)

同理∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=∠B=∠C=60°.講授新課ABCABC問題2

等邊三角形有“三線合一”的性質(zhì)嗎?等邊三角形有幾條對稱軸？結(jié)論:等邊三角形每條邊上的中線,高和所對角的平分線都“三線合一”.頂角的平分線、底邊的高底邊的中線三線合一一條對稱軸三條對稱軸講授新課圖形等腰三角形

性質(zhì)

每一邊上的中線、高和這一邊所對的角的平分線互相重合三個角都相等，對稱軸（3條）等邊三角形對稱軸（1條）兩個底角相等底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合且都是60o兩條邊相等三條邊都相等知識要點講授新課

如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點，D是BC延長線上一點，連接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數(shù)．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.例題講授新課方法總結(jié)：等邊三角形是特殊的三角形，它的三個內(nèi)角都是60°，這個性質(zhì)常應(yīng)用在求三角形角度的問題上，一般需結(jié)合“等邊對等角”、三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì).講授新課如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，延長BC到E，使得CE=CD．求證：BD=DE．證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是角平分線，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角對等邊）．練一練講授新課△ABC為正三角形，點M是BC邊上任意一點，點N是CA邊上任意一點，且BM＝CN，BN與AM相交于Q點，∠BQM等于多少度？解：∵△ABC為正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM

＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.例題講授新課方法總結(jié)：此題屬于等邊三角形與全等三角形的綜合運用，一般是利用等邊三角形的性質(zhì)判定三角形全等，而后利用全等及等邊三角形的性質(zhì)，求角度或證明邊相等.講授新課類比探究等邊三角形的判定圖形等腰三角形判定

三個角都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形從角看：兩個角相等的三角形是等腰三角形從邊看：兩條邊相等的三角形是等腰三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形小明認(rèn)為還有第三種方法“兩條邊相等且有一個角是60°的三角形也是等邊三角形”，你同意嗎？等邊三角形的判定方法：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.講授新課三邊都相等的三角形是等邊三角形.∵AB=BC=AC∴△ABC是等邊三角形等邊三角形的判定方法：歸納總結(jié)講授新課三個角都相等的三角形是等邊三角形.∵∠A=∠B=∠C∴△ABC是等邊三角形∵∠A=60°，AB=BC∴△ABC是等邊三角形有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.講授新課辯一辯：根據(jù)條件判斷下列三角形是否為等邊三角形.（1）（2）（6）（5）不是是是是是（4）（3）不一定是講授新課例題

如圖,在等邊三角形ABC中，DE∥BC,求證：△ADE是等邊三角形.ACBDE證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.想一想：本題還有其他證法嗎？講授新課

證明：∵

△ABC是等邊三角形，

∴

∠A=∠ABC=∠ACB=60°．

∵

DE∥BC，

∴

∠ABC=∠ADE，

∠ACB=∠AED.∴

∠A=∠ADE=∠AED.∴

△ADE是等邊三角形.變式1若點D、E在邊AB、AC的延長線上，且DE∥BC，結(jié)論還成立嗎？ADEBC講授新課變式2若點D、E在邊AB、AC的反向延長線上，且DE∥BC，結(jié)論依然成立嗎？

證明：∵

△ABC是等邊三角形，

∴

∠BAC=∠B=∠C=60°．

∵

DE∥BC，

∴

∠B=∠D，∠C=∠E．

∴

∠EAD=∠D=∠E．

∴

△ADE是等邊三角形．ADEBC講授新課變式3上題中,若將條件DE∥BC改為AD=AE,△ADE還是等邊三角形嗎?試說明理由.ACBDE證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵AD=AE,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.講授新課例題

如圖，已知△ABC是等邊三角形，D為邊AC的中點，AE⊥EC，BD＝EC，證明：

△ADE是等邊三角形．講授新課導(dǎo)引：從題中條件看用“HL”證明△ABD≌△ACE，可得AD

＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，因此用判定定理2證

△ADE是等邊三角形．證明：∵△ABC是等邊三角形，D為邊AC的中點，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，BD⊥AC.∵AE⊥EC，∴∠BDA＝∠CEA＝90°.在Rt△ABD和Rt△ACE中，AB＝AC，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∠EAD＝∠BAD＝60°，

∴△ADE是等邊三角形．講授新課變式

等邊△ABC中，點P在△ABC內(nèi)，點Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試證明你的結(jié)論．解：△APQ為等邊三角形．證明如下：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等邊三角形．講授新課方法總結(jié)：判定一個三角形是等邊三角形有以下方法：一是證明三角形三條邊相等；二是證明三角形三個內(nèi)角相等；三是先證明三角形是等腰三角形，再證明有一個內(nèi)角等于60°.講授新課如圖，等邊△ABC中，D、E、F分別是各邊上的一點，且AD=BE=CF．求證：△DEF是等邊三角形．證明：∵△ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等邊三角形．練一練當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂反饋即學(xué)即用當(dāng)堂練習(xí)

2.如圖，等邊三角形ABC的三條角平分線交于點O，DE∥BC，則這個圖形中的等腰三角形共有（）A.4個

B.5個C.6個

D.7個DACBDEO1.等邊三角形的兩條高線相交成鈍角的度數(shù)是（）A．105°B．120°C．135°D．150°B當(dāng)堂練習(xí)3.在等邊△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，則∠CDF的度數(shù)是（）A．10°B．15°C．20°D．25°4.如圖,△ABC和△ADE都是等邊三角形，已知△ABC的周長為18cm,EC=2cm,則△ADE的周長是

cm.ACBDE12B當(dāng)堂練習(xí)5.下列三角形：①有兩個角等于60°的三角形；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角(每個頂點處各取一個外角)都相等的

三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有(

)A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④D當(dāng)堂練習(xí)6.如圖，點A，B，C在一條直線上，△ABD，

△BCE均為等邊三角形，連接AE和CD，AE分別交CD，BD于

點M，P，CD交BE于點Q，連接PQ，BM，下面結(jié)論：①

△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ為等邊三角形；

④MB平分∠AMC，其中結(jié)論正確的有(

)A．1個B．2個C．3個D．4個D當(dāng)堂練習(xí)7.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB為邊在△ABC外作等邊△