貴州省畢節(jié)市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期診斷性考試題一文

PAGE20PAGE19貴州省畢節(jié)市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期診斷性考試題（一）文題號一二三總分得分一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，共60.0分）已知集合，，，，則中的元素個(gè)數(shù)為A.2 B.3 C.4 D.5設(shè)復(fù)數(shù)z滿意為虛數(shù)單位，則A.4 B.2 C. D.1設(shè)m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中錯(cuò)誤的是A.若，，，則

B.若，，，則

C.若，，，則

D.若，，，則若x，y滿意約束條件，則的最大值為A.1 B.2 C.5 D.6袋子中裝有大小相同的2個(gè)紅球和2個(gè)白球，不放回地依次從袋中取出兩球，則取出的兩球同色的概率為A. B. C. D.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為A. B. C. D.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿意，，則數(shù)列的前4項(xiàng)和為A.20 B.100 C.110 D.120在矩形ABCD中，，，點(diǎn)F在CD邊上，若，則A.0 B.2 C. D.4宋元時(shí)期我國數(shù)學(xué)家朱世杰在四元玉鑒中所記載的“垛積術(shù)”，其中“落一形”就是以下所描述的三角錐垛，三角錐垛從上到下最上面是1個(gè)球，其次層是3個(gè)球，第三層是6個(gè)球，第四層是10個(gè)球，，則這個(gè)三角錐垛的第十五層球的個(gè)數(shù)為A.91

B.105

C.120

D.210已知圓：和圓：相交，則圓和圓的公共弦所在的直線恒過的定點(diǎn)為A. B. C. D.設(shè)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與C的一條漸近線交于點(diǎn)P，若軸，且點(diǎn)到l的距離為2a，則C的離心率為A. B. C. D.若，則A. B. C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）若一組數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為8，則另一組數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為______．已知圓錐的底面直徑為2，側(cè)面綻開圖為半圓，則圓錐的體積為______．已知拋物線上一點(diǎn)A到x軸的距離為m，則直線的距離為n，則的最小值為______．已知函數(shù)，關(guān)于x的方程恰有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)______．三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，已知．

求角B的大?。?/p>

求的取值范圍．

畢節(jié)市2025屆高三年級第一次診考結(jié)束后，隨機(jī)抽取參與考試的500名學(xué)生的數(shù)學(xué)成果制成頻率分布直方圖如圖．

依據(jù)頻率分布直方圖，求x的值并估計(jì)全市數(shù)學(xué)成果的中位數(shù)；

從成果在和的學(xué)生中依據(jù)分層抽樣抽取3人，再從這3人中隨機(jī)抽取兩人作某項(xiàng)調(diào)查，求著兩人中恰好有1人的成果在內(nèi)的概率．

如圖，D是以AB為直徑的半圓O上異于A，B的點(diǎn)，所在的平面垂直于半圓O所在的平面，且，．

證明：；

若，求二面角的余弦值．

已知橢圓的離心率為，經(jīng)過點(diǎn)與橢圓C的右頂點(diǎn)的直線斜率為．

求橢圓C的方程；

過點(diǎn)P且與x軸不垂直的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)N，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

已知函數(shù)．

探討函數(shù)的單調(diào)性；

是否存在b，c，使得在區(qū)間上的最小值為且最大值為1？若存在，求出b，c的全部值；若不存在，請說明理由．

在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．

寫出直線l的一般方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；

已知點(diǎn)，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，，ABPO的面積分別為，，求的值．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：，，，，

，，，

中的元素個(gè)數(shù)為3．

故選：B．

進(jìn)行交集的運(yùn)算求出，然后得出中的元素個(gè)數(shù)．

本題考查了交集及其運(yùn)算，考查了計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿意，

所以由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)可得，

所以．

故選：D．

利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)求解即可．

本題考查了復(fù)數(shù)的模，解題的關(guān)鍵是駕馭復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】D

【解析】解：若，，可得，又，則，正確；

B.若，，可得，又，則，正確；

C.若，，可得，又，則，正確；

D.若，，，則或相交，因此不正確．

故選：D．

利用空間線線、線面、面面位置關(guān)系判定與性質(zhì)定理即可得出結(jié)論．

本題考查了空間線線、線面、面面位置關(guān)系判定與性質(zhì)定理，考查了推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】B

【解析】解：畫出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示；

目標(biāo)函數(shù)可化為，

平移目標(biāo)函數(shù)知，過點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z取得最大值；

由，求得，

所以z的最大值為．

故選：B．

畫出約束條件表示的平面區(qū)域，平移目標(biāo)函數(shù)，找出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)求出z的最大值．

本題考查了簡潔的線性規(guī)劃應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題．

5.【答案】A

【解析】解：不放回地依次從袋中取出兩球，則取出的兩球同色即同為紅色或同為白色，

同為紅色的概率，同為白色的概率也為，

故取出的兩球同色的概率為．

故選：A．

不放回地依次從袋中取出兩球，則取出的兩球同色即同為紅色或同為白色，然后結(jié)合古典概率公式即可求解．

本題主要古典概率公式的簡潔應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】A

【解析】解：，，

．

又，

所求切線方程為，即．

故選：A．

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，再求出，利用直線方程的斜截式得答案．

本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，關(guān)鍵是熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是基礎(chǔ)題．

7.【答案】D

【解析】解：，

，

，

，

，，

則數(shù)列的前4項(xiàng)和為．

故選：D．

由已知結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及等比數(shù)列的性質(zhì)可求，結(jié)合已知即可求解．

本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

8.【答案】C

【解析】解：分別以邊BC，BA所在的直線為x，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則：

，設(shè)，

則，，

，解得，

，，，

．

故選：C．

可分別以直線BC，BA為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，然后可得出，并設(shè)，依據(jù)即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出向量和的坐標(biāo)，從而可求出的值．

本題考查了通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)解決向量問題的方法，向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算，考查了計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．

9.【答案】C

【解析】解：“三角形數(shù)”可寫為：1，，，，，，

“三角形數(shù)”的通項(xiàng)公式為：，

則這個(gè)三角錐垛的第十五層球的個(gè)數(shù)為，

故選：C．

三角形數(shù)”可寫為：1，，，，，，所以“三角形數(shù)”的通項(xiàng)公式為：，從而求出第15層球的個(gè)數(shù)．

本題主要考查了合情推理中的歸納推理，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，是中檔題．

10.【答案】B

【解析】解：依據(jù)題意，圓：和圓：相交，

則，

則圓和圓的公共弦所在的直線為，變形可得，

則有，則有，即兩圓公共弦所在的直線恒過的定點(diǎn)為，

故選：B．

依據(jù)題意，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程可得兩圓公共弦所在的直線方程，由此分析可得答案．

本題考查圓與圓的位置關(guān)系，涉及相交弦方程的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．

11.【答案】B

【解析】解：設(shè)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，

過點(diǎn)的直線l與C的一條漸近線交于點(diǎn)P，若軸，可得，

可得直線l的方程為：，

即：，

點(diǎn)到l的距離為2a，

可得：，可得，

所以雙曲線的離心率為．

故選：B．

求出P的坐標(biāo)，推出直線l的方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離，轉(zhuǎn)化求解即可．

本題考查雙曲線的簡潔性質(zhì)的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，離心率的求法，是基礎(chǔ)題．

12.【答案】A

【解析】解：，

所以，

即，

所以，

令，，

因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，為增函數(shù)，

所以為增函數(shù)，

所以，即．

故選：A．

化簡，將已知等式轉(zhuǎn)化為，可得，令，由函數(shù)的單調(diào)性可得，平方可得．

本題主要考查對數(shù)的運(yùn)算，對數(shù)值大小的比較，考查轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)思想的應(yīng)用，屬于中檔題．

13.【答案】3

【解析】解：設(shè)數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，

則數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，

所以，

故答案為：3．

設(shè)數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，即可求解．

本題考查了數(shù)據(jù)的平均數(shù)，考查了學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：圓錐的底面直徑為2，所以底面圓的半徑為，

由側(cè)面綻開圖為半圓，所以，

所以母線長為，

所以圓錐的高為，

所以圓錐的體積為．

故答案為：．

依據(jù)題意求出圓錐的底面半徑和母線長、高，即可計(jì)算圓錐的體積．

本題考查了圓錐體的結(jié)構(gòu)特與體積計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，

由橢圓的定義可知：點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離，

從而A到x軸的距離等于點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離減1．

過焦點(diǎn)F作直線的垂線，此時(shí)最小，

則，

則的最小值為．

故答案為：．

點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離，從而A到y(tǒng)軸的距離等于點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離減1，過焦點(diǎn)F作直線的垂線，此時(shí)最小，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得的最小值．

本題主要考查了拋物線的簡潔性質(zhì)，點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．

16.【答案】

【解析】解：繪制函數(shù)的圖像如圖所示：

當(dāng)時(shí)，有2個(gè)實(shí)數(shù)根，

當(dāng)時(shí)，有3個(gè)實(shí)數(shù)根，

當(dāng)時(shí)，有2個(gè)實(shí)數(shù)根，

當(dāng)時(shí)，有4個(gè)實(shí)數(shù)根，

令，則關(guān)于t的方程有一個(gè)根為1，另外一個(gè)根為0或者另外一個(gè)根大于1，

令可得：，則或，

時(shí)，方程即，此時(shí)或，不合題意；

時(shí)，方程即，此時(shí)或，滿意題意；

綜上可得，．

故答案為：．

首先畫出函數(shù)的圖像，然后結(jié)合題意和函數(shù)圖像即可求得實(shí)數(shù)b的值．

本題主要考查由方程解的個(gè)數(shù)確定參數(shù)值的方法，分類探討的數(shù)學(xué)思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等學(xué)問，屬于中等題．

17.【答案】解：，

由正弦定理得，，

即，

由余弦定理得，，

由B為三角形內(nèi)角得，，

，

，

，

，

由，得，

所以，

故原式的范圍

【解析】由已知結(jié)合正弦定理及余弦定理進(jìn)行化簡可求cosB，進(jìn)而可求B，

結(jié)合，利用和差角公式及協(xié)助角公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式，協(xié)助角公式在三角求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．

18.【答案】解：，解得，

由于，故中位數(shù)落在第三組，

即中位數(shù)為；

從成果在和的人數(shù)分別人，人，

則從成果在和的抽取的人數(shù)分別2人和1人，分別記為a，b，c，

從這3名同學(xué)中抽取2人全部可能出現(xiàn)的結(jié)果有：，，共3種，

其中兩人中恰好有1人的成果在內(nèi)有，共2種，

故兩人中恰好有1人的成果在內(nèi)的概率為．

【解析】依據(jù)頻率分布直方圖即可求出x的值，再由中位數(shù)公式，即可得出答案；

用列舉法，結(jié)合古典概率模型，即可得出答案．

本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力、數(shù)據(jù)處理實(shí)力，是基礎(chǔ)題．

19.【答案】證明：AB為半圓O的直徑，所以，

因?yàn)?，，所以?/p>

所以，

又因?yàn)樗诘钠矫娲怪庇诎雸AO所在的平面，

所以平面ABD，所以，，

所以平面BDC，平面BDC，

所以．

解：由知，，，

所以，所以為正三角形，

取BO中點(diǎn)E，過E作于F，連接DE、EF、DF，

，因?yàn)槠矫嫫矫鍭DB，所以平面ABC，

所以，，所以平面DEF，

所以，所以為二面角的平面角，

設(shè)其大小為，則，所以．

故二面角的余弦值為．

【解析】依據(jù)直線與平面垂直判定定理證明；找尋二面角的平面角，把問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形求解．

本題考查了直線與平面的位置關(guān)系，考查了二面角的計(jì)算問題，屬于中檔題．

20.【答案】解：由經(jīng)過點(diǎn)與橢圓C的右頂點(diǎn)的直線斜率為，

得，即，，得，則，

所以橢圓C的方程為；

設(shè)直線l：，設(shè)，

聯(lián)立直線與橢圓方程消去y得，，

設(shè)，，則，，

而，，

，，

則，

代換為k的表達(dá)式即，

即，為常數(shù)時(shí)，，

故存在滿意條件的點(diǎn)N，點(diǎn)N的坐標(biāo)為．

【解析】依據(jù)由經(jīng)過點(diǎn)與橢圓C的右頂點(diǎn)的直線斜率為，可求出a的值，然后依據(jù)離心率可求出c，進(jìn)一步求出b，從而可求出橢圓方程；

設(shè)直線l：，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示出兩根和與積，依據(jù)建立方程，從而可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化實(shí)力和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題．

21.【答案】解：，

當(dāng)時(shí)，令，得或，令，得，

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，同理得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，

假設(shè)存在滿意條件的b，c，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，

若，

則，舍，

若，則舍，

當(dāng)時(shí)，由知，在上單調(diào)遞減，

故當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，

所以，，

當(dāng)時(shí)，由知，在上單調(diào)遞增，

故當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最小值，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，

所以，，

綜上，，或，

【解析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系對b進(jìn)行分類探討，確定函數(shù)的單調(diào)性，

先假設(shè)存在，然后結(jié)合中函數(shù)單調(diào)性的探討，結(jié)合b的范圍確定函數(shù)的最大與最小值，解方程可求．

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性及最值，體現(xiàn)