平面向量基本定理及坐標(biāo)表示-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)知識(shí)考點(diǎn)培優(yōu)講義（人教A版2019必修第二冊(cè)）【解析版】

w-------------------------w-

專題02平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

—?一??—?—?,

'修U知行概要:

知識(shí)占一平面向量基本定理

I_I

如果6，e2是一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任意向量Z,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4,4,

使.其中，不共線的向量6，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

【點(diǎn)撥】(1)由平面向量基本定理可知，在平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量的和，

且這樣的分解是唯一的，同一個(gè)非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，

即0=九01+心02，且九=義2=0.

(2)對(duì)于固定的ei，e2(向量ei與02不共線)而言，平面內(nèi)任一確定的向量的分解是唯一的，但平面內(nèi)的基底

卻不唯一，只要平面內(nèi)的兩個(gè)向量不共線，就可以作為基底，它有無數(shù)組.

(3)定理推廣：平面內(nèi)任意三個(gè)不共線的向量中，任何一個(gè)向量都可表示為其余兩個(gè)向量的線性組合且形式

唯一.

知識(shí)應(yīng)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1,向量坐標(biāo)的定義

【點(diǎn)撥】

(1)點(diǎn)的坐標(biāo)反映的是點(diǎn)的位置，而向量的坐標(biāo)反映的是向量的大小和方向，向量?jī)H由大小和方向決定,

與位置無關(guān).

(2)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)的聯(lián)系：

①當(dāng)且僅當(dāng)向量的起點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，向量終點(diǎn)的坐標(biāo)等于向量本身的坐標(biāo).

②兩個(gè)向量相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)相同.即

t1k1=%2，

若〃=。1，%),)=(%2，y2)，貝U。=80彳

[yi=y2.

注意：相等向量的坐標(biāo)是相同的，但是兩個(gè)相等向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)卻可以不同.

(3)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)的區(qū)別：

①書寫不同，如a=(l,2),A(l,2).

②給定一個(gè)向量，它的坐標(biāo)是唯一的；給定一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，由于向量可以平移，故以這個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)為

坐標(biāo)的向量有無窮多個(gè).因此，符號(hào)(x,y)在平面直角坐標(biāo)系中有雙重意義，它既可以表示一個(gè)固定的點(diǎn),

又可以表示一個(gè)向量.為了加以區(qū)分，在敘述中，常說點(diǎn)(x,y)或向量Q,y).

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)向量a=(xi，yi),b=(X2,丫2)，/IGR.

(1)加法、減法：若。=(%，％),各=(和％)，則?！栏?(七±%2，%±%)；

(2)向量的數(shù)乘：若k(x,y),貝MkCU,Ay).

⑶設(shè)A。，％)，3(々，乂)，則AB=(%2—XI，y2~yl)>|AB|=J(%2—7)2(%一%)2?

知識(shí)點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)。=(尤1,yi),》=(尤2,/)，其中厚0,當(dāng)且僅當(dāng)制>2=尤2yl時(shí)，a//b.

【點(diǎn)撥】

兩個(gè)向量共線條件的三種表示方法

(1)當(dāng)分力0時(shí)，a=Xb.它體現(xiàn)了向量a與b的長(zhǎng)度及方向之間的關(guān)系.

(2)尤小一無2y1=0.有助于解決向量共線問題，其優(yōu)點(diǎn)在于不需要引入?yún)?shù)夕'，減少了未知數(shù)的個(gè)數(shù)，從而

使問題的解決具有代數(shù)化的特點(diǎn)和程序化的特征.

(3)當(dāng)檢//)時(shí)，那=蔗.即兩向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例，更易形象記憶.

知識(shí)點(diǎn)四平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

設(shè)Q=(%I,yi),b—(X2Jyi)

1.兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和，即〃協(xié)=不血+男'2

2.設(shè)。=(%,y),則|°|=出2+,2；設(shè)4%，%)，B(X2,%),則AB=(%2—%，%一%)，

I=J(%一七)2(%—%)2-

3.a±b<4x/X2+y7j2=0

4.平面向量的夾角

co’e=a-b=石力聲

"\a\-\b\

【點(diǎn)撥】

（1）向量的模即向量的長(zhǎng)度，其大小應(yīng)為平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離.

丫算匕考點(diǎn)速競(jìng)，

平面向皇基本

平面向鼻的坐I示運(yùn)笠?

平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

利用垂直求餐數(shù)

向積與^9問題

向量的數(shù)鼻積與夾角問題

考慮精折:

考點(diǎn)01平面向量基本定理及其應(yīng)用

【典例11（2023秋?遼寧營(yíng)口?高一校聯(lián)考期末）在..,2WC中，AN=：NC,BM=^MN,AM=xAB+yAC

（x,y均大于o）,則一的值為.

y

【答案】15

【分析】利用平面向量基本定理和向量三角形法則，可表示AM，進(jìn)而求出X,y的值，即可求出結(jié)果.

【詳解】如圖所示，在「ABM中，AM=AB+BM>

因?yàn)?M=』MN,所以碗=!斯，所以AM=AB+』3N,①

344

在；ABN中，BN=BA+AN，

111

因?yàn)锳N=—NC,所以AN=—AC,所以BN=BA+-AC,代入①,

455

%AM=AB+-\BA+-AC\=AB--AB+—AC=-AB+—AC,

4<5J420420

,.一31

因?yàn)锳M=xAB+yAC,所以％=1,y=—,

x3

所以—=x20=15,

y4

故答案為：15.

111u

【典例2】（2023?高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)ere2是不平行的向量，B.a=el-2e2,b=el+3e2.

（1）證明：a,b是平面向量的一個(gè)基；

（2）用a,6的線性組合表示c=3q-62.

【答案】（1）證明見解析

⑵c=2a+Z?

【分析】（1）根據(jù)平面向量共線定理解決即可；（2）根據(jù)平面向量基本定理解決即可.

【詳解】（1）證明：若a,b平行，則6=時(shí)，即q+3e2=%,-2與），

所以（1一人）q+（3+2左）《2=0.

1一左=0

因?yàn)閑；,e；不平行，所以

3+2k=0'

因?yàn)樵摲匠探M無解,

所以a,〃平行不成立,

所以a,萬不平行,

所以a,〃是平面向量的一個(gè)基.

又因?yàn)閏=3q-e；,

x+y=3x=2,

由向量基本定理，得3一戶-1,解得

y=l,

所以c=2。+b.

【總結(jié)提升】

1.平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路

（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)

算.

（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,

再通過向量的運(yùn)算來解決.

2.在應(yīng)用平面向量基本定理時(shí)，要注意基向量不共線這個(gè)條件.若已知條件a=4iei+后e2沒有指明，則應(yīng)對(duì)

ex,e2共線的情況加以考慮.

考點(diǎn)02平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【典例3］（2021秋?新疆喀什?高一?？计谀┰?，ABC中，點(diǎn)尸在8C上中點(diǎn)，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，若PA=（4,3）,

PC=（8,5）,則PQ等于（）

A.（6,4）B.（-2,7）

C.（6,—21）D.（2,-7）

【答案】A

【分析】依題意可得尸Q=；PC+：PA,再根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.

【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)尸在3C上中點(diǎn)，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

所以尸Q=PA+AQ=PA+gAC=PA+:（P?_PA）=；PC+：PA,

又以=（4,3）,PC=（8,5）,

所以尸Q=g（4,3）+g（8,5）=（6,4）.

故選：A

【典例4】（2022春.吉林長(zhǎng)春.高一校考期中）已知向量〃=（4,2）1=（-6,2）,則下列說法正確的是

（1）

（2）,+2。卜20

（3）向量d在向量b上投影向量的模長(zhǎng)是回

2

(4)與向量a方向相同的單位向量是2書

【答案】(1)(4)

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的幾何意義，向量的投影向量的計(jì)算，單位向量的計(jì)算方法，

逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】由題意，向量a=(4,2),b=(-6,2),

由a+b=(-2,4),則(a+6),a=-2x4+2x4=0,所以(a+))_La,故(1)正確；

由。+26=(-8,6),可得k+2b|=J(-8)2+6。=10,故(2)錯(cuò)誤；

由向量a在向量6方向上的投影向量為-----而-----x(-6,2)=(3,-l)；

故其模長(zhǎng)為&6,故(3)錯(cuò)誤；

由"=,42+22=2石,所以與向量a方向相同的單位向量是二=竽，9，故(4)正確；

故答案為：(1)(4).

【總結(jié)提升】

平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧

(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，

則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).要注意點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系，一個(gè)向量的坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減

去始點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解.

考點(diǎn)03共線的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

【典例5】(2023秋?遼寧沈陽?高一沈陽市第十中學(xué)校考期末)已知向量°=(有,1),6=(0,-1),c=(K石)，

若a-2。與Z共線，貝(U=()

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得a-2b的坐標(biāo)，利用向量共線的坐標(biāo)表示列出方程，求得答案.

【詳解】由題意向量6=(0,-1),3=(匕⑹，

則"2匕=(石,3),

由于a-2b與c共線，則石x石-3左=0,；*=1,

故選：D

【典例6】（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知。=（1,-2）,0=（-2,2）,則與“一人同向的單位向量的坐標(biāo)為

【答案】停一3

【分析】先由向量的線性運(yùn)算求得。->=（3,-4）,再由模的坐標(biāo)表示求得卜-q=5,從而求得所求.

【詳解】因?yàn)椤?（1,一2）,6=（-2,2）,

所以a_￡>=（3,—4）,故U=，3~+（—4）~=5,

a-b（34、

則同向的單位向量的坐標(biāo)為口二同

故答案為：||,-胃

【典例7】（2022春?吉林長(zhǎng)春?高一?？计谥校┮阎猶,02是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量=2。+4，

BE=+22e2,EC=-2Sl+e2,且AE,C三點(diǎn)共線.

（1）求實(shí)數(shù)幾的值;

⑵已知G=（2,l）,1=（2,-2）,。（2,5）,若A5C,。四點(diǎn)按順時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求BC的坐標(biāo)和

點(diǎn)A的坐標(biāo).

【答案】⑴八-：3

⑵配=(-7,-2)；4(9,7)

【分析】（1）由AE=〃EC（〃eR）、AE=AB+BE可構(gòu)造方程組求得力;

（2）根據(jù)8。=跳；+召0可求得8C;設(shè)A（x,y）,由3C=AD可構(gòu)造方程求得A點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】（1）4,瓦（3三點(diǎn)共線，；.短=〃召。（〃€區(qū)），即AE=AB+BE=G+（24+l）e2=—2〃G+〃4,

—2//=13

解得：

(2)8C=BE+EC=-3e；-ge；=(—7,—2)；

四邊形ABCD為平行四邊形，BC=A。,

設(shè)A（x,y）,則血=（2—x,5—y）=（—7,—2）,r.x=9,y=1,即4（9,7）.

【總結(jié)提升】

1.主要命題角度有，一是利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)，二是三點(diǎn)共線問題，三是利用向量共線求參數(shù)，

總體難度不大.

2.平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的常見類型及解題策略

（1）利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo).一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為人

a（AGR）,然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于人的方程，求出入的值后代入入a即可得到所求的向量.

（2）利用兩向量共線求參數(shù).如果已知兩向量共線,求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若）=（石，％）,力=（%,%），

r1

則a//的充要條件是%%解題比較方便.

考點(diǎn)04數(shù)量積的坐標(biāo)表示

【典例8】（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知向量￡=（-3,4）,人=（2,5）,c=（3,—2）,貝U①今。（填

寫=或工）

【答案】豐

【分析】利用向量數(shù)量積運(yùn)算法則和線性運(yùn)算法則計(jì)算出,?b）?c與。?卜?c）,得到兩者不相等.

【詳解】。心=（一3,4）.（2,5）=-6+20=14,故（a%）-c=14c=（42,-28）,

b-c=（2,5）?（3,—2）=6—10=T,故a?6.c）=-4a=（12,-16）,

故答案為：*

TT

【典例9】（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）在平行四邊形ABC。中，ZA=y,邊AB、的長(zhǎng)分別為2、1,若

BMCN

M、N分別是邊8C、CQ上的點(diǎn)，且滿足——=—?jiǎng)tAM-AN的取值范圍是

BCCD

【答案】[2,5]

【分析】畫出圖形，建立平面直角坐標(biāo)系，利用已知條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后通過二次函數(shù)的性質(zhì)求

出數(shù)量積的范圍.

【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則40,0）1（2,0）,

JT

因?yàn)镹A=—,AD=1,所以。

BMCN

-----=A,AG[0,1],則

CD

I22J12

所以AM.A7V=(2+■1]]g_22)+l/l=_/12_24+5=_(/L+l)2+6,

因?yàn)?e[0,1],

所以—(2+1)-+6e[2,5],

所以AM?AN的取值范圍為［2,5］,

故答案為：［2,5］

【總結(jié)提升】

解題途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，然后直接進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算；二是先利用向量的數(shù)量積的運(yùn)

算律將原式展開，再依據(jù)已知條件計(jì)算.

考點(diǎn)05利用垂直求參數(shù)

【典例10］（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知向量。=（八3）力=（1,?7+1）.若則加=

3

【答案】7#"5

【分析】直接由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.

3

【詳解】由題意知：a-b=m+3(m+l)=0,mm=--

3

故答案為：北

【典例11】（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知向量a=（3,l）,6=（l,0）,c=a+A6.若q_Lc，貝1U=

10

【答案】-5

【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得向量e的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零求得上的值

【詳解】a=(3,^,b=(l,0),:.c=a+kb=(3+k,l).

a±c,.\<2-c=3(3+A;)+lxl=0,解得上=-#，

故答案為：-■—.

【總結(jié)提升】

注意應(yīng)用方程思想

考點(diǎn)06向量的數(shù)量積與模的問題

【典例12】(2022春.河南安陽.高一安陽縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí))若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OA=(n,m),OB=(^,p),F(4,0),|AF|=AW+1,|BF|=p+1,,則%+P的最小值是()

A.1B.2C.3D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示以及模長(zhǎng)公式，可得出〃的表達(dá)式，通過整體代換利用基本不等式和

二次函數(shù)單調(diào)性即可求得最小值.

-4

【詳解】由題意知,AF=(4—n,—ni),BF=(4—,~P))

n

(4—n)2+m2=m2+2m+1

又|耕=根+1,麻卜P+1可得，(4f22

1111I4-I+p~=p+2.p+l

整理得2(m+p)="2+：-8("+力+30,

416

令—，貝i]/+q=/一8,

nn

且re(TO,-4]u[4,4W),

2(7?j+/?)=Z2-8/+22=(r-4)2+6>6,

；.m+p>3,即m+P的最小值是3.

故選：C

【典例13](2023?高一課時(shí)練習(xí))己知。=(L@,b=(3,m).若b在°方向上的數(shù)量投影為3,則實(shí)數(shù)機(jī)=

【答案】>/3

a-bc

【分析】由6在。方向上的投影為仃=3,代入計(jì)算即可得到答案.

【詳解】由題意知，a-b=3+y/3m,忖=Jl+3=2

a-ba-b3+yfim-

因?yàn)椤吩赼方向上的投影為仃，所以仃=-^=3,解得機(jī)=6.

HH2

故答案為：代

【總結(jié)提升】

利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度（模）問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，此類問題的處理方法是:

⑴〃=〃?〃=|a|2或\a\=y[a^a.

（3）設(shè)〃=（%,y）,則⑷=由2+優(yōu)設(shè)A?,%）,B（X2,為），則AB=（X2一%，%一%），

IAB\=J（%2一再）2（%—X）2.

考點(diǎn)07向量的數(shù)量積與夾角問題

【典例14]（2022春?吉林長(zhǎng)春?高一?？计谥校┮阎猘=（x,l）,6=（2,2x+3）,若。）的夾角為鈍角，則x的

取值范圍為（）

00

A.（一!，+）B.（-8,-2）口1-2,—）

C.1時(shí)力D.1-2,-

【答案】B

a-b?

【分析】根據(jù)cos<a，b7>=而<°和a,b不共線可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.

【詳解】夾角為鈍角，入饃?/2同田功且生匕不共線，

3

即=4%+3<0且％（2x+3）。2,解得：且2,

二X的取值范圍為（一雙一2）口12,-

故選：B.

【典例15】（2022春.吉林長(zhǎng)春.高一校考期中）己知平面向量。=（3,4）,人=（x,12）,c=（7,l）,且°//人

⑴求》；

(2)求向量與向量C的夾角的大小.

【答案】⑴1=(992)

⑵1

【分析】(1)根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示直接構(gòu)造方程求解即可;

(2)根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算直接求解即可.

【詳解】(1)allb.,.3xl2-4x=0,解得：x-9,：.b=(9,12).

(2a-b).c-25_V2

(2)由(1)知:2a—6=(—3,T),cos<2a-b,c>=

|24Z-Z?|-|C|5x572-2

37c

又<2a-b,c>G[0,7T],.*.<2d-b,c>=—.

【典例16](2023?高一課時(shí)練習(xí))已知A、B、C的坐標(biāo)分別為A(3,0)、3(0,3)、C(cosMsinc)

(1)若|閡=岡，求角a的值;

(2)若AC.3C=—1，求sinacosa的值.

兀

【答案】(l)a=學(xué)5

小」5

(2)smcrcoscr=--

5IT

【分析】(1)先利用題給條件求得tana=l,進(jìn)而求得

4

25

(2)先利用題給條件求得cos°+sin。=一，進(jìn)而求得sinacosa=-----

318

【詳解】(1)r(3,0)、6(0,3)、C(cosa,sina),

貝ijAC=(cosa-3,sina),BC=(cosa,sincr-3),

由,c卜可得小cosa-3)23+sin2a-Jcos：a+(sina-3『,

整理得cosa=sina,則tana=l,

又aegH則。=芋.

(2)由(1)可知AC=(cosa—3,sina),BC=(cosa,sin-3),

則AC-5C=(coscr-3)coscr+sin(sinor-3)=-l,

2,4

整理得cosa+sina=§,兩邊平方可得l+2sinacosa=§,

貝l]sinacosa=--—

18

【總結(jié)提升】

用坐標(biāo)求兩個(gè)向量夾角的四個(gè)步驟：

(1)求ab的值；

(2)求⑷網(wǎng)的值；

(3)根據(jù)向量夾角的余弦公式求出兩向量夾角的余弦;

(4)由向量夾角的范圍及兩向量夾角的余弦值求出夾角.

'工輪真題探秘/

-~'s-rrzr_______________J

1.(2021?全國(guó)?高考真題(文))已知向量a=(2,5)力=(44),若》滴，則彳=

Q

【答案】I

【分析】

利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于2的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)4的值.

【詳解】

由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：2x4-/lx5=0,

Q

解方程可得：A=|.

Q

故答案為：—.

2.(2020?北京?統(tǒng)考高考真題)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P滿足AP=1(AB+AC)，則|尸。|=,

PBPD=-

【答案】75-1

【分析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.AD所在直線分別為龍、丁軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)P的坐標(biāo),

利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得|尸4以及的值.

【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD所在直線分別為X、＞軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

則點(diǎn)4(0,0)、8(2,0)、C(2,2)、D(0,2),

AP=1(AB+AC)=1(2,0)+1(2,2)=(2,1),

則點(diǎn)P(2,l),.?.P￡>=(_2,1),PB=(O,-l),

因此，pl*](旬+仔=0,PB-PD=0x(-2)+lx(-l)=-l.

故答案為：A/5；-1.

r

霖卜鞏固理升;

一、單選題

1.（2022春?重慶沙坪壩?高一重慶八中?？计谥校┮阎蛄糠?（2,-3）,人=（3,2）,若?！ㄈ藙t2等于（）

2

A2B.-2D.

-3c-I3

【答案】C

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，建立方程，可得答案.

【詳解】由4//b，方=（2,-3）,6=（3,幾），貝124+9=0,解得-|.

故選：C.

2.（2022春.重慶北倍.高一西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)e；、是兩個(gè)不共線的向量，則下列四組向量中,

不能作為平面向量的一組基底的是（）

A.G+4和G—4B.q+2弓和%+2,

C.3,—2^2和4^2—66D.4和/+,

【答案】c

【分析】根據(jù)平面向量的基底的概念，判斷各選項(xiàng)中的向量是否共線，即可得答案.

【詳解】對(duì)于A,,4+02和弓-6；沒有倍數(shù)關(guān)系，二者不共線，可作為平面向量的一組基底，正確;

對(duì)于B,q+2e2和e2+2q,沒有倍數(shù)關(guān)系，二者不共線，可作為平面向量的一組基底，正確；

對(duì)于C,4^-6^=-2(3^-2e2),二者是共線向量，不能作為平面向量的一組基底；

對(duì)于D,e；和e2+e；,二者不共線，可作為平面向量的一組基底，正確；

故選：C

3.(2023?高一課時(shí)練習(xí))在ABC中，。為AB的中點(diǎn)，E為CO的中點(diǎn)，設(shè)AB=a,AC=6,用a、6的線

性組合表示AE為()

1?11,

A.—〃B.—aH—bC.a+^bD.-a+-b

242224

【答案】B

【分析】由向量加法的幾何意義即可求

【詳解】由已知得,AE=-(AD+AC]=-?AB+AC=-AB+-AC=-a+-b

2\)2獺4242

4.(2023?高一課時(shí)練習(xí))已知向量a=(42)"=(-3,5)且0與6的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)％的取值范圍是()

AJ>以B.八2C,2<^;D,2^.

3333

【答案】A

【分析】依據(jù)題給條件列出關(guān)于2的不等式組，解之即可求得實(shí)數(shù)2的取值范圍

【詳解】向量。=(42),6=(-3,5)且〃與方的夾角為鈍角

則-l<cos(a㈤<0,則京石<0,且a與6不共線

J-32+2x5<0

貝j5/l_2x(_3)w0，解之得彳＞§

故選：A

二、多選題

5.（2022春.重慶北菁.高一西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的有（）

A.已知&二（一1,2）,b=（2,x）,若4與Z?共線，貝壯=-4

B.若〃//人，bile貝

C.若則°一定不與B共線

3

D.若AB=（3,1）,AC=（m-l,m）,—BAC為銳角，則實(shí)數(shù)加的范圍是相

【答案】AD

【分析】根據(jù)向量共線的性質(zhì)可直接判斷ABC選項(xiàng)，再根據(jù)向量數(shù)量積與夾角的關(guān)系可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】A選項(xiàng)：=（-1,2）,Z;=（2,x）,若〃與人共線，則一式=2x2,x=-4,A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)：當(dāng)/?=0時(shí)，al1b,但。〃c不一定成立，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：同片忖，無法確定兩個(gè)向量的方向，兩個(gè)向量可能共線，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：AB=（3,1）,AC=（771-1,zn）,若—3AC為銳角，則［乎"1）7"’°,解得根D選項(xiàng)正確;

故選：AD.

6.（2022秋.遼寧沈陽?高一沈陽市第一二O中學(xué)?？计谀┮阎c(diǎn)A（l,0）,3（0,2）,C（-l,-2）,貝似A,B,

C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

A.（O,T）B.（2,4）C.（-2,0）D.（2,1）

【答案】ABC

【分析】將平行四邊行轉(zhuǎn)化為向量相等，通過向量的坐標(biāo)表示可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（x,y）,

由于平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)為A氏c,o,

所以可能有以下三種情形：

（——0

當(dāng)AB=OC時(shí)，即（—l,2）=（-lr,-2-y）,解得‘一,即。的坐標(biāo)為（0,-4）；

1?=-4

x——2

當(dāng)AB=CO時(shí)，即（—l,2）=（x+l,y+2）,解得，即。的坐標(biāo)為（一2,0）；

fx=2

當(dāng)AC=￡>8,BP（-2,-2）=（-x,2-y）,解得即。的坐標(biāo)為（2,4）；

[y=4

故選：ABC.

三、填空題

7.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知）=（2,3）,6=（T,3）,貝壯在3方向上的數(shù)量投影為

【答案】1##0.2

【分析】利用a在6方向上的數(shù)量投影的定義求解.

【詳解】解：因?yàn)?=（2,3）,b=（-4,3）,

a-b2x（-4）+3x31

所以a在石方向上的數(shù)量投影為百=、；.=不

\b\VH）+35

故答案為：—

8.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知網(wǎng)=|網(wǎng)=1,（弧現(xiàn)=60。，（元網(wǎng)=30。，|岡=2百,用況與麗的

線性組合表示OC=

【答案】2OA+2O2或40A-208

【分析】建系，分別表示。4，OB，0c的坐標(biāo)，^OC=xOA+yOB,然后根據(jù)坐標(biāo)列方程，解方程即可

求解.

【詳解】情況一:

如圖建立平面直角坐標(biāo)系，由題可知，。4=（1,0）,02=子自，℃=卜,道）,

c1

3=x+—y

2x=2

^OC=xOA+yOB,所以＜廠，解得所以0c=2。4+203;

)=2

情況二:

此時(shí)，OC=（3,-V3）,所以’2,解得「二［所以0c=4。4-2g

々Fy=~

故答案為：20A+2OB4OA-2OB.

四、解答題

9.（2022秋?遼寧沈陽?高一沈陽二十中?？计谀┮阎蛄?。=（2,-1）/=（l,2）,c=（3,T）,求:

（1）若同=1,且《?〃。，求e的坐標(biāo)；

（2）^c=ma+nb，求加+"；

⑶若（雨+6）〃c,求左的值.

（2A/5君）T（2y/5后］

【r答案】（l）e=-或0=——,--—

I，

⑵1

（3）左=一2

【分析】（1）設(shè)e=（%,%）,根據(jù)同=1和e〃。列方程組求解即可；

（2）將向量坐標(biāo)代入°=.+泌，再根據(jù)向量相等列方程組求解即可;

（3）求出如+匕，再根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）設(shè)e=（x。,%）,

由同=1,且?！╝,a=（2,-1）得

2出2A/5

+155

,解得或<

一天=2%旦

%=%=

、55

_2A/5A/5L_4￡\

或6=

5555

77

⑵。=（2,-1）,>=（1,2）,c=（3,-4）,c=ma+nb

.-.（3,^4）=m（2,-l）+n（l,2）

f2m+〃=3[m=2