第4章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)——多媒體教學(xué)課件長(zhǎng)沙理工大學(xué)電氣學(xué)院電子信息工程系X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)第4章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析q4.1

拉普拉斯變換q4.2

單邊拉氏變換的性質(zhì)q4.3

單邊拉氏逆變換q4.4

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析q4.5

系統(tǒng)微分方程的復(fù)頻域解q4.6

RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域分析q4.7

連續(xù)系統(tǒng)的表示和模擬q4.8

系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)第4章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析第4章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析頻域分析以虛指數(shù)信號(hào)ejw

t為基本信號(hào)，任意信號(hào)可分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和，使響應(yīng)的求解得到簡(jiǎn)化。物理意義清楚。但也有不足：（1）有些重要信號(hào)不存在傅里葉變換，如e2te

(t);（2）對(duì)于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。在這一章將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻域來解決這些問題。本章引入復(fù)頻率

s=s

+

jw，以復(fù)指數(shù)函數(shù)est為基本信號(hào)，任意信號(hào)可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是復(fù)頻率

s

，故稱為s

域分析。所采用的數(shù)學(xué)工具為拉普拉斯變換。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.1

拉普拉斯變換4.1.1

從傅氏變換到拉氏變換傅里葉反變換傅里葉變換f

(t)e-s

t

F

F

(s)ù=-1é+￥?b?[

]

òFf

(t)=f

(t)e-

jw

tdt-￥1+￥ò==F

(s)e

dwjwtpb為滿足傅里葉變換存在的充分條件，用衰減因子e-

與

相乘212p-￥+￥òF

(

j

)e

ds

+

w

jwtws

t

f(t)b-￥(

)

()F

s

F=

s

+

w

=

Fj[

f

(t)e-s]t兩端同乘以es

tbb+￥ò===[

f

(t)e-st]×e

j

t

dt-

w12p1p2

j-￥+￥+￥òs

+

wF

(

j

)e(s

+

jw)tdf

(t)==wòf

(t)e-(s

+

jw

)tdtb-￥-￥+￥s

+

j￥òF

(s)estdsòf

(t)e-

stdtbs

-

j￥-￥雙邊拉普拉斯逆變換雙邊拉普拉斯變換X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

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拉普拉斯變換4.1.2

雙邊拉氏變換的收斂域￥òFb

(s)=f

(t)e-st

dt雙邊拉普拉斯變換對(duì)-￥1p2

js

+

j￥ò=F

(s)e

d

sstf

(t)bs

-j￥Fb(s)稱為

f(t)的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)），f(t)稱為Fb(s)

的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。jω收斂域：使Fb(s)存在的s的區(qū)域稱為收斂域。s的虛部jw確定振蕩頻率，收斂與否完全由s的實(shí)部s決定，即收斂域的邊界是平行于s平面虛軸jw的直線。σσ0O下面舉例說明Fb(s)收斂域的問題。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.1

拉普拉斯變換例1

求因果信號(hào)

f

(t)=e-

(t)

(

>0)和反因果信號(hào)

f

(t)=-e

(-t)a

te

a-b

te2(b

>0)的雙邊拉普拉斯變換。-

+a3e-(s+b

)t+

b

-￥(s

)e

(s

)t0ò￥=

-

-b-=tst0òF3b

(s)e

e

d

t=e

e

d

t-at

-st

=￥0解：F2b

(s)-￥(s

)-

+a011=[1

lim

e

(--

s

+b)te

j

t

]-

w=[1

lim

e--(s

+a

)t

-

jw

te

](s

+

b

)t?

-￥(s

+a)ì

1s

+a=

不定

，t?

￥ì

1,

Re[s]

=

s

<

-b,

Re[s]

=

s

>

-a??(s

+

b

)???=

不定

，s

=

-bs

>

-bs

=

-as

<

-aíí??無界

，無界

，?????jwjω對(duì)于因果信號(hào)，僅當(dāng)Re[s]=s

>-a時(shí)，其雙邊拉氏變換存在；對(duì)于反因果信號(hào)，僅當(dāng)Re[s]=s

<-b時(shí)，其雙邊拉氏變換存在，收斂域如圖所示。-b

O

σ-aOσX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.1

拉普拉斯變換由上例可知，不同信號(hào)的雙邊拉氏變換可能相同(這時(shí)它們的收斂域一定不同)，即信號(hào)和它的雙邊拉氏變換不是一一對(duì)應(yīng)的，而是和它的雙邊拉氏變換連同收斂域才是一一對(duì)應(yīng)的。因此雙邊拉氏變換必須要標(biāo)出收斂域。例4.4

求如下非時(shí)限雙邊信號(hào)的雙邊拉普拉斯變換。=a

t

e

-

b

t

e

-f

(t)

e

(t)

e

(

t)0,

0,a

>

b

>

b

>

a4解：其雙邊拉普拉斯變換為￥11-

bò=f

(t)e

dt-

st=+a

<Re[s]<

bF4b

(s)4-a(s

)

(s

)0f4

(t)jw僅當(dāng)b

>a

時(shí)，其收斂域?yàn)?/p>

a

<Re[s]<b的一個(gè)帶狀區(qū)域，如圖所示。eate(

)tab1σOtO-ebt(

t)e

--1X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.1

拉普拉斯變換現(xiàn)實(shí)中的信號(hào)通常為有起始點(diǎn)的信號(hào)，不妨設(shè)起始點(diǎn)為

t

=0。這樣，t<0時(shí)，f(t)=0。從而雙邊拉氏變換式寫為￥考慮到

t=0時(shí)刻可能存在奇異信號(hào)，下限定義為0-òF(s)=f

(t)e-stdt0-上式稱為單邊拉普拉斯變換，簡(jiǎn)稱拉氏變換。其收斂域一定是Re[s]>a

，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。任意信號(hào)f(t)(包括4.1.3

單邊拉氏變換非因果信號(hào))的單邊拉氏變換就是f(t)e(t)的拉氏變換def￥ò象函數(shù)：F(s)=-st=f

(t)e

dt

L

[

f

(t)]0-ì

0

,t

<

0?def-=

L1[F(s)]f

(t)=

í

1原函數(shù)：s

+j￥òst>F(s)e

d

s,

t

0?2p

j?s

-j￥簡(jiǎn)記為：

f(t)

?

F(s)X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.1

拉普拉斯變換關(guān)于拉普拉斯變換：（1）傅里葉變換F(

jw)的自變量w具有明確的物理含義(角頻率)，故F(

jw)描述了信號(hào)的頻域分布（頻譜）。但象函數(shù)F(s)的自變量s的物理含義不明顯，拉普拉斯變換通常沒有“譜”的概念。（2）拉普拉斯變換是信號(hào)由時(shí)域到復(fù)頻域的變換（映射），雖然它與傅里葉變換具有某種聯(lián)系，但該變換不是一個(gè)正交變換，其變換基底不是正交的（完備但有冗余）。（3）拉普拉斯變換通常作為系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具，而較少作為信號(hào)分析工具使用。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

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拉普拉斯變換4.1.4

常用信號(hào)的單邊拉氏變換d

(t)

?

1,

Re[s]>

-￥(1)單位沖激信號(hào)d(n)?n>

-￥推論：

(t)

s

,

Re[s]1e(t)

?

,

Re[s]>

0(2)階躍信號(hào)s1-ate

?e

(t),

Re[s](

>0)>

-a

a(3)復(fù)指數(shù)信號(hào)s

+a1e

(t)ate

?,

Re[s]

(

>0)>

a

as

-a-at

-

st

=

-e

e

dt￥-(s+a

)te1￥ò-ate

=證明：L

[e

(t)]=Re[s]>

-as

+as

+a001sw

=jw

t+-

jw

t?cos

t

(e

e

)(4)正弦信號(hào)000s2+

w2021ww

=sin

t

(e

e

)jw

t--

jw

t?0000s2+

w022

jX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)第4章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.2

單邊拉氏變換的性質(zhì)單邊拉氏變換的性質(zhì)與傅里葉變換性質(zhì)有許多相似之處，大部分可相互轉(zhuǎn)換，注意類比學(xué)習(xí)。1.

線性性質(zhì)若

f

(t)

?

F

(s)

Re[s]>s

,

f

(t)

?

F

(s)

Re[s]>s111222則

a

f

(t)+a

f

(t)

?

a

F

(s)+a

F

(s)

Re[s]>max(s

,s

)1

12

21

12

21

2例如：d

(t)+e

(t)

?

1+

1/s，

Re[s]>02.

尺度變換若

f(t)

?

F(s),Re[s]>s0，且有實(shí)數(shù)a>0

，1

sf

(at)

?

F(

),

Re[s]

>

as則0a

at

=at11

s￥￥[

]

òò-

s

t證明：Lf

(at)=f

(at)e

dt-st=f

(

)e

dt(

)

t

=F(

)a0-a0-a

aX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.2

單邊拉氏變換的性質(zhì)e-s=-

-(1

e

se

)-s-s例1：如圖信號(hào)

f(t)的拉氏變換F(s)s2求圖中信號(hào)

y(t)的拉氏變換Y(s)。y(t)=4f(0.5t)解：Y(s)=4×2F(2s)-2s8e=(1

e

2se

)--2s--2s(

)22s2

e-2s=(1

e

2se

)--2s--2ss23.時(shí)移性質(zhì)若因果信號(hào)

f(t)

?

F(s),Re[s]>s

，且有實(shí)數(shù)

t

>0,00則

f(t-t

)e(t-t

)

?

e-st

F(s),Re[s]>s0000收斂域不變時(shí)移結(jié)合尺度變換?

?sb1-

s[](

)a>

0,b

>

0

,

Re(s)

>

asL

f

(at

-

b)e(at

-

b)

=

Fe

a?

÷0a

è

a

?X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.2

單邊拉氏變換的性質(zhì)f1(t)例2：求如圖所示信號(hào)的單邊拉氏變換。=

e

-

e

-

=

e

+

-

e

-1解：f

(t)

(t)

(t

1),

f

(t)

(t

1)

(t

1)121F1(s)=

L[

f

(t)]

(1

e

)=

-

-s√×O1t于是1s1

1f2

(t)F2

(s)=

L[

f

(t)]

e=

-se-s12s

s正解：

F

(s)

=

L

[

f

(t)e(t)]

=

F

(s)221￥?f

(t)＝

d

-(t

nT)-1O1

t例3：已知T為周期，求F(s)。n=0￥￥??[

(t

nT)]=

L

d

-=e-nTs解：

F(s)n=0n=01=

+

-Ts

+L+1

e+L

=>,

Re[s]

0e-nTs-Ts1

e-￥1?d

(t

-

nT)

?,

Re[s]>

0常用單邊拉氏變換對(duì)1

e-Ts-n=0e2例4：求

f(t)=e-2(t-1)

e(t)

?

F

(s)=?,

Re[s]

>

-2s

+

2X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.2

單邊拉氏變換的性質(zhì)4.復(fù)頻移性質(zhì)若

f(t)

?

F(s),

Re[s]>s

，且有復(fù)常數(shù)

s

=s

+jw

,1000則

es

t

f(t)

?

F(s-s

),

Re[s]>s

+s0001s例5：已知因果信號(hào)

f(t)的象函數(shù)

F

(s)=，2+s

1求e-t

f(3t-2)e(3t-2)的象函數(shù)。21

s-

s-

e

-

?解：由

f

(3t

2)

(3t

2)F(

)e3

33得+21

s

1-

(s+1)e-f

(3t

2)e(3t

-

2)

?-F(

)et33

3s

1+2-

(s+1)L

[e

f

(3t

2)

(3t

2)]-

e

-

=-te3+2+(s

1)

9例6：f(t)=cos(2t–p/4)

?

F(s)=?解：cos(2t–p/4)

=cos(2t)cos(p/4)

+sin(2t)sin(p/4)s

2

2

2

2

s

+

2F(s)

=+=2+2+2+s

4

2

s

4

2

2

s

4X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.2

單邊拉氏變換的性質(zhì)5.卷積性質(zhì)若

f

(t)

?

F

(s)

Re[s]>s

,

f

(t)

?

F

(s)

Re[s]>s

,

則有111222時(shí)域卷積定理是系統(tǒng)復(fù)頻域分析的主要基礎(chǔ)(1)時(shí)域卷積定理f

(t)*

f

(t)

?

F

(s)F

(s)

，Re[s]

>

m

ax(s

,s

)121212(2)復(fù)頻域卷積定理1p2

j12

jpc+

j￥òf

(t)

f

(t)

?F

(s)*

F

(s)

=F

(h)*

F

(s

-h)dh121212c-

j￥Re(s)

>

s

+s

,

s

<

c

<

Re(s)

-s12126.

時(shí)域微分性質(zhì)若

f(t)

?

F(s),

Re[s]>s0

,

則有f(1)(t)?

sF(s)–f(0-)

,

Re[s]>s0若

f(t)為因果信號(hào)，則

f(n)(t)?

snF(s)f(2)(t)?

s2F(s)–sf(0-)–f(1)(0-)

,

Re[s]>s0n-1?f

(t)

s

F(s)

s

f

(0

)

,

Re(s)>

s(n)?n-n-1-i(i)-0i=0X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.2

單邊拉氏變換的性質(zhì)7.

時(shí)域積分性質(zhì)若

f(t)

?

F(s),

Re[s]>s

,

則有01sntò(-n)=nt

t

?f

(t)

(

)

f

(

)dF(s)f(t)為因果信號(hào)0-11tòf(t)為非因果信號(hào)

(-1)=t

t

?f

(

)d+(-1)-f

(t)F(s)

f

(0

)ss-￥s

n?例7:

d

(n)(t)?ds2ds2e

??[cos

2t]

?-1例8:

[cos

2t

(t)]

?d

ts2+

4

dts2+

42s32e

?t

(t)

?11tòe(t

)dt

=

te(t)

?e(t)

?解：已知故0-s2s2t1ttòò2e

t

t

=

te

t

t

=

e

?(

)

(

)d(

)d(t)--2s300X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.2

單邊拉氏變換的性質(zhì)8.

復(fù)頻域(s

域)微分和積分性質(zhì)若

f(t)

?

F(s),

Re[s]>s0

,

則有d

F(s)dn

F(s)微分

-?-?,

Re[s]>

s(

t)

f

(t),

(

t)

f

(t)n0d

sd

snf

(t)￥ò積分?h

h>sF(

)d

,

Re[s]

max(0,

)0ts2sint1-2te

?e(t)

?

?2arctan例9:

t

e

(t)

?(s

+

2)3st1+s

21-2te

?解：已知

e

(t)e

?,

sint

(t)2+s

12d

12+2

-2te

?t

e

(t)(

)=則2+3d

s

s

2

(s

2)sin

t1+p1￥òe(t)

?dh

=

arctanh￥s=

-

arctan

s

=

arctanh212stsX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.2

單邊拉氏變換的性質(zhì)10.初值定理和終值定理初值定理和終值定理常用于由F(s)直接求

f(0+)和

f(∞)，而不必求出原函數(shù)

f(t)。初值定理設(shè)

f(t)不含d

(t)及其各階導(dǎo)數(shù)（即F(s)為真分式，若F(s)為假分式化為真分式），且

f(t)

?

F(s),

Re[s]>s0

,

則+==f

(0

)

lim

f

(t)

lim

sF(s)+s?

￥?t

0終值定理若

f(t)當(dāng)t→∞時(shí)的極限存在，并且

f(t)

?

F(s),Re[s]>s0(s0<0)，則f

(￥

)

=

lim

f

(t)

=

lim

sF(s)t?

￥s?

0X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.2

單邊拉氏變換的性質(zhì)s2例10：已知

f

(t)

?

F(s)=，求

f(0+)和

f(∞)。2+

+s

2s

22s

+

2s

2s

2解：將F(s)化為真分式

F(s)

=

1-=

1+

F1(s)2+

+(

)

(

)f

t

中有d

t

項(xiàng)-2s

2s2-+===

-2f

(0

)

lim

sF

(s)

lim12+

+s

2s

2s?

￥s?

￥s3s

2s

2f

(￥

)

=

lim

sF(s)

=

lim=

02+

+s?

0s?

0常見信號(hào)的單邊拉氏變換

和

單邊拉氏變換的性質(zhì)，見教材164頁

表4.1、表4.2！X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院第4章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)4.3

單邊拉氏逆變換直接利用定義式求反變換，即求復(fù)變函數(shù)積分，比較困難。三種主要方法：(1)

查表法；(2)圍線積分法(利用留數(shù)定理)；(3)部分分式展開法4.3.2部分分式展開法若象函數(shù)F(s)是s的有理分式，表示為m+....

b

s

bm-1

+

+

+B(s)

b

s

b

sF(s)==mm-110n+n-1

+

+

+A(s)

s

a

s

...

a

s

an-110若m≥n（假分式），可用多項(xiàng)式除法將象函數(shù)F(s)分解為有理多項(xiàng)式N(s)與有理真分式之和。D(s)A(s)F(s)

=

N(s)+4+3+2+

+s

8s

25s

31s

152+

+2s

3s

3如

：F(s)

==

s

+

2

+3+2+

+s

6s

11s

63+2+

+s

6s

11s

6由于L

-1[1]=d

(t)，L

-1[sn]=d

(n)(t)，故N(s)的拉氏逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.3

單邊拉氏逆變換下面主要討論有理真分式的情形。若F(s)是

s的實(shí)系數(shù)有理真分式(m<n)，則可寫為m+....

b

s

bm-1

+

+

+B(s)

b

s

b

sF(s)==mm

1-10A(s)

(s

-

p

)(s

-

p

)...(s

-

p

)...(s

-

p

)12in式中A(s)稱為F(s)的特征多項(xiàng)式，方程

A(s)=0稱為特征方程，它的根稱為特征根，也稱為F(s)的固有頻率（或自然頻率）。n個(gè)特征根

pi

稱為F(s)的極點(diǎn)?？赡転閱螛O點(diǎn)或重極點(diǎn)，也可能為實(shí)極點(diǎn)或復(fù)極點(diǎn)而方程

B(s)=0的根稱為F(s)的零點(diǎn)。用部分分式法求拉普拉斯逆變換的一般步驟：（1）求出F(s)的極點(diǎn)；（2）將F(s)展開為部分分式之和；（3）求每個(gè)部分分式的拉氏逆變換；（4）

f(t)=各部分分式拉氏逆變換之和。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.3

單邊拉氏逆變換1.

F(s)僅有單極點(diǎn)若A(s)=0僅有

n個(gè)單根

pi

(i=1,2,…,n)，則F(s)可展開為B(s)

kA(s)

s

-

p

s

-

pk2kis

-

pikns

-

pnF(s)

==++

....++

...+112其中

k

=

(s

-

p

)F(s)s=

piiin1?p

tif

(t)=

L

-1[F(s)]

k

e

(t)=e?e

(t)

得p

te由iis

-

pii=13+2+

+s

5s

9s

7=例1：已知

F

(s)解：由長(zhǎng)除法得，求原函數(shù)

f(t)。2+

+s

3s

2s

+

2s

3

s

2

s

5s

9

s

72+

+3+2+

+s

+

3F(s)

=

s

+

2

+3+2+s

3

s

2

s(s

+

1)(s

+

2)k

k2+

+2

s

7

s

7=

s

+

2

++2++122s

６

s

４s

+

1

s

+

2s

+

3X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.3

單邊拉氏逆變換s

+

3+

+(s

1)(s

2)k1

=

(s

+

1)×=

2其中s=-1s

+

3(s

1)(s

2)+

+k2

=

(s

+

2)×=

-1s=

-221于是

F(s)

=

s

+

2

+-s

+

1

s

+

2f

(t)

'(t)

2

(t)

(2

e

e

)

(t)所以

=

d

+

d

+-t--2te2.

F(s)有復(fù)極點(diǎn)若A(s)=0有復(fù)根，則必共軛成對(duì)，相應(yīng)分式項(xiàng)系數(shù)亦共軛。B(s)F(s)=(s

+a

-

jb

)(s

+a

+

jb

)A2

(s)則F(s)可展開為根據(jù)其極點(diǎn)情況進(jìn)一步展開k1k2B2

(s)F(s)

=++s

+a

-

jb

s

+a

+

jb

A

(s)2X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.3

單邊拉氏逆變換k1k2F1

(s)

=+令sj

s+a

-

b

+a

+

bj=*1k

(s，且

=

+a

-

bj

)F

(s)式中，k

k211s

j=-a

+

b=jjk

k

e若設(shè)11=

éjj

(-a

+

jb

)t+k

e

e-

jj

(-a

-

jb

)tù

e(t)f

(t)

k

e

e則有??111=-atb

+j

e2

k

e

cos(

t

)

(t)12+s

3F(s)

=例2：已知，求其逆變換。2+

+

+s

3(s

2s

5)(s

2)2

+(s

+

1-

j2)(s

+

1+

j2)(s

+

2)k1

k2

k0s

+

1-

j2

s

+

1+

j2

s

+

2=解：F(s)=++X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.3

單邊拉氏逆變換2+1

j2-

+1

j2-

-s

3+

+其中

=k=,

k

k=*1=1+2(s

1

j2)(s

2)55s=-1+

j22+s

375k

=０=(s

+

1+

j2)(s

+

1-

j2)s=

-21

2

1

2-

+

j

-

-

j75

5

5

5\

F(s)

=++s

+

1-

j2

s

+

1+

j2

5(s

+

2)é

1

2?

5

51

2(-1+

j2)t

+

-

-7

ù-2t5

?=

-

+f

(t)

(j

)e(j

)e5

5(-1-

j2)t+ee

(t)因此êúìüé

1?

52ù

7-2t?

5=-t-cos(2t)

sin(2t)-+e

y

(t)eí

2eêú5?tX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.3

單邊拉氏逆變換3.

F(s)有重極點(diǎn)若A(s)=0在

s=p

處有m重根，其余(n-m)個(gè)根

p

(j=m+1,…,n)1j為單根，則F(s)可按如下形式展開：kB(s)mk1in??==+jF(s)-m(s

p

)-i-(s

p

)j=m+1(s

p

)

A

(s)i=1121j=

-m其中

k

(s

p

)

F

(s)1,m1=1s

pd=-[(s

p

)

F

(s)]mk1,m-11s

p=1ds1

dm-i=é

-(s

p

)

F(s)ùmk1,is=

p1??-m-i1(m

i)!

d

s11si11由故i-1e

?t

(t)i-1

p

te

?t

e

(t)得1(i

1)!---(s

p

)i(i

1)!1mkmk??-1ep1te

?(

)t1iti1i--(s

p

)i(i

1)!i=1i=11X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.3

單邊拉氏逆變換s

-

2F

(s)

=例3：已知，求其逆變換。+3s(s

1)k11k12k13k2F(s)

=+++k2

=

sF(s)s

-

2解：++2+3s

0=(s

1)

(s

1)

(s

1)

ss

-

2==

-2=

+其中

k

(s

1)3F(s)==3(s

1)3+13s=-1ss=0s=-1ds

-

(s

-

2)×1k

=

[(s

+

1)3F(s)]

==

212s2dss=-1s=-11

d21

-42

s3=[(s

1)

F(s)]+3==2k112

ds2s=-1s=-12+2+3+１2因此

F(s)

=++－23(s

1)

(s

1)

(s

)

s3\f

(t)

(2

e

2t

e=-t+-t+-t

-

et

e

2)

(t)22X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.3

單邊拉氏逆變換4.

F(s)有復(fù)重極點(diǎn)2s+F

(s)

=，求F(s)的原函數(shù)。例4：已知22(s

1)2sk11k12k21k22-F(s)

=解：=++++2-2++2-2(s

j)

(s

j)

(s

j)

(s

j)

(s

j)

(s

j)2s1212=

+其中

k

(s

j)

F(s)2==j,

k

k=*12=

-j12-(s

j)222s=-js=-

jdk

=

[(s

+

j)2F(s)]

=

0,

k21

=

k*11=

011dss=-

j-111因此

F(s)

=

j

[]+2-22

(s

j)

(s

j)由復(fù)頻移和s域微分性質(zhì)得1=

L-1[F(s)]=j[t

e-

jt

e(t)-

t

ejt

e(t)]f

(t)21=jt[e-

jt-

jt

]e(t)

=

t

sin

te

(t)e2X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.3

單邊拉氏逆變換計(jì)算拉氏逆變換時(shí)需要注意的問題：u

采用部分分式展開法時(shí)，象函數(shù)F(s)必須為s的有理分式e-2ss

3s

2+

+例如：F(s)

=?

?分解為有理分式和指數(shù)信號(hào)的乘積2e-2s1-1解：=F1(s)e-2s=+2+

+s

3s

2F1(s)++s

1

s

2=

L

-1éù

=

-

t

-

eF

(s)

(e

e

)

(t)-2t于是f1

(t)??1(

)

(

)-

=

-(t-2)

-

e-2(t-2)

]e(t

-

2)f

t

f

t

2

[e所以=1u

F(s)無法展開為部分分式時(shí)，合理利用拉氏變換的性質(zhì)1例4.15

已知

F(s)

=，求F(s)的單邊拉氏逆變換。+-2s1

e解：見教材170頁。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)第4章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.4

連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析yf

(t)

=

f

(t)*h(t)Yf

(s)

=

F(s)H(s)由系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的時(shí)域求解公式兩邊取拉氏變換，由時(shí)域卷積性質(zhì)得=

L通常稱

H(s)

[h(t)]

為系統(tǒng)函數(shù)。利用上式能求連續(xù)系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)

yf(t)。在第2章曾利用時(shí)域法求解連續(xù)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)

yx(t)，但比較復(fù)雜；第3章曾介紹頻域分析法只能求解連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，不能求解系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)；復(fù)頻域法是求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)的最有效的分析方法。由于系統(tǒng)的模型可分別用輸入輸出方程（微分方程）、系統(tǒng)框圖和信號(hào)流圖等方法來描述，因此，下面從系統(tǒng)模型的幾種描述方法來分別討論連續(xù)系統(tǒng)全響應(yīng)的求解過程。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)第4章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.5

系統(tǒng)微分方程的復(fù)頻域解描述n階LTI系統(tǒng)的微分方程的一般形式為nm??(i)=(

j)a

y

(t)b

f

(t)iji=0j=0設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為

y(0-),y(1)(0-),…,y(n-1)

(0-)。思路：對(duì)微分方程兩邊取單邊拉普拉斯變換。?i-1(i)?i-i-1-

p

(

p)-由拉氏變換的微分性質(zhì)，得

y

(t)

s

Y(s)

s

y

(0

)p=0若

f(t)在t=0時(shí)接入系統(tǒng)，則

f(j

)(t)

?

sj

F(s)s域的代數(shù)方程éù

éùni-1m???ii-1-

p

(

p)-=j于是得

a

s

Y(s)－

s

y

(0

)b

s

F(s)êú

ê?

?úij??i=0p=0j=0éù

éùéùi-1nnm??

??ii-1-

p

(

p)-=j即a

s

Y(s)－

a

s

y

(0

)b

s

F(s)êú

êúêúiij????

??i=0i=0p=0j=0X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)

4.5

系統(tǒng)微分方程的復(fù)頻域解éùnni-1m??

??i=i-1-

p

(

p)-=j=b

s

B(s)設(shè)

a

s

A(s);as

y

(0

)

M(s);êúiij??i=0i=0p=0j=0則

A(s)Y(s)-

M(s)

=

B(s)F(s)M(s)

B(s)即

Y(s)

=+F(s)=Y

(s)+Y

(s)A(s)

A(s)xf其中，A(s):微分方程的特征多項(xiàng)式，僅與系數(shù)ai有關(guān)；(

p)-M(s):僅與系數(shù)a

和初始狀態(tài)y

(0

)有關(guān),與激勵(lì)無關(guān)；iB(s)F(s):僅與系數(shù)bi和激勵(lì)有關(guān)，與初始狀態(tài)無關(guān)。M(s)記=Y

(s)，對(duì)應(yīng)于零輸入響應(yīng)

y

(t)的象函數(shù)；xxA(s)B(s)F(s)

=Y

(s)，對(duì)應(yīng)于零狀態(tài)響應(yīng)

y

(t)的象函數(shù)。ffA(s)[

]Y(s)=

L

-1

é+

+Y

(s)

Y

(s)

y

(t)

y

(t)ù于是全響應(yīng)y(t)=

L

-1=??xfxfX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.5

系統(tǒng)微分方程的復(fù)頻域解B(s)因?yàn)?/p>

Yf

(s)

=F(s)

=

H(s)F(s)它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵(lì)、初始狀態(tài)無關(guān)。A(s)Yf

(s)B(s)def==故系統(tǒng)函數(shù)為

H(s)F(s)

A(s)例1

已知當(dāng)輸入

f(t)=e-te

(t)時(shí)，某LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)=

(3e-t

-4e-2t

+

e-3t)e

(t)求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。2s

+

8(s

1)(s

2)(s

3)+

+

+1s

+

1解：==Yf

(s)=

L[

yf

(t)]=F(s)

L

[

f

(t)]Yf

(s)+-++2(s

4)4+22s

82

+

+H(s)===+=F(s)

(s

2)(s

3)

s

2

s

3

s

5s

6++單位沖激響應(yīng)為

h(t)=

(4e-2t

-2e-3t)

e

(t)于是

s2Y

(s)

+5sY

(s)

+

6Y

(s)

=2sF(s)+

8F(s)fff取逆變換

y

"(t)+5y

'(t)+6y

(t)

=2f

'(t)+

8f

(t)fff微分方程為

y"(t)+5y'(t)+6y(t)

=2f

'(t)+

8f

(t)X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)

4.5

系統(tǒng)微分方程的復(fù)頻域解說明：系統(tǒng)完全響應(yīng)可表示為y(t)

=

y

(t)

+

y

(t)xf=自由響應(yīng)

+

強(qiáng)迫響應(yīng)

=

暫態(tài)響應(yīng)

+

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)u自由響應(yīng)

(固有響應(yīng))

僅取決于系統(tǒng)本身的特性，與輸入信號(hào)的函數(shù)形式無關(guān)。準(zhǔn)確地說，自由響應(yīng)的具體形式完全取決于H(s)的極點(diǎn)性質(zhì)，與F(s)的極點(diǎn)無關(guān)。因此，自由響應(yīng)中除了包含零輸入響應(yīng)

y

(t)外，還包含了零狀態(tài)響應(yīng)

y

(t)

中的一部分。xfu強(qiáng)迫響應(yīng)

是指完全由輸入信號(hào)的性質(zhì)決定的響應(yīng)，確切地說是由F(s)的極點(diǎn)性質(zhì)決定的響應(yīng)。u暫態(tài)響應(yīng)

是指在完全響應(yīng)y(t)中暫時(shí)存在的響應(yīng)分量。u穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

是指在完全響應(yīng)y(t)中始終存在的響應(yīng)分量。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.5

系統(tǒng)微分方程的復(fù)頻域解例2

描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f(t)已知初始狀態(tài)

y(0-)

=1，y'(0-)=-1，激勵(lì)

f

(t)=5coste(t)，求系統(tǒng)函數(shù)H(s)和系統(tǒng)全響應(yīng)

y(t)。解：(1)求微分方程的單邊拉氏變換￠2----+--+=

+[s

Y(s)

sy(0

)

y

(0

)]

5

[sY(s)

y(0

)]

6Y(s)

(2s

6)F(s)整理后，得-+

￠sy(0

)

y

(0

)

5y(0

)

2s

6-+-+Y(s)

=+F(s)

=

Y

(s)+Y

(s)2+

+s

5s

62+

+s

5s

6xf(2)求激勵(lì)的單邊拉氏變換[5s]F(s)

=

L

5coste(t)

=2+s

1帶入初始值(3)求全響應(yīng)的象函數(shù)s

+

42

5sY(s)

=

Y

(s)+Y

(s)

=+xf(s

2)(s

3)

s

2

s

1+

++2+X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.5

系統(tǒng)微分方程的復(fù)頻域解2s

+

62s

+

6系統(tǒng)函數(shù)為

H(s)

==2+

+++s

5s

6

(s

2)(s

3)部分分式展開得Yx

(s)Yf

(s)2-1

-4

2-

j

2

+

jY(s)

=++++s

+

2

s

+

3

s

+

2

s

-

j

s

+

j自由響應(yīng)的象函數(shù)強(qiáng)迫響應(yīng)的象函數(shù)(4)求得全響應(yīng)=

L

-1=

é-

-2t--3t+-ù

ey(t)[Y(s)]

2e

e

4cost

2

jsint

(t)??零輸入響應(yīng)

yx

(t)零狀態(tài)響應(yīng)

yf

(t)=

éy(t)

2e

e-2t-

ù-3t

e

--2te

+(t)

4e

(t)

4cost

2

jsint

(t)[-]e??自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)[]e暫態(tài)響應(yīng)：

2e

2t

e-3t

e(t)

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：4cost

2

jsint

(t)é

---

ù-??X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)第4章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.6

RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域分析由線性時(shí)不變?cè)珉娮?、電感、電容和線性受控源、獨(dú)立電源等組成的系統(tǒng)是線性時(shí)不變系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱RLC系統(tǒng)。其輸入和輸出關(guān)系用線性常系數(shù)微分方程來描述。4.6.1

KCL、KVL的復(fù)頻域形式基爾霍夫定理推廣??i(t)

?

I(s),=

?KCL

:

i(t)

0I(s)

0=??u(t)

?

U(s)，=

?KVL

:

u(t)

0U(s)

0=線性穩(wěn)態(tài)電路分析的各種方法都適用。4.6.2

系統(tǒng)元件的復(fù)頻域模型(1)電阻元件

R的

s域模型R

i(t)u(t)R

I(s)U(s)(

)

(

)u

t

=

Ri

t++U(s)U(s)

=

RI(s)或

I(s)=s域模型時(shí)域模型RX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.6

RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域分析(2)電感元件

L

的

s域模型i

(t)L(

)di

t(

)u

t

=

L+u(t)dt時(shí)域模型取單邊拉氏變換：(

)=--Li

0-U(s)

sLI(s)

Li

(0

)I

(s)sLLL+利用電源轉(zhuǎn)換可以得到電流源形式的

s

域模型：+U

(s)U(s)

1s域串聯(lián)模型=+i

(0

)-I(s)LsL

ssLI

(s)-=i

(0

)

0，若電感L上電流的初始狀態(tài)L1(

)-i

0則U(s)

=

sL

I(s)U(s)sL+U

(s)I(s)

=sLs域并聯(lián)模型X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

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RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域分析C(3)電容元件

C的

s域模型du(t)i

(t)+(

)i

t

=

Cu

t(

)dt時(shí)域模型取單邊拉氏變換，得電流源形式：1I(s)

sCU(s)

Cu

(0

)=--I

(s)sCC電壓源形式：1CuC

(0

)-1-=+I(s)

u

(0

)-+U(s)U

(s)CsCss域并聯(lián)模型-=若電容電壓的初始值

u

(0

)

0

，C1(

)C1-則u

0I(s)

=

sCU(s)ssCI

(s)1+U(s)

=

I(s)U

s(

)sCs域串聯(lián)模型X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

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RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域分析X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

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RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域分析+uR

(t)例1：如圖所示的RLC電路系統(tǒng)，ì

-E

t

<

0i

(t)RC+已知

e(t)

=

íe(t)E

t

>

0C

uC

(t)?(

)求t

3

0時(shí)的

u

t

。C（1）確定初始狀態(tài)IC

(s)+(

)-u

0

=

-

ERC1UC

(s)sCEs（2）畫s

域等效框圖-u

(0

)C（3）列寫s域方程sE=

RI

(s)+U

(s)CCs電路

s

域模型=

RC

ésU

(s)

u

(0

)

U

(s)--ù+??CCCX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.6

RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域分析?1?E??-E-s+

RCu

(0

)?÷?÷Cè

RC

?12s于是

UC

(s)

===

E

?

-÷?1?11+

RCss?÷s

+s

s+?÷è?RCè

RC

?（4）求反變換??t-(

)u

t所以

u

(t)

=

E

-

2E

e

,

(t

3

0)?RC÷CCè?EO總結(jié)：由電路圖求響應(yīng)的步驟t①

畫0-等效電路，求初始狀態(tài)；②

畫

s域等效模型；③

列

s域方程（代數(shù)方程）；-

E電容電壓響應(yīng)④

解

s域方程，求出響應(yīng)的拉普拉斯變換

U(s)或

I(s)；⑤

拉普拉斯逆變換求

u(t)

或

i(t)。例4.17

教材134頁X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.6

RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域分析例2：圖示電路，t<0時(shí)開關(guān)K閉合，電路穩(wěn)定；t=0時(shí)K打開。求t>0時(shí)電路響應(yīng)i

(t)和

i

(t)。12解：

t<0，開關(guān)K閉合，電路穩(wěn)定-=-=i

(0

)

5A，i

(0

)

012I1(s)I2(s)t3

0，開關(guān)K打開，由s

域電路模型，有10

/

s+

1.5I

(s)

=

I

(s)

=12+++2

0.3s

0.1s

31.510

/

s=+0.4s+

5

0.4s+

520.8

1.5223.75=

-+=

-+s

0.4s

+

5

0.4s+

5

s

s+

12.5

s+

12.5==

-i

(t

)

i

(t

)

(2

2e-12.5

t+3.75e-12.5

t，

>)A

t

0所

以12X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)第4章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.7

連續(xù)系統(tǒng)的表示和模擬線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系的描述方法有3種，即微分方程描述、方框圖描述和信號(hào)流圖描述，三者之間可以相互轉(zhuǎn)換。微分方程的描述便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)分析和計(jì)算；方框圖、信號(hào)流圖的表示方式避開了系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，而集中著眼于系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，使對(duì)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的考慮更加直觀明了。另一方面，如果已知系統(tǒng)的微分方程或系統(tǒng)函數(shù)，要求用一些基本單元來構(gòu)成系統(tǒng)，稱為系統(tǒng)的模擬。系統(tǒng)的表示是系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)，而系統(tǒng)的模擬是系統(tǒng)綜合的基礎(chǔ)。4.7.1

連續(xù)系統(tǒng)的方框圖表示方框圖表示如右所示?？蓪讉€(gè)系統(tǒng)的y(t)f

(t)h(t)組合連接構(gòu)成一個(gè)復(fù)合系統(tǒng)，其中的每個(gè)系統(tǒng)又稱為子系統(tǒng)。系統(tǒng)的組合連接方式有串聯(lián)、并聯(lián)及這兩種方式的混合連接。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.7

連續(xù)系統(tǒng)的表示和模擬1.

連續(xù)系統(tǒng)的串聯(lián)d

(t)h(t)h(t)

=

h

(t)*h

(t)*L*h

(t)(a)時(shí)域:12n(b)S域:

H(s)

=

H

(s)×

H

(s)×L×

H

(s)12nX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.7

連續(xù)系統(tǒng)的表示和模擬2.

連續(xù)系統(tǒng)的并聯(lián)h(t)d

(t)h(t)

=

h

(t)

+

h

(t)

+L+

h

(t)(a)時(shí)域:(b)S域:12nH(s)

=

H

(s)

+

H

(s)

+L+

H

(s)12nX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)4.7

連續(xù)系統(tǒng)的表示和模擬例

4.18

某線性連續(xù)系統(tǒng)如圖所示。其中h

(t)=d(t),h

(t)=d(t-1),12h3(t)=d(t-3)。

(1)試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t);

(2)若

f(t)=e(t)，

試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。解：(1)

h(t)

=

h

(t)*h

(t)-

h

(t)

=

d

(t

-1)-d

(t

-

3)123=

LH(s)

[h(t)]

e

e=-s--3s111==-

s--3s=-s-e-3s(2)因?yàn)?/p>

Y

(s)

F(s)H(s)

(e

e

)

efsssyf

(t)=

L

-1=

e

-

-e

-[Y