二次函數(shù)與一元二次方程不等式6種常見考法歸類（原卷版）

2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式6種常見考法歸類1、一元二次不等式的概念定義只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)2、二次函數(shù)的零點一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點．3、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??注：一元二次不等式與一元二次函數(shù)關(guān)系：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是一元二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象在x軸上方的點的橫坐標x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象在x軸下方的點的橫坐標x的集合．4、簡單的分式不等式的解法(1)eq\f(ax＋b,cx＋d)＞0(＜0)?(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0).(2)eq\f(ax＋b,cx＋d)≥0(≤0)?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1((ax＋b)(cx＋d)≥0(≤0)，,cx＋d≠0.))總之，簡單的分式不等式可以轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解．圖示如下：思考eq\f(x－3,x＋2)>0與(x－3)(x＋2)>0等價嗎？eq\f(x－3,x＋2)≥0與(x－3)(x＋2)≥0等價嗎？答案eq\f(x－3,x＋2)>0與(x－3)(x＋2)>0等價；eq\f(x－3,x＋2)≥0與(x－3)(x＋2)≥0不等價，前者的解集中沒有－2，后者的解集中有－2.5、一元二次不等式恒成立問題（1）轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為R的情況，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0；))ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))（2）分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題．6、利用不等式解決實際問題的一般步驟（1）選取合適的字母表示題目中的未知數(shù)．（2）由題目中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組)．（3）求解所列出的不等式(組)．（4）結(jié)合題目的實際意義確定答案．7、解一元二次不等式的一般步驟(1)將一元二次不等式化為一端為0的形式(習慣上二次項系數(shù)大于0)．(2)求出相應(yīng)一元二次方程的根，或判斷出方程沒有實根．(3)畫出相應(yīng)二次函數(shù)示意草圖，方程有根的將根標在圖中．(4)觀察圖象中位于x軸上方或下方的部分，對比不等式中不等號的方向，寫出解集．注：(1)若不等式對應(yīng)的一元二次方程能夠因式分解，即能夠轉(zhuǎn)化為幾個代數(shù)式的乘積形式，則可以直接由一元二次方程的根及不等號方向得到不等式的解集．(2)若不等式對應(yīng)的一元二次方程能夠化為完全平方式，不論取何值，完全平方式始終大于或等于零，則不等式的解集易得．(3)若上述兩種方法均不能解決，則應(yīng)采用求一元二次不等式的解集的通法，即判別式法．8、解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟特別提醒：(1)對應(yīng)方程的根優(yōu)先考慮用因式分解確定，分解不開時再求判別式Δ，用求根公式計算．(2)在解含參數(shù)的一元二次型的不等式時，往往要對參數(shù)進行分類討論，為了做到分類“不重不漏”，討論需從如下三個方面進行考慮：①關(guān)于不等式類型的討論：二次項系數(shù)a＞0，a＜0，a＝0.②關(guān)于不等式對應(yīng)的方程根的討論：兩個不相等實數(shù)根(Δ＞0)，兩個相等實數(shù)根(Δ＝0)，無實數(shù)根(Δ＜0).③關(guān)于不等式對應(yīng)的方程根的大小的討論：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.9、三個“二次”之間的關(guān)系(1)三個“二次”中，二次函數(shù)是主體，討論二次函數(shù)主要是為了將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來研究．(2)討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的二次函數(shù)相聯(lián)系，通過二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)來解決問題，關(guān)系如下：10、根據(jù)一元二次不等式解集求參數(shù)已知以a，b，c為參數(shù)的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集時，一般遵循(1)根據(jù)解集來判斷二次項系數(shù)的符號．(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式．(3)約去a，將不等式化為具體的一元二次不等式求解．11、分式不等式的解法(1)對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意等價變形，保證分母不為零．(2)對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．注：解分式不等式的思路是轉(zhuǎn)化為整式不等式求解．化分式不等式為標準形式的方法：移項，通分，不等式右邊化為0，左邊化為乘積的形式．將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式同解不等式的變形方法如下表：分式不等式整式同解不等式eq\f(y1,y2)＞0與eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＞0，,y2＞0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＜0，,y2＜0))同解；與y1y2＞0同解eq\f(y1,y2)＜0與eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＞0，,y2＜0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＜0，,y2＞0))同解；與y1y2＜0同解eq\f(y1,y2)≥0與eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1y2≥0，,y2≠0))同解eq\f(y1,y2)≤0與eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1y2≤0，,y2≠0))同解特別地，形如eq\f(y1,y2)＞a(a≠0)的分式不等式，可同解變形為eq\f(y1－ay2,y2)＞0，故可轉(zhuǎn)化為解y2(y1－ay2)＞0.12、一元二次不等式恒成立問題的解法(1)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸的交點問題，考慮兩個方面：x2的系數(shù)和對應(yīng)方程的判別式的符號．(2)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題：分離參數(shù)后，求相應(yīng)二次函數(shù)的最值，使參數(shù)大于(小于)這個最值．注：(1)一般地，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)對于x∈R恒成立的條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝b2－4ac＜0(≤0)；))一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(≤0)對于x∈R恒成立的條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＝b2－4ac＜0(≤0).))(2)在解關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)對一切x恒成立問題時，應(yīng)注意對二次項的系數(shù)進行討論，需研究二次項系數(shù)為0時是否滿足題意．13、解不等式應(yīng)用題的步驟考點一一元二次不等式的解法考點二含參數(shù)的一元二次不等式的解法（一）對二項式系數(shù)的討論（二）對判別式的討論（三）對兩根大小的討論考點三根據(jù)一元二次不等式的解集求參數(shù)考點四簡單的分式不等式的解法考點五一元二次不等式的恒成立問題考點六一元二次不等式的實際應(yīng)用考點一一元二次不等式的解法1．（2023春·遼寧鐵嶺·高二校聯(lián)考期末）已知集合，，則．2．（2023秋·廣東佛山·高一佛山市第二中學校考開學考試）解下列一元二次不等式：(1)；(2)；(3)．3．（2023秋·高一?？颊n時練習）解下列不等式：（1）（2）（3）（4）4．（2023·上海·高一專題練習）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，則y>0的解集為（

）A．{x|2<x<1} B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3}5．（2023秋·上海黃浦·高一上海市光明中學校考期中）關(guān)于的不等式解集是．考點二含參數(shù)的一元二次不等式的解法（一）對二項式系數(shù)的討論6．（2023秋·北京·高一北京市第五十中學?？茧A段練習）解不等式.7．（2023秋·高一校考課時練習）解關(guān)于x的不等式:.8．（2023秋·北京西城·高一北京鐵路二中?？计谥校┰O(shè)，解關(guān)于的不等式：．9．（2023秋·黑龍江鶴崗·高一鶴崗一中?？计谥校┮阎?，求關(guān)于的不等式的解集.（二）對判別式的討論10．（2023·全國·高三專題練習）解下列關(guān)于的不等式．11．（2023·全國·高一假期作業(yè)）解關(guān)于x的不等式.（三）對兩根大小的討論12．（2023·全國·高一假期作業(yè)）若，解不等式．13．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）解關(guān)于x的不等式14．（2023秋·高一校考單元測試）已知函數(shù).(1)當時，解關(guān)于的不等式；(2)若，解關(guān)于的不等式..15．（2023·全國·高三對口高考）解關(guān)于x的不等式：(1)(2)考點三根據(jù)一元二次不等式的解集求參數(shù)16．（2023秋·福建福州·高一福州三中校考階段練習）已知不等式的解集是，則（

）A．10 B．6 C．0 D．217．（2023秋·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）已知不等式的解集是，則的值為（

）A． B．7 C． D．18．（2023秋·廣西柳州·高一柳鐵一中校聯(lián)考階段練習）已知關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A．或 B．C．或 D．19．（2023秋·福建泉州·高一?？茧A段練習）若關(guān)于的不等式的解集是，則（

）A． B． C． D．20．【多選】（2023秋·河南鄭州·高一鄭州市第四十七高級中學?？计谀┮阎P(guān)于的不等式解集為或，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．不等式的解集為C．D．不等式的解集為或21．（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·高一?？计谥校┮阎坏仁降慕饧癁椋瑒t不等式的解集為（

）A．或 B．C． D．或22．【多選】（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中學?？计谥校┮阎P(guān)于的不等式，下列結(jié)論正確的是（

）A．當時，不等式的解集為B．當時，不等式的解集可以為的形式C．不等式的解集恰好為，那么或D．不等式的解集恰好為，那么23．（2023秋·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)若關(guān)于x的不等式的解集為，求a，b的值；(2)當時，解關(guān)于x的不等式．24．（2023·湖南長沙·高二長郡中學?？紝W業(yè)考試）若關(guān)于x的不等式只有一個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．25．【多選】（2023春·浙江溫州·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）關(guān)于x的不等式的解集中恰有3個正整數(shù)解，則a的值可以為（

）A． B． C． D．2考點四簡單的分式不等式的解法26．（2023·上海楊浦·同濟大學第一附屬中學?？既＃┎坏仁降慕饧?7．（2023秋·云南曲靖·高一校考階段練習）不等式的解集是．28．（2023秋·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）不等式的解集為．29．（2023·全國·高三對口高考）已知集合，則．30．（2023秋·陜西西安·高一校考期中）（1）解關(guān)于x的不等式；（2）解關(guān)于x的不等式.考點五一元二次不等式的恒成立問題31．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考階段練習）已知函數(shù)．(1)若不等式的解集為R，求m的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式．32．（2023春·江蘇南京·高二南京市中華中學?？茧A段練習）設(shè)．(1)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式．33．（2023秋·四川遂寧·高一射洪中學校考階段練習）設(shè)．(1)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式．34．（2023秋·高一單元測試）設(shè).(1)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍;(2)解關(guān)于的不等式.考點六一元二次不等式的實際應(yīng)用35．（2023秋·廣西桂林·高一校考期中）將進貨單價40元的商品按50元一個售出，能賣出500個；若此商品每漲價1元，其銷售量減少10個.為了賺到最大利潤，售價應(yīng)定為元.36．（2023秋·浙江溫州·高一校聯(lián)考期中）為了宣傳第56屆世乒賽，某體育用品商店購進一批乒乓球拍，每副進價200元，售價260元，每月可以賣出160副．由于疫情原因，商家決定降價促銷，根據(jù)市場調(diào)查，每降價10元，每月可多賣出80副，降價后，商家要使每月的銷售利潤最大，應(yīng)該將售價定為元．37．（2023春·北京密云·高二統(tǒng)考期末）一個車輛制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量（單位：輛）與創(chuàng)造的價值（單位：元）之間的關(guān)系為：.如果這家工廠希望在一個星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收60000元以上，請你給出一個該工廠在這周內(nèi)生成的摩托車數(shù)量的建議，使工廠能夠達成這個