1.4.1空間直線平面的平行（二）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第一章空間向量與立體幾何1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系2、空間直線、平面的平行一、課前回顧二、學(xué)習(xí)目標(biāo)

熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系空間中直線、平面的平行我們知道，直線的方向向量和平面的法向量是確定空間中的直線和平面的關(guān)鍵量．那么是否能用這些向量來刻畫空間直線、平面的平行、垂直關(guān)系呢？首先來看平行的問題．思考由直線與直線、直線與平面或平面與平面的平行關(guān)系，可以得到直線的方向向量、平面的法向量間的什么關(guān)系？三、問題與例題l1l2圖1.4-8l圖1.4-9圖1.4-101、線線平行的向量表示設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.2、線面平行的向量表示設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.3、面面平行的向量表示設(shè)n1

，n2

分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.利用空間向量證明線線平行【例1】

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為DD1和BB1的中點(diǎn).求證:四邊形AEC1F是平行四邊形.分析:轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量平行.又F?AE,F?EC1,∴AE∥FC1,EC1∥AF.∴四邊形AEC1F是平行四邊形.反思感悟

1.兩直線平行?兩直線的方向向量共線;2.兩直線的方向向量共線?兩直線平行或重合,所以由兩直線的方向向量共線證明兩直線平行時,必須指出兩直線不重合.【變式訓(xùn)練1】

在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是面對角線B1D1,A1B上的點(diǎn),且D1E=2EB1,BF=2FA1.求證:EF∥AC1.

證明:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)DA=a,DC=b,DD1=c,abP例2

證明“平面與平面平行的判定定理”：若一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．利用空間向量證明線面、面面平行（課本30頁）abPABCDD1A1B1C1xyzPABCDD1A1B1C1xyzPABCDD1A1B1C1xyzP反思感悟

1.利用空間向量證明線面平行一般有三種方法方法一:證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個不共線的向量共面,即可用平面內(nèi)的一組基底表示.方法二:證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線,轉(zhuǎn)化為線線平行,利用線面平行判定定理得證.方法三:先求直線的方向向量,然后求平面的法向量,再證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.2.利用空間向量證明面面平行,求出兩平面的法向量,若兩法向量是共線向量,則可判定兩平面平行.【變式訓(xùn)練2】

已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點(diǎn),求證:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.分析:(1)設(shè)向量n1為平面ADE的法向量,要讓FC1∥平面ADE,需證明

⊥n1.(2)設(shè)向量n2為平面B1C1F的法向量,要讓平面ADE∥平面B1C1F,需證明n1∥n2.證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),(2)設(shè)n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的法向量,取y2=-1,則z2=2.所以,n2=(0,-1,2)是平面B1C1F的一個法向量.因?yàn)閚1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.四、當(dāng)堂檢測

優(yōu)化25頁隨堂練習(xí)1-5題1.給出下列命題:①若n1,n2分別是平面α,β的法向量,則n1∥n2?α∥β;②若n1,n2分別是平面α,β的法向量,則α∥β?n1·n2=0;③若n是平面α的法向量,且以向量a為方向向量的直線在平面α內(nèi),則a·n=0;④若向量n1,n2均為平面α的法向量,則n1∥n2.其中真命題的個數(shù)是(

)A.1 B.2

C.3

D.4解析:①③④正確;②中由α∥β,得n1∥n2.答案:C2.已知點(diǎn)A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1)在平面ABC內(nèi),若a=(-1,y,z),且a為平面ABC的法向量,則y2等于(

)A.0 B.1 C.2 D.無意義答案:B3.若平面α,β的法向量分別為(2x,1,3),(1,-2y,9),且α∥β,則x=

,y=

.

解析:∵l∥α,∴l(xiāng)的方向向量與α的法向量垂直.答案:-85.如圖,在多面體中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中點(diǎn),求證:AB∥平面DEG.證明:∵EF⊥平面AEB,AE?平面AEB,BE?平面AEB,∴EF⊥AE,EF⊥BE.又AE⊥EB,∴EB,EF,EA兩兩垂直.以E為原點(diǎn),EB,EF,EA所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知,得E(0,0,0),A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),F(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,0),又AB?平面DEG,所以AB∥平面DEG.五、課堂小結(jié)用向量證明空間中線線平行、線面平行、面面平行的方法六、課后作業(yè)

A組課本31頁1、2、3題lm練習(xí)（第31頁）1．用向量方法證明“直線與平面平行的判定定理”：若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行．ABCDEFABCDEF此方程組無解ABCDD1A1B1C1FExyzABCDD1A1B1C1FExyz1、

如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F,G分別是DD1,BD,AA1的中點(diǎn),求證:GD1∥平面EFC.

B組(提示:此題還有其他兩種證明方法:①建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面EFC的法向量n,證明n⊥

;②連接GB與BD1,證明平面GBD1∥平面EFC.)2、

已知直線l的方向向量為u=(2,0,-1),平面α的一個法向量為v=(-2,1,-4),則直線l與平面α