1.2《矩形的性質(zhì)與判定》北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)教案（第2課時(shí)）

第一章特殊的平行四邊形1.2矩形的性質(zhì)與判定第2課時(shí)一、教學(xué)目標(biāo)1．理解矩形的概念，了解它與平行四邊形之間的關(guān)系．2．經(jīng)歷矩形判定定理的探索過程，進(jìn)一步發(fā)展合情推理能力．3．能夠用綜合法證明矩形的判定定理，以及其他相關(guān)結(jié)論，進(jìn)一步發(fā)展演繹推理能力．4．進(jìn)一步體會(huì)探索與證明過程中所蘊(yùn)含的抽象、推理等數(shù)學(xué)思想．二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)：探索矩形的判定方法．難點(diǎn)：合理應(yīng)用矩形的判定定理解決問題．三、教學(xué)用具多媒體課件、直尺或三角板。四、相關(guān)資《四邊形到平行四邊形再到矩形的變化》動(dòng)畫，《矩形的判定》微課.五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)【復(fù)習(xí)引入】1．什么叫做矩形？答：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形．2．矩形與平行四邊形及四邊形有什么從屬關(guān)系？3．矩形有什么特有的性質(zhì)呢？答：（1）矩形的四個(gè)角都是直角；（2）矩形的對(duì)角線相等．4．你知道如何判定一個(gè)平行四邊形是矩形嗎？答：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形（定義判定）．5．那么除了矩形的定義外，還有沒有其他判定矩形的方法呢？這節(jié)課我們就共同來探究一下．師生活動(dòng)：教師出示問題，學(xué)生回答，讓學(xué)生復(fù)習(xí)前面學(xué)過的內(nèi)容．設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)，鞏固舊知，鋪墊新知，設(shè)置問題，引出新課．【探究新知】做一做如圖，是一個(gè)平行四邊形活動(dòng)框架，拉動(dòng)一對(duì)不相鄰的頂點(diǎn)時(shí)，平行四邊形的形狀會(huì)發(fā)生變化．（1）隨著∠α的變化，兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度將發(fā)生怎樣的變化？（2）當(dāng)兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度相等時(shí)，平行四邊形有什么特征？由此你能得到一個(gè)怎樣的猜想？師生活動(dòng)：教師出示“做一做”并操作演示，學(xué)生思考、討論、交流，猜想出矩形的一個(gè)判定方法．答：（1）當(dāng)∠α增大到90°時(shí)，兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度相等．當(dāng)∠α超過90°時(shí)，以∠α的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的一條對(duì)角線逐漸變短，另一條對(duì)角線逐漸變長(zhǎng)．（2）當(dāng)兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度相等時(shí)，平行四邊形的四個(gè)角都等于90°．得到的猜想是：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．思考你能證明你的猜想嗎？師生活動(dòng)：教師出示問題，學(xué)生思考，教師引導(dǎo)學(xué)生寫出已知、求證并完成證明過程．答：已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC，DB是它的兩條對(duì)角線，AC=DB．求證：□ABCD是矩形．分析：利用全等三角形證明平行四邊形的某兩個(gè)相鄰的角相等，而這兩個(gè)角又互補(bǔ)，所以它們都是直角，從而得證．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，AB∥DC．又∵BC=CB，AC=DB，∴△ABC≌△DCB．∴∠ABC=∠DCB．∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB=180°．∴∠ABC=∠DCB=．∴□ABCD是矩形（矩形的定義）．設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力和邏輯推理能力．判定定理1：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形．該判定定理的兩個(gè)適用條件：（1）對(duì)角線相等；（2）是平行四邊形．想一想：我們知道，矩形的四個(gè)角都是直角．反過來，一個(gè)四邊形至少有幾個(gè)角是直角時(shí)，這個(gè)四邊形就是矩形呢？請(qǐng)證明你的結(jié)論．師生活動(dòng)：教師出示問題，學(xué)生思考、討論、交流，形成猜想并證明猜想．猜想：一個(gè)四邊形至少有三個(gè)角是直角時(shí)，這個(gè)四邊形就是矩形．已知：在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．求證：四邊形ABCD是矩形．證明：∵∠A=∠B=90°，∴∠A+∠B=180°．∴AD∥BC．∵∠B+∠C=180°，∴AB∥CD．∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形）．又∵∠A=90°，∴四邊形ABCD是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）．設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的歸納猜想，推理論證的能力．判定定理2：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．幾何語言：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四邊形ABCD是矩形．歸納:矩形的判定方法：方法1：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；方法2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；方法3：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．議一議你有什么方法檢查你家（或教室）剛安裝的門框是不是矩形？如果僅有一根較長(zhǎng)的繩子，你怎樣檢查？請(qǐng)說明檢查方法的合理性，并與同伴交流．師生活動(dòng)：教師出示問題，學(xué)生思考，教師找學(xué)生代表回答．答：可以用直角尺檢查安裝的門框的四個(gè)角是否為直角．如果有三個(gè)角是直角，那么剛安裝的門框一定是矩形．也可以用直尺（或皮尺）分別量出門框兩組對(duì)邊的長(zhǎng)度，如果兩組對(duì)邊長(zhǎng)度分別相等，則門框一定是平行四邊形，再測(cè)量門框的對(duì)角線的長(zhǎng)度，如果兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度相等，那么剛安裝的門框一定是矩形．如果僅有一根較長(zhǎng)的繩子，可以先用繩子分別測(cè)量出門框的兩組對(duì)邊的長(zhǎng)度，做上記號(hào)．如果兩組對(duì)邊的長(zhǎng)度分別相等，那么這個(gè)門框一定是平行四邊形，再用繩子量出門框的對(duì)角線的長(zhǎng)度．如果這兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度相等，那么這個(gè)剛安裝的門框一定是矩形，否則不是矩形．理由是對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題．【典例精析】例1如圖，在□ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，△ABO是等邊三角形，AB=4，求□ABCD的面積．師生活動(dòng)：教師出示例題，學(xué)生思考，教師引導(dǎo)學(xué)生完成本題．分析：教師先帶學(xué)生從已知條件入手，對(duì)平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)進(jìn)行分析，再結(jié)合△ABO是等邊三角形的條件，很容易推出對(duì)角線相等，從而利用剛學(xué)的矩形的判定定理“對(duì)角線相等的四邊形是矩形”證得是矩形，再利用勾股定理求出邊長(zhǎng)BC，進(jìn)而求出矩形的面積．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD．又∵△ABO是等邊三角形，∴OA=OB=AB=4，∠BAC=60°．∴OA=OB=OC=OD=4．∴AC=BD=2OA=2×4=8．∴□ABCD是矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）．∴∠ABC=90°（矩形的四個(gè)角都是直角）．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，∴．∴S□ABCD=AB·BC=4×=．設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力．【課堂練習(xí)】1．下列命題錯(cuò)誤的是（）．A．對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形B．對(duì)角互補(bǔ)的平行四邊形是矩形C．對(duì)角線相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形D．四個(gè)角都相等的四邊形是矩形參考答案C2．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為O，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AD，AB，BC，CD的中點(diǎn)．若AC=8，BD=6，則四邊形EFGH的面積為__________．參考答案12．3．已知：如圖，在□ABCD中，M是AD邊的中點(diǎn)，且MB=MC．求證：四邊形ABCD是矩形．師生活動(dòng)：教師先找?guī)酌麑W(xué)生板演，然后講解出現(xiàn)的問題．答案證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC．∵M(jìn)是AD邊的中點(diǎn)，∴AM=DM．又∵M(jìn)B=MC，∴△ABM≌△DCM（SSS）．∴∠A=∠D．又∵AB∥DC，∴∠A+∠D=180°．∴平行四邊形ABCD是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）．4．如圖，在□ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是□ABCD外一點(diǎn)，且∠AEC=∠BED=90°．求證：□ABCD是矩形．師生活動(dòng)：教師出示題目，學(xué)生思考，教師請(qǐng)有思路的學(xué)生講述解題思路，然后訂正，最后教師寫出解題過程．證明：如圖，連接OE．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD．∵∠AEC=∠BED=90°，∴OE=AC=BD．∴AC=BD．∴□ABCD是矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）．設(shè)計(jì)意圖：通過本環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解．六、課堂小結(jié)請(qǐng)同學(xué)們回顧一下，我們學(xué)過的矩形的判定方法有哪些？答：我們學(xué)過的矩形的判定方法有：（1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；（2）判定定理1：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；（3）判定定理2：有三個(gè)角是直角的四