2024高考藍(lán)皮書（高考數(shù)學(xué)試題分析）

千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤Word-可編輯高考試題分析(2024)ANALYSISOFNATIONALCOLLEGEENTRANCEEXAMINATIONTESTQUESTIONS(2024)中國高考報(bào)告學(xué)術(shù)委員會/編中國高考報(bào)告學(xué)術(shù)委員會是高考藍(lán)皮書《中國高考報(bào)告》的學(xué)術(shù)決策機(jī)構(gòu),《中國高考報(bào)告》是高考改革研究智庫成績,由北京大學(xué)、中國人民大學(xué)、北京師范大學(xué)、中國教誨科學(xué)研究院、北京教誨科學(xué)研究院、國家教誨行政學(xué)院、華中科技大學(xué)等國內(nèi)九所大學(xué)(機(jī)構(gòu))的高考研究專家共同創(chuàng)作,系統(tǒng)研究高考政策、高考改革與國家人才培養(yǎng)戰(zhàn)略轉(zhuǎn)型,全面總結(jié)高考綜合改革實(shí)踐成效。數(shù)學(xué)圖書在版編目(CIP)數(shù)據(jù)高考試題分析.數(shù)學(xué)/中國高考報(bào)告學(xué)術(shù)委員會編.一北京：現(xiàn)代教誨出版社,2023年年.1(2023年.10重印)ISBN978-7-5106-8010-6I.(1)高…II.(1)中…III.(1)中學(xué)數(shù)學(xué)課一高中一題解一升學(xué)參考資料IV.(1)G632.479中國版本圖書館CIP數(shù)據(jù)核字(2023年年)第273058號出品人陳琦編者中國高考報(bào)告學(xué)術(shù)委員會責(zé)任編輯王海平殷建偉封面設(shè)計(jì)劉彬出版發(fā)行現(xiàn)代教誨出版社郵編:100120地址北京市東城區(qū)鼓樓外大街26號榮寶大廈3層電話010-0(編輯部)印刷濱州市鴻業(yè)印務(wù)有限公司開本890印張24字?jǐn)?shù)540千字版次2023年年年1月第1版印次2023年年10月第4次印刷書號ISBN978-7-5106-8010-6定價69.00元目錄CONTENTS總體評析1決定知識主題一集合、常用邏輯用語與算法9考向?集合9命題邏輯15考向(二)常用邏輯用語與算法16命題邏輯24主題二不等式26考向(一)不等式性質(zhì)與基本不等式26考向(二)線性計(jì)劃(新高考不作要求)31考向(三)不等式選做題(新高考不作要求)33命題邏輯39函數(shù)主線主題一函數(shù)41考向(一)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)41考向(二)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)54考向(三)函數(shù)與方程59命題邏輯61主題二三角函數(shù)64考向(一)三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式64考向(二)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)66考向(三)三角恒等變換75命題邏輯78主題三數(shù)列81考向(一)數(shù)列的概念81考向(二)等差數(shù)列、等比數(shù)列及其求和85命題邏輯107主題四導(dǎo)數(shù)110考向(一)導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義及基本運(yùn)算110考向(二)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用114命題邏輯135幾何與代數(shù)主線主題一平面向量與復(fù)數(shù)138考向?平面向量138命題邏輯149考向(二)解三角形151命題邏輯166考向(三)復(fù)數(shù)167命題邏輯173主題二立體幾何175考向(一)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征175考向(二)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系191考向(三)空間向量與立體幾何204命題邏輯229主題三平面解析幾何234考向?直線與圓234考向(二)橢圓及幾何性質(zhì)的應(yīng)用254考向(三)雙曲線及幾何性質(zhì)的應(yīng)用268考向(四)拋物線及幾何性質(zhì)的應(yīng)用276考向(五)圓錐曲線綜合問題286命題邏輯318概率與統(tǒng)計(jì)主線主題一計(jì)數(shù)原理325考向?羅列、組合325考向(二)二項(xiàng)式定理328主題二概率與統(tǒng)計(jì)330考向(一)隨機(jī)事件的概率330考向(二)統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例337考向(三)概率統(tǒng)計(jì)綜合問題351命題邏輯366附錄試題索引3722023年年,教誨部教誨考試院命制了6套數(shù)學(xué)試卷,分離是全國甲卷(文、理科)、全國乙卷(文、理科)、新課標(biāo)I卷(不區(qū)別文、理科)、新課標(biāo)II卷(不區(qū)別文、理科).6套全國卷高考數(shù)學(xué)試題,落實(shí)黨的二十大報(bào)告精神,全面貫徹黨的教誨方針,落實(shí)立德樹人根本任務(wù),反映新時代基礎(chǔ)教誨課程理念,落實(shí)考試評價改革、高中育人方式改革等相關(guān)要求,促進(jìn)學(xué)生德智體美勞“五育”并舉,尤其突出對體美勞的考查與引導(dǎo);注重對數(shù)學(xué)本質(zhì)的探索,突出對理性思維的考查,強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活及其他學(xué)科的聯(lián)系,滲透數(shù)學(xué)文化,積極引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)對數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng),發(fā)揮高考“指揮棒”的作用,助推素質(zhì)教誨的發(fā)展.一、加強(qiáng)“教考”銜接,引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)2023年年高考數(shù)學(xué)全國卷根據(jù)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn),貫徹中國高考評價體系理念,創(chuàng)新試題設(shè)計(jì),加強(qiáng)關(guān)鍵能力考查,突出理性思維,發(fā)揮高考的選拔功能;創(chuàng)設(shè)真切問題情境,考查考生利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的能力,體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想主意在解決實(shí)際問題過程中的價值和作用;積極推進(jìn)內(nèi)容改革,強(qiáng)化基礎(chǔ)性要求,加強(qiáng)“教考”銜接,發(fā)揮對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的積極引導(dǎo)作用.2023年年全國數(shù)學(xué)甲卷和乙卷延續(xù)了2023年年年的命題風(fēng)格,試卷突出對基礎(chǔ)知識和基本技能的考查,無偏題、怪題,體現(xiàn)了高考試題安穩(wěn)過渡的總體目標(biāo),穩(wěn)步推進(jìn)高考改革工作.同時科學(xué)控制試題的展開程度,力圖穩(wěn)中求變,有利于大學(xué)選拔人才以及對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的引導(dǎo).從試卷的結(jié)構(gòu)形式來看,考查的知識點(diǎn)與往年相比變化不大,解答題部分還是由三角(或數(shù)列)、立體幾何、概率與統(tǒng)計(jì)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線,選考部分極坐標(biāo)與參數(shù)方程、不等式選講,共七個模塊組成.2023年年高考是新課標(biāo)、新高考、新教材“三新”背景下的第二年高考,此套試題從高考評價體系出發(fā),貼近中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際的一貫命題思路,整體符合高考改革的理念.新課標(biāo)I卷、新課標(biāo)II卷考題中沒有出怪題、偏題,更不回避“必考點(diǎn)”,但卻在命題角度、主意、情境設(shè)計(jì)上下足了功夫,試題彰顯“低調(diào)奢華”之感.考生感覺題型認(rèn)識,試題的基礎(chǔ)性考查顯然,但對學(xué)生運(yùn)算能力的考查要求依然很高.試題題型穩(wěn)定、考點(diǎn)穩(wěn)定(延續(xù)3年考查的知識點(diǎn)有14個,共110分,占比73.3%,與2023年年年考查知識點(diǎn)相同的點(diǎn)有15題,共115分,占比76.7%)、考點(diǎn)知識點(diǎn)籠罩廣.其中一個突出的特點(diǎn)是打破解答題順序的固化,原本向來處于壓軸位置的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題放在了19題的位置,以中檔題難度考查,概率統(tǒng)計(jì)放在了21題成為壓軸題.這種變化,對引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)二、落實(shí)“四層”考查內(nèi)容,突出素質(zhì)導(dǎo)向《中國高考評價體系》將“四層”列為考查內(nèi)容,即“核心價值、學(xué)科素質(zhì)、關(guān)鍵能力、必備知識”,是素質(zhì)教誨目標(biāo)在高考中的提煉.2023年年高考數(shù)學(xué)全國卷,充足發(fā)揮基礎(chǔ)學(xué)科的作用,突出“四層”的考查.全面考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析六大核心素質(zhì),甄別思維品質(zhì)、展示思維過程,助力人才自主培養(yǎng)質(zhì)量提升和現(xiàn)代化創(chuàng)新人才選拔.數(shù)學(xué)素質(zhì)發(fā)展模型圖2023年年高考數(shù)學(xué)全國卷對數(shù)學(xué)素質(zhì)的考查主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)主意、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想六個方面.如右圖.數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)主意是顯性的,是基礎(chǔ);數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想是隱性的,是情境的,是心理特質(zhì);數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)思維是過程的、動態(tài)的.數(shù)學(xué)技能是數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)能力的橋梁,數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)主意和數(shù)學(xué)思想的橋梁.1.注重?cái)?shù)學(xué)知識考查,強(qiáng)調(diào)節(jié)體性數(shù)學(xué)知識是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中所建立的關(guān)于數(shù)學(xué)對象和關(guān)系的結(jié)論或規(guī)矩的集合.包括數(shù)學(xué)的概念、定理、公式、性質(zhì)以及結(jié)論等靜態(tài)信息.數(shù)學(xué)知識的考查重在知識間的關(guān)聯(lián)和邏輯,強(qiáng)調(diào)知識的整體性.全國卷6套試卷在挑選題和填空題部分均設(shè)置多個知識點(diǎn),全面考查集合、復(fù)數(shù)、平面向量、羅列組合、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、幾何體的體積、直線和圓等內(nèi)容,實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的全方位籠罩;在解答題部分深人考查數(shù)學(xué)的主干知識以及知識的綜合,考查對數(shù)學(xué)知識的深刻理解和融會貫通的應(yīng)用.新課標(biāo)II卷第14題,考查棱臺的體積公式,也可以利用棱雉的體積公式,大四棱雉的體積減去小四棱雉的體積.全國甲卷理科第17題,考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和等知識.新課標(biāo)I卷第9題,考查統(tǒng)計(jì)抽樣中樣本的基本數(shù)字特征,4個選項(xiàng)分離考查學(xué)生對平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和極差概念的深刻理解和靈便應(yīng)用.全國乙卷理科第6題、文科第10題,考查三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對稱性等性質(zhì)的綜合應(yīng)用.2.注重?cái)?shù)學(xué)技能考查,強(qiáng)調(diào)遷移性數(shù)學(xué)技能是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題時反復(fù)練習(xí)和實(shí)踐所形成的能力,核心技能有數(shù)學(xué)閱讀、數(shù)學(xué)作圖、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)表達(dá).數(shù)學(xué)技能的考查貫通在問題解決的一直,強(qiáng)調(diào)技能遷移性.全國卷6套試卷每道試題的解決都是從信息的輸入一一數(shù)學(xué)閱讀開始,第二舉行數(shù)學(xué)作圖、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算,最后以信息的輸出一數(shù)學(xué)表達(dá)結(jié)束.與函數(shù)、立體幾何、解析幾何、向量、解三角形等有關(guān)的試題普通會考查數(shù)學(xué)作圖技能,與現(xiàn)實(shí)生活情境、科學(xué)研究情境和勞動生產(chǎn)情境有關(guān)的試題一定考查數(shù)學(xué)閱讀技能.求值、求范圍有關(guān)的試題重在考查數(shù)學(xué)運(yùn)算技能.證實(shí)有關(guān)的試題重在考查數(shù)學(xué)推理技能.新課標(biāo)II卷多選題第11題,考查數(shù)學(xué)推理技能,該題的本質(zhì)是按照一元二次方程根的分布情況判定方程系數(shù)之間的關(guān)系.本題是在同一條件下設(shè)置的4個選項(xiàng),選項(xiàng)之間有一定關(guān)聯(lián),可以由已知條件,經(jīng)過推理、分析與轉(zhuǎn)化,通過一個思路即可判斷結(jié)論是否準(zhǔn)確.新課標(biāo)I卷第17題,以同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、解三角形的正弦定理為載體,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算技能.首先按照題設(shè)得到C=45°,然后利用兩角和差公式得到sinA=3cosA,進(jìn)而求得sinA=310103.注重?cái)?shù)學(xué)主意考查,強(qiáng)調(diào)普適性數(shù)學(xué)主意是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和技能解決問題的步驟和程序,是數(shù)學(xué)思想的實(shí)施手段.包括換元法、構(gòu)造法、數(shù)形結(jié)合等.數(shù)學(xué)主意的考查重在主意運(yùn)用的時機(jī)與動機(jī),強(qiáng)調(diào)主意的普適性.新課標(biāo)I卷第11題,考查構(gòu)造法、特值法,該題將等式fxy=y2fx+x2fy作如下處理,當(dāng)x全國甲卷理科第10題、文科第12題,求解三角函數(shù)的圖象和直線交點(diǎn)的個數(shù),考查數(shù)形結(jié)合的主意.該題畫出相應(yīng)的三角函數(shù)圖象和直線,充足利用“形”的特征,采用數(shù)形結(jié)合的方法得結(jié)論.4.注重?cái)?shù)學(xué)思維考查,強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)性數(shù)學(xué)思維是人腦對數(shù)學(xué)對象本質(zhì)的認(rèn)識過程,是應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的思量.包括邏輯思維、形象思維、直覺思維等.邏輯思維的主要主意有看見與實(shí)驗(yàn)、概括與抽象、分析與綜合、異常與普通、歸納與演繹、類比與預(yù)測、比較與分類、有限與無限.數(shù)學(xué)思維的考查重在發(fā)現(xiàn)問題和分析問題,強(qiáng)調(diào)思維的系統(tǒng)性.新課標(biāo)I卷第22題第(2)問,看見拋物線y=x2+14,利用圖形的對稱性,不妨設(shè)x0>0,0全國甲卷理科第15題,求解球面與棱交點(diǎn)的個數(shù),考查形象思維.該題先決定以EF為直徑的球的球心O也是正方體ABCD?A1B1C1D15.注重?cái)?shù)學(xué)思想考查,強(qiáng)調(diào)一致性數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)思維的概括性描述,是相關(guān)的數(shù)學(xué)知識、主意的精神實(shí)質(zhì)和理論根據(jù).抽象、推理、模型稱為數(shù)學(xué)基本思想;函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸稱為數(shù)學(xué)常用思想.數(shù)學(xué)思想的考查重在理解和感悟,強(qiáng)調(diào)思想的一致性.新課標(biāo)II卷第15題,是一道展開題,答案不唯一,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.該題厘清圓內(nèi)接三角形面積、邊與高的關(guān)系,決定圓心到直線的距離為455或255,然后利用點(diǎn)到直線的距離公式,即可建立關(guān)于全國乙卷理科第21題第(2)問,按照曲線y=f1x關(guān)于直線x=b對稱的條件,判定其定義域?∞,?1∪0,+∞關(guān)于x=b對稱,由此求得b=?12;再按照b=?12求得參數(shù)a的值.也可以構(gòu)造函數(shù)gx=f1x,因?yàn)間x的圖象關(guān)于直線x=6.注重?cái)?shù)學(xué)能力考查,強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新性數(shù)學(xué)能力是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和技能解決問題所表現(xiàn)出來的的綜合素質(zhì),是數(shù)學(xué)素質(zhì)的外化.主要包括邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)新能力等.數(shù)學(xué)能力的考查重在復(fù)雜情境下的能力使用,強(qiáng)調(diào)能力的創(chuàng)新性.新課標(biāo)II卷第9題,以多選題的形式考查圓雉的相關(guān)性質(zhì).該題利用二面角P?AC?O為45°這一條件,結(jié)合二面角的定義和空間中的垂直與平行關(guān)系,可以決定點(diǎn)C新課標(biāo)II卷第10題,先通過已知直線過拋物線的焦點(diǎn),求得參數(shù)p=2,然后以此為基礎(chǔ),舉行各選項(xiàng)的計(jì)算.將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,可求得兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)M13,233,N3,?23,得到MN=163三、踐行“四翼”考查要求,強(qiáng)化全面育人數(shù)學(xué)全國卷6套試題,遵循《中國高考評價體系》的要求,注重強(qiáng)基固本,體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求,將育人和育才相統(tǒng)一,促進(jìn)教、學(xué)、評的有機(jī)統(tǒng)一,助力素質(zhì)教育的目標(biāo)評價.1.基礎(chǔ)性基礎(chǔ)性首先是加強(qiáng)對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本能力的考核,第二是加強(qiáng)對數(shù)學(xué)核心概念的考查,最后是加強(qiáng)對科學(xué)主意的考查.新課標(biāo)I卷第3題,以向量的垂直關(guān)系為載體,考查向量的加減、數(shù)乘、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算等基礎(chǔ)知識.該題將兩向量垂直,轉(zhuǎn)化為兩向量數(shù)量積為0,可以先決定a+λb=1+λ,全國甲卷文科第5題,以等差數(shù)列為載體,考查基本的運(yùn)算求解能力.該題使用方程的思想將已知和設(shè)問都用首項(xiàng)a1和公差d表示,舉行基本量運(yùn)算,也可以直接由等差數(shù)列性質(zhì)化簡a2+a6=2a4=10全國乙卷文科第14題,已知銳角θ的正切值,求sinθ?cosθ的值,考查方程的科學(xué)解法.該題既可以利用三角函數(shù)的定義,在角的終邊上選取一點(diǎn),直接決定sinθ和cosθ2.綜合性綜合性首先是綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)科和其他學(xué)科的概念、邏輯分析問題和解決問題,第二是綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想主意解決問題.門數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷第21題,以投籃為載體,求概率、通項(xiàng)公式、期待,考查條件概率、全概率公式、兩點(diǎn)分布的期待、數(shù)學(xué)期待的性質(zhì)、由遞推求通項(xiàng)、等比數(shù)列求和等數(shù)學(xué)綜合知識.該題首先由遞推公式得pi=25pi?全國乙卷文科第20題(2),已知函數(shù)單調(diào)性,求參數(shù)的取值范圍,考查數(shù)學(xué)思想主意的綜合運(yùn)用.該題將fx在0,+∞單調(diào)遞增問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)f′x≥0在0,+∞3.應(yīng)用性應(yīng)用性是用數(shù)學(xué)的眼睛看見世界,用數(shù)學(xué)的思維思量世界,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界,考查過程中貫通數(shù)學(xué)實(shí)踐活動的三個階段:表征分析階段、提煉數(shù)量關(guān)系階段、數(shù)學(xué)建模階段.新課標(biāo)II卷第19題,以醫(yī)學(xué)指標(biāo)的頻率分布直方圖為載體,求百分位數(shù)及解析式求最值.融合了概率、統(tǒng)計(jì)、函數(shù)等相關(guān)知識,讓學(xué)生利用堆積的基本活動經(jīng)驗(yàn)決定臨界值,制定合理的檢測標(biāo)準(zhǔn),讓誤診率和漏診率得以平衡.試題考查數(shù)學(xué)實(shí)踐的表征分析和提煉數(shù)量關(guān)系階段.全國甲卷理科、文科第19題,以利用小白鼠研究臭氧效應(yīng)為載體,通過樣本的平均數(shù)和中位數(shù)等數(shù)學(xué)知識,用自立性檢驗(yàn)解決生活中的實(shí)際問題,綜合考查學(xué)生應(yīng)用自立性檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)思想和主意解決實(shí)際問題的能力,考查數(shù)學(xué)實(shí)踐活動的提煉數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)建模階段.4.創(chuàng)新性創(chuàng)新性的考查主要體現(xiàn)在三個方面:敢于質(zhì)疑和批評的思維能力、自主決策并發(fā)表見解的能力和自立自主設(shè)計(jì)計(jì)劃的能力.全國乙卷理科第11題,給出雙曲線x2?y29=1上兩點(diǎn)A,B,問選項(xiàng)中哪一個點(diǎn)可以成為線段AB的中點(diǎn).試題創(chuàng)新設(shè)問方式,結(jié)論展開新課標(biāo)I卷第12題,給出一個棱長為1的正方體,挑選出可以放人該正方體的幾何體,考查自立自主設(shè)計(jì)計(jì)劃的能力.該題通過看見正方體以及其內(nèi)切球、內(nèi)接正四面體、內(nèi)接圓柱體的結(jié)構(gòu)特征,采用極限法和估算法,對于四個選項(xiàng)均可計(jì)算正方體內(nèi)能容下的直徑最大的球,棱長最大的正四面體,直徑最大或者高最大的圓柱體,對四個選項(xiàng)作出準(zhǔn)確判斷.四、創(chuàng)新試題情境設(shè)計(jì),“四層”與“四翼”《中國高考評價體系說明》指出:情境是實(shí)現(xiàn)“價值引領(lǐng)、素質(zhì)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”的綜合考查的載體.情境是真切的問題背景,是以問題或任務(wù)為中央構(gòu)成的活動場域.試題兼顧情境的多樣性,豐盛情境類型,同時加強(qiáng)問題情境抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)知識題過程的考查,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)必備知識和關(guān)鍵能力的考查要求.數(shù)學(xué)科在命制情境化試題過程中,在剪裁素材方面,控制文字?jǐn)?shù)量和閱讀理解難度;在抽象數(shù)知識題方面,設(shè)置合理的思維強(qiáng)度和抽象程度;在解決問題方面,設(shè)置合適的運(yùn)算過程和運(yùn)算量,力求使情境化試題達(dá)到試題要求層次和考生認(rèn)知水平的契合與貼切.1.現(xiàn)實(shí)生活情境,引導(dǎo)全面發(fā)展高考數(shù)學(xué)試題情境取材于學(xué)生生活中的真切問題,貼近學(xué)生實(shí)際,具有現(xiàn)實(shí)意義.試題情境均具偶爾代氣息,貼近考生,貼近生活,意在引導(dǎo)學(xué)生積極參加體育活動和校園活動,全面發(fā)展.如全國甲卷理科第6題、文科第4題,分離以考生的體育興趣和校園活動為背景命制,情境真切.理科要求按照條件概率的定義,使用挑選縮小樣本空間的主意舉行求解,文科只需要利用概率的古典定義舉行概率計(jì)算即可.類似的試題還有新課標(biāo)II卷的第3題等.全國甲卷理科第9題,以志愿者報(bào)名參加公益活動的情境考查羅列組合內(nèi)容,引導(dǎo)學(xué)生重視社會責(zé)任感、創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng).新課標(biāo)I卷第21題的籃球投籃背景,是考生異常認(rèn)識的情境.試題設(shè)計(jì)新奇,巧妙地將概率問題融人兩人的延續(xù)投籃練習(xí)之中.本題重在考查考生的邏輯思維能力以及對事件舉行分析、分解和轉(zhuǎn)化的能力.本題貼近生活,回歸教材,能夠激發(fā)學(xué)生對籃球運(yùn)動的興趣;同時,引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的概率知識指導(dǎo)運(yùn)動和生活,對概率與統(tǒng)計(jì)知識的普及及教學(xué)也有很好的導(dǎo)向作用.2.科學(xué)研究情境,引導(dǎo)探索創(chuàng)新數(shù)學(xué)在各領(lǐng)域的科學(xué)研究中都有著重要的應(yīng)用,發(fā)揮其重要的作用,能實(shí)現(xiàn)定量化的研究目的.科學(xué)研究情境的設(shè)置不僅考查數(shù)學(xué)的必備知識和關(guān)鍵能力,而且引導(dǎo)考生樹立理想信念,熱愛科學(xué),立志為我國社會主義現(xiàn)代化建設(shè)事業(yè)作出貢獻(xiàn).新課標(biāo)I卷第10題,以治理噪聲污染為試題情境,考查利用對數(shù)函數(shù)研究噪聲聲壓水平.試題通過對聲壓級的研究,全面考查對數(shù)及其運(yùn)算的基礎(chǔ)知識,考生需要準(zhǔn)確運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算法則,化簡收拾變形,才干得出準(zhǔn)確的答案.本題旨在彰顯數(shù)學(xué)在改善人們的生活環(huán)境和健康狀況方面的重要價值.全國甲卷理科、文科第19題,研究臭氧環(huán)境對小白鼠生長的影響,將小白鼠隨機(jī)分配到實(shí)驗(yàn)組和對照組,利用成對數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表,舉行自立性檢驗(yàn).數(shù)學(xué)在生物實(shí)驗(yàn)中的工具作用在近幾年高考試題中多次3.勞動生產(chǎn)情境,引導(dǎo)實(shí)際應(yīng)用高考命題選取勞動生產(chǎn)情境,考查利用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)主意解決生產(chǎn)中的實(shí)際問題的能力.如全國乙卷理科、文科第17題,取材于橡膠生產(chǎn)的實(shí)際情境,比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng).在工業(yè)生產(chǎn)中,改進(jìn)工藝是重要環(huán)節(jié),通過抽取樣本,并運(yùn)用合理的主意分析對照,判斷不同的工藝對產(chǎn)品質(zhì)量的影響,需要運(yùn)用大量數(shù)學(xué)工具,異常是概率統(tǒng)計(jì)的知識,這是統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個重要應(yīng)用領(lǐng)域.本題考查樣本平均數(shù)和方差的計(jì)算,并借助假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想,利用樣本平均數(shù)和方差作為工具舉行統(tǒng)計(jì)判斷.本題以基礎(chǔ)性的要求考查考生應(yīng)用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)與概率知識分析問題、解決問題的能力.新課標(biāo)II卷第12題,以信號傳輸為情境考查二項(xiàng)分布及應(yīng)用.利用概率加法公式及乘法公式求概率,把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和,互相自立事件的積是解題的關(guān)鍵.各選項(xiàng)是在同一條件舉行的推理和計(jì)算,可以逐一推證,互相啟發(fā)和借鑒.試題考查對新概念、新知識的理解和探索能力,考查分析問題和解決問題能力及創(chuàng)新應(yīng)用能力.利用概率研究信號傳輸?shù)挠行允翘岣咝盘杺鬏數(shù)目煽啃院托阅艿闹匾饕?五、優(yōu)化備考措施,助力“雙減”落地1.研究真題高考真題是對高考政策落地的實(shí)證,對高考真題的研究是高考研究的重要方向,不僅要研究前一年的高考真題,而且要研究近五年甚至更多年的高考真題.因?yàn)閼T性和市場作用使然,當(dāng)年的模擬題往往過多地?fù)?dān)心剛剛過去的一年的高考真題,導(dǎo)致學(xué)習(xí)材料堆滿過去一年高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題和難點(diǎn)問題,導(dǎo)致試題同質(zhì)化,切忌掉人模擬試題的題海.我們可以研究一道題,也可以研究一類題、一套題、多套題;我們可以研究真題的立意,也可以研究真題的解法、變式、價值、導(dǎo)向等;我們可以解題觀的視角研究真題,也可以從講題觀、命題觀的視角研究真題.2.回歸教材正在舉行的高考改革啟動了新一輪的回歸教材,高考命題改革正積極配合、促進(jìn)新教材的推進(jìn)及相關(guān)理念的落實(shí),尤其要全面深人地貫徹新課標(biāo)的理念.《中國高考報(bào)告》指出:高考命題會以教材中的知識為藍(lán)本舉行改造,既可以實(shí)現(xiàn)對基礎(chǔ)知識的考查,又可以引導(dǎo)回歸教材,減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),提高學(xué)生學(xué)習(xí)的針對性和有效性.回歸教材并不是容易的聯(lián)系教材,而是從知識、技能、能力、主意、思維和思想上回歸學(xué)科.因此,惟獨(dú)回歸教材,才是大道至簡、返璞歸真之舉.3.發(fā)展素質(zhì)數(shù)學(xué)素質(zhì)的考查普通通過考查知識、技能、能力、主意、思維、思想而實(shí)現(xiàn).本書從命題分析、解題剖析、【【類題賞析】】三個維度對試題舉行解析,其中解題剖析又分為題意理解、思路探求、書寫表達(dá)、回顧反思四個環(huán)節(jié).所有環(huán)節(jié)揭示數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)主意、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想的考查過程,實(shí)現(xiàn)思維可視化.另外重視基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的特征解讀.六、結(jié)束語2023年年高考數(shù)學(xué)全國卷貫徹黨的二十大精神,落實(shí)高考內(nèi)容改革的要求,鄭重根據(jù)高中課程標(biāo)準(zhǔn),深入基礎(chǔ)性和綜合性考查,聚焦學(xué)科核心素質(zhì),精選試題情境,加強(qiáng)關(guān)鍵能力考查,促進(jìn)學(xué)生提升科學(xué)素質(zhì),引導(dǎo)學(xué)生全面發(fā)展,助推高中育人方式改革.在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中,教師要堅(jiān)持把能力培養(yǎng)作為首要任務(wù),通過教學(xué)方式和主意的創(chuàng)新,改變機(jī)械刷題與套路訓(xùn)練模式,提升學(xué)生的核心素質(zhì).引導(dǎo)學(xué)生不僅要知其然,更要知其所以然,要學(xué)有所思、思有所疑、疑有所問、問有所悟,不斷探索數(shù)知識題的本質(zhì).函數(shù)主線主題一函數(shù)考向(一)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)內(nèi)容要求能用代數(shù)運(yùn)算和函數(shù)圖象揭示函數(shù)的主要性質(zhì)課程能夠理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值,了解函數(shù)的奇偶性、周期性標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)要求控制一些基本函數(shù)類（一元一次函數(shù)、反比例函數(shù)、一元二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等)的背景、概念和性質(zhì)命題點(diǎn)1函數(shù)的圖象例(2023年年全國甲,理5)函數(shù)y=3x?ABCD【命題分析】本題以一個奇函數(shù)為載體,考查函數(shù)的大致圖象,屬于課程學(xué)習(xí)情境,體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性.通過對函數(shù)奇偶性的判斷考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,通過選項(xiàng)的排除過程考查學(xué)生對問題或資料舉行看見、比較、分析、綜合、抽象與概括的推理能力,整體體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.此題屬于SOLO分類結(jié)構(gòu)模型中的單點(diǎn)結(jié)構(gòu).【解題剖析】[題意理解]序號信息讀取信息加工1設(shè)f聯(lián)想函數(shù)奇偶性的運(yùn)算,可以看見到括號內(nèi)為奇函數(shù),括號外為偶函數(shù),相乘為奇函數(shù)2在區(qū)間?π區(qū)間為閉區(qū)間,通過把區(qū)間端點(diǎn)值代入解析式計(jì)算函數(shù)值,可對選項(xiàng)舉行對照和排除3A,C選項(xiàng)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,B,D選項(xiàng)圖象關(guān)于y軸對稱A,C選項(xiàng)對應(yīng)函數(shù)為奇函數(shù),B,D選項(xiàng)對應(yīng)函數(shù)為偶函數(shù)[思路探求]關(guān)鍵步驟思維要點(diǎn)思維緣故f函數(shù)圖象不易直接描繪,可先判定函數(shù)的奇偶奇偶性3?性,從而決定函數(shù)圖象對稱性,對選項(xiàng)舉行初步排除異常值x∈0,π2時,看見剩余選項(xiàng),顯著區(qū)別在x∈f整體考慮或代入某個異常值點(diǎn)舉行符號判定[書寫表達(dá)]設(shè)fx=3x?3?xcosx,則回顧反思解決函數(shù)圖象問題通常用排除法和特值法.需要判斷函數(shù)的性質(zhì),包括:定義域,值域,奇調(diào)性,單調(diào)性,最大(小)值,異常點(diǎn).判斷這些性質(zhì)的順序,需要按照解析式或圖象的特點(diǎn)決定.本題在解決過程中需要運(yùn)用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)奇偶性,排除B,D選項(xiàng),應(yīng)用數(shù)學(xué)運(yùn)算技能判斷函數(shù)在區(qū)間0,π2內(nèi)函數(shù)值的正負(fù),排除C選項(xiàng).整體運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的主意對基本初等函數(shù)概念、圖象和性質(zhì)的控制對解決此類復(fù)雜函數(shù)圖象問題起關(guān)鍵作用,在舉行函數(shù)奇偶性判斷時,要防止運(yùn)算錯誤.當(dāng)特值點(diǎn)不易取到時,極限趨近也可作為判斷根據(jù).本題源于人數(shù)A版必修第一冊85頁練習(xí)1,2題,91頁復(fù)習(xí)鞏固第1題,101頁12題,139頁第4題,人數(shù)B版必修第一冊117頁習(xí)題B組第10題.類題賞析(2023年年全國乙,文8)右圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間[?3,A.y=?C.y=2x[分析]由函數(shù)圖象的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得出準(zhǔn)確答案.[解答]設(shè)fx=x3?設(shè)hx=2xcosxx2+1設(shè)gx=2sinx故選A.命題點(diǎn)2函數(shù)的性質(zhì)例(2023年新課標(biāo)II,4)若fx=A.-1B.0C.12【命題分析】本題以初等函數(shù)為載體,考查函數(shù)的奇偶性,屬于課程學(xué)習(xí)情境,體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性.通過對函數(shù)奇偶性的判斷,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和邏輯思維能力,通過主意二和主意三考查學(xué)生的邏輯思維,體現(xiàn)由異常到普通的數(shù)學(xué)解題思路.此題屬于SOLO分類結(jié)構(gòu)模型中的多點(diǎn)結(jié)構(gòu).【解題剖析】[題意理解]序號信息讀取信息加工1f函數(shù)為一個一次函數(shù)乘一個對數(shù)型函數(shù)的形式,兩部分對函數(shù)奇偶性都起到作用2fx利用定義或函數(shù)奇偶性的運(yùn)算法則可解[思路探求]關(guān)鍵步驟思維要點(diǎn)思維緣故f定義法·a)ln2x+按照偶函數(shù)定義,f?特值法選取異常值x=1和x=?通過特值法求得參數(shù),再按照偶函數(shù)定義檢驗(yàn)即可,感悟由異常到普通的解決思路公式法令gx=x+a,h通過函數(shù)拆解,將原函數(shù)變?yōu)閮蓚€函數(shù)相乘形式,再按照奇偶性運(yùn)算法則,可以得gx[書寫表達(dá)]主意一:易知函數(shù)fx定義域?yàn)?∞,?f?x=?x+a主意二:因?yàn)閒x為偶函數(shù),定義域?yàn)?∞,?則f1=f?1當(dāng)a=0時,f?故此時fx主意三:易知函數(shù)fx定義域?yàn)?∞,?令gx=x+a因?yàn)閒x=gx?判斷函數(shù)的奇偶性通常有如下主意:利用奇偶性定義,收拾含參恒等式,從而決定參數(shù);通過定義域中異常值代入,求得參數(shù),并舉行檢驗(yàn);將原函數(shù)拆解為容易函數(shù),利用函數(shù)奇偶性的運(yùn)算法則判斷.本題在解決過程中需要調(diào)用函數(shù)奇偶性的定義得到關(guān)于參數(shù)的恒等式,應(yīng)用數(shù)學(xué)運(yùn)算技能對表達(dá)式舉行收拾變形,運(yùn)用待定系數(shù)法使含參部分恒等從而求得參數(shù).利用函數(shù)奇偶性定義舉行判斷,需防止運(yùn)算錯誤.應(yīng)用特值法時,需注重取值應(yīng)在定義域內(nèi),并代入原解析式舉行檢驗(yàn).本題源于人教A版必修第一冊第84頁例6,第86頁第5題.類題賞析1.(2023年全國乙,理4)已知fx=xeA.-2B.-1C.1D.2[分析]按照偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.[解答]由題意,知函數(shù)fx的定義域?yàn)?∞,因?yàn)楹瘮?shù)fx為偶函數(shù),所以f?x=fx,即?xe?xe?[分析]利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到f?π2[解答]因?yàn)閒x定義域?yàn)镽,所以f?即?π則πa=π2此時fx所以f?故fx為偶函數(shù),所以a3.(2023年年全國乙,文16)若fx=ln[分析]按照奇函數(shù)的定義即可求出.[解答]因?yàn)楹瘮?shù)fx=lna由a+11?x≠0可得定義域?yàn)閤再由f0=0此時fx=ln?12+1命題點(diǎn)3抽象函數(shù)例(多選)(2023年新課標(biāo)I,11)已知函數(shù)fxA.f0=C.fx是偶函數(shù)D.x=0【命題分析】本題以抽象函數(shù)為載體,考查函數(shù)的奇偶性與極值,屬于課程學(xué)習(xí)情境.對復(fù)雜關(guān)系式賦值的過程考查學(xué)生的邏輯思維,通過奇偶性的判定考查學(xué)生用演繹、歸納和類比舉行推理的能力,同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)的過程考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想和數(shù)學(xué)建模能力.此題屬于SOLO分類結(jié)構(gòu)模型中的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu).【解題剖析】[題意理解]序號信息讀取信息加工1ffx2選項(xiàng)A,f通過賦值法,求fx3選項(xiàng)C,fx需通過賦值得出奇偶性的定義式4選項(xiàng)D,x=0利用定義或?qū)?shù)分析fx[思路探求]關(guān)鍵步驟思維要點(diǎn)思維緣故賦特值令x=y=0,則f0=處理抽象函數(shù)在某些點(diǎn)處的函數(shù)值問題,通常采用賦值法,當(dāng)浮上多個變量時,取值需分離試探奇偶性令x=y=?1,則f1=f?處理抽象函數(shù)奇偶性問題,需結(jié)合賦值法,構(gòu)造出可判斷函數(shù)奇偶性的定義式單調(diào)性舉反例,令fx=0或構(gòu)造異常函數(shù)fx=借助基本初等函數(shù)模型或?qū)⒑瘮?shù)關(guān)系式變形后構(gòu)造異常函數(shù)[書寫表達(dá)]主意一:因?yàn)閒xy對于A,令x=y=對于B,令x=y=1,對于C,令x=y=?令y=?又函數(shù)fx的定義域?yàn)镽,所以fx為偶函數(shù),故C對于D,不妨令fx=0,顯然符合題設(shè)條件,但此時f故選ABC.主意二:A,B,C項(xiàng)判斷同主意一,對于D,當(dāng)x2y2≠0時,將fxy=y當(dāng)x>0時,fx令f′x<令f′x>故fx在0,e因?yàn)閒x為偶函數(shù),所以fx在?e顯然,x=0為故選ABC.【回顧反思】抽象函數(shù)問題常使用賦值法,往往陪同著對單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性的考查,通過合理的賦值向選項(xiàng)逐步靠攏.舉例法通常用于舉反例從而排除選項(xiàng).如滿意fx+y=fxf抽象函數(shù)的性質(zhì)與原函數(shù)的性質(zhì)互相關(guān)聯(lián),通過合理的換元或賦值可以推得各自的奇偶性、周期性和對稱性等,要注重賦值的合理性和統(tǒng)一性,防止運(yùn)算錯誤.本題源于人數(shù)B版必修第一冊第115頁練習(xí)B第3題.類題賞析1.(2023年年全國乙,理12)已知函數(shù)fx,gx的定義域均為R,且fx+g2?x=5A.-21B.-22C.-23D.-24[分析]按照對稱性和已知條件得到fx+fx?2=?2,從而得到f3+f[解答]因?yàn)閥=gx所以g2因?yàn)間x?fx?因?yàn)閒x+g代入得fx+7所以f3+f5+?+f21=?2×5=?因?yàn)間x?fx?聯(lián)立得,g2?x+gx+因?yàn)楹瘮?shù)gx的定義域?yàn)镽,所以g因?yàn)閒x+g所以k=122故選D.2.(2023年年新高考I,8)若函數(shù)fx的定義域?yàn)镽,且fA.-3B.-2C.0D.1[分析]按照題意通過賦值法即可知函數(shù)fx的一個周期為6,求出函數(shù)一個周期中的f[解答]因?yàn)閒x+y+fx?y=fxfy,令x=1,y=0可得,2f1=f1f0,所以f0=2.令x=0可得,fy3.(多選)(2023年年新高考I,12)已知函數(shù)fx及其導(dǎo)函數(shù)f′x的定義域均為R,記gxA.f0=C.f?1[分析]轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對稱性,結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系,按照函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.[解答]因?yàn)閒3所以f32?所以f3?x=f函數(shù)fx,gx的圖象由f32?即?g所以gx的圖象關(guān)于點(diǎn)32,0所以g?12若函數(shù)fx符合題意,則函數(shù)fx+CC故選BC.命題點(diǎn)4復(fù)合函數(shù)例(2023年新課標(biāo)I,4)設(shè)函數(shù)fx=2A.(?∞,?2]C.(0,【命題分析】本題以復(fù)合函數(shù)為載體,考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,屬于課程學(xué)習(xí)情境,體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性.通過函數(shù)拆解考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想,通過函數(shù)簡圖的繪制和參數(shù)的求解考查學(xué)生按照法則、公式舉行準(zhǔn)確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理的能力以及會對問題或資料舉行看見、比較、分析、綜合、抽象與概括的能力.此題屬于SOLO分類結(jié)構(gòu)模型中的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu).【解題剖析】[題意理解]序號信息讀取信息加工1f此函數(shù)為復(fù)合函數(shù),內(nèi)層函數(shù)是一個帶參數(shù)的二次函數(shù),可決定其開口方向、零點(diǎn)、對稱軸;外層函數(shù)是一個指數(shù)函數(shù),底數(shù)決定聯(lián)想復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則一一同增異減,可以決定在此區(qū)間上內(nèi)、外層2在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減函數(shù)的單調(diào)性是相異的,借助基本初等函數(shù)的圖象可以形象直觀地解決問題[思路探求]關(guān)鍵步驟思維要點(diǎn)思維緣故拆解函數(shù)將原函數(shù)拆解為外層函數(shù)y=2復(fù)合函數(shù)的解決思路即考慮其逆過過程一折解,將復(fù)雜的函數(shù)拆解為幾個簡單的基本初等函數(shù),體味轉(zhuǎn)化與化歸思想函數(shù)作圖.通過作圖,可以直看見到內(nèi)、外層函數(shù)的增減性,簡圖不必太過詳盡,體現(xiàn)要素即可,需要一定的數(shù)學(xué)作圖技能,體味數(shù)形結(jié)合思想分析外層外層函數(shù)為底數(shù)為2的指數(shù)函數(shù),在定義域R上恒為增函數(shù),因此只需內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減即可外層函數(shù)為R上單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù),要注重當(dāng)外層函數(shù)定義域不為R時,內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間上的值域會有一定限制分析內(nèi)層內(nèi)層二次函數(shù)圖象開口向上,對稱軸為直線x=a2,先減后增,在區(qū)間內(nèi)層二次函數(shù)有兩個零點(diǎn),可以對a舉行分類研究,或直接考慮區(qū)間0,1在對稱軸左側(cè),異常要[書寫表達(dá)]因?yàn)楹瘮?shù)y=2t在R上單調(diào)遞增,而函數(shù)f則有函數(shù)hx=x因此a2≥1所以a的取值范圍是[2故選D.【回顧反思】求解復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題,關(guān)鍵是將復(fù)合函數(shù)拆解為合適的內(nèi)、外層基本初等函數(shù),結(jié)合基本初等函數(shù)簡圖,并按照同增異減原則形象、直觀地解決問題.本題在解決過程中需要調(diào)用基本初等函數(shù)模型將復(fù)雜函數(shù)拆解為合適的內(nèi)、外層函數(shù),應(yīng)用數(shù)學(xué)作圖技能畫出內(nèi)、外層函數(shù)的簡圖,運(yùn)用分析法決定參數(shù)的取值范圍.易錯點(diǎn)為內(nèi)、外層函數(shù)的定義域和值域、端點(diǎn)能否取到等號.如對數(shù)函數(shù)要異常注重定義域,忽略定義域可能直接造成錯解.本題源于人數(shù)A版A版必修第一冊第161頁第12題B版必修第二冊第54頁C組第6題.類題賞析1.(2023年全國甲,文11)已知函數(shù)fx=e?x()A.b>c>aB.b[分析]將原函數(shù)拆解為內(nèi)層二次函數(shù)、外層指數(shù)函數(shù),通過作差法得出內(nèi)層函數(shù)值大小,再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可比較大小.[解答]令gx=?x?1因?yàn)?2?1所以62?1由二次函數(shù)性質(zhì)知g6因?yàn)?2?1?即62所以g6綜上,g2又y=ex在R上單調(diào)遞增,故a故選A.2.(2023年年新高考[1,7A.2,+∞B.C.5,+∞D(zhuǎn).[分析]首先求出fx的定義域,然后將原函數(shù)拆解為內(nèi)層二次函數(shù)和外層對數(shù)函數(shù),根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減原則,求出f[解答]由x2?4x?5>0得x>5因?yàn)閥=x2?4x?5在5故選D.命題點(diǎn)5分段函數(shù)例(2023年年新高考I,15)函數(shù)fx【命題分析】本題以分段函數(shù)為載體,考查函數(shù)的單調(diào)性及最大(小)值,屬于課程學(xué)習(xí)情境,體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性.通過原函數(shù)的分段改寫考查學(xué)生用確切、清晰、有條理的數(shù)學(xué)語言舉行表述數(shù)學(xué)問題的能力,通過由分到總的分析比較過程,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和分類與整合思想.此題屬于SOLO分類結(jié)構(gòu)模型中的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu).【解題剖析】[題意理解]序號信息讀取信息加工1f函數(shù)解析式包含一個絕對值函數(shù)和一個對數(shù)函數(shù),絕對值函數(shù)通常需要去絕對值號,將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),對數(shù)函數(shù)決定函數(shù)定義域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集2求函數(shù)最小值在分段函數(shù)的每一段函數(shù)中借助基本初等函數(shù)或?qū)?shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,并對每一段上的最小值舉行比較,進(jìn)而求解整體最小值[思路探求]關(guān)鍵步驟思維要點(diǎn)思維緣故去絕對值1對絕對值內(nèi)表達(dá)式舉行正負(fù)的研究,并注意對數(shù)函數(shù)定義域,就可去掉絕對值,轉(zhuǎn)化得到一個分段函數(shù),需要考生有一定的數(shù)學(xué)表達(dá)技能求單調(diào)性當(dāng)x∈0,12時,fx單調(diào)遞減;當(dāng)x∈第一段函數(shù)的單調(diào)性可通過單調(diào)性加減法則直接得出,第二段函數(shù)的單調(diào)性可通過求導(dǎo)得出,要求考生有一定的運(yùn)算求解能力求最小值當(dāng)x∈0,12時,最小值為f兩段函數(shù)分離求得最小值,并舉行大小比較,從而決定原函數(shù)整體的最小值,感悟分類與整合的思想[書寫表達(dá)]fx=令f′x=0,則x=當(dāng)x∈1,+∞時,f′x>0當(dāng)0<x≤12時,f′x=?2?2綜上,fx求分段函數(shù)單調(diào)區(qū)間時,首先判斷每段的單調(diào)性,倘若單調(diào)性相同,則需要判斷函數(shù)是延續(xù)的還是斷開的,倘若函數(shù)延續(xù),則單調(diào)區(qū)間可以并在一起;倘若函數(shù)不延續(xù),則要按照函數(shù)在兩段分界點(diǎn)處的函數(shù)值(和臨界值)的大小決定是否能夠?qū)握{(diào)區(qū)間并在一起.求分段函數(shù)的最值時,以單調(diào)性的分析為基礎(chǔ),比較各段的最值,從而決定整體最值.本題在解決過程中需要借助絕對值函數(shù)的處理主意,將原函數(shù)改寫成分段函數(shù),應(yīng)用數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)推理技能判斷各分段函數(shù)的單調(diào)性,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的主意求解原函數(shù)的最值在將原函數(shù)寫成分段函數(shù)的過程中,需要注重原函數(shù)的定義域,并決定恰當(dāng)?shù)姆侄螛?biāo)準(zhǔn),防止浮上不等價變形.失分點(diǎn)是考生對絕對值函數(shù)處理不到位或者處理以后不會分析分段函數(shù)的單調(diào)性.本題源于人教A版必修第一冊第100頁第6題,人教B版必修第一冊第139頁A組第2題.類題賞析(2023年年全國II,理9)設(shè)函數(shù)fx=ln2x+A.是偶函數(shù),且在12,+∞單調(diào)遞增?B.是奇函數(shù),且在C.是偶函數(shù),且在?∞,?12單調(diào)遞增D.是奇函數(shù),且在[分析]按照奇偶性的定義可判斷出fx為奇函數(shù),排除AC;當(dāng)x∈?12,12時,利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可判斷出[解答]由題意可知,fx的定義域?yàn)閤因?yàn)閒x=ln2x+1?ln2x當(dāng)x∈?1所以f′x=22x同理,fx在區(qū)間?∞,?考向(二)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)命題點(diǎn)1指數(shù)運(yùn)算與對數(shù)運(yùn)算例（多選）(2023年新課標(biāo)I,10)噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱,定義聲壓級Lp=20×lgp聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060混合動力汽車1050電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10?m處測得實(shí)際聲壓分離為pA.p1≥C.p3=【命題分析】本題以對數(shù)函數(shù)為載體,考查利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力,屬于生活實(shí)踐情境,體現(xiàn)應(yīng)用性和創(chuàng)新性.通過文本閱讀考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀技能和邏輯思維能力,通過數(shù)據(jù)處理考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,此題屬于SOLO分類結(jié)構(gòu)模型中的低拓展抽象結(jié)構(gòu).【解題剖析】[題意理解]序號信息讀取信息加工1定義聲壓級L這是一個新情境問題,定義了聲壓級,整體為一個對數(shù)表達(dá)式,底數(shù)為10.其中常數(shù)p0p02表格展示三種不同汽車聲源的聲壓級范圍距離相同的條件下,三種聲源的聲壓級處在不同的區(qū)間,可以聯(lián)想到三種聲源的實(shí)際聲壓也不同3選項(xiàng)均是三種聲源實(shí)際聲壓的大小比較通過三種聲源聲壓級的大小比較,可轉(zhuǎn)化為三種聲源實(shí)際聲壓的大小比較[思路探求]關(guān)鍵步驟思維要點(diǎn)思維緣故定義應(yīng)用Lp1按照新情境和新定義,將文字信息和圖表信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言,需要一定的數(shù)學(xué)閱讀技能A項(xiàng)分析Lp1?Lp2=20比較p1和p2,可以通過比較LpB項(xiàng)分析Lp2?Lp3=20×lgp2比較p2和p3,可以通過比較Lp2和LpC項(xiàng)分析Lp3=20×lgp通過聲壓級的定義式可直接代入求得,此項(xiàng)為四個選項(xiàng)中難度較小的一項(xiàng)D項(xiàng)分析Lp1?Lp2此選項(xiàng)的分析主意類似A項(xiàng),此時只需體現(xiàn)Lp[書寫表達(dá)]由題意知Lp對于選項(xiàng)A,可得Lp因?yàn)長p1≥即lgp1p2≥0,所以p1p2對于選項(xiàng)B,可得Lp因?yàn)長p2?即lgp2p3≥12當(dāng)且僅當(dāng)Lp對于選項(xiàng)C,因?yàn)長p3=20×lgp3p0=對于選項(xiàng)D,由選項(xiàng)A可知Lp1?Lp2=20×lgp1p2,且Lp1故選ACD.回顧反思對于新定義問題,從數(shù)學(xué)建模的流程來看,類似模型的檢驗(yàn),只需運(yùn)用給定的已知模型直接運(yùn)算即可本題在解決過程中需要借助對數(shù)運(yùn)算法則將聲壓級的比較轉(zhuǎn)換到實(shí)際聲壓的比較,應(yīng)用數(shù)學(xué)閱讀和數(shù)學(xué)運(yùn)算技能對數(shù)據(jù)舉行分析處理.新定義問題易造成一定的閱讀壓力,解題策略為聚焦關(guān)鍵信息,刪繁就簡,從數(shù)學(xué)的角度對現(xiàn)實(shí)問題舉行數(shù)學(xué)抽象,充足理解題意,理清信息的內(nèi)在邏輯,在計(jì)算求解時要防止運(yùn)算錯誤.本題源于人教A.版必修第一冊第134頁例4,第140頁第3,5題,第141頁第10題,人教B版必修第二冊第44頁例4,第45頁第3,4題.通過對真切情境的抽象,考查學(xué)生能在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、決定參數(shù)、計(jì)算求解、檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型;能用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)主意構(gòu)建模型解決問題.類題賞析1.(2023年年新高考II,7)已知a=log52,A.c<b<aB.b[分析]利用中間值法可比較大小.[解答]a=log52.(多選)(2023年年新高考II,12)設(shè)正整數(shù)n=a0?20A.ω2n=C.ω8n+[分析]這是關(guān)于指數(shù)運(yùn)算的新情境問題,考查數(shù)學(xué)閱讀技能和邏輯推理能力.[解答]對于A選項(xiàng),ωn=a0+a1對于B選項(xiàng),取n=2,而2=0?20對于C選項(xiàng),8n+5=a0?23+a1?2對于D選項(xiàng),2n?1=2故選ACD.3.(2023年年全國甲,理4)青少年眼力是社會普遍擔(dān)心的問題,眼力情況可借助眼力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄眼力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿意L=5+lgV.已知某學(xué)生眼力A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6[分析]此題為新情境問題,考查數(shù)學(xué)閱讀技能、指數(shù)和對數(shù)運(yùn)算求解能力.[解答]由題意L=5+lgV,當(dāng)L命題點(diǎn)2指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)例(2023年年全國I,理12)若2aA.a>2bB.a<2b【命題分析】本題以指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)為載體,考查利用函數(shù)單調(diào)性比較大小的問題,屬于探索創(chuàng)新情境,體現(xiàn)綜合性和應(yīng)用性.通過對等式變形考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,通過構(gòu)造子函數(shù)分析單調(diào)性考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想.本題屬于SOLO分類結(jié)構(gòu)模型中的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu).【解題剖析】[題意理解]序號信息讀取信息加工等式左側(cè)為指數(shù)式加對數(shù)式,且底數(shù)均為2,右側(cè)與左側(cè)形式相近但略12有不同,底數(shù)為42四個選項(xiàng)看見比較A,B項(xiàng)為a與2b的大小比較,C,D項(xiàng)為a與b2[思路探求]關(guān)鍵步驟思維要點(diǎn)思維緣故2等式左右兩側(cè)形式相近,均為一個指數(shù)式加一個對等式變形2數(shù)式,兩側(cè)底數(shù)不同,但通過變形可變?yōu)橥坏讛?shù)構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)fx=等式左右兩側(cè)結(jié)構(gòu)進(jìn)一步相同,可以通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性,將靜態(tài)等式轉(zhuǎn)化為動態(tài)的為增函數(shù)函數(shù)值比較,感悟轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想續(xù)表關(guān)鍵步驟思維要點(diǎn)思維緣故等式轉(zhuǎn)化fa=f2b借助fx在區(qū)間0作差比較fα?fb比較a與b2符號判定當(dāng)b=1時,fa?fb2=2>0,此時fa>fb2,有a作差法得到關(guān)于b的等式,此時可繼續(xù)構(gòu)造函數(shù)看見函數(shù)值的正負(fù)是否恒定,鑒于單選題B項(xiàng)已明確的情形下,可通過異常值法來排除C,D選項(xiàng)[書寫表達(dá)]設(shè)fx=2x+log2x,則fx在區(qū)間0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增,因?yàn)?a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b=22b+【回顧反思】當(dāng)?shù)仁街懈∩想p變量且結(jié)構(gòu)相似時,可以通過恒等變形將兩個變量分離移項(xiàng)至等號兩側(cè),通過構(gòu)造函數(shù)將靜態(tài)的等式轉(zhuǎn)化為動態(tài)的函數(shù)值,再利用函數(shù)的單調(diào)性分析推得相應(yīng)結(jié)論.本題在解決過程中需要借助對數(shù)基本運(yùn)算法則和換底公式對等式舉行化簡,應(yīng)用數(shù)學(xué)運(yùn)算技能和構(gòu)造法構(gòu)造函數(shù),應(yīng)用作差法驗(yàn)證、排除選項(xiàng).本題源于人教A版必修第一冊141頁第13題.類題賞析(2023年年全國II,理11)若2x?2yA.lny?C.lnx?[分析]將不等式變?yōu)?x?3?x<2[解答]因?yàn)?x?2因?yàn)閒t=2t?所以x<y,所以y?x>考向(三)函數(shù)與方程理解用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基本過程內(nèi)容要求運(yùn)用模型思想發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)要求能夠從函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識方程和不等式,并運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解方程和不等式命題點(diǎn)函數(shù)與方程例(2023年新課標(biāo)I,15)已知函數(shù)fx=cosωx?1【命題分析】本題以余弦型函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)為載體,考查函數(shù)與方程問題,屬于課程學(xué)習(xí)情境,體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性.通過零點(diǎn)問題的兩種常用解法考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,通過題設(shè)的數(shù)形轉(zhuǎn)化考查學(xué)生的函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想.此題屬于SOLO分類結(jié)構(gòu)模型中的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu).【解題剖析】[題意理解]序號信息讀取信息加工1f按照解析式判斷這是一個ω>2在區(qū)間[0函數(shù)圖象與x軸在區(qū)間[03求ω的取值范圍ω決定函數(shù)周期,即圖象的橫向伸縮,進(jìn)而在定區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生不同的交點(diǎn)個數(shù)[思路探求]關(guān)鍵步驟思維要點(diǎn)思維緣故由形到數(shù)函數(shù)有三個零點(diǎn),即方程fx=cosωx按照零點(diǎn)定義,將函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程問題,感悟函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想換元思想令t=ωx,則cos通過換元,將方程轉(zhuǎn)化為容易函數(shù)求解問題,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算技能,感悟轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想由數(shù)到形結(jié)合余弦函數(shù)圖象,刻畫區(qū)間端點(diǎn),決定參數(shù)范圍將方程問題再次轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,借助容易的余弦曲線,刻畫區(qū)間端點(diǎn),決定參數(shù)范圍.要求具備一定的數(shù)學(xué)作圖技能,感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想[書寫表達(dá)]主意一:因?yàn)?≤x≤令fx=cosωx?1令t=ωx,則cost結(jié)合余弦函數(shù)y=cost的圖象與性質(zhì)可得,4π≤主意二:令fx=cosωx?1即ωx=2kπ,因?yàn)閤1=0,x【回顧反思】函數(shù)零點(diǎn)問題常用兩種主意,一是從形的角度,考慮圖象與x軸的交點(diǎn),普通需借助導(dǎo)數(shù)分析極值;二是從數(shù)的角度,考慮方程解的個數(shù),需要利用數(shù)與形的靈便轉(zhuǎn)化.本題在解決過程中需調(diào)用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析條件和設(shè)問,應(yīng)用數(shù)學(xué)作圖和數(shù)學(xué)表達(dá)技能實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化,運(yùn)用換元法和數(shù)形結(jié)合求解方程.在解決零點(diǎn)問題時,可能需要數(shù)與形的多次轉(zhuǎn)化,要注重轉(zhuǎn)化的恒等性.在使用換元法時,要注重新元的取值范圍.本題源于人教A版必修第一冊160頁第4題.類題賞析(2023年年新高考I,8)若定義在R上的奇函數(shù)fx在?∞,0單調(diào)遞減,且f2=0,則滿足xfxA.[?1,C.[?1,[分析]首先按照函數(shù)奇偶性與單調(diào)性,得到函數(shù)fx的大致圖象,再按照xfx?[解答]不等式xfx?1≥因?yàn)閒2=0,所以f?2=0因?yàn)閒x在區(qū)間?∞,0上單調(diào)遞減,所以fx所以x≥0,x?所以滿意xfx?1≥0命題邏輯1.課標(biāo)要求(1)函數(shù)概念(1)在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上,用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù),建立殘破的函數(shù)概念,體味集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.了解構(gòu)成函數(shù)的要素,能求容易函數(shù)的定義域.(2)在實(shí)際情境中,會按照不同的需要挑選恰當(dāng)?shù)闹饕?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù),理解函數(shù)圖象的作用.(3)通過詳細(xì)實(shí)例,了解容易的分段函數(shù),并能容易應(yīng)用.(2)函數(shù)性質(zhì)(1)借助函數(shù)圖象,會用符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值,理解它們的作用和實(shí)際意義.(2)結(jié)合詳細(xì)函數(shù),了解奇偶性的概念和幾何意義.(3)結(jié)合三角函數(shù),了解周期性的概念和幾何意義.(3)*函數(shù)的形成與發(fā)展收集、閱讀函數(shù)的形成與發(fā)展的歷史資料,撰寫小論文,論述函數(shù)發(fā)展的過程、重要結(jié)果、主要人物、關(guān)鍵事件及其對人類文明的貢獻(xiàn).(4)冪函數(shù)通過詳細(xì)實(shí)例,結(jié)合y=x,(5)指數(shù)函數(shù)(1)通過對有理指數(shù)冪amna>0,且a(2)通過詳細(xì)實(shí)例,了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義,理解指數(shù)函數(shù)的概念.(3)能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出詳細(xì)指數(shù)函數(shù)的圖象,探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與異常點(diǎn).(6)對數(shù)函數(shù)(1)理解對數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì),知道用換底公式能將普通對數(shù)轉(zhuǎn)化整天然對數(shù)或常用對數(shù).(2)通過詳細(xì)實(shí)例,了解對數(shù)函數(shù)的概念.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出詳細(xì)對數(shù)函數(shù)的圖象,探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與異常點(diǎn).(3)知道對數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)(4)*收集、閱讀對數(shù)概念的形成與發(fā)展的歷史資料,撰寫小論文,論述對數(shù)發(fā)現(xiàn)的過程以及對數(shù)對簡化運(yùn)算的作用.2.考點(diǎn)頻度高考試題(年份/卷別/題號)2023年2023年年2023年年新課標(biāo)新課標(biāo)II全國甲全國乙新高考全國甲全國乙新高考考新高考I全國甲全國乙41011154理13文11理47128理5文7理12文8文16131578121理文理12文文12理文理12考查內(nèi)容必備知識函數(shù)的概念，圖象與性質(zhì)????????????????????指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)??????函數(shù)與方程?關(guān)鍵能力邏輯思維能力??????J???J???J??運(yùn)算求解能力???????????空間想象能力數(shù)學(xué)建模能力??????創(chuàng)新能力??學(xué)科素養(yǎng)理性思維?????????JJ????數(shù)學(xué)應(yīng)用??數(shù)學(xué)探索???????????????數(shù)學(xué)文化考查要求基礎(chǔ)性???????綜合性???????????????應(yīng)用性??創(chuàng)新性???試題情境課程學(xué)習(xí)情境??????????????????探索創(chuàng)新情境???????生活實(shí)踐情境??3.備考策略函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的一條主線,對囫圇高中數(shù)學(xué)有著重要的意義,題目分布在挑選題和填空題居多,以基本初等函數(shù)、基本初等函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)以及抽象函數(shù)為載體,以函數(shù)內(nèi)容和性質(zhì)為載體,考查函數(shù)的定義域、值域,函數(shù)的表示主意、圖象及性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性),常與導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等必備知識,考查數(shù)形結(jié)合、分類研究、轉(zhuǎn)化與化歸和函數(shù)與方程等思想.考查學(xué)生運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力、空間想象能力和數(shù)學(xué)建模等關(guān)鍵能力,尤其加大了對數(shù)學(xué)建模的考查力度,按如實(shí)際問題,建立函數(shù)模型或用已知模型解決實(shí)際問題.在復(fù)習(xí)備考過程中,建議重點(diǎn)擔(dān)心以下幾點(diǎn):(1)加強(qiáng)“四基四能”,夯實(shí)基礎(chǔ)知識指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是基礎(chǔ),要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上熟練控制這些函數(shù)的圖象和性質(zhì),確切控制函數(shù)概念和性質(zhì)的本質(zhì),會處理分段函數(shù)與抽象函數(shù)的相關(guān)問題,會識別函數(shù)圖象的變化.同時,指對運(yùn)算也是常考查的知識點(diǎn),學(xué)生應(yīng)加強(qiáng)對公式的理解及應(yīng)用的訓(xùn)練.(2)強(qiáng)化專題訓(xùn)練,擔(dān)心重難點(diǎn)突破函數(shù)性質(zhì)、零點(diǎn)、圖象等問題是函數(shù)專題的重點(diǎn)考查內(nèi)容,注重函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用,注重?cái)?shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想以及構(gòu)造新函數(shù)的訓(xùn)練,為突破難點(diǎn)做好決定工作.(3)回歸函數(shù)本質(zhì),提升核心素質(zhì)借助函數(shù)觀點(diǎn)統(tǒng)領(lǐng),從函數(shù)概念、函數(shù)性質(zhì)、數(shù)學(xué)運(yùn)算、技巧主意等思維視角切人,結(jié)合函數(shù)結(jié)構(gòu)的全面厘清,函數(shù)主意的綜合應(yīng)用,函數(shù)模型的適當(dāng)建立,函數(shù)觀點(diǎn)確實(shí)切應(yīng)用,從而合理創(chuàng)新應(yīng)用,有效培養(yǎng)、形成、發(fā)展和拓展解題思維與主意,形成準(zhǔn)確分析問題與解決問題的能力,從而達(dá)到簡捷解題的目的,提高解題效率,提升數(shù)學(xué)能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素質(zhì).某種意義上說,函數(shù)的性質(zhì)都可以看成圖形的性質(zhì),控制函數(shù)圖象的特點(diǎn),基本上就控制了函數(shù)的基本性質(zhì).圖形具有直觀性,它可以協(xié)助我們理解抽象的概念和邏輯,尋求解決問題的思路.復(fù)習(xí)中要協(xié)助學(xué)生建立函數(shù)的基本思維框架,即分析問題一一決定函數(shù)一研究函數(shù)一一解決問題.在研究函數(shù)的過程中,常要回歸到最基本的初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)研究,通過分拆、復(fù)合、求導(dǎo)、異常到普通、轉(zhuǎn)化與化歸等主意解決問題.主題二三角函數(shù)考向(一)三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式角與弧度、三角函數(shù)概念和性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角內(nèi)容要求課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)要求恒等變換、三角函數(shù)應(yīng)用理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式能夠從兩個變量之間的依賴關(guān)系、實(shí)數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系、函數(shù)圖象的幾何直觀等多個角度，理解函數(shù)的意義與數(shù)學(xué)表達(dá)理解函數(shù)符號表達(dá)與抽象定義之間的關(guān)聯(lián),知道函數(shù)抽象概念的意義命題點(diǎn)給值求值例(2023年全國乙,文14)若θ∈0【命題分析】本題以θ的正切值為載體,求sinθ?cosθ的值,屬于課程學(xué)習(xí)情境,體現(xiàn)基礎(chǔ)性.通過三角函數(shù)的概念求解設(shè)問讓學(xué)生體驗(yàn)解題的原點(diǎn)是概念,考查學(xué)生普通【解題剖析】[題意理解]序號信息讀取信息加工1tan聯(lián)想三角函數(shù)的概念和切弦互化2sin看見表達(dá)式,聯(lián)想同角三角函數(shù)的基本關(guān)系[思路探求]關(guān)鍵步驟思維要點(diǎn)思維緣故設(shè)點(diǎn)法設(shè)θ終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)為P從三角函數(shù)的定義出發(fā)直接求值方程法tan聯(lián)想同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,分離求出sinθ與[書寫表達(dá)]主意一:因?yàn)棣取仕栽O(shè)θ終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)為P3,1所以sinθ=1主意二:因?yàn)棣取?,π所以sinθ【回顧反思】三角函數(shù)給值求值問題的關(guān)鍵是發(fā)揮三角函數(shù)概念的能力,充足利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式列方程.本題在解決過程中調(diào)用三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式舉行條件分析和設(shè)問的理解,運(yùn)用消元法確切求解方程組.本類題目需注重是按照θ的取值范圍對三角函數(shù)值舉行取舍,本題源于人教A版必修第一冊第229頁第8題(3)、人教B版必修第三冊第101頁例2(2).類題賞析1.(2023年年新高考I,6)若tanθ=?A.?65B.?25[分析]本題主要考查三角函數(shù)中的切弦互化,利用三角恒等變換公式轉(zhuǎn)化為齊次式,或者通過正切值求得正弦值、余弦值舉行求解.[解答]sinθ1+sin2.(2023年年全國I,理9)已知α∈0,πA.53B.23C.1[分析]用二倍角的余弦公式,將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosα的一元二次方程,求解得出cos[解答]原式化簡得3cos2α?4因?yàn)棣痢?,考向(二)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)內(nèi)容要求用幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的主意研究三角函數(shù)的周期性、奇偶性（對稱課程性）、單調(diào)性和最大（?。┲档刃再|(zhì)標(biāo)準(zhǔn)控制一些基本函數(shù)類(一元一次函數(shù)、反比例函數(shù)、一元二次函數(shù)、學(xué)業(yè)要求冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等)的背景、概念和性質(zhì)命題點(diǎn)1ω的取值范圍例(2023年年全國甲,理11)設(shè)函數(shù)fx=sinωx+πA.53,136B.5【命題分析】本題以正弦型函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn)個數(shù)問題為載體,求ω的取值范圍,屬于課程學(xué)習(xí)情境,體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性.將ωx+π3舉行整體代換,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸的能力.理解并會運(yùn)用正弦型函數(shù)的圖象,并在舉行計(jì)算的過程中,按照【解題剖析】[題意理解]序號信息讀取信息加工1f看見函數(shù)特征,正弦型函數(shù)聯(lián)想整體代換和圖象變換20給定x的取值范圍3三個極值點(diǎn)聯(lián)想極值點(diǎn)的求法:(1)整體代換,在對稱軸處取得極值;(2)導(dǎo)數(shù)4兩個零點(diǎn)聯(lián)想三個等價關(guān)系,即函數(shù)零點(diǎn)方程的根函數(shù)圖象的公共點(diǎn)5ω的取值范圍按照已知條件,對信息舉行整合,列出滿意題意的不等式舉行求解[思路探求]關(guān)鍵步驟決定參數(shù)ω的符號思維要點(diǎn)思維緣故1.作為挑選題,可以看見選項(xiàng)決定.w的符號影響ωx+2.若ω<0,則ωπ+需要結(jié)合選項(xiàng)、題目條件和函點(diǎn),零點(diǎn)個數(shù)不少于極值點(diǎn)個數(shù),不符合題意數(shù)圖象舉行決定續(xù)表關(guān)鍵步驟思維要點(diǎn)思維緣田令ωx+π3=π整體換元法實(shí)際上是不變量法的另一種容易的表現(xiàn)形式,其中隱含整體思想和轉(zhuǎn)化與化歸求極值點(diǎn)極值點(diǎn)為?,?5π6ω,π和求零點(diǎn)5.196;令ωx+π3=kπ,k∈Z思想.正弦型函數(shù)是復(fù)合函數(shù),用換元法舉行運(yùn)算求解極值點(diǎn)和零點(diǎn)畫正弦型函數(shù)圖象作圖主意1圖形是思量問題的一種方式,數(shù)和形轉(zhuǎn)換是解決問題的基本主意,用形來刻畫數(shù)的特征,感悟數(shù)形結(jié)合思想.正弦型函數(shù)圖象是由平移變換得到,要注重平移的方向和平移的量,采用形象思維-[書寫表達(dá)]主意一:特值驗(yàn)證分析選項(xiàng),A中包含2,B中包含2,3,C中不包含2,3,D中包含3,因此只需要驗(yàn)證2和3.(1)當(dāng)ω=2時,fx=sin2x+π3,令當(dāng)k=0時,x=π12所以函數(shù)fx在區(qū)間0,π內(nèi)有兩個極值點(diǎn),不符合題意.故排除A,B.(2)當(dāng)ω=3時,f即函數(shù)fx的極值點(diǎn)為x當(dāng)k=0時,x=π18,π18∈0,所以函數(shù)fx在區(qū)間0令3x+π3=kπ,k當(dāng)k=1時,x=2π9,2π9∈0,所以函數(shù)fx在區(qū)間0主意二:從解析式入手結(jié)合選項(xiàng),只考慮ω>0(參數(shù)ω的符號的決定也可以按照圖象舉行判斷:若ω<0,則ωπ+令ωx+π3所以fx的極值點(diǎn)為?,?因?yàn)闃O值點(diǎn)在區(qū)間0,π內(nèi),所以13π6ω令ωx+π3=kπ,k因?yàn)榱泓c(diǎn)在區(qū)間0,π內(nèi),所以5π3ω<π,8π3ω≥結(jié)合選項(xiàng),只考慮ω>0,將fx=sinωx+π3變形可得fx要使函數(shù)fx在區(qū)間0,π內(nèi)恰有三個極值點(diǎn),兩個零點(diǎn),則13π6ω<主意四:結(jié)合選項(xiàng),只考慮ω>0,因?yàn)閤∈令t=ωx+則5π2<ωπ+π【回顧反思】解決三角函數(shù)中求參數(shù)取值范圍問題的關(guān)鍵是按照題目條件明確ω的符號,確切作出函數(shù)的圖象.本題在解決過程中需要結(jié)合正弦型函數(shù)的極值、零點(diǎn)等數(shù)學(xué)知識舉行條件分析和設(shè)問理解,應(yīng)用數(shù)學(xué)推理技能明確ω的符號,應(yīng)用數(shù)學(xué)運(yùn)算技能求正弦型函數(shù)的極值和零點(diǎn),應(yīng)用數(shù)學(xué)作圖技能確切畫出函數(shù)圖象.明確ω的符號時,要注重結(jié)合選項(xiàng),分析圖象特點(diǎn),防止忽略符號而失分,作函數(shù)圖象時,利用平移變換要注意平移的方向和平移的量,防止作圖不確切而失分.本題源于人教A版必修第一冊第200頁練習(xí)第4題.類題賞析1.(2023年年全國甲,文5)將函數(shù)fx=sinωx+π3ω>0的圖象向左平移πA.16B.14C.1[分析]先由平移求出曲線C的解析式,再結(jié)合對稱性得ωπ2+π3=π2令gx=fx+π2,因?yàn)榍€C的圖象關(guān)于y軸對稱,所以gx為偶函數(shù),則π2ω+2.(2023年年全國乙,理15)記函數(shù)fx=cosωx+φω>0,[分析]首先表示出周期T,按照fT=32求出φ,再按照[解答]依題意,T=2πω又0<φ<所以fx又x=π9所以fπ所以π9所以ω=又ω>0,所以命題點(diǎn)2三角函數(shù)的圖象與解析式例(2023年新課標(biāo)II,16)已知函數(shù)fx=sinωx+φ,如圖,A,B是直線【命題分析】本題以三角函數(shù)圖象為載體,考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的解析式,屬于課程學(xué)習(xí)情境,體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性.通過三角函數(shù)圖象與性質(zhì),考查學(xué)生看見、分析、歸納等邏輯思維能力,通過數(shù)形關(guān)系的處理,考查學(xué)生函數(shù)與方程的思想和運(yùn)算求解能力.本題屬于SOLO分類結(jié)構(gòu)模型中的多點(diǎn)結(jié)構(gòu).【解題剖析】[題意理解]序號信息讀取信息加工1A,B是直線y=將圖象的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程解的問題,即sin(ωx+2AB聯(lián)想到設(shè)出A,B兩點(diǎn)坐標(biāo),將AB轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)之差3f通過看見圖象,代特值求φ[思路探求]關(guān)鍵步驟思維要點(diǎn)思維緣故設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)A為表示AB=π6數(shù)形結(jié)合sin解方程得ω的值代入特值f看見圖象,代入特值求φ[書寫表達(dá)]設(shè)Ax1,12因?yàn)閟inωxωx2+φ?因?yàn)閒2所以8π3+φ所以fx=sin4x即fx=sin4x又因?yàn)閒0<0所以fπ數(shù)學(xué)回顧反思求解三角函數(shù)y=Asinωx+φ解析式的關(guān)鍵是按照已知的圖象或性質(zhì)決定振幅得到A的值,按照周期決定ω的值,通常按照異常點(diǎn)決定φ的值.本題解題過程中需要調(diào)用正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)舉行條件分析和設(shè)問理解,應(yīng)用數(shù)學(xué)運(yùn)算技能和邏輯推理求解φ值的時候要注重按照條件舉行取合,防止浮上正負(fù)號錯誤失分.本題來源于人教A版必修第一冊第245頁例1、人教B版必修第三冊第50頁練習(xí)A第2題.類題賞析1.(2023年全國乙,理16,文10)已知函數(shù)fx=sinωx+φ在區(qū)間π6,2π3單調(diào)遞增,直線A.?32B.?12[分析]由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù),可得函數(shù)解析式,代入即可得解.[解答]由題意,知函數(shù)fx的周期T=2又由題意,得fπ6=?1,即sin2×π2.(2023年年新高考I,6)記函數(shù)fx=sinωx+π4+bω>0的最小正周期為TA.1B.32C.5[分析]由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù),可得函數(shù)解析式,代入即可得解.[解答]因?yàn)閥=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)3π所以b=2,且所以3π2ω+因?yàn)門=所以2π3<2πω<π,所以故fx所以fπ故選A.命題點(diǎn)3三角函數(shù)圖象的變換例(2023年全國甲,理10,文12)已知函數(shù)fx的圖象由函數(shù)y=cos2x+π6的圖象向左平移πA.1B.2C.3D.4【命題分析】本題以余弦型函數(shù)的圖象為載體,求解函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)問題,屬于課程學(xué)習(xí)情境,體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性.通過三角函數(shù)解析式的決定考查學(xué)生邏輯思維能力和信息整合的能力,通過計(jì)算異常點(diǎn)處函數(shù)值的大小,決定兩圖象的高低從而決定兩圖象的交點(diǎn)個數(shù),考查學(xué)生函數(shù)與方程的思想和數(shù)形結(jié)合思想,以及運(yùn)算求解能力.本題屬于SOLO分類結(jié)構(gòu)模型中的多點(diǎn)結(jié)構(gòu).【解題剖析】[題意理解]序號信息讀取信息加工1向左平移π6聯(lián)想到函數(shù)圖象變化法則,沿x軸平移“左加右減”,得到fx2y=fx聯(lián)想作出函數(shù)圖象,數(shù)形結(jié)合求解[思路探求]關(guān)鍵步驟思維要點(diǎn)思維緣故圖象平移y=cos2應(yīng)用圖象變換法則,沿x軸平移遵循“左加右減”代異常點(diǎn)2x通過計(jì)算異常點(diǎn)處的函數(shù)值決定圖象高低，繼而決定兩圖象交點(diǎn)個數(shù)[書寫表達(dá)]由題意知fx在平面直角坐標(biāo)系中畫出y=?sin2x與考慮2x=?即x=?3π4,x當(dāng)x=?3π4當(dāng)x=3π4當(dāng)x=7π4所以由圖象可知,fx與y【回顧反思】處理與三角函數(shù)圖象有關(guān)的問題,關(guān)鍵是理解并會運(yùn)用三角函數(shù)的圖象平移和伸縮法則,得到變換之后的函數(shù)解析式,并能作出函數(shù)圖象.考查學(xué)生按照法則、公式舉行準(zhǔn)確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理的能力.研究y=Asin類題賞析(2023年年全國乙,理7)把函數(shù)y=fx圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到本來的12倍,縱坐標(biāo)不變,再把所得曲線向右平移π3個單位長度,得到函數(shù)A.sinx2C.sin2x?[分析]通過三角函數(shù)圖象變換即可得到解析式.[解答]逆向考慮:y=sinx?π4考向(三