安徽省淮北市樹人高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理

PAGEPAGE26安徽省淮北市樹人高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．以復(fù)數(shù)－24＋mi(m∈R)的實部為首項，虛部為公差的等差數(shù)列{an}，當(dāng)且僅當(dāng)n＝10時其前n項和最小，則m的取值范圍是（）A．B．C． D．2．已知集合A={x|-1≤x≤1}和集合B={y|y=x2}，則A∩B等于（）A．{y|0<y<1}B．{y|0≤y≤1}C．{y|y>0}D．{(0，1)，(1，0)}3．我市中學(xué)數(shù)學(xué)探討會打算從會員中選拔名男生，名女生組成一個小組去參與數(shù)學(xué)文化學(xué)問競賽，若，滿意約束條件，則該小組最多選拔學(xué)生（）A．24名 B．19名 C．16名 D．14名4．我國經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣的一道題：今有出錢五百七十六，買竹七十八，欲其大小率之，向各幾何？其意是：今有人出錢576，買竹子78根，擬分大?小兩種竹子為單位進行計算，每根大竹子比小竹子貴1錢，問買大?小竹子各多少根？每根竹子單價各是多少錢？則在這個問題中大竹子每根的單價可能為（）A．6錢 B．7錢 C．8錢 D．9錢5．函數(shù)的圖象可能是（）A． B．C． D．6．已知二項式的綻開式的二項式項的系數(shù)和為64，，則（）A．20 B．30 C．60 D．807．已知某三角函數(shù)的部分圖象如圖所示，則它的解析式可能是（）A．B．C． D．8．若等差數(shù)列的公差為d，前n項和為，記則A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，的公差也為dB．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，的公差為2dC．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，的公差為dD．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，的公差為9．已知，是與向量方向相同的單位向量，向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為A． B． C． D．10．我國古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另始終角邊為股，斜邊為弦．若為直角三角形的三邊，其中為斜邊，則，稱這個定理為勾股定理．現(xiàn)將這肯定理推廣到立體幾何中：在四面體中，，為頂點所對面的面積，分別為側(cè)面的面積，則下列選項中對于滿意的關(guān)系描述正確的為A．B．C． D．11．已知點，，P為曲線上隨意一點，則的取值范圍為A． B． C． D．12．已知在上的函數(shù)滿意如下條件：①函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；②對于隨意，；③當(dāng)時，；④函數(shù)，，若過點的直線與函數(shù)的圖象在上恰有8個交點，在直線斜率的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分.13．過點作函數(shù)的切線，則切線方程是_________．14．已知等差數(shù)列中，，，數(shù)列滿意，則______.15．已知點在拋物線：上，過點的直線交拋物線于，兩點，若，則直線的傾斜角的正弦值為______.16．已知三棱錐中，二面角的大小為，是邊長為4的正三角形，是以為直角頂點的直角三角形，則三棱錐外接球的表面積為______.解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答。第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（1）求角A的大?。唬?）求的取值范圍.18．四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，為的中點，為的中點，平面底面.（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）若與底面所成的角為，求二面角的余弦值.19．東莞的輕軌給市民出行帶來了很大的便利，越來越多的市民選擇乘坐輕軌出行，許多市民都會開汽車到離家最近的輕軌站，將車停放在輕軌站停車場，然后進站乘輕軌出行，這給輕軌站停車場帶來很大的壓力．某輕軌站停車場為了解決這個問題，確定對機動車停車施行收費制度，收費標(biāo)準(zhǔn)如下：4小時內(nèi)（含4小時）每輛每次收費5元；超過4小時不超過6小時，每增加一小時收費增加3元；超過6小時不超過8小時，每增加一小時收費增加4元，超過8小時至24小時內(nèi)（含24小時）收費30元；超過24小時，按前述標(biāo)準(zhǔn)重新計費．上述標(biāo)準(zhǔn)不足一小時的按一小時計費．為了調(diào)查該停車場一天的收費狀況，現(xiàn)統(tǒng)計1000輛車的停留時間（假設(shè)每輛車一天內(nèi)在該停車場僅停車一次），得到下面的頻數(shù)分布表：（小時）頻數(shù)（車次）10010020020035050以車輛在停車場停留時間位于各區(qū)間的頻率代替車輛在停車場停留時間位于各區(qū)間的概率．（1）現(xiàn)在用分層抽樣的方法從上面1000輛車中抽取了100輛車進行進一步深化調(diào)研，記錄并統(tǒng)計了停車時長與司機性別的列聯(lián)表：男女合計不超過6小時306小時以上20合計100完成上述列聯(lián)表，并推斷能否有90%的把握認為“停車是否超過6小時”與性別有關(guān)？（2）（i）表示某輛車一天之內(nèi)（含一天）在該停車場停車一次所交費用，求的概率分布列及期望；（ii）現(xiàn)隨機抽取該停車場內(nèi)停放的3輛車，表示3輛車中停車費用大于的車輛數(shù)，求的概率．參考公式：，其中0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02420．如圖，已知橢圓過點，其的左、右頂點分別是，，下、上頂點分別是，，是橢圓上第一象限內(nèi)的一點，直線，的斜率，滿意.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于另一點，求四邊形面積的取值范圍.21．已知函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)為.（1）當(dāng)時，探討的單調(diào)性；（2）設(shè)，方程有兩個不同的零點，求證.選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。假如多做，則按所做的第一題計分。22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）若點、為曲線上的兩點，且，求的最小值．23．已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若不等式在實數(shù)上的解集不是空集，求正數(shù)的取值范圍。參考答案1．D【分析】由題可得，，由可求得.【詳解】由題可得等差數(shù)列{an}的首項，公差，，由題意知，則可解得.故選：D.2．B【分析】先由二次函數(shù)的值域求得集合B，再運用集合的交集運算可得選項．【詳解】因為B={y|y=x2}，所以B={y|y≥0}，A∩B={y|0≤y≤1}．故選：B．3．B【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，然后求的最大值即可.【詳解】畫出，滿意約束條件表示的平面區(qū)域，如圖所示．要求招入的人數(shù)最多，即取得最大值，目標(biāo)函數(shù)化為，在可行域內(nèi)隨意取，且為正整數(shù)，使得目標(biāo)函數(shù)代表的斜率為定值，截距最大時的直線過點，聯(lián)立得，此時目標(biāo)函數(shù)取得最大值為，故選：B【點睛】本題考查的是線性規(guī)劃的學(xué)問，屬于基礎(chǔ)題.4．C【分析】依據(jù)題意設(shè)買大竹子，每根單價為，可得，由，解不等式組即可求解.【詳解】依題意可設(shè)買大竹子，每根單價為，購買小竹子，每根單價為，所以，即，即，因為，所以，依據(jù)選項，，所以買大竹子根，每根元.故選：C【點睛】本題考查了不等式，考查了數(shù)據(jù)處理實力以及分析實力，屬于基礎(chǔ)題.5．B【分析】分析四個圖像，從而推斷函數(shù)的性質(zhì)，利用解除法求解．【詳解】由于函數(shù)的定義域為，且在上為連續(xù)函數(shù)，可解除A答案；由于，，，所以，可解除C答案；當(dāng)時，，故解除D答案；故答案選B.【點睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的推斷與數(shù)形結(jié)合的思想方向的應(yīng)用，屬于中檔題6．C【分析】依據(jù)題意賦值可得，從而求出，再換元，設(shè)，將二項式綻開，即可依據(jù)二項綻開式的通項公式求出．【詳解】依據(jù)題意，令可得，即設(shè)，即，即，令，解得．∴，可知.故選：C.【點睛】本題主要考查利用二項綻開式的通項公式求某指定項的系數(shù)，以及二項式定理，賦值法的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是換元法的運用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實力和數(shù)學(xué)運算實力，屬于中檔題．7．C【解析】試題分析：,所以所以它的解析式可能是，選C.考點：三角函數(shù)解析式【方法點睛】已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點法”中相對應(yīng)的特別點求.8．D【分析】依據(jù)已知寫出若等差數(shù)列的通項公式和求和公式，依據(jù)等差數(shù)列通項公式的函數(shù)性質(zhì)推斷即可得出結(jié)論.【詳解】由題可得，，則是關(guān)于n的一次函數(shù)，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故A，B錯誤；由是關(guān)于n的一次函數(shù)，得數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故C錯誤；又是關(guān)于n的一次函數(shù)，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故D正確.故選:D.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式，考查等差數(shù)列,是關(guān)于的一次函數(shù)，公差為，嫻熟駕馭等差數(shù)列通項公式的函數(shù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9．B【分析】設(shè)，求出，，再依據(jù)向量在向量上的投影向量的定義列式求出，最終利用平面對量的夾角公式可求得結(jié)果.【詳解】因為是與向量方向相同的單位向量，設(shè)，則，所以，得，所以，因為向量在向量上的投影為，且向量在向量上的投影向量為，所以，所以，所以，所以，設(shè)與的夾角為，則，又，所以，故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用向量在向量上的投影向量的定義以及平面對量的夾角公式求解是解題關(guān)鍵.10．C【分析】作四面體，，于點，連接，結(jié)合勾股定理可得答案．【詳解】作四面體，，于點，連接，如圖.即故選C.【點睛】本題主要考查類比推理，解題的關(guān)鍵是將勾股定理遷移到立體幾何中，屬于簡潔題．11．A【分析】結(jié)合已知曲線方程，引入?yún)?shù)方程，然后結(jié)合和角正弦公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：設(shè)則由可得，令，，，，，，，，，【點睛】本題主要考查了平面對量數(shù)量積的運算及三角函數(shù)性質(zhì)的簡潔應(yīng)用，參數(shù)方程的應(yīng)用是求解本題的關(guān)鍵.12．A【分析】先由條件①②，得到函數(shù)是周期為的周期函數(shù)；依據(jù)③求出函數(shù)在一個周期上的表達式為，依據(jù)④得到的周期為，其圖象可由的圖象壓縮為原來的得到，作出的圖象，結(jié)合圖象，即可求出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)，由得，即，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù)；若，則；因為當(dāng)時，，所以時，，因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，即，，則函數(shù)在一個周期上的表達式為，因為，，所以函數(shù)，，故的周期為，其圖象可由的圖象壓縮為原來的得到，作出的圖象如圖：易知過的直線斜率存在，設(shè)過點的直線的方程為，則要使直線與的圖象在上恰有8個交點，則，因為，所以，故.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解本題的關(guān)鍵在于，依據(jù)條件，由函數(shù)基本性質(zhì)，得到的圖象，再由函數(shù)交點個數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方法，即可求解.13．或【解析】試題分析：設(shè)切點為,,所以切線方程為,即,又切線過,代入方程得:,分解因式得:,即,解得或,當(dāng)時,切線方程為;當(dāng)時,．所以正確答案是或．考點：函數(shù)的切線方程．14．【分析】依據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出，從而求出，再利用等差數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】由題意，解得，所以，所以，則.故答案為：.15．【分析】求出，設(shè)過點的直線方程為，將直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理可得，，依據(jù)向量可得，從而求出直線的傾斜角，即求.【詳解】因為點在拋物線：上，所以，得，所以，設(shè)過點的直線方程為：，所以，所以，設(shè)，，所以，，又因為，所以，所以，因為直線的斜率，由，所以或，所以.故答案為：【點睛】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了基本運算求解實力，屬于中檔題.16．【分析】找到三棱錐外接球球心的位置，求得外接球的半徑，進而求得三棱錐外接球的表面積.【詳解】依題意，三角形是等邊三角形，設(shè)其外心為，線段的中點設(shè)為，則，且在線段上、.三角形是以為直角頂點的直角三角形，所以其外心為.過在三角形內(nèi)作.所以是二面角的平面角，所以.設(shè)外接球球心為，則平面，平面，所以、，所以.在三角形中，，，,所以外接球的半徑，所以外接球的表面積為.故答案為：【點睛】本小題主要考查幾何體外接球的有關(guān)計算，屬于中檔題.17．（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理化簡等式整理可得，又，可求，結(jié)合A為內(nèi)角即可求得A的值；（2）由三角函數(shù)恒等變換化簡已知可得，可求的范圍，從而可求，即可得解.【詳解】（1）由正弦定理可得，，從而可得，，即，又B為三角形的內(nèi)角，所以，于是，又A為三角形內(nèi)角，因此，.（2）∵，由可知，，所以，從而，因此，，故的取值范圍為.18．（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）依據(jù)線段中點的性質(zhì)、平行四邊形形的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理、平行線的性質(zhì)進行證明即可；（Ⅱ）連結(jié)，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可以證明出底面，這樣可以建立以，，分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】（Ⅰ）四邊形是平行四邊形.又，.又面面，面面，面面且面平面平面.（Ⅱ）連結(jié)，，為中點，又平面，平面平面，平面平面，底面，又，以，，分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，取平面的法向量，，，，，，設(shè)平面的法向量，，令，，.設(shè)二面角的平面角為又為鈍角，，即二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了證明面面垂直，考查了面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查了利用空間向量夾角公式求二面角的平面角，考查了推理論證實力和數(shù)學(xué)運算實力.19．（1）列聯(lián)表見解析，沒有超過90%的把握認為“停車是否超過6小時”與性別有關(guān)；（2）（i）分布列見解析，；（ii）【分析】（1）先依據(jù)頻數(shù)分布表填寫列聯(lián)表,再將數(shù)據(jù)代入公式求解即可；（2）（i）的可取值為5,8,11,15,19,30,依據(jù)頻數(shù)分布表分別求得概率,進而得到分布列,并求得期望；（ii）先求得,則,進而求得概率即可【詳解】（1）由題,不超過6小時的頻率為,則100輛車中有40輛不超過6小時,60輛超過6小時,則列聯(lián)表如下：男女合計不超過6小時1030406小時以上204060合計3070100依據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得所以沒有超過90%的把握認為“停車是否超過6小時”與性別有關(guān)（2）（i）由題意知：的可取值為5,8,11,15,19,30,則所以的分布列為：5811151930∴（ii）由題意得,所以,所以【點睛】本題考查獨立性檢驗的應(yīng)用,考查二項分布,考查離散型分布列及期望,考查數(shù)據(jù)處理實力與運算實力20．（1）；（2）.【分析】（1）由可得，再把已知點的坐標(biāo)代入后列出關(guān)于的方程組求解可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，求出點，到直線的距離在，再由直線與橢圓相交的弦長公式求得弦長，表示出四邊形面積為的函數(shù)，由函數(shù)性質(zhì)可得取值范圍．【詳解】（1）設(shè)，則.又，所以.①又由橢圓過點得，②由①②得，，故橢圓方程為.（2），，設(shè)直線的方程為，則點，到直線，的距離分別為，.又由得，所以.四邊形的面積.由得.故四邊形面積的取值范圍是.【點睛】本題考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交的面積問題．解題時列出關(guān)于的方程組是求方程的關(guān)鍵．直線與橢圓相交問題可設(shè)出直線方程為，把面積用表示，然后由函數(shù)性質(zhì)得出取值范圍．21．（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；（2）證明見解析.【分析】（1）先求導(dǎo)得，再分和探討即可得的單調(diào)性；（2）令函數(shù)，則，結(jié)合（1）得在上單調(diào)遞增，，進而得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，再結(jié)合，，得，，故.【詳解】解：（1），.若，令解得，即在單調(diào)遞增；令解得時，即在上單調(diào)遞減.若，易得當(dāng)時，，即在單調(diào)遞增.故當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增.（2）令，則.由（1）知在上單調(diào)遞增.又，所以在上，，單調(diào)遞減；在