八年級數(shù)學(xué)人教版（上冊）12.3 第1課時(shí) 角平分線的性質(zhì)

第十二章全等三角形12.3角的平分線的性質(zhì)第1課時(shí)

角平分線的性質(zhì)目錄頁講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過操作、驗(yàn)證等方式，探究并掌握角平分線的性質(zhì)定理.（難點(diǎn)）2.能運(yùn)用角的平分線性質(zhì)解決簡單的幾何問題.（重點(diǎn)）新課導(dǎo)入問題1：

再打開紙片，看看折痕與這個(gè)角有何關(guān)系？對折不利用工具，請你將一張用紙片做的角分成兩個(gè)相等的角.你有什么辦法？AOBC新課導(dǎo)入問題2：如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還能用對折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎？問題3：如圖，是一個(gè)角平分儀，其中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?ABC(E)D其依據(jù)是SSS，兩全等三角形的對應(yīng)角相等.講授新課典例精講歸納總結(jié)講授新課1尺規(guī)作角平分線問題：如果沒有此儀器，我們用數(shù)學(xué)作圖工具，能實(shí)現(xiàn)該儀器的功能嗎？ABO做一做：請大家找到用尺規(guī)作角的平分線的方法，并說明作圖方法與儀器的關(guān)系.提示：(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的儀器放在角的兩邊，儀器的頂點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重合，且儀器的兩邊相等，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個(gè)過程呢?(3)在平分角的儀器中，BC=DC，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個(gè)過程呢？(4)你能說明為什么OC是∠AOB的平分線嗎？講授新課ABMNCO已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分線.仔細(xì)觀察步驟

作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,大家一定要掌握噢!作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N.（2）分別以點(diǎn)MN為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的角平分線.結(jié)論：作平角的平分線的方法就是過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法.ABOC如圖所示，已知∠AOB，求作：∠AOM＝∠AOB.練一練導(dǎo)引：要作射線OM，使∠AOM＝∠AOB，其實(shí)質(zhì)是作

∠AOB的平分線．ABO作法：(1)以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)F；(2)分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點(diǎn)C；(3)畫射線OC；(4)同理，作∠AOC的平分線OM.∠AOM即為所求(如上圖所示)．角平分線的性質(zhì)21.操作測量：取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置，分別過點(diǎn)P作PD⊥OA，PE⊥OB,點(diǎn)D、E為垂足，測量PD、PE的長.將三次數(shù)據(jù)填入下表：2.觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)果：__________

PDPE第一次第二次第三次PD=PECOBApDE實(shí)驗(yàn)：OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是射線OC上的

任意一點(diǎn)猜想：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.已知：如圖，∠AOC=∠BOC,點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等驗(yàn)證猜想性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：

證明線段相等.應(yīng)用格式：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE推理的理由有三個(gè)，必須寫完全，不能少了任何一個(gè).PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC知識要點(diǎn)

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BE＝FC，求證：BD＝DF.

導(dǎo)引：要證BD＝DF，可考慮證兩線段所在的

△BDE和△FDC全等，兩個(gè)三角形中已有一

角和一邊相等，只要再證DE＝CD即可，這

可由AD平分∠CAB及垂直條件證得．例1在△BDE和△FDC中，DE=CD,∠DEB=∠C,BE=FC,∴△BDE≌△FDC,∴BD=DF.證明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，

∠C＝90°，∴DE＝DC.

如圖，AM是∠BAC的平分線，點(diǎn)P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=______cm.BACPMDE4溫馨提示：存在兩條垂線段———直接應(yīng)用例2ABCP變式：如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4,AB=14.（1）則點(diǎn)P到AB的距離為_______.D4溫馨提示：存在一條垂線段———構(gòu)造應(yīng)用ABCP變式：如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4，AB=14.（2）求△APB的面積.D（3）求?PDB的周長.·AB·PD=28.由垂直平分線的性質(zhì)，可知，PD=PC=4，=1、應(yīng)用角平分線性質(zhì)：存在角平分線涉及距離問題2、聯(lián)系角平分線性質(zhì)：面積周長條件利用角平分線的性質(zhì)所得到的等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解知識與方法當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂反饋即學(xué)即用當(dāng)堂練習(xí)2、△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，則點(diǎn)D到AB的距離是

.ABCD3E1、如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

度，BE=

.60BFEBDFACG當(dāng)堂練習(xí)3、如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，則下列四個(gè)結(jié)論：①AD

上任意一點(diǎn)到點(diǎn)C、點(diǎn)B的距離相等；②AD上任意一點(diǎn)到AB，AC的距離相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF．其中，正確的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)D當(dāng)堂練習(xí)4、如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝50，DE＝14，則△BCE的面積等于________．350當(dāng)堂練習(xí)5、如圖，在直線MN上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到射線OA

和OB的距離相等.解：如圖，過O作∠AOB的平分線，與直線MN交于點(diǎn)P，

點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．當(dāng)堂練習(xí)EDCBA68106、在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，則：(1)哪條線段與DE相等？為什么？(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的長和△AED的周長.解：(1)DC=DE.理由如下：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC=DE，DB=DB，∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，∴BE＝BC=8.∴AE＝AB-BE=2.∴△AED的周長=AE+ED+DA=2+6=8.當(dāng)堂練習(xí)7、如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線的交點(diǎn)，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD與BC之間的距離.解：過點(diǎn)P作MN⊥AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N.∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的長即為AD與BC之間的距離.∵AP平分∠BAD,PM⊥AD,PE⊥AB，∴PM=PE.同理，PN=PE.∴PM=PN=PE=3.∴MN=6.即AD與BC之間的距離為6.當(dāng)堂練習(xí)

8、如圖所示，D是∠ACG的平分線上的一點(diǎn)．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn).求證：CE＝CF.證明：∵CD是∠ACG的平分線，

DE⊥AC，DF⊥CG，∴D