2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新教材第一冊學(xué)案：21 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì) 一 含答案

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（其2課時）

（第1課時）

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.會用不等式（組）表示不等關(guān)系；

2o能夠運用作差法比較兩個數(shù)或式的大小.

重點難點

lo用不等式（組）表示實際問題中的不等關(guān)條，用不等式（組）

研究含有不等關(guān)余的問題；

2.運用作差法比較代教式大小，對學(xué)生教學(xué)運算的要求較高

知識梳理

lo我們用教學(xué)符號"尹、">”、"V"、連接兩個數(shù)或代

教式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些符號的式子，叫做

2、不等式中文字語言與教學(xué)符號之間的轉(zhuǎn)換

大于等小于等不少不多

大于小于至多至少

于于于于

3o比較兩實數(shù)大小基本方法：

（U兩個實數(shù)大小的比較原理

Q）差值比較原理:設(shè)a、b€R,51Ja>b?a-b>0,

a=be-b=0,a<b=a-b<0o

②商值比較原理:設(shè)a、bWR+,則錯誤!>lua>b,

錯誤！=l=a=b,錯誤!<lua<b.

（2J兩個實數(shù)大小比較的一般步驟

①作差比較法其一般步驟是：

作差一變形一>判斷符號一確定大小。

注：作差比較大小的關(guān)鍵是作差后的變形,作差變形中，可采用

配方、因式分斛、通分、有理化等手段進行恒等變形（常教、

幾個平方和的形式或幾個因式積的形式人變形的過程是至關(guān)重

要的，無論施以什么方法，最終要變到能夠判斷符號為止、注意

變形過程中要保持等價性及正確性、

學(xué)習(xí)過程

（一人情境導(dǎo)學(xué)

lo購買火車票有一項規(guī)定:隨同成人旅行，身高超過1.1m（含

1.1mJ而不超過1.5m的兒童，享受半價客票、加快票和空調(diào)

票（簡稱兒童票入超1。5m時應(yīng)買全價票、每一成人旅客可

免費鷹帶一名身高不足1。1米的兒童，超過一名時，超過的人

教應(yīng)買兒童票、從教學(xué)的角度，應(yīng)如何理解和表示“不超過'"'超過"

呢？

2.展示新聞報道：明天6天廣州的最低溫度為18℃,6天最高

溫度為30To

（二人挑親新知

探究一用不等式表示不等關(guān)東

例1。某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管就成500mm和600

mm

兩種，按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm

鋼管的3倍，試寫出滿足上述所有不等關(guān)豕的不等式.

歸納總、結(jié);

跟蹤訓(xùn)練:

lo某種雜志原以每本2。5元的價格銷售，可以售出8萬本、根

據(jù)市場調(diào)查，若單價每提高Ooi元，銷售量就可能相應(yīng)減少2000

本，若把提價后雜志的定價設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷售

的總收入仍不低于20萬元？

2、某工廠在招標(biāo)會上，購得甲材料xt,乙材料yt,若維持工

廠正常生產(chǎn)，甲、乙兩種材料總量至少需要1203則x、y應(yīng)滿

足的不等關(guān)余是（）

A、x+y>120B、x+yvl20

C,x+y>120D、x+y<120

探究二比較數(shù)或式子的大小

我們學(xué)習(xí)了關(guān)于實教大小比較的一個基本事實：

（1）數(shù)軸上的任意兩點中，右邊點對應(yīng)的實數(shù)比左邊點對應(yīng)的實

教O

根據(jù)這個公理，我們可用什么方法來比較賣數(shù)的大??？

步驟是什么？第一步，第二步，第三步，第四步

例2。已知xvyvO,比較（x2+y2）G-y）與（/一產(chǎn)）（x+y）的大

小、

歸納總、結(jié);

跟蹤訓(xùn)練

1、設(shè)M=N=-x-1,則〃與N的大小關(guān)條是（）

A、M>NB,M=NC、M<ND、與x

有關(guān)

2.比較％2+y2+1與2G+y-l）的大??；

3,設(shè)〃€R且存0,比較a與錯誤!的大小、

達標(biāo)檢涮

1.完成一項裝修工程，請木工需付工資每人500元，請無工需付工

資每人400元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算20000元,設(shè)木工底侖0）人,瓦工

y（比0）人，則關(guān)于工資x,y滿足的不等關(guān)余是（）

A.5x+4y<200B.5x+4yN200Co5x+4y=200

D.5尤+4殍200

2o若A技+3與3三+2,則A與3的大小關(guān)東是（）

AoA>BBoA<BCoANBD.不確定

3.已知甲、乙兩種食物的維生素A,B含量如下表：

食物甲乙

維生素"（單位/kg）600700

維生素B/（單位/kg）800400

設(shè)用xkg的甲種食物與ykg的乙種食物配成混合食物，并使混

合食物內(nèi)至少含有56000單核的維生素A和63000單伍的維生

素B.試用不等式組表示羽y所滿足的不等關(guān)乳

4,將一個三邊長度分別為5,12,13的三角形的各邊都縮短x,構(gòu)

成一個鈍角三角形，試用不等式（組J表示x應(yīng)滿足的不等關(guān)余。

5o比較下列各組中的兩個實教或代教式的大?。?/p>

(1)2/+3與x+2y)c€R；(2)a+2與3oWR,且

a=^\o

課堂?卜結(jié)

i.用不等式（組）表示不等關(guān)系時，應(yīng)遵循“一我（不等關(guān)系）;二析

（涉及的量力三設(shè)（設(shè)出合理的未知教）；

四列（不等式（組））”.

2.?作差法比較兩個實數(shù)的大小時，關(guān)鍵是作差后變形，一般變

形越徹底越有利于下一步的判斷.

’因式分解

'百己方

通分

分類討論

3o本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，重點滲透了教學(xué)建模思想和函數(shù)思想.

參考答案：

揉窕一例1。1斛析］設(shè)截得500mm的鋼管x根，就得600

mm的鋼管y根，

依題意，可得不等式組：錯誤!，即錯誤!。

歸納總結(jié)；用不等式（組）表示實際問題中不等關(guān)祭的步驟：

①審題、通讀題目，分清楚已知量和待求量，設(shè)出待求量、找

出體現(xiàn)不等關(guān)余的關(guān)鍵詞:“至少至多”"不少于”“不多于”“超過

不超過”等,②列不等式組：分析題意，找出已知量和待求量之

間的約束條件，將各約束條件用不等式表示、

跟蹤訓(xùn)練：

1。［解析］提價后雜志的定價為x元，則銷售的總收入為（8-錯誤!

xOo2）九萬元，那么不等關(guān)系“銷售的收入不低于20萬元“用不等

式可以表示為：

（8—錯誤!X。。2）x>20o

2.1解析］由題意可得l+這120,故選C、

探窕二例2、［解析］f.9x<y<0,xy>0,

x-y<0,.\(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=-2xy(x-y)>0,

(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)G+y).

歸納總結(jié)：比較兩個實數(shù)(或代教式)大小的步驟

(1J作差:對要比較大小的兩個數(shù)(或式子)作差；

(2)變形：對差進行變形(因式分斛、通分、配方等人

(3J判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號；

(4J作出結(jié)論、這種比較大小的方法通帚稱為作差比較法.其

思維過程:作差一變形一判斷符號一結(jié)論，其中變形是判斷符號

的前提、

跟蹤訓(xùn)練

1.［解析JAf-N=/+x+1=(九+錯誤!)2+錯誤!〉o,.\MyN,

故選A、

2o［將析7x2+y2+1-2(x+y-1)=x2-2x+1+y2-2y+2

=(x-\)2+(y-1)2+1>0,

.\x2+y2+1>2(x+y-1J.

3o由〃一錯誤！二錯誤！

當(dāng)。=±1時，〃=錯誤!;

當(dāng)一IvavO或〃>1時，〃>錯誤!；當(dāng)〃<一1或OVQVI時，a

V錯誤!.

達標(biāo)檢測

lo【答案】D

2.【斛析】由于45=/3-G+2)=(滂)泊印0,

所以A>3,故選A.【答案】A

3.【解析】由題意知xkg的甲種食物中含有維生素A600x單住，

含有維生素B800%單傳,ykg的乙種食物中含有維生素A700y

單住，含有維生素B400y單伉，則xkg的甲種食物與ykg的乙

種食物配成的混合食物總共含有維生素A(600x+700y)單住,

含有維生素B(800x+400y)單住，

/600x+700y>56000,(6x+7y>560,

貝有800x+400y>63000,即《4x+2y>315,

1Jx>0,x>0,

V>0,\y>0.

故當(dāng)時,。當(dāng)〃時，a+2<—.

a)1+2)—1-u;1-u<1

4.【解析】各邊都縮短/后，長度仍然為正教，只要最短邊大于

零即可，因此5-x>0。而要構(gòu)成三角形，還要滿足(5—+

13-xo當(dāng)三角形是鈍角三角形時，應(yīng)使最大角是鈍角，此時只需最

長邊所對的角是鈍角即可，因此(5—x)2+(12—幻2Vfl3—x)2,

5-%>0,

故x應(yīng)滿足的不等關(guān)東為)(5-%)+(12。)>13-x,

J5-x)2+(12-x)2<(13-x)2.

5.【解析】（1）因為（2d+3）—（x+2J=2/-工+1=2—念'0,

所以2x2+3>x+2o

（2J（a+2）-高=（。+2：?。?3=答=a?：：.

由于層+「+1=1+3+鴻）0,

所以a>1時，勺1）0,即。+2>.；

當(dāng)avl時，青<0,即a+2<^o

2」等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（第2課時）

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1。掌握常用不等式的基本性質(zhì)；

2o會將一些基本性質(zhì)結(jié)合起來應(yīng)用。

重點難點

1.將不等關(guān)索用不等式表示出來，理解并證明不等式的性質(zhì);

2,并能用不等虬的性質(zhì)證明一些簡單的不等式；

知識梳理

一、設(shè)計問題，溫故如新

問題1:等式的性質(zhì)有哪些？請大彖用符號表示出來。

問題2:根據(jù)等式的這些性質(zhì)，你能猜想不等式的類似性質(zhì)嗎？靖

大彖加以探究.

性

別名性質(zhì)內(nèi)參注意

質(zhì)

對稱

1a>bq___=

性

傳遹

2a>b,b>cn=

性

可加

3a>b<^u+c__b+c可逆

性

可乘錯誤!=>〃c__bec的

4

性

錯誤!=>〃c__be付萬

同向

a>b,c>+

5可加同向

c__b+d

性

同向

同正

6錯誤!=4C__bd

可乘同向

性

可乘a>b>O^af1>bn(n

7同正

方性€N\n>2)

可開a〉Z?>O=ts誤!〉錯誤!

8

方性EN\n>2)

學(xué)習(xí)過程

二、新知探究

試證明下列不等式的性質(zhì)

⑴對稱性

不等式兩邊互換后，再將不等號改變

文字語言

方向，所得不等式與原不等式等價

符號語言a>b<^>____

作用寫出與原不等式等價且異句的不等式

跟蹤訓(xùn)練。1。與佗"—2）2等價的是（）。

222

Aom<(n一2JBo(n-2)>mCo(n-2)<m

2

D.(n一2)<m

(2)傳遹性

如果第一個量大于第二個量，第二個量大

文字

于第三個量，

語言

那么第一個量大于第三個量

付萬

a>byb>c=>_______

語言

a>b,b>c^>a>c\a<b,b<c=>a<c\a<b,

變形

b<c^a<c

作用比較大小或證明不等式

你能證明嗎？

(3)加法法則

不等式的兩邊都加上同一個實數(shù),所得的

文字語

不等式

t

與原不等式________.

符號語

a>b=>a+c>________

a<b=>a+c<b+c；a<b^>a+c<b+c；

變形

a>b=^a+c>b+c

作用不等式的移項，等價變形

C4J乘法法則

不等式的兩邊都乘同一個正數(shù)時，不等號的

文字語方向不變;

*ST*

O都乘同一個負數(shù)時，不等號的方向一定要

改變。

符號語

a>b,c>0=>_______；a>b,c<0=>____

言

a>b,c>0=>ac>bc；d>b,c<0^>ac<bc;a<b,

變形c>0=>ac〈be；a<b,c<0=>ac>be

a<b,c>O^ac<bc；a<b,c<O^ac>bc

作用不等式的同解變形

(5)加法單調(diào)性

文字語兩個同向不等式相加，所得不等式與原不

等式_________。

符號語

a>byc>d=ci+c>b+d

t

a<b.c（d=>a+c<b+d;a>b,c>d=>a+c>b+d^

變形

a<b,c<d=>a+c<b+d

作用由已知同向不等式推出其他不等式

(6J乘法單調(diào)性

兩邊都是正教的兩個同向不等式相

文字語言

乘，所得的不等式與原不等式—。

符號語言a>b>0,c>d>00ac>bd

作用兩個不等式相乘的變形

(7)正值不等式可乘方

當(dāng)不等式的兩邊都是_______時，不等式

兩邊同時

文字語言

乘方所得的不等式與原不等

式_________?

符號語言a>b>0=>_______（〃CN,且論1）

作用不等式兩邊的乘方變形

跟蹤訓(xùn)練2o給出下列結(jié)論：

①若ac>bc,貝！Ia>b；②若a<by貝［ac2〈兒？；③若錯誤！〈錯誤!V（）,則

a>h\@若a>b,c>d,貝！I〃一。>人一d；

⑤若a>b,c>df則ac>bd.

其中正確結(jié)論的序號臭_______L

典例解析：用不等式的性質(zhì)證明不等式

例11已女。o>b>0,c<d<0,e<0,求fit:錯誤！〉錯誤!.

￡艮蹤訓(xùn)練1：be-ad>0,bd>Of求證：錯誤匹錯誤!.

典例解析:利用不等式的性質(zhì)求取值范圍

例2已知一錯誤!錯誤!，求錯誤!，錯誤!的范囹、

跟蹤訓(xùn)練2：已知1〈。〈2,3<b〈4,求下列各式的取值范囹：

（1J2〃+/?；（2）a-b；C3J錯誤!。

達標(biāo)檢涮

1、已知a<b<0,c<d<0,那么下列判斷中正確的是（）

A.a-c<b-dB、ac>bdCo錯誤!V錯誤!

D、adybe

2、若〃、6、c€R,且〃〉瓦則下列不等式中一定成立的是（）

A.a+b>b-cB.ac>bcC.錯誤！>0

D、｛a-b）（?>0

3、設(shè)2<a<3,-2<b<-l,則2o-b的范圍是________,

4o已知a>b>0,c<d<0.求證：錯誤（錯誤!.

課堂?卜結(jié)

一、不等式的性質(zhì)

性

別名性質(zhì)內(nèi),落注意

質(zhì)

對稱

1a>b=

性

傳遹

2a>byb>c=____=

性

可加

3a>b<^a+c_b+c可逆

性

a>b,c>02nac_

可乘c的

4be

性付萬

錯誤!=>〃cbe

同向

5可加錯誤!=〃+c__b+d同向

性

同向

同正

6錯誤!__bd

可乘同向

性

可乘a>b>Q=>afl>bn(n€

7同正

方性N*,n>2)

可開a>b>誤!〉錯誤！(n

8

方性€N*,論2)

二、運用不等式解決的基本問題由那些？

參考答案:

新知探窕

(1)證明：人，0,由正教的相反教是負教，得-(a-b)

<0.

即匕-〃<0,.\b<a,同理可證，如果人<〃,那么

跟蹤訓(xùn)練lo答案:C

C3J證明：7(a+c)一(b+c)=a-b>0,.\a+c>b+c.

(4)證明:QC-Z?C=(Q-。)c.?「a>b,「.a-b>0。根據(jù)同號相乘得正，

異號相乘得負，

得當(dāng)c>0時,(a-b)。〉0,即ac>be；當(dāng)。<0時，(a一b)c<0,即

ac<bc.

(5)證明:ca>gdo=bf+c>2b+”dRJ=>〃+c>b+d。

(6)證明：:〃〉/?)0,c>0,.：4c>bg力>0,.\bc>bdo

.\ac>bd.

跟蹤訓(xùn)練2.群析①當(dāng)。>0時，占ac>bcna>b,當(dāng)c<0時，由

ac>bc=>a<b,故。)錯、②當(dāng)今0時，由a(bnad1〈bd1,當(dāng)c=0

時，由a〈。錯誤!〈bd,故②錯、

⑶二.錯誤！〈錯誤！〈0,???〃<0,Z?<0,.\ab>0,?.?錯誤!〈錯誤!?。乩即

b<a,:.a>b,故③正確.

??；c>d,；.一c〈-d,又〃>。，兩不等式不等號的方向不同，不能

相加,ci-c)b-d錯誤、

⑤錯誤!nac>bd,錯誤!=>ac<bd,但錯誤!錯誤!QC〉bd,錯誤!錯誤!〃c>