陜西省千陽縣中學(xué)2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題（二）

2023-2024陜西省千陽縣中學(xué)期中考試

高二數(shù)學(xué)模擬試卷（二）

學(xué)校：姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、選擇題

1、在直三棱柱中，CA=W，CB=4,

ZBCA=90°,M是的中點(diǎn)，以C為原點(diǎn)，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，若則異面直線CM與所成角的

余弦值為（）

2G

A2幣

近B.----c遞D.——

1477

2、已知正三棱柱ABC-4與。的棱長均為m。是側(cè)棱CQ的中點(diǎn)，則平面ABC與平

面ABQ所成角的余弦值為（）

1V2V3

A.一B.---C.---D.0

222

3、已知平面a的一個(gè)法向量〃=（-2,-2,1）,點(diǎn)A（-1,3,O）在平面a內(nèi)，則點(diǎn)

尸（-2,1,4）到平面a的距離為（）

A.10B.3Ct

4、已知向量a=（-3,2,5）,%=（1,乂一1）且“_1.匕，則x的值為（）

A.4B.2D.1

5、如圖，在四面體。48c中，OA=a,OB=b,OC=c，點(diǎn)M

在04上，點(diǎn)N在上，且0M=2M4,BN=2NC,則

MN=()

A.3+4+2CB.L_"C

333333

等D.Z二b」

cT+3333

6、已知平面a的一個(gè)法向量〃=（—2,點(diǎn)4-1,3,0）在平面a內(nèi)，則點(diǎn)P（-2,1,4）到a的距離

為（）

c10

AJOB.3D.—

3

7、已知A(0,0,2),5(1,0,2),C(0,2,0),則點(diǎn)A到直線5C的距離為()

272

B.lC.V2D.2V2

8、已知向量a=（l,l,0）,/?=（-1,0,2）,且—+b與2a-占互相垂直，則上的值是（）

B

A.llTD.l

9、已知。=（2,-1,3）,/>=（-1,4,-2）,c=（7,5,%）,若｛4力0不能構(gòu)成空間的一個(gè)基

底，則實(shí)數(shù)A的值為（）

A.OB.—C.9D.—

77

10、在棱長為2的正方體中，O是底面4BCZ）的中心，E,F分別是AO的

中點(diǎn)，那么異面直線OE和尸R所成角的余弦值等于（）

A.典B.巫C.-D.-

5553

11、如圖，某圓錐SO的軸截面SAC是等邊三角形，點(diǎn)B是底面圓周

S

上的一點(diǎn)，且NBOC=60°，點(diǎn)歷是SA的中點(diǎn)，則異面直線AB與CMA

所成角的余弦值是（）M

A.1B.五C.lD.叵/..

3442

12、在直三棱柱A4G_A8C中，N5C4=90°,￡）,,耳分別是B

A4，AG的中點(diǎn)，BC=CA=CC,,則與AP；所成角的余弦值是（）

「同c屈

A.叵RD.1------U,---------

1021510

13、在四面體。ABC中，點(diǎn)M在。4上，且OM=2M4,N為的中點(diǎn)，若

OG=-OA+-OB+-OC，則使G,M,N三點(diǎn)共線的x的值為（）

344

A.lB.2C.-

3

14、如圖，點(diǎn)尸為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn),H4_L平面

ABCD,Q為線段AP的中點(diǎn),Afi=3,8C=4,幺=2,則點(diǎn)尸

到平面3QD的距離為（）

DU

12

15、在三棱錐中，/3_18。,43=3。=一％,0,。分別是47,/Y：的中點(diǎn)，QPJ_底面

2

ABC,則直線0。與平面P8C所成角的正弦值為（）

A后n8730y/210n

636030

二、多項(xiàng)選擇題

16、已知向量。=（1,一1,%），）=（一2,機(jī)一1,2）,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若|a|=2,貝!I加=±>/2B.若a_L),則相=-1

C.不存在實(shí)數(shù)2,使得。=方D.若al=-l,則a+b=(-l,_2,_2)

17、如圖，在正方體ABCD-ABC”中，點(diǎn)E在棱

DR上，且ED]=2ED,尸是棱上一動(dòng)點(diǎn)，則下列

結(jié)論正確的有（）

A.EF1AC

B.存在一點(diǎn)F,使得AE〃。/

C.三棱錐A-AE/的體積與尸點(diǎn)的位置無關(guān)

D.直線AA與平面AEb所成角的正弦值的最小值為等

18、如圖，在正方體ABCD-AB￡D|中，M,N分別為

棱q。，qc的中點(diǎn)，給出下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論

為（）.

A.直線AM與C.C是相交直線B.直線AM與

8N是平行直線

C.直線8N與Mg是異面直線D.直線MN與AC所成的角為60。

19、若空間向量a,b,c不共面,則()

A.)+c,b—c,Q共面B.5+c,b—c,2b共面

C.b+c,a,a+〃+c共面D.a+C,a-2c,c共面

20、已知向量a=（l,2,3）,6=（3,0,-1）,c=（-l,5,-3）,則下列等式中成立的是（）

A.(a-b)c=bcB.(a+〃)c=a(b+c)

2222

C.(a+b+c)=a+b+cD.|a+b+c|=|a—b—c|

21、如圖，在棱長為1的正方體ABCD-ABG”中，E,尸分別為D。，BB1的中點(diǎn),

則()

A.直線尸G與底面ABCD所成的角為3()。

B.平面AB|E與底面ABCD夾角的余弦值為-

3

/on

C.直線FC,與直線AE的距離為號(hào)

D.直線FC,與平面AB}E的距離為1

3

22、已知正方體A48-4gGA的棱長為1，點(diǎn)、E、。分別是Ag、AG的中點(diǎn)，p在正方體內(nèi)

uniQuun1uumouuir

部且滿足=++,則下列說法正確的是()

A.點(diǎn)A到直線BE的距離是正B.點(diǎn)。到平面A8GA的距離為正

5

C.平面A3￡)與平面8c2間的距離為正D.點(diǎn)尸到直線AB的距離為‘25

36

三、填空題

12

23、已知4,B,C三點(diǎn)不共線，。是平面4BC外任一點(diǎn)，若由0P=-0A+-08+/l0C確定的一

53

點(diǎn)P與A,B,C三點(diǎn)共面，則丸=.

24、如圖，平面ABCD_L平面ABEE,四邊形ABC。是

正方形，四邊形A8EF是矩形，AF^-AD^a，G是

2

￡產(chǎn)的中點(diǎn)，則G3與平面AGC所成角的正弦值為

25>設(shè)a=(―1,2,,〃)，b--(2,n,-4)>b—Au,則|a—Z>|=.

26、如圖所示，在四棱錐P-ABC。中，底面A8CO是菱形，P

且尸Al平面ABC。，PA=A￡>=AC,點(diǎn)尸為PC的中點(diǎn)，則/;\\

二面角C-5R-。的正切值為_________./

27、已知空間向量a=(1,0,1)，*=(2,-1,2).則向量。在向量a上的我至三無

投影向量是,''

28、已知正方體ABCD-^QD,的棱長為1,過點(diǎn)A作平面ABD的垂線,垂足為H,有以下四個(gè)

命題：

①點(diǎn)”是的垂心；

②垂直于平面CBM；

③二面角。一4"一。|的正切值為J萬；

④點(diǎn)H到平面AB]CQ]的距離為3.

4

其中真命題的序號(hào)是(寫出所有真命題的序號(hào))

四、雙空題

29、已知直線4的一個(gè)方向向量為(—7.3,4),直線4的一個(gè)方向向量為(X,y,8),且4P4,則

X-.,y=

30、如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長

都是底面邊長的⑥倍，P為側(cè)棱上的點(diǎn)，SD_L平面MC,則

二面角P-AC-8的大小為,平面%C與平面ABC

所成角的大小為.

31、如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-ABC。中，o

為AC與8。的交點(diǎn)，G為CG的中點(diǎn)，則A。在AC上的投

影的數(shù)量為，OG在平面A8CO上的投影為

五、解答題

32、在四棱錐P-ABCD中，尸。1底面ABCD,

CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6

(1)證明：BD1PA.

(2)求尸。與平面布8所成的角的正弦值.

33、如圖，P。是三棱錐P—ABC的高,

PA=PB,ABLAC,E為尸8的中點(diǎn).

(1)證明：OE//平面刑C.

(2)若ZABO=NC3O=30。，PO=3,PA=5,求二面

角C—AE—3的正弦值.

34、如圖，在三棱錐P—AfiC中，AB1BC,AB=BC^2,

PA=PB=PC=2>/2,。為AC的中點(diǎn).

W

H

(1)證明：ACmPBO,

(2)若M為棱BC的中點(diǎn)，求二面角”—PA-C的正弦值.

35、如圖，在四棱錐P—ABCD中，AB//CD,且

NBAP=NCDP=90°.

(1)證明：平面PABJ?平面R1。；

(2)若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90°,求二面

A—PB-C的余弦值.

36、如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD1底面A3C。，點(diǎn)石在棱抬上.

1.求證:平面AEC1平面PDB；

2.當(dāng)尸￡>=應(yīng)AB且石為的中點(diǎn)時(shí),求AE與平面PDB所成的角的大小.

37、如圖，直四棱柱ABCD-A,4Gq的底面是菱形，

AA,=4,AB=2,Z^W=60°,E,M,N分別是8C,

BB,,A。的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面GDE；

(2)求點(diǎn)C到平面GOE的距離.

38、已知幾何體A8CQGEF,如圖所示，其中四邊形

ABCD,四邊形C0GE四邊形ADGE均為正方形，且邊長

為1,點(diǎn)M在棱OG上.

(1)求證：BMLEF.

(2)是否存在點(diǎn)M,使得直線KB與平面所成的角為

45。?若存在，確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

39、如圖，四面體ABC。中，aABC是正三角形，aAC。是直角三角形，ZABD=NCBD,

AB=BD.

(1)證明：平面ACD，平面ABC；

(2)過AC的平面交8。于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABC。分成體積相等的兩部分，求平面

D4E與平面AEC夾角的余弦值.

40、如圖，在三棱柱ABC-ABCi中，側(cè)面BCC4為正方形，平面BCC4l平面

ABBA，AB=BC=2,M,N分別為兒在，AC的中點(diǎn).

(1)求證：MM/平面BCC4；

(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線A8與平面

所成角的正弦值.

條件①：AB1MN；

條件②：BM=MN.

41、在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCO是菱形，ADMV/是矩形，平面A￡)M0_L平面

ABCD,NDAB=60,AO=2,AM=1,E是A3中點(diǎn).

1.求證：4V〃平面MEC；

2.在線段AM匕是否存在點(diǎn)P,使二面角P-EC-。的大小為生？若存在,求出AP的長/;；若不

42、如圖，在棱柱A88-45GR中，AAABCD,四邊形ABC。是菱形，N4BC=60°,

點(diǎn)N為A￡＞的中點(diǎn)，且AA|=4,A3=2.

(1)設(shè)M是線段8Q上一點(diǎn)，且鼠=幾.試問：是否存在點(diǎn)M,使得直線4A〃平面MNC?若存

在，請(qǐng)證明A4,〃平面MNC,并求出Z的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(2)求二面角N-CR-￡＞的余弦值.

43、如圖1,在平面圖形A8CDE中，AE=ED=BD=BC=T,BC±BD,ED//AB,

ZE4B=60。，沿BO將△8C。折起，使點(diǎn)C到產(chǎn)的位置，且BFLBE,EG=BF,

如圖2.

圖2

(1)求證：平面GEBF1平面AEG.

⑵線段bG上是否存在點(diǎn)M’使得平面MAS與平面AEG所成角的余弦值為乎?若存

在，求出GM的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案

1、答案：A

解析：設(shè)伍=勵(lì)＞0),則4(4公,0,〃)，8(0,4,0),4(0,4的，所以M(2?2,m，

AB=(T&4,-/z),CBX=(0,4,h),

因?yàn)樗訟aC4=16-〃2=0,解得人=4,

所以M(2加,2,4),AB=(T&,4,T),CM=(2A/2,2,4),

-BCM-16+8-163不

所以cosA0cM=

A,|CM|8x2⑺IT

所以異面直線CM與所成角的余弦值為名.

2、答案：B

‘百a

解析：以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0),B,—a,~,a

010,凡￡|，所以AB1=(券a(,a),AD^\o,a,^,設(shè)平面ABQ的一個(gè)法向量為

6aa八

n-A4Bo,=---x+—y+az=0,

則22，取y=l,得〃=(g,l,-2).又平面ABC的

n-AD=紗+]z=0,

一個(gè)法向量為m=(0,0,1),

所以Icos</n,〃〉1=篙寺=J3+L]=-y'即平面ABC與平面期。所成角的余弦值

也

為V

4

A

y

B

x"

3、答案：D

解析：由A尸=(-1,-2,4),得點(diǎn)尸到平面a的距離"=空q=12

|n|3

4、答案：A

解析：因?yàn)閍_LZ?,所以0.)=(),

因?yàn)橄蛄?。?一3,2,5),6=(-),

所以々.力=-3+2%-5=0,解得1=4,

所以x的值為4,

故選：A.

5、答案：A

解析：如圖，連接MB,則MN=MB+BN=OB—OM+gBC=OB—：OA+g(OC—OB)

22212

—b——a+—(c-b)=——a+—b+—c?

33333

故選A.

6、答案：D

uu|UU'?

解析：由已知得.=(1,2,-4),故點(diǎn)p到平面a的距離為絲己=1-2-4-4|=3故選D

同33

7、答案：A

解析：方法一：AB=(1,O,O),BC=(-l,2,-2),cos(AB,BC)=ABBC=-L,所以

\AB\\BC\3

I/］、2

點(diǎn)A到直線BC的距離為|A8|xjl-「=丁.

方法二：作AQ_L3C,交BC于點(diǎn)。，設(shè)BQ=XBC(/lwO),又BC=(—l,2,—2),所以

B<2=(-2,22,-22),所以Q(I-尢24,2-22),則AQ=(1-4,24,-2；1).又A。J.BC,所

以ACBC=—(1-，)+奴+奴=0,得2,，因此AQ=(§,2,_2),從而可知點(diǎn)A到

直線BC的距離為|AQ|=

8、答案：D

解析:無+6=網(wǎng)1,1,0)+(—1,0,2)=((—1,女,2),2a-b=2(1,1,0)-<-1,0,2)=(3,2,-2),

(ka+b)(2a-b)=Q,,-.k=-.

5

9、答案：D

解析：.{a,b,c}不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，b,c共面，則c=xa+)9,其中

x,ywR，則(7,5,4)=(2%,-%,3%)+(-y,4y,-2y)=(2x-y,-x+4y,3x-2y),

33

'7=2x-y,

17

5=-x+4y,解得<y=7,故選：D.

A=3x-2y,

7

10、答案：B

解析：設(shè)A8=a,AD=b,A4|=C,且|°|=|)|=|c|=2,則。E=g(a+)+c),FD}=-^b+c,所

以O(shè)E.FR=T(a+)+c)(jb+c)=gx(gb2+c[=3，又10E|=",歸°卜逐，所以

cos〈OE,FD)='E；：D、叵,故選B.

'/I。日阿5

11、答案：C

解析：以過點(diǎn)。且垂直于平面SAC的直線為x軸，直線。C,OS分別為y軸，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)久=2,

B

則根據(jù)題意可得A(0,-2,0),C(0,2,0),M(0,-l,>/3).

所以A8=("3,0)，CM=(0,-3,g)，

設(shè)異面直線AB與CM所成角為6,

則cos.-IcosMBCM|-陵x0+3x(一3)+0、碼_3.

1'/Iy/3+9-49+34

故選：C.

12、答案：A

解析：如圖,設(shè)5C=CA=CC；=1,則A(l,0,l),8(0,1,1),D,|-,-,oL-,0,0

LOT

AF1=

umriiuir3

解析：由題意，得ON=g(O5+OC),OM=-OA.^G,M,N三點(diǎn)共線,則存在實(shí)數(shù)

3

A使得OG=AON+(1-((OB+OC)+2(丁)OA

2(1-2)1r

==1,

^-^-OA+-OB+-OC^-OA+-OB+-OC^得，33解得］

1故選A.

3223442_xX

5="1~2'

14、答案：B

解析：如圖，以4為原點(diǎn)，分別以AB,AZ),AP所在直線為X軸、了軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

UUUHIMIULU

則8(3,0,0),￡>(0,4,0),P(0,0,2),Q0,0,1)0=(3,0,-1),BD=(-3,4,0),QP=(0,0,1).

UUU-3x+4y=0,

〃皿=0,即.

設(shè)平面3Q￡）的一個(gè)法向量為”=（x,y,z）,則.um卬

3x-z=0.

n?QB=0,

令x=4,則z=12,y=3,「.〃=(4,3/2).

uiui

—\QPn\12

，點(diǎn)P到平面BQD的距離d=1.

I?l13

15、答案:D

解析：（^0月1平面相。,。4=0（二,/止=8。,：.。4_108,。4_10/>,08，。尸.以0為原點(diǎn)，建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)OP=h,則尸(0,0,〃)，

uir10,旦，-叵uiin/-立”,-也”,0

二.PB=,BC

2222

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z).

72Vi4.

uir——ay-----az=0,

n-PB=0,22

由,UUD

n-BC-0,72V2

----ar〃)'=n"

2--2

取y=l,貝！jx=—i,z=^^,

.??可得平面PBC的一個(gè)法向量為〃=-1,1,

\

uuin

uumOD'nf210

cos〈OQ,it)=-ma------

\ODV\n\30

uu(n710

設(shè)8與平面PBC所成的角為。，貝iJsin<9=|cos〈O￡>,"〉|=

30-

16、答案：AC

解析：由|〃|=2得J」+(—1)2+加2=2,

解得利=±>/5,故A選項(xiàng)正確；由a_L)

得-2-加+1+2徵=0,解得m=1,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

若存在實(shí)數(shù)4,使得a=①，貝也=一24，

-1=A(w-l),m=2A,顯然2無解，

即不存在實(shí)數(shù)義使得a=e，故C選項(xiàng)正確；

若a2=—1,則—2—根+1+2：*=—1,解得加=0,

于是Q+b=(-1,-2,2),故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

17、答案：ABC

解析：以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為3,點(diǎn)F在

BB］上，可設(shè)下(0,3,a)(OWaV3).由題知，C(0,0,3),A(3,3,3),E(3,0,2),

CA=(3,3,0),EF=(-3,3,a-2),所以尸=3x(—3)+3x3+0x(a—2)=0，所以

ACLEF,A項(xiàng)正確；

AE=(0,-3,-l),C,F=(0,3,fl),當(dāng)a=l時(shí)，AE=-CiF,此時(shí)AE//。尸，B項(xiàng)正

確；

V/AEF=VF=-5AA￡nd=--x2x3d^d，其中d為口點(diǎn)到平面AE"的距離.當(dāng)點(diǎn)

D1s廣-AEQ3Z\A上已32

產(chǎn)在8B1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于〃平面所以d不隨廠點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而改變，C項(xiàng)正確;

AA=(0,0,3),FA=(3,0,3-61),設(shè)平面AEb的法向量為〃=(x,y,z),則

〃?FA=3x+(3-a)z=0,~,

所以〃=(3—々,1,—3),故

n-AE=-3y-z=0,

當(dāng)時(shí)，＞卜〃)取得最小值嚕,

3a=0os4

7(3-?)2+10

D項(xiàng)錯(cuò)誤.

18、答案:CD

解析：在正方體ABCD-中，M,N分別為棱CR,C。的中點(diǎn).

在A中，直線AM與C。是異面直線，故A錯(cuò)誤；

在B中，直線AM與BN是異面直線，故B錯(cuò)誤；

在C中，直線3N與MB1是異面直線，故C正確；

在D中，以。為原點(diǎn)，0A為x軸、OC為y軸，DA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如

圖，設(shè)正方體棱長為2,

則M(0,1,2),N(0,2,1),A(2,0,0),C(0,2,0),MN=(0,1,-1),AC=(-2,2,0),

則cos〈MN,AC〉=g，所以直線MN與AC所成的角為60。，故D正確.

A/C

19、答案：BCD

解析：因?yàn)?b=S+c)+(b-c),所以?+c,b-c,2Z>共面，故B正確.因?yàn)?/p>

a+b+c=(b+c)+a>所以b+c,a,a+b+c共面，故C正確.因?yàn)?/p>

a+c=(a-2c)+3c,所以G+C,a—2c,c共面，故D正確.對(duì)于A,右"b+c,b—c,

a共面，則存在實(shí)數(shù)2,〃，使得4=4(b+°)+〃9一。)=(/1+〃)/>+(；1-〃)0,所以

a,b,c共面，與a,b,c不共面矛盾，所以》+c,b-c,。不共面，故A錯(cuò)誤.

20、答案：BCD

解析：對(duì)于A,左邊為向量，右邊為實(shí)數(shù)，顯然不相等，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,左邊=(4,2,2)-(-L5,-3)=-4+10-6=0,右邊

=(1,2,3>(2,5,-4)=2+10—12=0,二左邊=右邊，B正確；

對(duì)于C,a+6+c=(3,7,-1)>左邊=3~+7-"+(-1)~=59,右邊

=I2+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(-3)2=59,二左邊=右邊，c正確；

對(duì)于D,由C可得左邊=7^,"5-c=(-l,-3,7),

a-b-c\=7(-1)2+(-3)2+72=V59,二左邊=右邊，D正確.

21、答案：BCD

解析：如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，DA,DC,所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建

立空間直角坐標(biāo)系，

則A（I,O,O）,A（i,o,i）,5,（1,1,1）,c,（0,1,1）,E（O,O,￡|，小，1，；），所以

FC,=（-1,0,||,平面ABCD的法向量償=（0,0,1）.

設(shè)直線FG與底面ABC。所成的角為e，則

所以直線FC1與底面ABC。所成的角不為30。，故A錯(cuò)誤.

易知做=（0,1,1）,4七=（-1,0,：）.設(shè)平面相￡的法向量為〃=（蒼"），則

n-AB〕=y+z=0,

1取Z=2,則x=l,y=-2,所以〃=(1,一2,2).

n-AE=-x+-z=Q.

2

設(shè)平面AB|E與底面ABC。的夾角為a，則

cosa=，所以平面AB|E與底面A3CO夾角的余弦值

為工，故B正確.

3

易知莊=,所以直線FC｝與直線AE的距離

1_（1_y=g,故C正確.

及

因?yàn)镕CJ伙E,A￡u平面偌E,平面4B|E,所以仁〃平面ABR又

AF=fo,l,|l平面AB|E的一個(gè)法向量〃=（I,_2,2）,所以直線FC與平面AB遂的距

-2+1

離故D正確.選BCD.

222

1?171+(-2)+23

22、答案：BC

解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0),B(1,O,O),￡>(0,1,0),(0,0,1),C,(l,l,l),

故A到直線8E的距離4=|發(fā)i|sin6?=lx/^=半，故A錯(cuò).

uuir1uuuu(11、

易知GO=5GA>

uuu

平面ABGR的一個(gè)法向量DA,=(0,-1,1),則點(diǎn)0到平面ABCtDt的距離

UUUUUUUUUIU

4B=(1,O,-1),AD=(0,I,T),4。=(0,1,0).

設(shè)平面A^BD的法向量為〃=(x,y,z),

則]"u然uir=。所以(r一二M0

n-A,D=0,[y-z-U,

令Z=l,得y=l,X=l,

所以"=(1,1,1).

|Uiniui?

所以點(diǎn)Q到平面A.BD的距離&=叫=-^==—?

I"IV33

因?yàn)橐鬃C得平面A.BD//平面B,CD,,所以平面\BD與平面gCQ間的距離等于點(diǎn)D,到平面\BD

的距離，

所以平面A5D與平面gCQ間的距離為今，故C對(duì).

UlUUIW

uunQminiunn7umruuu4PARA

ULm32

因?yàn)锳尸=1”+540+3",所以AP,又AB=(1,O,O),則英絲=J,所以點(diǎn)/>

\AB\4

uunuun2_______

,2APABH819故錯(cuò).

|AP『——HtB—=.--—J.D

JIAB|V14416o

2

23、答案：一

15

.|22

解析：因?yàn)辄c(diǎn)尸與A,B,C三點(diǎn)共面，所以。+女+/=1,解得建』.

555315

24、答案：半

解析：由于平面ABCDJ_平面A8EH四邊形ABCO是正方形，四邊形ABEb是矩

形，故ARAB,A。兩兩互相垂直，以A為原點(diǎn)，AF,AB,AD的方向分別為九

軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則A(0,0,0),G(a,a,O),3(0,2a,0),C(0,2a,2a),所以G8=(一。,。,0),

AC=(0,2a,2a),AG=(a,a,0),

..,人—-n-AC-lay+2az=0,

設(shè)平面AGC的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),則《

n-AG=ax-^-ay=0,

令X=l,得"=(1,-1,1),

因此GB與平面AGC所成角的正弦值為Icos〈/2,GB)\=2a=4

\n\\GB\V3xV2a3

25、答案：9

解析:由才=九1,得(2,〃,-4)=2(—l,2,m),

‘2=—義，［義=-2,

.一〃=24,解得｛m=2,.'.a=(-1,2,2),b=(2,T,T),:.a-b=(-3,6,6),

-4=Am,=-4,

a-b\=7(-3)2+62+62=9.

“22月

26、答案：---

解析：如圖所示，設(shè)AC與8。交于點(diǎn)0,連接0F.以。為原點(diǎn)，OB,OC,O尸的

方向分別為X,y,Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PA=AD=AC=1,則B0=6,所

以0（0,0,。），Bg,0,0,尸］。,。,；］,c（0,-,0），所以oc=（o,:,o,

（\yf73

BC=-y,-,o,FB=.顯然0c為平面BO/的一個(gè)法向量.設(shè)平面8Cb

n-BC~--x+—y-O,

廠22令x=l,可得

的一個(gè)法向量為"=（工,y,z）,貝卜

m61n

n-FB=——x——z=0,

22

〃=(1,6,6),所以cos〈〃,。。="℃=,sin〈〃,OC)=2’,所以

\nWC\77

tan〈〃,OC〉=W，故二面角C-板-。的正切值為當(dāng).

ab_lx2+0x(-l)+lx2=A,所以向量b在向量。上的投影

|?|>/i2+02+i2五

44a

向量是=2a=(2,0,2),故答案為：(2,0,2).

28、答案：①②③

解析：AB,A。，AA兩兩垂直,故點(diǎn)H為M】BD的垂心.

v平面CBM//平面&BD,故A”垂直于平面CBR.

連接AC,,與BR交于點(diǎn)O,則ZC,OC為C一BQ1-G的平面角，tanZQOC=Q,

故①②③正確.而④中由向量法求得點(diǎn)H到平面A4CA的距離不為1.

4

29、答案：一14;6

_—734

解析：Q4P/2,.\—=一=一,1.x=-14,y=6.

xy8

30、答案：生；工

66

解析：連接BO,交AC點(diǎn)于點(diǎn)。，連接S。由題意得SO,平面ABCD以。為原點(diǎn),

OB,OC,OS的方向分別為龍軸、y軸、Z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)底面正方形的邊長為小則OS=^a,0(0,0,0),S(0,0,日。)，

D--—^,0,0,DS=.顯然平面AC5的一個(gè)法向量為。S=0,0,5-。

因?yàn)槠矫鎍C,所以平面%C的一個(gè)法向量為

DS=一a,0,一a.cos〈OS,DS〉=°S,DS=業(yè),所以〈os,OS〉=二，設(shè)二面角

I22)IOSHDSI2'’6

P-AC-B的平面角為0,則觀察圖形知0為鈍角，所以

，=7t_〈OS,￡)S〉=?！?2，故所求二面角。一AC-8的大小為空.平面出。與平

666

面A3C所成角的范圍為［0,當(dāng)，所以平面山。與平面ABC所成角的大小為上.

26

31、答案：V2;DC

|\A+XAC|MC_

解析：A。在AC上的投影的數(shù)量為A0AC=1——22=J.|AC|=四，DG

\AC\\AC\2

在平面ABC。上的投影為。c.

32、

(1)答案：證明見解析

解析：證明：CD//AB,AD=CB=1,DC^AB,

二四邊形ABC。是等腰梯形.

如圖，過點(diǎn)C作CE_LAB于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作。F1AB于點(diǎn)凡

則A尸=5E=L(A8—CO)=，，CD=EF.

22

又AD=1,/.DF=ylAD2-AF2=—.

2

又BF=EF+BE二,：.BD=\IBF2+DF2=\/3.

2

又AZ)=1,AB=2,AD2+BD1=AB2,:.AD1BD.

?.PD，平面ABC。，Qu平面ABC。，.?.P￡)18D.

又ADPD=D,

.?.BD,平面PAD.

Rlu平面PAD,.?.%)，%.

(2)答案：y-

解析：以。為原點(diǎn)，DA,DB,DP所在直線分別為龍軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，

則￡>(0,0,0),A(l,0,0),仇0,6,0),P(。,0,G),

PD=(0,0,~^),PA=(1,O,-G),PB=(0,6,-物.

設(shè)平面勿8的法向量為〃=(x,y,z),

PAn=0,x-V3z=0,

則

PBn=0,石y-V5z=0.

取Z=l,得％=8,y=l,則”=(6u).

設(shè)直線PO與平面BLB所成的角為8,

則SEC。，〈〃口小自第=磊￥?

??.PQ與平面B1B所成的角的正弦值為4.

33、

（1）答案：證明見解析

解析：證明：如圖，連接OA.

因?yàn)镻O是三棱錐P-ABC的高，

所以尸。1平面ABC,所以PO_LQ4,POLOB,

所以ZPOA=ZPOB=90°.

又PA=PB,PO=PO,

所以Rtz^PQ4gRt^PO5,所以。4=。8

取A3的中點(diǎn)。，連接。。，DE,則有OD_LA5.

又ABJ_AC,所以O(shè)D〃AC.

因?yàn)槠矫鍼AC,ACu平面B1C,

所以O(shè)D〃平面R1C.

因?yàn)?。，E分別為AB,PB的中點(diǎn)，所以DE//PA.

因?yàn)镼E仁平面PAC,PAu平面必C,所以￡>E〃平面以C

因?yàn)镺O,DEu平面ODE,ODDE=D,所以平面。DE〃平面MC.

又。Eu平面OOE,所以O(shè)E〃平面R1C.

（2）答案：二面角C—AE-8的正弦值為U

解析：由（1）知似。為原點(diǎn)，分別以