61-2024年山東省泰安市中考數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2024年山東省泰安市中考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確選項選出來，每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個，均記零分）1．（4分）的相反數(shù)是（）A． B． C． D．2．（4分）下列運算正確的是（）A．2x2y﹣3xy2＝﹣x2y B．4x8y2÷2x2y2＝2x4 C．（x﹣y）（﹣x﹣y）＝x2﹣y2 D．（x2y3）2＝x4y63．（4分）下面圖形中，中心對稱圖形的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（4分）據(jù)泰山景區(qū)2024年1月4日消息，2023年泰山景區(qū)累計接待進山游客超860萬人次，同比增長301.36%，刷新了歷年游客量最高紀錄．數(shù)據(jù)860萬用科學記數(shù)法表示為（）A．8.60×107 B．86.0×105 C．0.860×107 D．8.60×1065．（4分）如圖，直線l∥m，等邊三角形ABC的兩個頂點B，C分別落在直線l，m上，若∠ABE＝21°，則∠ACD的度數(shù)是（）A．45° B．39° C．29° D．21°6．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，則∠A的度數(shù)為（）A．65° B．55° C．50° D．75°7．（4分）關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．8．（4分）我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，其內(nèi)容大致如下：用九百九十九文錢，可買甜果苦果共一千個，若…，…，試問買甜果苦果各幾個？若設(shè)買甜果x個，買苦果y個，可列出符合題意的二元一次方程組，根據(jù)已有信息，題中用“…，…”表示的缺失的條件應為（）A．甜果七個用四文錢，苦果九個用十一文錢 B．甜果十一個用九文錢，苦果四個用七文錢 C．甜果四個用七文錢，苦果十一個用九文錢 D．甜果九個用十一文錢，苦果七個用四文錢9．（4分）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分別以頂點A，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點M和點N，作直線MN分別與BC，AC交于點E和點F；以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點H和點G，再分別以點H，點G為圓心，大于HG的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP，若射線AP恰好經(jīng)過點E，則下列四個結(jié)論：①∠C＝30°；②AP垂直平分線段BF；③CE＝2BE；④．其中，正確結(jié)論的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．（4分）兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓O′的一個直徑端點與半圓O的圓心重合，若半圓的半徑為2，則陰影部分的面積是（）A． B． C． D．11．（4分）如圖所示是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，該函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝1，圖象與y軸交點的縱坐標是2．則下列結(jié)論：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一個根在﹣2和﹣1之間；③方程ax2+bx+c﹣＝0一定有兩個不相等的實數(shù)根；④b﹣a＜2．其中，正確結(jié)論的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個12．（4分）如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，點E是AB邊上的點，AE＝4，BE＝8，點F是BC上的一點，△EGF是以點G為直角頂點，∠EFG為30°角的直角三角形，連結(jié)AG．當點F在直線BC上運動時，線段AG的最小值是（）A．2 B． C． D．4二、填空題（本大題共6小題，滿分24分．只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對得4分）13．（4分）單項式﹣3ab2的次數(shù)是．14．（4分）某學校在4月23日世界讀書日舉行“書香校園，全員閱讀”活動．小明和小穎去學校圖書室借閱書籍，小明準備從《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》中隨機選擇一本，小穎準備從《西游記》、《駱駝祥子》、《朝花夕拾》中隨機選擇一本，小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率是．15．（4分）在綜合實踐課上，數(shù)學興趣小組用所學數(shù)學知識測量大汶河某河段的寬度．他們在河岸一側(cè)的瞭望臺上放飛一只無人機．如圖，無人機在河上方距水面高60米的點P處測得瞭望臺正對岸A處的俯角為50°，測得瞭望臺頂端C處的俯角為63.6°，已知瞭望臺BC高12米（圖中點A，B，C，P在同一平面內(nèi)）．那么大汶河此河段的寬AB為米．（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈，sin63.6°≈，tan50°≈，tan63.6°≈2）16．（4分）如圖，小明的父親想用長為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個矩形的菜園．已知房屋外墻長40米，則可圍成的菜園的最大面積是平方米．17．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，AH是⊙O的切線，點C為⊙O上任意一點，點D為的中點，連結(jié)BD交AC于點E，延長BD與AH相交于點F．若DF＝1，，則AE的長為．18．（4分）如圖所示，是用圖形“〇”和“●”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”．按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第個“小屋子”中圖形“〇”個數(shù)是圖形“●”個數(shù)的3倍．三、解答題（本大題共7小題，滿分78分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）19．（10分）（1）計算：；（2）化簡：．20．（11分）某超市打算購進一批蘋果．現(xiàn)從甲、乙兩個供應商供應的蘋果中各隨機抽取10個，測得它們的直徑（單位：mm），并制作統(tǒng)計圖如下：根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）統(tǒng)計量供應商平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲8080b乙ma76則m＝，a＝，b＝．（2）蘋果直徑的方差越小，蘋果的大小越整齊，據(jù)此判斷，供應商供應的蘋果大小更為整齊．（填“甲”或“乙”）（3）超市規(guī)定直徑82mm（含82mm）以上的蘋果為大果．超市打算購進甲供應商的蘋果2000個，其中，大果約有多少個？21．（9分）直線y1＝kx+b（k≠0）與反比例函數(shù)的圖象相交于點A（﹣2，m），B（n，﹣1），與y軸交于點C．（1）求直線y1的表達式；（2）若y1＞y2，請直接寫出滿足條件的x的取值范圍；（3）過C點作x軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點D，求△ACD的面積．22．（10分）隨著快遞行業(yè)的快速發(fā)展，全國各地的農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷售空間，某農(nóng)產(chǎn)品加工企業(yè)有甲、乙兩個組共35名工人．甲組每天加工3000件農(nóng)產(chǎn)品，乙組每天加工2700件農(nóng)產(chǎn)品，已知乙組每人每天平均加工的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量是甲組每人每天平均加工農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量的1.2倍，求甲、乙兩組各有多少名工人？23．（12分）綜合與實踐為了研究折紙過程蘊含的數(shù)學知識，某校九年級數(shù)學興趣小組的同學進行了數(shù)學折紙?zhí)骄炕顒樱咎骄堪l(fā)現(xiàn)】（1）同學們對一張矩形紙片進行折疊，如圖1，把矩形紙片ABCD翻折，使矩形頂點B的對應點G恰好落在矩形的一邊CD上，折痕為EF，將紙片展平，連結(jié)BG．EF與BG相交于點H．同學們發(fā)現(xiàn)圖形中四條線段成比例，即，請你判斷同學們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由．【拓展延伸】（2）同學們對老師給出的一張平行四邊形紙片進行研究，如圖2，BD是平行四邊形紙片ABCD的一條對角線，同學們將該平行四邊形紙片翻折，使點A的對應點G，點C的對應點H都落在對角線BD上，折痕分別是BE和DF．將紙片展平，連結(jié)EG，F(xiàn)H，F(xiàn)G．同學們探究后發(fā)現(xiàn)，若FG∥CD，那么點G恰好是對角線BD的一個“黃金分割點”，即BG2＝BD?GD．請你判斷同學們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由．24．（13分）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，點D，E分別在AB，CB上，DB＝EB，連結(jié)AE，CD，取AE中點F，連結(jié)BF．（1）求證：CD＝2BF，CD⊥BF；（2）將△DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．①請直接寫出BF與CD的位置關(guān)系：；②求證：CD＝2BF．25．（13分）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過點D（1，﹣1），與x軸交于點A，點B．（1）求拋物線C1的表達式；（2）將拋物線C1向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線C2，求拋物線C2的表達式，并判斷點D是否在拋物線C2上；（3）在x軸上方的拋物線C2上，是否存在點P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

2024年山東省泰安市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確選項選出來，每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個，均記零分）1．（4分）的相反數(shù)是（）A． B． C． D．【分析】直接利用相反數(shù)的定義：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，即可得出答案．【解答】解：﹣的相反數(shù)是：．故選：C．【點評】此題主要考查了相反數(shù)，正確把握相反數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．2．（4分）下列運算正確的是（）A．2x2y﹣3xy2＝﹣x2y B．4x8y2÷2x2y2＝2x4 C．（x﹣y）（﹣x﹣y）＝x2﹣y2 D．（x2y3）2＝x4y6【分析】利用合并同類項的法則，整式的除法的法則，平方差公式，積的乘方的法則對各項進行運算即可．【解答】解：A、2x2y與﹣3xy2不屬于同類項，不能合并，故A不符合題意；B、4x8y2÷2x2y2＝2x6，故B不符合題意；C、（x﹣y）（﹣x﹣y）＝y(tǒng)2﹣x2，故C不符合題意；D、（x2y3）2＝x4y6，故D符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查整式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應的運算法則的掌握．3．（4分）下面圖形中，中心對稱圖形的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義，結(jié)合選項所給圖形進行判斷即可．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．【解答】解：左起第四個圖形不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以不是中心對稱圖形；第一、第二和第三個圖形能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以是中心對稱圖形．所以中心對稱圖形有3個．故選：C．【點評】此題主要考查了中心對稱圖形的概念．中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．4．（4分）據(jù)泰山景區(qū)2024年1月4日消息，2023年泰山景區(qū)累計接待進山游客超860萬人次，同比增長301.36%，刷新了歷年游客量最高紀錄．數(shù)據(jù)860萬用科學記數(shù)法表示為（）A．8.60×107 B．86.0×105 C．0.860×107 D．8.60×106【分析】將一個數(shù)表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學記數(shù)法，據(jù)此即可求得答案．【解答】解：860萬＝8600000＝8.60×106，故選：D．【點評】本題考查科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．5．（4分）如圖，直線l∥m，等邊三角形ABC的兩個頂點B，C分別落在直線l，m上，若∠ABE＝21°，則∠ACD的度數(shù)是（）A．45° B．39° C．29° D．21°【分析】過點A作AF∥l，由平行公理的推論得出AF∥m，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAF＝∠ABE，∠ACD＝∠CAF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝60°，即可求出∠ACD的度數(shù)．【解答】解：如圖，過點A作AF∥l，∵直線l∥m，∴AF∥m，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∵AF∥l，∴∠BAF＝∠ABE，∵∠ABE＝21°，∴∠BAF＝21°，∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝60°﹣21°＝39°，∵AF∥m，∴∠ACD＝∠CAF＝39°，故選：B．【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵．6．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，則∠A的度數(shù)為（）A．65° B．55° C．50° D．75°【分析】先利用圓周角定理可得：∠ABD＝25°，然后利用平角定義得∠ABC＝25°，根據(jù)圓周角定理得∠C＝90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進行計算即可解答．【解答】解：∵∠AOD＝50°，∴∠ABD＝∠AOD＝25°，∵BA平分∠CBD，∴∠ABC＝∠ABD＝25°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠C＝90°，∴∠A＝180°﹣90°﹣25°＝65°．故選：A．【點評】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．7．（4分）關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式即可解決問題．【解答】解：因為關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有實數(shù)根，所以Δ＝（﹣3）2﹣4×2×k≥0，解得k≤．故選：B．【點評】本題主要考查了根的判別式，熟知一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．8．（4分）我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，其內(nèi)容大致如下：用九百九十九文錢，可買甜果苦果共一千個，若…，…，試問買甜果苦果各幾個？若設(shè)買甜果x個，買苦果y個，可列出符合題意的二元一次方程組，根據(jù)已有信息，題中用“…，…”表示的缺失的條件應為（）A．甜果七個用四文錢，苦果九個用十一文錢 B．甜果十一個用九文錢，苦果四個用七文錢 C．甜果四個用七文錢，苦果十一個用九文錢 D．甜果九個用十一文錢，苦果七個用四文錢【分析】根據(jù)列出的二元一次方程組可得甜果苦果買一千，甜果九個用十一文錢，苦果七個用四文錢，【解答】解：根據(jù)列出的二元一次方程組，可得缺失的條件應為：甜果九個用十一文錢，苦果七個用四文錢，故選：D．【點評】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，根據(jù)方程組找出等量關(guān)系．9．（4分）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分別以頂點A，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點M和點N，作直線MN分別與BC，AC交于點E和點F；以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點H和點G，再分別以點H，點G為圓心，大于HG的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP，若射線AP恰好經(jīng)過點E，則下列四個結(jié)論：①∠C＝30°；②AP垂直平分線段BF；③CE＝2BE；④．其中，正確結(jié)論的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】首先證明∠C＝∠EAC＝∠BAE＝30°，推出AC＝2AB，AE＝2BE，可得①②③④正確．【解答】解：由作圖可知MN垂直平分線段AC，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，由作圖可知AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠ABC＝90°，∴∠C＝∠CAE＝∠BAE＝30°，故①正確，∴AC＝2AB，∵AF＝FC，∴AB＝AF，∴AP垂直平分線段BF，故②正確，∵AE＝2BE，EA＝EC，∴EC＝2BE，故③正確，∴S△BEF＝S△BCF，∵AF＝FC，∴S△BFC＝S△ABC，∴S△BEF＝S△ABC，故④正確．故選：D．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，角平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學知識解決問題．10．（4分）兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓O′的一個直徑端點與半圓O的圓心重合，若半圓的半徑為2，則陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【分析】連接OA，AO′，作AB⊥OO′于點B，得三角形AOO′是等邊三角形，求出AB＝，S弓形AO′＝S扇形AOO′﹣S△AOO′＝﹣，再根據(jù)S陰影＝S弓形AO′+S扇形AO′O，即可得出答案．【解答】解：如圖，連接OA，AO′，作AB⊥OO′于點B，∵OA＝OO′＝AO′＝2，∴三角形AOO′是等邊三角形，∴∠AOO′＝60°，OB＝OO′＝1，∴AB＝＝，∴S弓形AO′＝S扇形AOO′﹣S△AOO′＝﹣2××＝﹣，∴S陰影＝S弓形AO′+S扇形AO′O＝﹣+＝﹣．故選：A．【點評】本題考查了扇形的面積公式的運用、三角形的面積公式的運用，熟練掌握扇形的面積公式是關(guān)鍵．11．（4分）如圖所示是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，該函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝1，圖象與y軸交點的縱坐標是2．則下列結(jié)論：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一個根在﹣2和﹣1之間；③方程ax2+bx+c﹣＝0一定有兩個不相等的實數(shù)根；④b﹣a＜2．其中，正確結(jié)論的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)拋物線與坐標軸的交點情況、二次函數(shù)與方程的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故①正確；∵拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個交點在2，3之間，∴與x軸的另一個交點在﹣1，0之間，∴方程ax2+bx+c＝0一定有一個根在﹣1和0之間，故②錯誤；∵拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝有兩個交點，∴方程ax2+bx+c﹣＝0一定有兩個不相等的實數(shù)根，故③正確；∵拋物線與x軸的另一個交點在﹣1，0之間，∴a﹣b+c＜0，∵圖象與y軸交點的縱坐標是2，∴c＝2，∴a﹣b+2＜0，∴b﹣a＞2．故④錯誤．故選：B．【點評】本題考查的是圖象法求一元二次方程的近似值，拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)與方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12．（4分）如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，點E是AB邊上的點，AE＝4，BE＝8，點F是BC上的一點，△EGF是以點G為直角頂點，∠EFG為30°角的直角三角形，連結(jié)AG．當點F在直線BC上運動時，線段AG的最小值是（）A．2 B． C． D．4【分析】E作EM⊥BC，則點E、M、F、G四點共圓，從而得到AF＝MH，因為AG≥GF，所以求出MH的值即可得解．【解答】解：如圖，過E作EM⊥BC于點M，作MH⊥AB于點H，作AF⊥GM于點F，∵∠EMF+∠EGF＝180°，∴點E、M、F、G四點共圓，∴∠EMG＝∠EFG＝30°，∵∠B＝60°，∴∠BEM＝30°＝∠EMG，∴MG∥AB，∴四邊形MHAF是矩形，∴MH＝AF，∵BE＝8，∴EM＝BE?cos30°＝4，∴MH＝EM＝2＝AF，∴AG≥AF＝2，∴AG最小值是2．故選：C．【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形、垂線段最短、圓內(nèi)接四邊形對角互補等知識，熟練掌握相關(guān)知識點和添加合適的輔助線是解題關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，滿分24分．只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對得4分）13．（4分）單項式﹣3ab2的次數(shù)是3．【分析】根據(jù)單項式次數(shù)的定義進行解答即可．【解答】解：∵單項式﹣3ab2中，a的指數(shù)是1，b的指數(shù)是2，∴此單項式的次數(shù)為：1+2＝3．故答案為：3．【點評】本題考查的是單項式次數(shù)的定義，即一個單項式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項式的次數(shù)．14．（4分）某學校在4月23日世界讀書日舉行“書香校園，全員閱讀”活動．小明和小穎去學校圖書室借閱書籍，小明準備從《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》中隨機選擇一本，小穎準備從《西游記》、《駱駝祥子》、《朝花夕拾》中隨機選擇一本，小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率是．【分析】列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小明和小穎恰好選中書名相同的書的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：將《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》、《朝花夕拾》分別記為A，B，C，D，列表如下：ABDA（A，A）（A，B）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小穎恰好選中書名相同的書的結(jié)果有2種，∴小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率為．故答案為：．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．15．（4分）在綜合實踐課上，數(shù)學興趣小組用所學數(shù)學知識測量大汶河某河段的寬度．他們在河岸一側(cè)的瞭望臺上放飛一只無人機．如圖，無人機在河上方距水面高60米的點P處測得瞭望臺正對岸A處的俯角為50°，測得瞭望臺頂端C處的俯角為63.6°，已知瞭望臺BC高12米（圖中點A，B，C，P在同一平面內(nèi)）．那么大汶河此河段的寬AB為74米．（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈，sin63.6°≈，tan50°≈，tan63.6°≈2）【分析】根據(jù)題干條件，要求AB，求出AE和BE即可，分別在兩個直角三角形中去求即可．【解答】解：由題知∠NPC＝∠PCF＝63.6°，∠MPA＝∠BAP＝50°，BC＝EF＝12m，PE＝60m，∴PF＝PE﹣EF＝48m，在Rt△PFC，tan63.6°＝＝2，∴CF＝24m，∴BE＝24m，在Rt△APF中，tan50°＝＝，∴AE＝50m，∴AB＝AE+BE＝74m．故答案為：74．【點評】本題主要考查解直角三角形的應用—仰角、俯角問題，熟練掌握解直角三角形是解題關(guān)鍵．16．（4分）如圖，小明的父親想用長為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個矩形的菜園．已知房屋外墻長40米，則可圍成的菜園的最大面積是450平方米．【分析】依據(jù)題意，設(shè)垂直于墻的邊長為x米，則平行于墻的邊長為（60﹣2x）米，又墻長為40米，從而可得0＜60﹣2x≤40，故10≤x＜30，又菜園的面積＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60＝﹣2（x﹣15）2+450，進而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷得解．【解答】解：由題意，設(shè)垂直于墻的邊長為x米，則平行于墻的邊長為（60﹣2x）米，又墻長為40米，∴0＜60﹣2x≤40．∴10≤x＜30．又菜園的面積＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60＝﹣2（x﹣15）2+450，∴當x＝15時，可圍成的菜園的最大面積是450，即垂直于墻的邊長為15米時，可圍成的菜園的最大面積是450平方米．故答案為：450．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的應用，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．17．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，AH是⊙O的切線，點C為⊙O上任意一點，點D為的中點，連結(jié)BD交AC于點E，延長BD與AH相交于點F．若DF＝1，，則AE的長為．【分析】先證∠DAF＝∠ABD，從而求出AF＝，再證△ADE≌△ADF（ASA）即可得解．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵AH是⊙O的切線，∴∠BAF＝90°，∴∠DAF＝∠ABD＝90°﹣∠DAB，∴△DAF∽△DBA，∴＝＝tanB＝，∵DF＝1，∴AD＝2，∴AF＝＝，∵點D為的中點，∴，∴∠ABD＝∠DAC＝∠DAF，∵∠ADE＝∠ADF＝90°，∴90°﹣∠DAE＝90°﹣∠DAF，即∠AED＝∠AFD，∴AE＝AF＝．故答案為：．【點評】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓周角定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．18．（4分）如圖所示，是用圖形“〇”和“●”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”．按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第12個“小屋子”中圖形“〇”個數(shù)是圖形“●”個數(shù)的3倍．【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出“〇”和“●”的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【解答】解：由所給圖形可知，第1個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：1＝1，“●”的個數(shù)為：4＝1×2+2；第2個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：3＝1+2，“●”的個數(shù)為：6＝2×2+2；第3個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：6＝1+2+3，“●”的個數(shù)為：8＝3×2+2；第4個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：10＝1+2+3+4，“●”的個數(shù)為：10＝4×2+2；…，所以第n個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：1+2+3+…+n＝，“●”的個數(shù)為：2n+2；由題知，，解得n1＝﹣1，n2＝12，又因為n為正整數(shù)，所以n＝12，即第12個“小屋子”中圖形“〇”個數(shù)是圖形“●”個數(shù)的3倍．故答案為：12．【點評】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)“〇”和“●”的個數(shù)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共7小題，滿分78分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）19．（10分）（1）計算：；（2）化簡：．【分析】（1）先算特殊角的三角函數(shù)值，負整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的化簡，再算加減即可；（2）先算括號里的運算，把能分解的因式進行分解，除法轉(zhuǎn)為乘法，最后約分即可．【解答】解：（1）；＝＝7；（2）＝＝＝．【點評】本題主要考查分式的混合運算，實數(shù)的運算，解答的關(guān)鍵是對相應的運算法則的掌握．20．（11分）某超市打算購進一批蘋果．現(xiàn)從甲、乙兩個供應商供應的蘋果中各隨機抽取10個，測得它們的直徑（單位：mm），并制作統(tǒng)計圖如下：根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）統(tǒng)計量供應商平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲8080b乙ma76則m＝80，a＝79.5，b＝83．（2）蘋果直徑的方差越小，蘋果的大小越整齊，據(jù)此判斷，甲供應商供應的蘋果大小更為整齊．（填“甲”或“乙”）（3）超市規(guī)定直徑82mm（含82mm）以上的蘋果為大果．超市打算購進甲供應商的蘋果2000個，其中，大果約有多少個？【分析】（1）分別根據(jù)算術(shù)平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)的定義解答即可；（2）根據(jù)方差的意義解答即可；（3）利用樣本估計總體，即用2000乘樣本中直徑82mm（含82mm）以上所占比例即可．【解答】解：（1）由題意得：m＝（75+76×3+79+80+81+83+86+88）÷10＝80；把乙的10個蘋果的直徑從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)分別是79，80，故中位數(shù)a＝＝79.5；甲10個蘋果的直徑中，83出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)b＝83，故答案為：80，79.5，83；（2）甲的方差為：[（76﹣80）2+（77﹣80）2+（78﹣80）2+（79﹣80）2+2×（80﹣80）2+（81﹣80）2+3×（83﹣80）2]＝5.8；乙的方差為[（75﹣80）2+3×（76﹣80）2+（79﹣80）2+（80﹣80）2+（81﹣80）2+（83﹣80）2+（86﹣80）2+（88﹣80）2]＝18.4，因為5.8＜18.4，所以甲供應商供應的蘋果大小更為整齊．故答案為：甲；（3）答：大果約有600個．【點評】本題考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差以及用樣本估計總體，掌握相關(guān)統(tǒng)計量的計算方法是解答本題的關(guān)鍵．21．（9分）直線y1＝kx+b（k≠0）與反比例函數(shù)的圖象相交于點A（﹣2，m），B（n，﹣1），與y軸交于點C．（1）求直線y1的表達式；（2）若y1＞y2，請直接寫出滿足條件的x的取值范圍；（3）過C點作x軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點D，求△ACD的面積．【分析】（1）分別將點A（﹣2，m）、點B（n，﹣1）代入中，求出m、n的值，再分別代入y1＝kx+b中，即可得出答案；（2）數(shù)形結(jié)合即可得出答案；（3）把y＝3代入中，求出點D的坐標，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案．【解答】解：（1）分別將點A（﹣2，m）、點B（n，﹣1）代入中，即﹣2m＝﹣8，﹣n＝﹣8，解得：m＝4，n＝8，∴A點坐標為（﹣2，4），B點坐標為（8，﹣1），把A點坐標（﹣2，4），B點坐標（8，﹣1）分別代入y1＝kx+b，即∴一次函數(shù)表達式為．（2）由圖象可知，當y1＞y2時，x＜﹣2或0＜x＜8．（3）把y＝3時代入中，得，∴D點坐標為，，∴．【點評】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，待定系數(shù)法求解析式及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．22．（10分）隨著快遞行業(yè)的快速發(fā)展，全國各地的農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷售空間，某農(nóng)產(chǎn)品加工企業(yè)有甲、乙兩個組共35名工人．甲組每天加工3000件農(nóng)產(chǎn)品，乙組每天加工2700件農(nóng)產(chǎn)品，已知乙組每人每天平均加工的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量是甲組每人每天平均加工農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量的1.2倍，求甲、乙兩組各有多少名工人？【分析】設(shè)甲組有x名工人，則乙組有（35﹣x）名工人，根據(jù)乙組每人每天平均加工的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量是甲組每人每天平均加工農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量的1.2倍，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出x的值（即甲組的人數(shù)），再將其代入（35﹣x）中，即可求出乙組的人數(shù)．【解答】解：設(shè)甲組有x名工人，則乙組有（35﹣x）名工人，根據(jù)題意得：＝×1.2，解答：x＝20，經(jīng)檢驗，x＝20是所列方程的解，且符合題意，∴35﹣x＝35﹣20＝15．答：甲組有20名工人，乙組有15名工人．【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．23．（12分）綜合與實踐為了研究折紙過程蘊含的數(shù)學知識，某校九年級數(shù)學興趣小組的同學進行了數(shù)學折紙?zhí)骄炕顒樱咎骄堪l(fā)現(xiàn)】（1）同學們對一張矩形紙片進行折疊，如圖1，把矩形紙片ABCD翻折，使矩形頂點B的對應點G恰好落在矩形的一邊CD上，折痕為EF，將紙片展平，連結(jié)BG．EF與BG相交于點H．同學們發(fā)現(xiàn)圖形中四條線段成比例，即，請你判斷同學們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由．【拓展延伸】（2）同學們對老師給出的一張平行四邊形紙片進行研究，如圖2，BD是平行四邊形紙片ABCD的一條對角線，同學們將該平行四邊形紙片翻折，使點A的對應點G，點C的對應點H都落在對角線BD上，折痕分別是BE和DF．將紙片展平，連結(jié)EG，F(xiàn)H，F(xiàn)G．同學們探究后發(fā)現(xiàn)，若FG∥CD，那么點G恰好是對角線BD的一個“黃金分割點”，即BG2＝BD?GD．請你判斷同學們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由．【分析】（1）作EM⊥BC于點M，證△EMF∽△BCG即可得證；（2）利用平行線分線段比例，然后進行等線段轉(zhuǎn)化即可得證．【解答】解：（1）正確，理由如下，作EM⊥BC于點M，∵EF⊥BG，∴∠BHF＝90°，∴∠FBH+∠BFH＝90°．∵∠EMF＝90°，∴∠MEF+∠BFH＝90°∴∠FBH＝∠MEF，又∵∠EMF＝∠C＝90°，∴△EMF∽△BCG．．∵ABCD是矩形，EM⊥BC，∴四邊形ABME是矩形．∴AB＝EM．∴．（2）同學們的發(fā)現(xiàn)說法正確，理由如下，∵CD∥FG，∴，∠CDF＝∠DFG，由折疊知∠CDF＝∠BDF，∴∠DFG＝∠BDF．∴GD＝GF．∴，由平行四邊形及折疊知AB＝BG，AB＝CD，∴，∴BG2＝BD?GD即點G為BD的一個黃金分割點．【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．24．（13分）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，點D，E分別在AB，CB上，DB＝EB，連結(jié)AE，CD，取AE中點F，連結(jié)BF．（1）求證：CD＝2BF，CD⊥BF；（2）將△DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．①請直接寫出BF與CD的位置關(guān)系：BF⊥CD；②求證：CD＝2BF．【分析】（1）證明△ABE≌△CBD（SAS）得出∠FAB＝∠BCD，再根據(jù)直角三角形斜邊上得中線等于斜邊的一半得出，再利用等角轉(zhuǎn)化即可求證；（2）①這一問主要是猜想，還需要利用第二問的思路去證明，先證△AGB≌△BDC得到∠ABG＝∠BCD＝∠BAN，再利用8字型得到∠ABC＝∠ANC＝90°，即可得證；②利用倍長中線證△AGF≌△EBF（SAS），再證△AGB≌△BDC（SAS），即可得證．【解答】（1）證明：在△ABE和△CBD中，∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBD，BE＝BD，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD，∠FAB＝∠BCD．∵F是Rt△ABE斜邊AE的中點，∴AE＝2BF，∴CD＝2BF，∵，∴∠FAB＝∠FBA．∴∠FBA＝∠BCD，∵∠FBA+∠FBC＝90°，∴∠FBC+∠BCD＝90°．∴BF⊥CD；（2）①BF⊥CD；理由如下：延長BF到點G，使FG＝BF，連結(jié)AG．延長BE到M，使BE＝BM，連接AM并延長交CD于點N．證△AGB≌△BDC（具體證法過程跟②一樣）．∴∠ABG＝∠BCD，∵F是AE中點，B是EM中點，∴BF是