高考數學二輪復習專題五函數與導數第14講函數的零點問題課件

第14講函數的零點問題第14講函數的零點問題

f(x)=ex-2x+a有零點,則a的取值范圍是

.答案

解析函數f(x)=ex-2x+a有零點即ex-2x+a=0有根,a=2x-ex,令g(x)=2x-ex,則a的范

圍即為函數g(x)的值域.g'(x)=2-ex,由g'(x)=0,得x=ln2,當x∈(-∞,ln2)時,g'(x)>0,

g(x)遞增,當x∈(ln2,+∞)時,g'(x)<0,g(x)遞減,所以g(x)max=g(ln2)=2ln2-2,則實數a的取值

范圍是(-∞,2ln2-2].f(x)=

的零點個數是

.答案2解析當x≤0時,由f(x)=x2-2=0,解得x=-

;當x>0時,f(x)=2x-6+lnx,其零點個數即為方程2x-6+lnx=0,x>0的實根個數,也即為函數y=6-2x,y=lnx,x>0圖象的交

點個數,由函數圖象可知f(x)=2x-6+lnx在(0,+∞)上有1個零點,故函數f(x)共有

2個零點.f(x)=

若函數g(x)=|f(x)|-3x+b有三個零點,則實數b的取值范圍為

.答案(-∞,-6)∪

解析函數g(x)=

-3x+b有三個零點,即y=

,y=3x-b的圖象有三個不同的交點,在同一坐標系中作出兩函數的圖象如圖,當直線y=3x-b與f(x)=4x-x2,x

∈[0,4]相切時,由f'(x)=4-2x=3,x=

,即切點為

,此時-b=

,由圖可得0≤-b<

,-

<b≤0時,兩個函數圖象有3個交點;當直線y=3x-b與f(x)=-

,x∈(-∞,0)相切時,f'(x)=

=3,x=-1,即切點為(-1,3),此時-b=6,由圖可得-b>6,即b<-6時,兩個函數圖象有3個交點,綜上可得,實數b的取值范圍是(-∞,-6)∪

.

f(x)=x2-mcosx+m2+3m-8有唯一零點,則滿足條件的實數m所組成的集

合為

.答案{2}解析因為f(-x)=f(x),所以f(x)是R上的偶函數,所以函數f(x)的唯一零點只能

是0,即f(0)=m2+2m-8=0,解得mm=2時,f(x)=x2-2cosx+2,f'(x)=2x+2sin

x>0,x∈(0,+∞),則f(x)在x∈(0,+∞)上遞增,此時f(x)有唯一零點x=0;當m=-4時,f

(x)=x2+4cosx-4,有3個零點,不適合,舍去,故實數m的取值集合為{2}.題型一確定函數的零點個數例1

(2018高考數學模擬試卷(1))設k∈R,函數f(x)=lnx+x2-kx-1,求:(1)k=1時,不等式f(x)>-1的解集;(2)函數f(x)的單調遞增區(qū)間;(3)函數f(x)在定義域內的零點個數.解析(1)k=1時,不等式f(x)>-1,即lnx+x2-x>0,設g(x)=lnx+x2-x,因為g'(x)=

+2x-1=

>0在定義域(0,+∞)上恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上單調遞增,又g(1)=0,所以f(x)>-1的解集為(1,+∞).(2)f'(x)=

+2x-k=

(x>0),由f'(x)≥0得2x2-kx+1≥0(*).(i)當Δ=k2-8≤0,即-2

≤k≤2

時,(*)在R上恒成立,所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,+∞).(ii)當k>2

時,Δ=k2-8>0,此時方程2x2-kx+1=0的相異實根分別為x1=

,x2=

,因為

所以0<x1<x2,所以f'(x)≥0的解集為

∪

,故函數f(x)的單調遞增區(qū)間為

和

.(iii)當k<-2

時,同理可得:

∴x1<x2<0,f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,+∞).綜上所述,當k>2

時,函數f(x)的單調遞增區(qū)間為

和

;當k≤2

時,函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,+∞).(3)據(2)知①當k≤2

時,函數f(x)在定義域(0,+∞)上單調遞增,令

得x>

,取m=max

,則當x>m時,f(x)>x2-kx-1>0.設0<x<1,x2-kx-1<max{-1,-k}=λ,所以f(x)<lnx+λ,當0<x<e-λ時,f(x)<0,取n=

min{1,e-λ},則當x∈(0,n)時,f(x)<0,又函數f(x)在定義域(0,+∞)上連續(xù)不間斷,所

以函數f(x)在定義域內有且僅有一個零點.②當k>2

時,f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上遞增,在(x1,x2)上遞減,其中2x1-kx1+1=0,2x2-kx2+1=0,則f(x1)=lnx1+

-kx1-1=lnx1+

-(2

+1)-1=lnx1-

-2.下面先證明lnx<x(x>0):設h(x)=lnx-x,由h'(x)=

>0得0<x<1,所以h(x)在(0,1)上遞增,在(1,+∞)上遞減,h(x)max=h(1)=-1<0,所以h(x)<0(x>0),即lnx<x(x>0).因

此,f(x1)<x1-

-2=-

-

<0,又因為f(x)在(x1,x2)上遞減,所以f(x2)<f(x1)<0,所以f(x)在區(qū)間(0,x2)不存在零點.由①知,當x>m時,f(x)>0,f(x)的圖象連續(xù)不間斷,所以f(x)在區(qū)間(x2,+∞)上有

且僅有一個零點.綜上所述,函數f(x)在定義域內有且僅有一個零點.【方法歸納】

確定函數y=f(x)零點個數的方法:(1)解方程f(x)=0,方程有幾個

解函數就有幾個零點;(2)畫出函數y=f(x)的圖象,確定與x軸的交點個數;(3)轉

化為兩個函數圖象的交點個數.1-1

(2017江蘇,14,5分)設f(x)是定義在R上且周期為1的函數,在區(qū)間[0,1)上,f

(x)=

其中集合D=

,則方程f(x)-lgx=0的解的個數是

.答案8解析由于f(x)∈[0,1),則只需考慮1≤x<10的情況,在此范圍內,x∈Q且x?Z時,設x=

,p,q∈N*,p≥2且p,q互質,若lgx∈Q,則由lgx∈[0,1),可設lgx=

,m,n∈N*,m≥2且m,n互質,因此1

=

,則10n=

,此時等號左邊為整數,等號右邊為非整數,矛盾.因此lgx?Q,因此lgx不可能與每個周期內x∈D對應的部分相等,只需考慮lgx與每個周期內x?D對應的部分的交點.畫出函數草圖,圖中交點除(1,0)外,其他交點的橫坐標均為無理數,且x=1處(lgx)'=

=

<1,則在x=1附近僅有一個交點,因此方程解的個數為8.

題型二已知函數的零點個數,求參數的取值范圍例2

(2018江蘇)若函數f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)內有且只有一個零點,

則f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值的和為

.答案-3解析∵f(x)=2x3-ax2+1,∴f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).若a≤0,則x>0時,f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上為增函數,又f(0)=1,∴f(x)在(0,+∞)

上沒有零點,∴a>0.當0<x<

時,f'(x)<0,f(x)為減函數;當x>

時,f'(x)>0,f(x)為增函數,∴x>0時,f(x)有極小值,為f

=-

+1.∵f(x)在(0,+∞)內有且只有一個零點,∴f

=0,∴a=3.∴f(x)=2x3-3x2+1,則f'(x)=6x(x-1).∴f(x)在[-1,1]上的最大值為1,最小值為-4.∴最大值與最小值的和為-3.x-1(-1,0)0(0,1)1f'(x)

+

-

f(x)-4增1減0【方法歸納】

已知函數零點個數,求參數的取值范圍一般利用等價轉化、

數形結合等思想,將問題轉化為動直線與定曲線的交點個數問題.答案(-∞,0]∪

解析當x≤0時,f(x)=x+2x單調遞增,且f(-1)=-

<0,f(0)=1>0,函數有1個零點,所以當x>0時f(x)也有1個零點,當x>0時,f'(x)=a-

,當a≤0時,f'(x)<0,f(x)遞減,且當x→0時,f(x)→+∞,當x>1時,f(x)<0,函數有1個零點,適合;當a>0時,f'(x)=0,

x=

,x∈

,f'(x)<0,f(x)遞減,x∈

,f'(x)>0,f(x)遞增,則當f

=1+lna=0,a=

時,函數有1個零點,綜上可得,實數a的取值范圍是(-∞,0]∪

.2-2

(2018南通高三第二次調研)設函數f(x)=

(其中e為自然對數的底數)有3個不同的零點,則實數m的取值范圍是

.答案(1,+∞)解析若e-x-

=0得x=ln2>0,則函數f(x)有3個不同的零點,即方程x3-3mx-2=0,x≤0有兩個不等實根,x=0時方程不成立,則3m=x2-

,x<0有2個不等實根,令g(x)=x2-

,x<0,則g'(x)=2x+

=

,x∈(-∞,-1),g'(x)<0,g(x)遞減,x∈(-1,0),g'(x)>0,g(x)遞增,則3m>g(-1)=3,m>1.題型三函數的零點存在問題例3

(2018高考數學模擬)設a≠0,e是自然對數的底數,已知函數f(x)=

有零點,且所有零點的和不大于6,則a的取值范圍為

.答案(-∞,0)∪[4,6]解析①a<0,x≤0時,f'(x)=aex-1<0,所以f(x)在(-∞,0)單調遞減,且f(0)=a<0,所

以f(x)在(-∞,0)有一個小于0的零點.x>0時,f(x)在(0,+∞)上單調遞增,因為f(1)=1,所以f(x)在(0,+∞)上有一個小于1

的零點.因此滿足條件.②a>0時,0<a≤1時,f(x)在(-∞,0)上單調遞減,f(0)=a>0,所以f(x)在(-∞,0]上沒

Δ=a2-4a<0,故f(x)在(0,+∞)上也沒有零點.因此不滿足題意.2)1<a<4時,f(x)在

上單調遞減,在

上單調遞增,f

=1+lna>0,所以f(x)在(-∞,0)上沒有零點.又因為Δ=a2-4a<0,故f(x)在(