湖南省郴州市桂陽縣甘甜中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期入學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024年秋高一入學(xué)檢測卷·數(shù)學(xué)說明：1．全卷滿分120分，考試時間120分鐘．2．請把答案寫在答題卡上，否則不給分．一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．每小題只有一個正確選項(xiàng)，請將正確答案的代號填入題后括號內(nèi)）1.下列四個數(shù)中，最小的一個數(shù)是（）A.-2 B.C.0 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較即可.【詳解】因?yàn)?所以最小的為-2故選：A.2.如圖所示的幾何體的左視圖是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)從左邊看到的圖形是左視圖即可判斷出答案．【詳解】根據(jù)從左邊看到的圖形是左視圖，A符合題意，故選：A．3.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)和冪的運(yùn)算法則以及平方差公式，對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】A選項(xiàng)，和不是同類項(xiàng)，不能合并，錯誤；B選項(xiàng)，根據(jù)冪的運(yùn)算法則，錯誤；C選項(xiàng)，根據(jù)平方差公式，錯誤D選項(xiàng)，根據(jù)合并同類項(xiàng)法則，正確；故選：D.4.如圖，這是某班45名同學(xué)愛心捐款額的頻數(shù)分布直方圖(每組含前一個邊界值，不含后一個邊界值)，則捐款人數(shù)最多的一組是（）A.5~10元 B.10~15元C.15~20元 D.20~25元【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖形所給出的數(shù)據(jù)直接找出捐款人數(shù)最多的一組即可.【詳解】根據(jù)圖形所給出的數(shù)據(jù)可得：捐款額為15~20元的有20人，人數(shù)最多，則捐款人數(shù)最多的一組是15~20元.故選：C5.已知一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可判斷出，由此可判斷二次函數(shù)的圖象可能的位置，即得答案.【詳解】由題意可知，故二次函數(shù)的圖象開口向下，，與y軸交點(diǎn)在x軸上方，故可能的圖象為A，故選：A6.人們常用“一剎那”這個詞來形容時間極為短暫，按古印度《僧只律》(又有資料為《倡只律》)解釋：一剎那即為一念，二十念為一瞬；二十瞬為一彈指，二十彈指為一羅預(yù)；二十羅預(yù)為一須叟，一日一晝?yōu)槿氎牛沾擞?jì)算，一須叟為48分鐘，一羅預(yù)為144秒，一彈指為7.2秒，一瞬為0.36秒，一剎那為0.018秒．則一天24小時有（）A.8×104剎那B.4.8×106剎那C.4.8×105剎那D.4.8×107剎那【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意利用除法即可得解.【詳解】由題意可知，，即一天24小時有剎那.故選：B二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7.小明制作了如圖所示的四張卡片(四張卡片除正面的文字不同外，其余均相同)，現(xiàn)將四張卡片背面朝上，洗勻放好．從中隨機(jī)抽取兩張卡片，則這兩張卡片恰好組成“勞動”一詞的概率是____．【答案】【解析】【分析】畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和這兩張卡片恰好組成“勞動”一詞的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案.【詳解】畫樹狀圖如下:共有12種等可能的結(jié)果，其中這兩張卡片恰好組成“勞動”一詞的結(jié)果有2種，所以這兩張卡片恰好組成“勞動”一詞的概率為.故答案為:8.分解因式：___________________．【答案】【解析】分析】提取公因式后再利用平方差公式分解即可.【詳解】故答案為：9.已知方程2x2-x-1=0的兩根分別是x1，x2，則x1+x2的值為____．【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的韋達(dá)定理，可得答案.【詳解】由方程的解為，可得，故答案為：10.中國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，奠定了中國圓周率計(jì)算在世界上的領(lǐng)先地位．劉徽提出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”由此求得圓周率π的近似值．設(shè)圓的半徑為r，圓內(nèi)接正n邊形的周長為C，圓的直徑為d．如圖1，當(dāng)n=6時，π≈===3;如圖2，當(dāng)n=12時，π≈=____．(結(jié)果精確到0.01;參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.259，sin75°≈0.966)

【答案】3.11【解析】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接十二邊形的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)可求邊長，進(jìn)而可根據(jù)π的近似值求解公式求解.【詳解】當(dāng)n=12時,,所以,所以正十二邊形的周長為，故，故答案為：3.1111.如圖，在中，AB=3，AC=5，D是BC的中點(diǎn)，連接AD，且AD=2，則BC的長為____．【答案】【解析】【分析】延長至，使，連接，利用平行四邊形的判定性質(zhì)，結(jié)合勾股定理及逆定理計(jì)算即得.【詳解】延長至，使，連接，又D是BC的中點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形，于是，又，則，因此，在中，，所以.故答案為：12.如圖，在正方形中，對角線，交于點(diǎn)，折疊正方形，使邊落在上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論：①；②為等邊三角形；③；④．其中正確的是____．【答案】①③④【解析】【分析】①可有折疊對稱得到，進(jìn)而可得；②通過幾何性質(zhì)可得，即可判斷；③設(shè)，可得，進(jìn)而可得；④因，故即得.【詳解】因?yàn)檎郫B正方形，使邊落在上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，所以，，，故．因?yàn)?，所以，所以，故①正確．因?yàn)?，所以，故，故，所以?因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形所以，所以平行四邊形是菱形，所以．因?yàn)?，故不是等邊三角形，所以②不正確．設(shè)，則，所以，所以，故③正確．因?yàn)?，所以，故④正確．故答案為：①③④三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13.（1）化簡：．（2）解不等式組：【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行化簡；（2）分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【詳解】（1）解：.（2）解：解不等式①得，解不等式②得，∴不等式組的解集為.14.閼伯臺又叫火星臺、火神臺，位于商丘古城西南1.5公里處，是距今4000多年的觀星臺遺址，火神臺為圓形夯土筑成．某數(shù)學(xué)小組想要測量火神臺的高度，如圖，數(shù)學(xué)小組用測角儀在點(diǎn)處測得火神臺頂端的仰角為，用無人機(jī)在點(diǎn)處測得火神臺頂端的仰角為，，求火神臺的高度．(結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：，，)【答案】【解析】【分析】設(shè)，由題意得，運(yùn)用銳角三角函數(shù)求出的值即可求解.【詳解】設(shè)，在中，，，，，，，，，在中，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，，答：火神臺的高度約為.15.如圖，現(xiàn)有4個質(zhì)地和大小完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．將標(biāo)有1，2的小球放入不透明的甲袋中，標(biāo)有3，4的小球放入不透明的乙袋中．從甲袋中隨機(jī)摸出一個球，將球上的數(shù)字當(dāng)作指數(shù)，再從乙袋中隨機(jī)摸出一個球，將球上的數(shù)字當(dāng)作底數(shù)，從而得到一個乘方，并計(jì)算其值，記作m．（1）用列表或畫樹狀圖的方法，表示m的所有可能結(jié)果．（2）老師說：“如果我再放進(jìn)一個標(biāo)有數(shù)字0的小球，那么放到甲袋中得到的m是奇數(shù)的概率和放到乙袋中得到的m是偶數(shù)的概率是一樣的．”請判斷老師的結(jié)論是否正確，并說明理由．【答案】（1）樹狀圖見詳解，3、4、9、16；（2）正確，理由見解析.【解析】【分析】（1）直接畫樹狀圖（或列表）可得；（2）分別求出放入甲袋和乙袋中m的所有情況，然后可得.【小問1詳解】（1）根據(jù)題意畫樹狀圖如下：則m共有4種等可能的結(jié)果，分別為3、4、9、16.【小問2詳解】老師的結(jié)論正確.當(dāng)放到甲袋中時，m分別是3、4、9、16、1、1，奇數(shù)的概率是=;當(dāng)放到乙袋中時，m分別是0、0、3、4、9、16，偶數(shù)的概率是=故放到甲袋中得到的m是奇數(shù)的概率與放到乙袋中得到的m是偶數(shù)的概率是相同的，老師的結(jié)論正確.16.如圖，四邊形ABCD為菱形，延長AB至點(diǎn)E，使得BE=AB，過點(diǎn)E作EF∥AD，交DB的延長線于點(diǎn)F，請僅用無刻度直尺按下列要求作圖(保留作圖痕跡)．（1）在圖1中，過BD的中點(diǎn)作直線l∥AE．（2）在圖2中，作出一個矩形．【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析.【解析】【分析】（1）利用菱形、平行四邊形對角線、中位線的性質(zhì)找到并畫出直線l；（2）利用菱形性質(zhì)找到中點(diǎn)、，利用全等三角形得且，結(jié)合矩形的判定即可得.【小問1詳解】連接，與BD的交點(diǎn)，即為BD的中點(diǎn)，連接，與的交點(diǎn)，即為的中點(diǎn)，所以BD的中點(diǎn)與的中點(diǎn)的連線即為所求直線l，如下圖示：【小問2詳解】由為菱形對角線交點(diǎn)，則，即，而，過分別作交于一點(diǎn)，將其與連接，交于，易知為中點(diǎn)，故，即，易證，則且，綜上，四邊形OBGC即為所求矩形，如下圖示：17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)（m為常數(shù)，且）的圖象交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，若四邊形ABCD為矩形．（1）直接寫出點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)(用含m的式子表示)．（2）求矩形ABCD的面積．【答案】（1）A(2m，0)，B(0，m)，D(，-m)（2）40【解析】【分析】（1）把，代入，可得點(diǎn)B坐標(biāo)，把代入，可得點(diǎn)A坐標(biāo)，再過點(diǎn)D作軸于E，證，即可得，把代入，求得，即得D點(diǎn)坐標(biāo)．（2）證明，則，代入可得，解得，再由，即可求解．【小問1詳解】解：對于一次函數(shù)，令，則，∴，令，則，解得：，∴，過點(diǎn)D作軸于E，∵四邊形為矩形．∴，，∴，∵∴，∴，∴點(diǎn)D縱坐標(biāo)為，把代入，得，解得：，∴；【小問2詳解】解：∵四邊形為矩形．∴，∵，∴∵∴，∴∴，由（1）知：，，，∴，∴，∴，∴，∴．四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18.珍愛生命，遠(yuǎn)離溺水．某校開展了“遠(yuǎn)離溺水·珍愛生命”的防溺水安全知識競賽，并為獲獎的同學(xué)頒發(fā)獎品．李老師去商店購買甲、乙兩種筆記本作為獎品，若買甲種筆記本10本，乙種筆記本20本，共用110元，且買5本甲種筆記本比買10本乙種筆記本少花5元．（1）求甲、乙兩種筆記本的單價．（2）李老師準(zhǔn)備購買甲、乙兩種筆記本共100本，且甲種筆記本的數(shù)量不少于乙種筆記本數(shù)量的3倍，因李老師購買的數(shù)量多，實(shí)際付款時按原價的九折付款．為了使所花費(fèi)用最低，應(yīng)如何購買？最低費(fèi)用是多少元？【答案】（1）甲種筆記本的單價是5元，乙種筆記本的單價是3元；（2）購買75本甲種筆記本，25本乙種筆記本，所花費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是405元.【解析】【分析】（1）設(shè)出未知數(shù)，列出二元一次方程組并求解即得.（2）設(shè)購買m本甲種筆記本，求出所需費(fèi)用為元關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.【小問1詳解】設(shè)甲種筆記本的單價是x元，乙種筆記本的單價是y元，根據(jù)題意得，解得，所以甲種筆記本的單價是5元，乙種筆記本的單價是3元.【小問2詳解】設(shè)購買m本甲種筆記本，則購買()本乙種筆記本，由甲種筆記本的數(shù)量不少于乙種筆記本數(shù)量的3倍，得，解得，設(shè)所需費(fèi)用為元，則，顯然隨m的增大而增大，因此當(dāng)時，最小，最小值為(元)，此時，所以購買75本甲種筆記本，25本乙種筆記本，所花費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是405元.19.每年的4月15日是我國全民國家安全教育日．某中學(xué)在全校七、八年級開展“國家安全法”知識競賽，現(xiàn)從該校七、八年級中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的競賽成績(100分制，80分及以上為優(yōu)秀)進(jìn)行整理、描述和分析(成績用x表示，共分成四組：A.，B.，C.，D．)．下面給出了部分信息：七年級抽取的學(xué)生競賽成績在C組的數(shù)據(jù)是：80，84，85，90，95，98．八年級抽取的學(xué)生競賽成績在C組的數(shù)據(jù)是：80，82，84，86，86，90，94，98．七、八年級抽取的學(xué)生競賽成績的統(tǒng)計(jì)表年級平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)滿分率七年級82100a25%八年級82b8835%七年級抽取的學(xué)生競賽成績條形統(tǒng)計(jì)圖根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）直接寫出a，b的值．（2）該校七、八年級共有800人參加此次競賽活動，估計(jì)參加此次競賽活動成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)．【答案】（1）（2）520人【解析】【分析】（1）找出七年級成績處在中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)即為中位數(shù)，可求出，找出八年級成績出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)為八年級成績的眾數(shù)；（2）分別求出七、八年級學(xué)生競賽成績的優(yōu)秀人數(shù)即可求解．【小問1詳解】七年級抽取的學(xué)生競賽成績從小到大排列后，處在中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)為（分），因此中位數(shù)是82分，即．八年級抽取的學(xué)生競賽成績的中位數(shù)是88，因此在及以上的應(yīng)有10人，可得100分的有(人)，因此競賽成績的眾數(shù)為100，即．【小問2詳解】七年級抽取的學(xué)生競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)是，八年級抽取的學(xué)生競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)是，則優(yōu)秀人數(shù)為人.所以參加此次競賽活動成績優(yōu)秀的學(xué)生約有520人.20.如圖1，某商業(yè)中心從一樓到二樓有一自動扶梯，圖2是該場景的側(cè)面示意圖．已知自動扶梯AB的坡度為1∶，AB的長度是12米，MN∥PQ，點(diǎn)C在MN上，BC⊥MN，在自動扶梯底端A處測得點(diǎn)C的仰角為45°．（1）求自動扶梯頂端B到地面PQ的距離．（2）若在自動扶梯頂端B的正上方的樓頂C處懸掛一個高為2米(CG=2米)的廣告牌，請問一個身高為1.9米的人能否正常通過此處?(≈1.73)【答案】（1）6米；（2）能.【解析】【分析】（1）延長CB交PQ于D，求出自動扶梯AB的坡度tan∠BAD=值，確定∠BAD的大小，進(jìn)而可得B到地面PQ的距離；（2）由（1）求出BD、CD，即可求結(jié)果.【小問1詳解】如圖，延長CB，交PQ于D．∵M(jìn)N∥PQ，BC⊥MN，∴BD⊥PQ，∵自動扶梯AB的坡度為1∶，∴tan∠BAD===，∴∠BAD=30°，故BD=AB=6米．答：自動扶梯頂端B到地面PQ的距離為6米.【小問2詳解】由（1）得：AD=BD=6，Rt△CDA中，∠CDA=90°，∠CAD=45°，∴CD=AD=6≈10.38，∴BG=CDBDCG=2.38>1.9，答：一個身高為1.9米的人能正常通過此處.五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21.如圖1，AB是☉O的直徑，C是☉O上異于點(diǎn)A，B的一點(diǎn)，連接AC，BC，并延長BA至點(diǎn)E，使得∠ECA=∠B．（1）求證：CE是☉O的切線．（2）如圖2，若∠B=30°，請直接寫出三個你認(rèn)為正確的結(jié)論(注：不另外添加輔助線)．【答案】（1）證明見解析（2）AB=2AC，∠E=30°，EA=AC(符合題意即可)【解析】【分析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為證明，然后利用圓的性質(zhì)證明可得；（2）結(jié)合（1）中證明過程，寫出三個正確結(jié)論即可.【小問1詳解】如圖，連接OC．∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠CAB=90°∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∴∠B+∠ACO=90°∵∠B=∠ECA，∴∠ECA+∠ACO=90°，∴∠ECO=90°，∴EC⊥OC∵OC為☉O的半徑，∴CE是☉O的切線【小問2詳解】AB=2AC，∠E=30°，EA=AC(符合題意即可)由（1）知，直角三角形，因?yàn)?，所以AB=2AC.因?yàn)椋杂赏饨嵌ɡ碇?，又，所以由上知，，所以EA=AC.22.在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為C的拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)．（1）若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，求b的值．（2）規(guī)定：橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．已知拋物線的對稱軸為y軸．①求拋物線與x軸所圍成封閉圖形G內(nèi)部(不包括邊界)整點(diǎn)的個數(shù);②若雙曲線y=與拋物線在第四象限內(nèi)圍成的封閉圖形W內(nèi)部及邊界上的整點(diǎn)的個數(shù)總和為2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（3）若點(diǎn)C在第三象限，且點(diǎn)C到x軸的距離為，直線y=與拋物線在x軸下方的部分有兩個交點(diǎn)，直接寫出t的取值范圍．【答案】（1）；（2）①7；②；（3）<t<．【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程即可,（2）根據(jù)對稱軸可得拋物線方程，根據(jù)列舉法即可求將所有的整數(shù)點(diǎn)，結(jié)合拋物線和雙曲線的圖象特征即可確定兩個整數(shù)點(diǎn)為，即可求解，（3）根據(jù)C到x軸的距離為可得拋物線方程，根據(jù)直線與拋物線的相切只有一個公共點(diǎn)時可得t=，進(jìn)而結(jié)合圖形特征即可求解.【小問1詳解】把B(3，0)代入，得，解得【小問2詳解】拋物線的對稱軸為y軸，∴b=0，∴．令，解得，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為,①∵當(dāng)x=1時，，∴點(diǎn),在區(qū)域G的內(nèi)部;∵當(dāng)時，，∴點(diǎn)在區(qū)域G的內(nèi)部;∵當(dāng)時，，∴點(diǎn)在區(qū)域G的內(nèi)部;∴在區(qū)域G的內(nèi)部(不包括邊界)的整點(diǎn)的個數(shù)為7②拋物線過點(diǎn)，∴拋物線在第四象限內(nèi)的部分是0<x<2之間的圖象．∵由題