八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 講義（北師大版）第六章第01講 平行四邊形的性質(zhì)(9類(lèi)熱點(diǎn)題型講練)（原卷版）

第01講平行四邊形的性質(zhì)(9類(lèi)熱點(diǎn)題型講練)1．理解平行四邊形的概念，掌握平行四邊形的性質(zhì)定理；2．會(huì)應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)定理解決相關(guān)的幾何證明和計(jì)算問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)01平行四邊形的定義平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形.平行四邊形用“?”表示，平行四邊形ABCD表示為“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”知識(shí)點(diǎn)02平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)：邊、角、對(duì)角線，有時(shí)會(huì)涉及對(duì)稱性.如下圖，四邊形ABCD是平行四邊形：性質(zhì)1（邊）：=1\*GB3①對(duì)邊相等；=2\*GB3②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC性質(zhì)2（角）：對(duì)角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC性質(zhì)3（對(duì)角線）：對(duì)角線相互平分，即：AO=OC，BO=OD注：=1\*GB3①平行四邊形僅對(duì)角線相互平分，對(duì)角線不相等，即AC≠BD；=2\*GB3②平行四邊形對(duì)角相等，但對(duì)角線不平分角，即∠DAO≠∠BAO.性質(zhì)4（對(duì)稱性）：平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形.題型01平行四邊形的性質(zhì)【例題】（23-24八年級(jí)下·江蘇南京·階段練習(xí)）有下列說(shuō)法：①平行四邊形具有四邊形的所有性質(zhì)；②平行四邊形是中心對(duì)稱圖形；③平行四邊形的任一條對(duì)角線可把平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形；④平行四邊形的兩條對(duì)角線把平行四邊形分成4個(gè)面積相等的小三角形.其中正確說(shuō)法的序號(hào)是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④【變式訓(xùn)練】1．（22-23九年級(jí)上·黑龍江七臺(tái)河·期末）下面關(guān)于平行四邊形的性質(zhì)描述正確的是（）A．平行四邊形的對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)B．平行四邊形的對(duì)稱軸是對(duì)角線所在直線C．平行四邊形不是中心對(duì)稱圖形D．平行四邊形既不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形2．（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）平行四邊形具有而一般四邊形不具有的性質(zhì)是（

）A．外角和等于 B．對(duì)角線互相平分C．內(nèi)角和等于 D．有兩條對(duì)角線題型02利用平行四邊形的性質(zhì)求角度【例題】（23-24八年級(jí)下·吉林·階段練習(xí)）在平行四邊形中，，則的度數(shù)是．【變式訓(xùn)練】1．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，連接若，則的度數(shù)為．2．（23-24八年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，四邊形是平行四邊形，，平分且交于點(diǎn)，且交于點(diǎn)，則的度數(shù)為．題型03利用平行四邊形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)【例題】（23-24八年級(jí)下·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，已知，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)下·遼寧大連·階段練習(xí)）在中，，對(duì)角線交于點(diǎn)O，，則的長(zhǎng)是（

）

A． B．3 C． D．52．（23-24八年級(jí)下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）在中，，平分交于點(diǎn)E，平分交于點(diǎn)F，且，則的長(zhǎng)為（）A．4 B．6 C．6或8 D．4或6題型04利用平行四邊形的性質(zhì)求面積【例題】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O，且點(diǎn)E，H在邊上，點(diǎn)G，F(xiàn)在邊上，則陰影部分的面積與的面積比值是（）．A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖，直線過(guò)平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)O，分別交于E、F，若平行四邊形的面積是12，則與的面積之和為．2．（22-23八年級(jí)下·遼寧撫順·期中）如圖，在中，P是邊上一點(diǎn)．已知，，則的面積是cm2．

題型05利用平行四邊形的性質(zhì)求坐標(biāo)【例題】（23-24八年級(jí)下·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）在中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【變式訓(xùn)練】1．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若?的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、、，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是．2．（23-24八年級(jí)下·四川廣元·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系里，，若以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．題型06利用平行四邊形的性質(zhì)得結(jié)論（多結(jié)論問(wèn)題）【例題】（23-24八年級(jí)下·湖北省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）如圖，平行四邊形的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AE平分，交BC于點(diǎn)E，且，連接，下列結(jié)論①；②；③；④；其中成立的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，連接，，，下列結(jié)論：①；②為等腰直角三角形；③；④，其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（23-24八年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，，，，直線過(guò)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連，的周長(zhǎng)等于，下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（

）；；；．A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)題型07利用平行四邊形的性質(zhì)求折疊問(wèn)題【例題】（2023·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)E為平行四邊形中邊上一點(diǎn)，將沿折疊至處，，，則的大小為．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)下·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，在中，將沿折疊后，點(diǎn)恰好落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處．若，則為．2．（2023·江蘇泰州·一模）如圖，在中，，，、分別是邊、上一點(diǎn)，且，將沿折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則的長(zhǎng)為．題型08利用平行四邊形的性質(zhì)求動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題【例題】（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，平行四邊形中，對(duì)角線，點(diǎn)M沿方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)，，圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，則平行四邊形的面積是（

）A．20 B．10 C．15 D．12【變式訓(xùn)練】1．（2024·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)從四條邊都相等的的頂點(diǎn)出發(fā)，沿以的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，圖是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積隨時(shí)間變化的關(guān)系圖象，則的值為（）A． B． C． D．2．（23-24九年級(jí)下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，厘米，厘米，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒厘米的速度，沿在平行四邊形的邊上勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，的面積為平方厘米，下列圖中表示與之間函數(shù)關(guān)系的是（

）A．B．C．D．題型09利用平行四邊形的性質(zhì)證明【例題】（23-24八年級(jí)下·遼寧大連·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E是內(nèi)一點(diǎn)，且．(1)寫(xiě)出圖中與相等的角，并證明；(2)求證：(3)用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式訓(xùn)練】1．（2024·貴州黔東南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形中，、分別平分、，交分別于點(diǎn)、．已知平行四邊形的周長(zhǎng)為．(1)求證：；(2)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若，求的面積.2．（23-24八年級(jí)下·湖北省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，，連接．

(1)求證：平分；(2)若點(diǎn)E為中點(diǎn)，求證：；(3)若，，，求的面積．一、單選題1．（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)（

）A．1 B．1.5 C．2 D．32．（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在中，，，于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（23-24八年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，將平行四邊形沿折疊，得到四邊形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為（

）A． B．4 C． D．34．（23-24八年級(jí)下·江蘇·周測(cè)）在中，，平分交邊于點(diǎn)E，平分交邊于點(diǎn)F，若點(diǎn)E與點(diǎn)F的距離為2，則的長(zhǎng)為（）A．2 B．5 C．2或5 D．3或55．（23-24八年級(jí)下·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，P是內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接、、、，得到、、、，設(shè)它們的面積分別是、、、，給出如下結(jié)論：①，②若，則，③若，則的面積為10；④．其中正確的（）A．①③ B．②③ C．①② D．②④二、填空題6．（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）在平行四邊形中，，則．7．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形中以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交、于、，分別以點(diǎn)、為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與交于點(diǎn)，若，，，則的長(zhǎng)為．8．（23-24八年級(jí)下·江蘇淮安·階段練習(xí)）如圖，平行四邊形的對(duì)角線和相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交和于點(diǎn)，且，那么圖中陰影部分的面積為．9．（23-24八年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）在平行四邊形中，，已知，，將沿翻折至，使點(diǎn)落在平行四邊形所在的平面內(nèi)，連接．若是直角三角形，則的長(zhǎng)為．10．（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，E是的中點(diǎn)，已知，，，，點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為時(shí)，以點(diǎn)P，A，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．三、解答題11．（23-24八年級(jí)下·重慶巴南·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線和交于O點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線上，，平分．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，求的長(zhǎng)．12．（23-24八年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知是中心對(duì)稱圖形，點(diǎn)是平面上一點(diǎn)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺畫(huà)出點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)．(1)如圖1，點(diǎn)E在的邊上；(2)如圖2，點(diǎn)E在外．13．（23-24八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期末）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，且，F(xiàn)為線段上一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)求證：；(3)若，，，求．14．（23-24八年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在中，分別平分，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)連接，證明；(3)過(guò)點(diǎn)作，垂足為．若的周長(zhǎng)為，求的面積．15．（23-24八年級(jí)下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以速度沿射線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．(