八年級數(shù)學下冊 講義（北師大版）第六章第02講 平行四邊形的判定(6類熱點題型講練)（原卷版）

第02講平行四邊形的判定(6類熱點題型講練)1．掌握平行四邊形的判定定理；(重點)2．綜合運用平行四邊形的性質(zhì)與判定定理1、2解決問題．(難點)知識點01平行四邊形的判定定理【知識點】平行四邊形的判定：主要根據(jù)平行四邊形的定義、性質(zhì)進行，如下圖，有四邊形ABCD：（1）判定方法1（定義）：兩組對邊平行的四邊形，即AD∥BC，AB∥DC.（2）判定方法2（邊的性質(zhì)）：兩組對邊相等的四邊形，即AD=BC，AB=DC.（3）判定方法3（邊的性質(zhì)）：一組對邊相等且平行的四邊形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC.（4）判定方法4（角的性質(zhì)）：兩組對角相等的四邊形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC.（5）判定方法5（對角線的性質(zhì)）：兩組對角線相互平分的四邊形，即AO=CO且BO=DO.注：=1\*GB3①平行四邊形的判定，需要邊、角、對角線相關的2個條件（相等、平行）；=2\*GB3②判定方法3中，必須要求是同一對邊平行且相等判定為平行四邊形.若四邊形中，一對邊平行，另一對邊相等，是無法判定為平行四邊形的.題型01判斷能否構(gòu)成平行四邊形【例題】（23-24八年級下·廣東珠?！るA段練習）如圖，四邊形中，對角線、相交于點，下列條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的是（

）A．， B．，C．， D．，【變式訓練】1．（23-24八年級下·江蘇泰州·期中）如圖，在四邊形中，對角線與相交于點，下列四個選項中不能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A．， B．，C．， D．，2．（2024·河北石家莊·一模）如圖，已知線段和射線，且，在射線上找一點C，使得四邊形是平行四邊形，下列作法不一定可行的是（

）A．過點D作與交于點CB．在下方作與交于點C，使C．在上截取，使，連接D．以點D為圓心，長為半徑畫弧，與交于點C，連接題型02添一個條件成為平行四邊形【例題】（23-24八年級下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）如圖，在四邊形中，，請?zhí)砑右粋€條件：，使四邊形成為平行四邊形．【變式訓練】1．（22-23八年級下·黑龍江齊齊哈爾·期中）在四邊形中，，請再添加一個條件，使四邊形是平行四邊形．添加的條件是．2．（23-24八年級下·全國·假期作業(yè)）如圖，在四邊形中，是邊上一點，連接并延長，與的延長線相交于點．請你再添加一個條件：，使四邊形是平行四邊形（寫出一種情況即可）．題型03證明四邊形是平行四邊形【例題】（23-24九年級下·江蘇南通·階段練習）如圖，在中，E、F為對角線上兩點，．求證：四邊形是平行四邊形．【變式訓練】1．（23-24八年級下·山東聊城·階段練習）如圖，四邊形對角線交于點O，且O為中點，，，求證：四邊形是平行四邊形．

2．（2024·湖南岳陽·二模）如圖，在中，點，分別在，上，，分別交，于點，．求證：四邊形是平行四邊形．題型04利用平行四邊形的判定和性質(zhì)求解【例題】（23-24九年級上·浙江杭州·階段練習）如圖，在四邊形中，，點E在上，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，平分，，求的長．【變式訓練】1．（23-24八年級上·吉林·期末）如圖，在中，，于點D，延長到點E，使，過點E作交的延長線于點F，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，直接寫出的長．2．（22-23八年級下·江西宜春·階段練習）如圖所示，將的邊延長至點，使，連接，是邊的中點，連接．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，求的長．題型05利用平行四邊形的判定和性質(zhì)證明【例題】（23-24八年級下·江蘇泰州·階段練習）已知：如圖，四邊形為平行四邊形，點E，A，C，F(xiàn)在同一直線上，．(1)求證：；(2)連接、，求證：四邊形為平行四邊形．【變式訓練】1．（2024·廣東江門·一模）如圖，，E、F分別是邊上一點，且，直線分別交延長線、延長線于O、H、G．(1)求證：．(2)分別連接，試判斷與的關系，并證明．2．（2024·貴州·一模）如圖，中，，點是邊上一點，且，點是延長線上一點，且，點在上，且．

(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)若，求四邊形的周長；(3)過點作交于點，判斷和的大小關系并說明理由．題型06平行四邊形的判定和性質(zhì)的應用【例題】（22-23八年級下·陜西渭南·期末）問題背景：如圖，在等邊中，、兩點分別在邊、上，，以為邊作等邊，連接，，．

問題探究：(1)求證：為等邊三角形；(2)求證：四邊形為平行四邊形；(3)若，求四邊形的面積．【變式訓練】1．（22-23八年級下·福建漳州·期末）如圖，在中，，為邊上一點（），過點，分別作射線的垂線，垂足分別為點，．點在的延長線上，且．

(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)若，的周長為24，求的長．2．（22-23八年級下·山西太原·階段練習）已知：在中，于點．

(1)尺規(guī)作圖：作線段，使交于點；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的基礎上，連接，，求證：四邊形是平行四邊形；(3)連接，若，，，則______．3．（23-24八年級上·吉林白城·期末）如圖：是邊長為6的等邊三角形，P是邊上一動點．由點A向點C運動（P與點不重合），點Q同時以點P相同的速度，由點B向延長線方向運動（點Q不與點B重合），過點P作于點E，連接交于點D．(1)若設的長為x，則，．(2)當時，求的長；(3)過點Q作交延長線于點F，則有怎樣的數(shù)量關系？說明理由．(4)點在運動過程中，線段的長是否發(fā)生變化？如果不變，直接寫出線段的長；如果變化，請說明理由．一、單選題1．（2023·四川成都·模擬預測）如圖，在中，，分別以點A，C為圓心，長為半徑畫弧，兩弧在直線上方交于點D，連接，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（23-24八年級上·安徽合肥·期末）如圖，四邊形中，，，E、F是對角線上的兩點，如果再添加一個條件，使，則添加的條件不能是（

）A． B． C． D．3．（23-24八年級下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）如圖，點是內(nèi)的一點，過點作直線、分別平行于、，與的邊分別交于、、、．則圖中平行四邊形的個數(shù)為（

）A．10個 B．9個 C．8個 D．7個4．（2023·貴州銅仁·三模）如圖，平行四邊形中以點為圓心，適當長為半徑作弧，交于，分別以點為圓心大于長為半作弧，兩弧交于點，作交于點，連接，若，則的長為（）A． B． C． D．5．（2024八年級下·全國·專題練習）如圖，在四邊形中是的中點．點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿向點D運動；點Q同時以每秒3個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿向點B運動．點P停止運動時，點Q也隨之停止運動，當運動時間t為（

）秒時，以點為頂點的四邊形是平行四邊形A．1 B． C．1或 D．或2二、填空題6．（22-23八年級下·山東青島·期末）如圖所示，在中，A、C分別為邊、上的點，請在目前圖形中添加一個條件，使四邊形是平行四邊形．

7．（23-24八年級下·四川成都·階段練習）已知一副直角三角板如圖放置，點C在ED的延長線上，，，，，若，則DC的長為．

8．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，在四邊形中，，，，．則四邊形的面積是．9．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，在中，，連接，過點A作交的延長線于點E，過點E作交的延長線于點F，若，則．10．（23-24八年級上·重慶沙坪壩·期末）如圖，在中，，點E為的中點，點F為邊上的一個動點，將三角形沿折疊，點A的對應點為，當以E，F(xiàn)，，C為頂點的四邊形是平行四邊形時，線段的長為．三、解答題11．（2024八年級下·江蘇·專題練習）如圖，在中，，相交于點，點，分別為，的中點．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若的面積為，直接寫出四邊形的面積．12．（23-24八年級下·遼寧鞍山·階段練習）如圖：，和均為直線同側(cè)的等邊三角形，點P在內(nèi)．(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)若中，，，，求四邊形的面積．13．（23-24八年級下·山東濱州·階段練習）如圖，在中，點，分別在，上，，分別交，于點，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)已知，連接，若平分，求的長．14．（23-24八年級下·浙江溫州·階段練習）如圖，在中，點為中點，延長相交于點，連結(jié)．

(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)連結(jié)，若，求的長度．15．（23-24八年級下·山東臨沂·階段練習）如圖，四邊形中，，F(xiàn)為上一點，與交于點E，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，求的長．16．（2024九年級下·浙江·專題練習）在中，，是斜邊上的一點，作，垂足為，延長到，連接，使．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)連接，若平分，，，求四邊形的面積．17．（23-