八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 講義（北師大版）第一章第02講 等邊三角形的性質(zhì)與判定 (4類熱點(diǎn)題型講練)（原卷版）

第02講等邊三角形的性質(zhì)與判定(4類熱點(diǎn)題型講練)1.經(jīng)歷“探索——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的過程，逐步掌握綜合法證明的方法，發(fā)展推理能力；2.經(jīng)歷實(shí)際操作，探索含有30°角的直角三角形性質(zhì)及其推理證明過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理的能力；3.在具體問題的證明過程中，有意識(shí)地滲透分類討論、逆向思維的思想，提高學(xué)生的能力.知識(shí)點(diǎn)01等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形性質(zhì)1：等邊三角形的三條邊都相等；（2）等邊三角形性質(zhì)2：等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角等于；（3）等邊三角形性質(zhì)3：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有三條對(duì)稱軸.知識(shí)點(diǎn)02等邊三角形的判定（1）等邊三角形的判定方法1：（定義法：從邊看）有三條邊相等的三角形是等邊三角形；（2）等邊三角形的判定方法2：（從角看）三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）等邊三角形的判定方法3：（從邊、角看）有一個(gè)內(nèi)角等于的等腰三角形是等邊三角形.題型01等邊三角形的性質(zhì)【例題】（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級(jí)呼市四中校考期中）如圖，是等邊三角形的中線，，則的度數(shù)為．【變式訓(xùn)練】1．（2022下·上海浦東新·七年級(jí)校考期末）如圖，在中，D，E是的三等分點(diǎn)，且是等邊三角形，則．2．（2023上·河北滄州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，和均為等邊三角形，點(diǎn)分別在上．（1）若，則度；（2）是否與全等？．（填“是”或“否”）題型02等邊三角形的判定【例題】（2023上·甘肅慶陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，連接．若，求證：是等邊三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·湖南長沙·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)在的外部，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)，若，，．

(1)求證：；(2)若，判斷的形狀，并說明理由．2．（2023上·廣東惠州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，D為邊上一點(diǎn)，的延長線交的延長線于F，且，．

(1)求證：是等腰三角形；(2)當(dāng)?shù)扔诙嗌俣葧r(shí)，是等邊三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論．題型03等邊三角形的判定和性質(zhì)【例題】（2023上·山東淄博·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知和均是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，與交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若與交于點(diǎn)N，與交于點(diǎn)，連接，求證：為等邊三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·安徽蕪湖·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在等邊中，點(diǎn)在內(nèi)，，且，．(1)試判定的形狀，并說明理由；(2)判斷線段，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．2．（2023上·河北石家莊·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，點(diǎn)D在內(nèi)部，，，點(diǎn)E在外部，．(1)求的度數(shù)；(2)判斷的形狀并加以證明；(3)連接，若，求的長．題型04含30°角的直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系【例題】（2023上·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是等邊三角形，是中線，延長至點(diǎn)E，使．(1)求證：；(2)過點(diǎn)D作垂直于，垂足為F，若，求的周長．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州市立達(dá)中學(xué)校校考期中）如圖，在中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，若，則．2．（2023上·重慶渝中·八年級(jí)重慶市求精中學(xué)校校考期中）已知：如圖，在等邊中，點(diǎn)D是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC延長線上，連接，使得．(1)如圖1：求證：；(2)如圖2，取的中點(diǎn)F，連接，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，求證：．一、單選題1．（2023上·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在等邊三角形中，平分，若，則的長為（）A． B． C． D．2．（2023上·河北廊坊·八年級(jí)校考期末）如圖，在中，，，，則的長為（

）A．1 B． C．2 D．3．（2023上·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在正中，點(diǎn)D是邊上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)D作于F，交于點(diǎn)E，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．4．（2023上·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，且，點(diǎn)，在射線上，且，．則的長為()A．1 B．2 C．3 D．45．（2023上·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，在等邊三角形中，D，E分別在邊，上，且，與交于點(diǎn)F，，垂足為點(diǎn)G.下列結(jié)論：①；②；③是等邊三角形；④，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．3 B．2 C．1 D．0二、填空題6．（2023上·浙江溫州·八年級(jí)瑞安市安陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）已知等邊三角形的周長為18，則邊長為．7．（2023上·福建龍巖·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，那么．若P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則的長的取值范圍為．8．（2023上·安徽淮北·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．（1）；（2）若，，則的長為．9．（2023上·吉林長春·八年級(jí)吉林省實(shí)驗(yàn)?？计谥校﹥蓚€(gè)大小不同的等邊三角形三角板按圖所示擺放．將兩個(gè)三角板抽象成如圖所示的和，點(diǎn)依次在同一條直線上，連接．若，，則點(diǎn)到直線的距離為．10．（2023上·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1是由四片大小一樣的門扇連接成的折疊門，該門的軌道裝在天花板上，圖2是其示意圖．已知軌道，在推拉合頁或時(shí)，滾輪，在軌道上移動(dòng)，已知每小片門扇寬度均相等()．門完全關(guān)上時(shí)，門扇恰好貼合整條軌道．剛開始門扇疊合在左邊，第一次向右拉開門扇，位置如圖2時(shí)，，，此時(shí)門被關(guān)上部分的長是；接著繼續(xù)向右拉門扇，位置如圖3時(shí)，，，相比第一次，門又拉伸了．

三、解答題11．（2023上·陜西延安·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，平分，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．(1)若，求的長；(2)判斷的形狀，并說明理由．12．（2023上·浙江溫州·八年級(jí)溫州市第十二中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，將等邊放在含有30°角的直角三角板上（，），使落在線段上，與分別交邊于點(diǎn)H、G，其中．

(1)證明：；(2)求的長．13．（2023上·山東日照·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D,為等邊三角形,,相交于點(diǎn),于,,．(1)求證:;(2)求的度數(shù);(3)求的長．14．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第六十九中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，為等邊三角形，分別是上的點(diǎn)，連接和相交于點(diǎn)．

(1)如圖1，若分別為的中點(diǎn)，求證：(2)如圖2，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，若，求的長．15．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，連接、，．(1)求證：；(2)如圖2，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)是外一點(diǎn)，連接，，，且平分，若，，求的長．16．（2023上·湖北鄂州·八年級(jí)