集合間的基本關(guān)系-原卷版

行是知之始，知是行之成行是知之始，知是行之成高一第一章集合與常用邏輯用語-史老師高一第一章集合與常用邏輯用語-史老師第二節(jié)集合間的基本關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)理解集合之間包含與相等的含義；理解子集、真子集的概念；能利用韋恩圖表達(dá)集合間的關(guān)系；了解空集的含義．18801880年Venn首次采用也稱韋恩圖或文氏圖.Venn圖：用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合.多元導(dǎo)學(xué)多元導(dǎo)學(xué)我們知道，兩個(gè)實(shí)數(shù)之間有相等關(guān)系，大小關(guān)系，如5=5，5<7，5>3，等等。兩個(gè)集合之間是否也有類似的關(guān)系呢?問題1：觀察下面的例子，類比實(shí)數(shù)間的大小或相等關(guān)系，試說說每組的兩個(gè)集合間有何關(guān)系?(1)A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}；(2)A為立德中學(xué)高一(2)班全體女生組成的集合；B為立德中學(xué)高一(2)班全體學(xué)生組成的集合；(3)A={等邊三角形}，B={等腰三角形}；集合A小，集合B大(4)A={4，6，8}，B={8，4，6}；(5)A={x∈Z||x|<2}，B={-1，0，1}集合相等互動(dòng)精講+互動(dòng)精講+課堂檢測(cè)要點(diǎn)一：包含關(guān)系與子集知識(shí)點(diǎn)1、子集子集：若集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，則說集合A包含于集合B(或集合B包含集合A).并稱集合A為集合B的子集.記作A?B(或B?A)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)如：{1,2}?{1,2,3,5};{0,1,2}?{x∈N|x<3}符號(hào)語言:對(duì)任意的x∈A，總有x∈B，則A?B圖形語言:注意：(1)任何一個(gè)集合是它本身的子集，即A?A；(2)對(duì)于集合A，B，C，若A?B，且B?C，則A?CVenn圖在數(shù)學(xué)中,我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合,這種圖稱為Venn圖.(1)表示集合的Venn圖邊界是封閉曲線,它可以是圓、橢圓、矩形,也可以是其他封閉曲線;(2)用Venn圖表示集合的方法叫圖示法,其優(yōu)點(diǎn)是能直觀地表示出集合間的關(guān)系,缺點(diǎn)是集合元素的共同特征不明顯例一：已知A＝{x|x是正數(shù)}，B＝{x|x是正整數(shù)}，C＝{x|x是實(shí)數(shù)}，那么A，B，C之間的關(guān)系是()A．A?B?C B．B?A?CC．C?A?B D．A＝B?C例二：（23-24高二下·河北保定·期末）已知集合A=x-1<x<2，B=xA．A>B B．A?B C．B?A D．【變式1】（23-24高一下·貴州六盤水·期末）已知集合A=x|x2A．-2,2?A B．-2,2∈A C．2?A D【變式2】（20-21高一上·北京·期末）已知集合U=1,2,3,4,5,6，A=1,2,3，集合A與B的關(guān)系如圖所示，則集合A．2,4,5 B．1,2,5 C．1,6 D．1,3【變式3】（22-23高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）判斷下列各組中兩個(gè)集合之間的關(guān)系：(1)1,2,3與xx是6的正因數(shù)}(2)xx=3n,n∈Z與x知識(shí)點(diǎn)2、集合相等集合相等：一般的，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等，記作A=B.也就是說：若A?B，且B?A，則A=B.與實(shí)數(shù)中的結(jié)論“若a≥b，且b≥a，則a=b”相類比，你有什么體會(huì)？例一：（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）若A=0,1(1)如何從元素的角度判斷兩個(gè)集合A與B的關(guān)系？(2)如何從子集的角度判斷集合A與B的關(guān)系?【變式1】下列集合x|x3=1，x|x2=1，A．x|x3=1 B．x|x2=1【變式2】下面選項(xiàng)中的兩個(gè)集合相等的是（

）A． B．M=1,0C．M=xx2【變式3】判斷題1．1,-12．集合M=x∣x=2k-1,k∈Z，N=x∣x=2k+1,k∈Z知識(shí)點(diǎn)3、真子集真子集：如果集合?????,?但存在元素??∈??,?且?????,?就稱集合???是集合???的真子集("propersubset"),?記作：A讀作：“A真包含于B”（或“B真包含A”）所以集合A是集合B的真子集例一：判斷下列兩個(gè)集合之間的關(guān)系：(1)A=1,2,4，B={x∣x是8的因數(shù)}(2)，．【變式1】（22-23高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）設(shè)集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=k+3,k∈Z}，則（A．A=B B．A?B C．B?A D．A知識(shí)點(diǎn)4、空集空集：定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.規(guī)定：空集是任何集合的子集．即??A.是任何非空集合的真子集.注意點(diǎn)：(1)在真子集的定義中，A?B首先要滿足A?B，其次至少有一個(gè)x∈B，但x?A.(2)?與{0}的區(qū)別：?是不含任何元素的集合；{0}是含有一個(gè)元素的集合，??{0}．例一：（23-24高一上·北京東城·期中）下列正確的是（）A．0∈0,1,2 B．0∈? C．?=0 D【變式1】已知六個(gè)關(guān)系式①?∈?；②??≠?；③0?≠?；④0??；⑤A．3 B．4 C．5 D．6【變式2】（23-24高一上·重慶·期中）下列關(guān)于0與?說法不正確的是（）A．0?? B．0C． D．0??【變式3】判斷題1、（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）?=02、（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）空集沒有子集．()3、（23-24高一上·河南南陽·階段練習(xí)）0是空集.()例一：（（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知集合A=xa-1<x<2a+1，B=x0<x<1，若【變式1】（23-24高一上·陜西延安·階段練習(xí)）集合A=(1)若A是空集，求a的取值范圍(2)若A中只有一個(gè)元素，求a的值并把這個(gè)元素寫出來【變式2】（23-24高一上·湖南衡陽·階段練習(xí)）已知集合A=x|0(1)若B=?，求a的取值范圍.(2)若B?A，求a的取值范圍.要點(diǎn)二：子集、真子集個(gè)數(shù)的確定假設(shè)集合A中含有n個(gè)元素，則有(1)A的子集的個(gè)數(shù)有2n個(gè)．(2)A的非空子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．(3)A的真子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．(4)A的非空真子集的個(gè)數(shù)有2n－2個(gè)．求集合的子集的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)：(1)要注意兩個(gè)特殊的子集：?和自身．(2)按集合中含有元素的個(gè)數(shù)由少到多，分類一一寫出，保證不重不漏．例一：（24-25高一上·上?！ふn前預(yù)習(xí)）子集（1）對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的都是集合B的元素（若a∈A，則a∈B），那么集合A叫做集合B的子集，記作（或），讀作“”（或““）．可用文氏圖表示為：（2）子集的性質(zhì)：①A?A，即②??A，即③若A?B且B?A，則④傳遞性：若A?B且B?C，則【變式1】（21-22高一·全國(guó)·課后作業(yè)）寫出下列集合的所有子集：(1)；(2)；(3)．【變式2】（22-23高一上·山東聊城·階段練習(xí)）設(shè)集合，列出集合A的子集.【變式3】（22-23高一上·上海黃浦·階段練習(xí)）已知集合，則的所有真子集為.【變式4】（2022高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知A?B，且B＝{0，1，2}寫出滿足條件A的所有集合．例二：（23-24高一上·浙江寧波·期中）集合A=x∈Z|【變式1】（23-24高三上·浙江·階段練習(xí)）已知集合N=x∈N1<x<3，則集合N有（A．0 B．1 C．2 D．4【變式2】（21-22高一下·安徽·期中）設(shè)集合A=x∈N|y=12x+3∈N【變式3】（19-20高一·浙江杭州·階段練習(xí)）集合0,2,3的真子集共有（

）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【變式4】（18-19高三下·浙江·階段練習(xí)）集合0,1,2,3,4,5的真子集個(gè)數(shù)是A．23 B．24-1 C．2【變式5】（2019·浙江·二模）集合{2,?0,?A．13 B．14 C．15 D．16【變式6】（20-21高一上·寧夏中衛(wèi)·期中）已知集合A=x∈Z【變式7】（2019高一·浙江·專題練習(xí)）已知集合A=a-3,2a-1，且3∈A，實(shí)數(shù)a=，A的真子集個(gè)數(shù)為【變式8】（22-23高一上·浙江·階段練習(xí)）集合{x∈N∣【變式8】（20-21高一上·陜西寶雞·期中）集合x∈Nx=5A．2個(gè) B．3個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【變式9】（22-23高三上·浙江衢州·階段練習(xí)）已知集合A=a1,a2,aA．3 B．4 C．6 D．2【變式10】（19-20高一上·西藏山南·期中）已知A=a,b,c（1）集合A的子集的個(gè)數(shù)，并判斷與集合A的關(guān)系（2）請(qǐng)寫出集合A的所有非空真子集例三：（2021·浙江紹興·三模）已知集合滿足{1,2}?A?{1,2,3}，則集合A．{3} B．{1,3} C． D．{1,2}【變式1】（2024·浙江·二模）已知集合M=1,2,3，N=0,1,2,3,4,7，若M?A?N，則滿足集合A的個(gè)數(shù)為（A．4 B．6 C．7 D．8【變式2】（22-23高一上·浙江紹興·階段練習(xí)）滿足1，2，3?A．3 B．4 C．5 D．6【變式3】（17-18高二下·廣西玉林·期末）已知集合M滿足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}，那么這樣的集合M的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【變式4】（22-23高一上·浙江溫州·期中）滿足1,2?M?1,2,3,5的集合【變式5】（19-20高一·全國(guó)·課后作業(yè)）滿足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}的集合M有【變式6】已知集合滿足：1,2?M?1,2,3,4,5，寫出集合【變式1-3】（1）已知集合，則集合的子集依次是．（2）已知集合，則集合的真子集依次是．【變式7】（22-23高一上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知?的集合M的個(gè)數(shù)是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【變式8】（多選）（21-22高一上·廣東·期末）以下滿足{0,2,4}?A?{1,2,3,4}的集合A有（

）A． B．{0,1,3,4} C．{0,1,2,4} D．【變式9】（多選）（23-24高一上·江蘇南京·期中）下列各個(gè)選項(xiàng)中，滿足?的集合有（

）A． B． C． D．【變式10】（23-24高一上·江蘇鹽城·期中）集合滿足?，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為.【變式11】（22-23高一上·北京西城·階段練習(xí)）??，這樣的共有個(gè).【變式12】（23-24高一上·上海靜安·階段練習(xí)）滿足{1，2，3}?M?{1，2，3，4，5，6}的集合M的個(gè)數(shù)是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【變式13】（23-24高一上·山西太原·階段練習(xí)）滿足關(guān)系??的集合的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．6 C．8 D．9要點(diǎn)三、包含關(guān)系與屬于關(guān)系之間的關(guān)系問題：包含關(guān)系a?A與屬于關(guān)系注：包含關(guān)系刻畫的是集合與集合間的關(guān)系；而屬于關(guān)系刻畫的是元素與集合間的關(guān)系要點(diǎn)三：根據(jù)集合間的基本關(guān)系求參數(shù)的取值或取值范圍利用集合間的關(guān)系求參數(shù)的關(guān)注點(diǎn)(1)此類問題通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個(gè)集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值．(2)要注意“空集”的情況，空集是任何集合的子集．易錯(cuò)點(diǎn)：忽視對(duì)空集的討論而致錯(cuò)例一：（23-24高一上·湖南株洲·階段練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)（

）A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．1或4【變式1】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）已知集合A=0,2，B=-1,0,a+3，且A?【變式2】已知集合，．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式3】已知集合，．(1)若，求m的取值范圍．(2)若，求m的取值范圍．例一：（23-24高一上·吉林·階段練習(xí)）設(shè)集合，若是的真子集，則的取值集合為（

）A． B． C． D．【變式1】（22-23高一上·北京·階段練習(xí)）設(shè)，若，則的值為.【變式2】若集合A=-13,12.【變式3】設(shè)集合，集合，若且，則實(shí)數(shù).【變式4】（22-23高一上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知集合，在下列條件下分別求實(shí)數(shù)m的取值范圍：(1)；(2)恰有一個(gè)元素.知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)1：Venn圖在數(shù)學(xué)中,我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合,這種圖稱為Venn圖.(1)表示集合的Venn圖邊界是封閉曲線,它可以是圓、橢圓、矩形,也可以是其他封閉曲線;(2)用Venn圖表示集合的方法叫圖示法,其優(yōu)點(diǎn)是能直觀地表示出集合間的關(guān)系,缺點(diǎn)是集合元素的共同特征不明顯知識(shí)點(diǎn)2：子集定義一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集記法與讀法記作A?B(或B?A)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)圖示結(jié)論(1)任何一個(gè)集合是它本身的子集，即A?A；(2)對(duì)于集合A，B，C，若A?B，且B?C，則A?C知識(shí)點(diǎn)3：集合相等一般地，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等，記作A＝B.也就是說，若A?B，且B?A，則A＝B.知識(shí)點(diǎn)4：真子集定義如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集記法與讀法記作AB(或BA)，讀作“A真包含于B”(或“B真包含A”)圖示性質(zhì)：(1)反身性：任何一個(gè)集合是它本身的子集，即A?A；(2)傳遞性：對(duì)于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC.知識(shí)點(diǎn)5：空集的含義(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.(2)規(guī)定：空集是任何集合的子集．注意點(diǎn)：(1)在真子集的定義中，AB首先要滿足A?B，其次至少有一個(gè)x∈B，但x?A.(2)?與{0}的區(qū)別：?是不含任何元素的集合；{0}是含有一個(gè)元素的集合，?{0}．要點(diǎn)1：子集、真子集個(gè)數(shù)的確定假設(shè)集合A中含有n個(gè)元素，則有(1)A的子集的個(gè)數(shù)有2n個(gè)．(2)A的非空子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．(3)A的真子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．(4)A的非空真子集的個(gè)數(shù)有2n－2個(gè)．求集合的子集的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)要注意兩個(gè)特殊的子集：?和自身．(2)按集合中含有元素的個(gè)數(shù)由少到多，分類一一寫出，保證不重不漏．要點(diǎn)2：根據(jù)集合間的基本關(guān)系求參數(shù)的取值或取值范圍利用集合間的關(guān)系求參數(shù)的關(guān)注點(diǎn)(1)此類問題通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個(gè)集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值．(2)要注意“空集”的情況，空集是任何集合的子集．易錯(cuò)點(diǎn)：忽視對(duì)空集的討論而致錯(cuò)課后練習(xí)課后練習(xí)一、單選題1．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）下列寫法中正確的是（）A． B．C． D．2．（21-22高一上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）若集合，則集合A的真子集個(gè)數(shù)是（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．7個(gè) D．15個(gè)3．（23-24高一上·吉林延邊·期末）已知集合，下列式子錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．4．（23-24高一上·廣東韶關(guān)·階段練習(xí)）若，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．5.（2022高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（23-24