2023-2024學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)和平街一中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2023-2024學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)和平街一中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共8個(gè)小題，每小題2分，共16分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的.1．（2分）下列手機(jī)中的圖標(biāo)是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列長(zhǎng)度的三條線段（單位：cm），能組成直角三角形的是（）A．1，2，4 B．3，4，5 C．4，6，8 D．5，7，113．（2分）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于外角和的2倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A．8 B．6 C．5 D．44．（2分）如圖，一副三角板拼成如圖所示圖形，則∠BAC的度數(shù)為（）A．75° B．60° C．105° D．120°5．（2分）如圖，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，則∠EAC的度數(shù)為（）A．40° B．30° C．35° D．25°6．（2分）如圖所示在△ABC中，AB邊上的高線畫法正確的是（）A． B． C． D．7．（2分）如圖，已知∠MON及其邊上一點(diǎn)A．以點(diǎn)A為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OM，ON于點(diǎn)B和C，再以點(diǎn)C為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．錯(cuò)誤的結(jié)論是（）A．S△AOC＝S△ABC B．∠OCB＝90° C．∠MON＝30° D．OC＝2BC8．（2分）如圖，已知每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，A，B兩點(diǎn)都在小方格的格點(diǎn)（頂點(diǎn)）上，請(qǐng)?jiān)趫D中找一個(gè)格點(diǎn)C，使△ABC是以AB為腰的等腰三角形，這樣的格點(diǎn)C有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)二、填空題（共8個(gè)小題，每題2分，共16分）9．（2分）已知點(diǎn)P（﹣2，1），那么點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)Q的坐標(biāo)是．10．（2分）已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)等于6，另一邊長(zhǎng)等于9，則它的周長(zhǎng)為．11．（2分）如圖，線段AB與CD相交于點(diǎn)O，且OA＝OD，連接AC，BD，要說(shuō)明△AOC≌△DOB，還需添加的一個(gè)條件是．（只需填一個(gè)條件即可）12．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分線，分別交BC，AC于點(diǎn)D，E．若AC＝3，BC＝4，則△ABD的周長(zhǎng)是．13．（2分）如圖所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于D點(diǎn)，BE⊥CE于E點(diǎn)．AD＝5，DE＝3，則BE＝．14．（2分）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們興致勃勃地嘗試著利用不同畫圖工具畫一個(gè)角的平分線．小明用直尺畫角平分線的方法如下：（1）用直尺的一邊貼在∠AOB的OA邊上，沿著直尺的另一條邊畫直線m；（2）再用直尺的一邊貼在∠AOB的OB邊上，沿著直尺的另一條邊畫直線n，直線m與直線n交于點(diǎn)D；（3）作射線OD．射線OD是∠AOB的平分線．請(qǐng)回答：小明的畫圖依據(jù)是．15．（2分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交邊AC、AB于點(diǎn)M、N，分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，射線AP交BC于點(diǎn)D，若CD＝2，AB＝6，則△ABD的面積為．16．（2分）如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)PA＝CQ時(shí)，連接PQ交AC邊于D，則下面結(jié)論：①PE＝2AE；②D為PQ的中點(diǎn)；③CQ＝2AE；④CQ+2CD＝2；其中正確的結(jié)論有：．三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27，28題，每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.17．（5分）數(shù)學(xué)課上，王老師布置如下任務(wù)：如圖，△ABC中，BC＞AB＞AC，在BC邊上取一點(diǎn)P，使∠APC＝2∠ABC．小路的作法如下：①作AB邊的垂直平分線，交BC于點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)Q；②連接AP．請(qǐng)你根據(jù)小路同學(xué)的作圖方法，利用直尺和圓規(guī)完成作圖（保留作圖痕跡）；并完成以下推理，注明其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)依據(jù)：∵PQ是AB的垂直平分線∴AP＝，（依據(jù)：）；∴∠ABC＝，（依據(jù)：）．∴∠APC＝2∠ABC．18．（5分）如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點(diǎn)，E是邊AC的中點(diǎn)，作CF∥AB交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）證明：△ADE≌△CFE；（2）若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB．19．（5分）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，CE⊥AB于點(diǎn)E．求證：∠CAD＝∠BCE．20．（5分）下面是小明同學(xué)證明定理時(shí)使用的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．求證：BC＝AB．方法一證明：如圖，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使得CD＝BC，連接AD．方法二證明：如圖，在線段AB上取一點(diǎn)D，使得BD＝BC，連接CD．21．（5分）規(guī)定，在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)圖形先關(guān)于y軸對(duì)稱，再向下平移2個(gè)單位記為1次“R變換”．（1）畫出△ABC經(jīng)過(guò)1次“R變換”后的圖形△A1B1C1；（2）點(diǎn)A1坐標(biāo)為，點(diǎn)B1坐標(biāo)為，點(diǎn)C1坐標(biāo)為；（3）若△ABC邊上有一點(diǎn)P（a，b），經(jīng)過(guò)3次“R變換”后為P3，則P3的坐標(biāo)為．22．（5分）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE平分∠ABC交AC邊于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°．求∠DAC的度數(shù)．23．（6分）如圖，△ABC是等邊三角形，D，E分別是BA，CB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且AD＝BE．求證：AE＝CD．24．（6分）如圖，已知△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE＝DF．試說(shuō)明AB＝AC的理由．25．（6分）證明：如果兩個(gè)三角形有兩條邊和其中一邊上的中線分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等．26．（6分）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以O(shè)C為一邊作等邊三角形OCD，連接AC、AD．（1）當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說(shuō)明理由；（2）探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？27．（7分）如圖，過(guò)等邊△ABC的頂點(diǎn)B在∠ABC內(nèi)部作射線BP，∠ABP＝α（0°＜α＜60°且α≠30°），點(diǎn)A關(guān)于射線BP的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，直線CD交BP于點(diǎn)E，連接BD，AE．（1）依據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；（2）在α（0°＜α＜60°且α≠30°）變化的過(guò)程中，∠AEB的大小是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請(qǐng)直接寫出變化的范圍；如果不發(fā)生變化，請(qǐng)求出∠AEB的大??；（3）連接AD交BP于點(diǎn)F，用等式表示線段AE，BF，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．28．（7分）如圖1，E是等邊三角形ABC的邊AB所在直線上一點(diǎn)，D是邊BC所在直線上一點(diǎn)，且D與C不重合，若EC＝ED．則稱D為點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形ABC的反稱點(diǎn)，點(diǎn)E稱為反稱中心．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，（1）已知等邊三角形AOC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，反稱中心E在直線AO上，反稱點(diǎn)D在直線OC上．①如圖2，若E為邊AO的中點(diǎn)，在圖中作出點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形AOC的反稱點(diǎn)D，并直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)：；②若AE＝2，求點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形AOC的反稱點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）若等邊三角形ABC的頂點(diǎn)為B（n，0），C（n+2，0），反稱中心E在直線AB上，反稱點(diǎn)D在直線BC上，且3≤AE＜4．請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C關(guān)于等邊三角形ABC的反稱點(diǎn)D的橫坐標(biāo)t的取值范圍：（用含n的代數(shù)式表示）

2023-2024學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)和平街一中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共8個(gè)小題，每小題2分，共16分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的.1．（2分）下列手機(jī)中的圖標(biāo)是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C．是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；D．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱圖形的概念，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．2．（2分）下列長(zhǎng)度的三條線段（單位：cm），能組成直角三角形的是（）A．1，2，4 B．3，4，5 C．4，6，8 D．5，7，11【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．最長(zhǎng)邊所對(duì)的角為直角．由此判定即可．【解答】解：A．∵12+22＝1+4＝5，42＝16，∴12+22≠42，即三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B．∵32+42＝9+16＝25，52＝25，∴32+42＝52，即三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；C．∵42+62＝16+36＝52，82＝64，∴42+62≠82，即三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；D．∵52+72＝25+49＝74，112＝121，∴52+72≠112，即三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，能熟記勾股定理的逆定理是解此題的關(guān)鍵，注意：如果一個(gè)三角形的兩邊a、b的平方和等于最長(zhǎng)邊c的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．3．（2分）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于外角和的2倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A．8 B．6 C．5 D．4【分析】n邊形的內(nèi)角和可以表示成（n﹣2）?180°，外角和為360°，根據(jù)題意列方程求解．【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，依題意，得：（n﹣2）?180°＝2×360°，解得n＝6．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式，多邊形的外角和．關(guān)鍵是根據(jù)題意利用多邊形的外角和及內(nèi)角和之間的關(guān)系列出方程求邊數(shù)．4．（2分）如圖，一副三角板拼成如圖所示圖形，則∠BAC的度數(shù)為（）A．75° B．60° C．105° D．120°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【解答】解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟記三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．5．（2分）如圖，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，則∠EAC的度數(shù)為（）A．40° B．30° C．35° D．25°【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝∠DAE，進(jìn)一步可得∠BAD＝∠EAC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BAD的度數(shù)，即可確定∠EAC的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠EAC，∵∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，∴∠BAD＝180°﹣80°﹣30°﹣35°＝35°，∴∠EAC＝35°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2分）如圖所示在△ABC中，AB邊上的高線畫法正確的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用高線的概念得出答案．【解答】解：在△ABC中，AB邊上的高線畫法正確的是B，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形高線的作法，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．7．（2分）如圖，已知∠MON及其邊上一點(diǎn)A．以點(diǎn)A為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OM，ON于點(diǎn)B和C，再以點(diǎn)C為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．錯(cuò)誤的結(jié)論是（）A．S△AOC＝S△ABC B．∠OCB＝90° C．∠MON＝30° D．OC＝2BC【分析】由題意可知OA＝AC＝AB＝BC，△ABC是等邊三角形，△OAC是等腰三角形，即可判斷選項(xiàng)．【解答】解：由題意可知OA＝AC＝AB＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠CAB＝60°，∴∠MON＝∠OCA＝30°，∴∠OCB＝30°+60°＝90°．∴S△AOC＝S△ABC，∴A，B，C，正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2分）如圖，已知每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，A，B兩點(diǎn)都在小方格的格點(diǎn)（頂點(diǎn)）上，請(qǐng)?jiān)趫D中找一個(gè)格點(diǎn)C，使△ABC是以AB為腰的等腰三角形，這樣的格點(diǎn)C有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【分析】以AB為腰，畫出圖形，即可找出點(diǎn)C的個(gè)數(shù)．【解答】解：當(dāng)AB為腰時(shí)，分別以A、B點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AB為半徑作圓，可找出格點(diǎn)點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有6個(gè)；故使△ABC是以AB為腰的等腰三角形的格點(diǎn)C有6個(gè)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題．二、填空題（共8個(gè)小題，每題2分，共16分）9．（2分）已知點(diǎn)P（﹣2，1），那么點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（﹣2，﹣1）．【分析】坐標(biāo)平面內(nèi)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，可得出點(diǎn)Q的值．【解答】解：根據(jù)坐標(biāo)平面內(nèi)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的特點(diǎn)，得出點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），故答案為：（﹣2，﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)平面內(nèi)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的特點(diǎn)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，難度適中．10．（2分）已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)等于6，另一邊長(zhǎng)等于9，則它的周長(zhǎng)為21或24．【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為6和9，而沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【解答】解：分兩種情況：當(dāng)腰為6時(shí)，6+6＜9，所以能構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)是：6+6+9＝21；當(dāng)腰為9時(shí)，9+9＞6，所以能構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)是：9+9+6＝24．故它的周長(zhǎng)為21或24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系．注意分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．11．（2分）如圖，線段AB與CD相交于點(diǎn)O，且OA＝OD，連接AC，BD，要說(shuō)明△AOC≌△DOB，還需添加的一個(gè)條件是OC＝OB或AB＝CD或∠A＝∠D或∠B＝∠C．（只需填一個(gè)條件即可）【分析】已知條件中OA＝OD，且∠AOC＝∠DOB為對(duì)頂角相等，則還需添加這一對(duì)角的另一對(duì)對(duì)應(yīng)邊相等或另一組對(duì)應(yīng)角相等即可．【解答】解：∵OA＝OD，且∠AOC＝∠DOB，∴添加OC＝OB或AB＝CD時(shí)，依據(jù)SAS即可判定△AOC≌△DOB；添加∠A＝∠D或∠B＝∠C，依據(jù)ASA或AAS即可判定△AOC≌△DOB；故答案為：OC＝OB或AB＝CD或∠A＝∠D或∠B＝∠C．（答案不唯一）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．12．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分線，分別交BC，AC于點(diǎn)D，E．若AC＝3，BC＝4，則△ABD的周長(zhǎng)是7．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得DA＝DC，然后利用三角形的周長(zhǎng)公式以及等量代換可得△ABD的周長(zhǎng)＝AB+BC，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴DA＝DC，∵AB＝AC＝3，BC＝4，∴△ABD的周長(zhǎng)＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝3+4＝7，故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2分）如圖所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于D點(diǎn)，BE⊥CE于E點(diǎn)．AD＝5，DE＝3，則BE＝2．【分析】由AD⊥CE于D點(diǎn)，BE⊥CE于E點(diǎn)，得∠ADC＝∠E＝90°，則∠ACD＝∠CBE＝90°﹣∠BCE，而AC＝CB，即可證明△ACD≌△CBE，則AD＝CE＝5，所以CD＝BE＝CE﹣DE＝2，于是得到問(wèn)題的答案．【解答】解：∵AD⊥CE于D點(diǎn)，BE⊥CE于E點(diǎn)，∴∠ADC＝∠E＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠CBE＝90°﹣∠BCE，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE＝5，∴CD＝BE＝CE﹣DE＝5﹣3＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查直角三角形的兩個(gè)銳角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明△ACD≌△CBE是解題的關(guān)鍵．14．（2分）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們興致勃勃地嘗試著利用不同畫圖工具畫一個(gè)角的平分線．小明用直尺畫角平分線的方法如下：（1）用直尺的一邊貼在∠AOB的OA邊上，沿著直尺的另一條邊畫直線m；（2）再用直尺的一邊貼在∠AOB的OB邊上，沿著直尺的另一條邊畫直線n，直線m與直線n交于點(diǎn)D；（3）作射線OD．射線OD是∠AOB的平分線．請(qǐng)回答：小明的畫圖依據(jù)是在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上．【分析】利用畫法可點(diǎn)D到OA和OB的距離相等（尺的寬度相等），然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理判斷四邊形OCDE為菱形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)可判定OD為∠AOB的平分線．【解答】解：由畫法可知，點(diǎn)D到OA和OB的距離相等，所以O(shè)D平分∠AOB．故答案為在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線．解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)．15．（2分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交邊AC、AB于點(diǎn)M、N，分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，射線AP交BC于點(diǎn)D，若CD＝2，AB＝6，則△ABD的面積為6．【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DC＝2，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：作DE⊥AB于E，由基本作圖可知，AP平分∠CAB，∵AP平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝2，∴△ABD的面積＝，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本作圖、角平分線的性質(zhì)定理、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．16．（2分）如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)PA＝CQ時(shí)，連接PQ交AC邊于D，則下面結(jié)論：①PE＝2AE；②D為PQ的中點(diǎn)；③CQ＝2AE；④CQ+2CD＝2；其中正確的結(jié)論有：②③④．【分析】過(guò)P作PF∥BC交AC于F，得出等邊三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出EF＝AE，證△PFD≌△QCD，推出FD＝CD，進(jìn)而逐一判斷即可．【解答】解：如圖，過(guò)P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等邊三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∴AP＝2AE，∴PE＝AE，故①錯(cuò)誤；∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ，∴CQ＝AF＝2AE，故③正確；在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，PD＝QD，∴D為PQ的中點(diǎn)，故②正確；∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴CQ+2CD＝AF+CF＝AC＝2，故④正確，∴正確的結(jié)論有：②③④．故答案為：②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27，28題，每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.17．（5分）數(shù)學(xué)課上，王老師布置如下任務(wù)：如圖，△ABC中，BC＞AB＞AC，在BC邊上取一點(diǎn)P，使∠APC＝2∠ABC．小路的作法如下：①作AB邊的垂直平分線，交BC于點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)Q；②連接AP．請(qǐng)你根據(jù)小路同學(xué)的作圖方法，利用直尺和圓規(guī)完成作圖（保留作圖痕跡）；并完成以下推理，注明其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)依據(jù)：∵PQ是AB的垂直平分線∴AP＝BP，（依據(jù)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）；∴∠ABC＝∠BAP，（依據(jù)：等邊對(duì)等角）．∴∠APC＝2∠ABC．【分析】作AB的垂直平分線交BC于P點(diǎn)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AP＝BP，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠ABC＝∠BAP，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠APC＝2∠ABC．【解答】解：如圖，點(diǎn)P為所作；理由如下：∵PQ是AB的垂直平分線∴AP＝BP，（依據(jù)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）；∴∠ABC＝∠BAP，（依據(jù)：等邊對(duì)等角）．∴∠APC＝2∠ABC．故答案為BP，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；∠BAP，等邊對(duì)等角．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．18．（5分）如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點(diǎn)，E是邊AC的中點(diǎn)，作CF∥AB交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）證明：△ADE≌△CFE；（2）若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB．【分析】（1）根據(jù)AAS或ASA證明△ADE≌△CFE即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)求出AD，AB即可解決問(wèn)題；【解答】（1）證明：∵E是邊AC的中點(diǎn)，∴AE＝CE．又∵CF∥AB，∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F，在△ADE與△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）．（2）解：∵△ADE≌△CFE，CF＝7，∴CF＝AD＝7，又∵∠B＝∠ACB，∴AB＝AC，∵E是邊AC的中點(diǎn)，CE＝5，∴AC＝2CE＝10．∴AB＝10，∴DB＝AB﹣AD＝10﹣7＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．19．（5分）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，CE⊥AB于點(diǎn)E．求證：∠CAD＝∠BCE．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠ACB，根據(jù)等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高互相重合得到AD⊥BC，再根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余和等角的余角相等即可求解．【解答】證明：∵AB＝AC，BD＝CD（已知），∴∠B＝∠ACB（等邊對(duì)等角），AD⊥BC（等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高互相重合）．又∵CE⊥AB（已知），∴∠CAD+∠ACB＝90°，∠BCE+∠B＝90°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）．∴∠CAD＝∠BCE（等角的余角相等）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合是解題的關(guān)鍵．20．（5分）下面是小明同學(xué)證明定理時(shí)使用的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．求證：BC＝AB．方法一證明：如圖，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使得CD＝BC，連接AD．方法二證明：如圖，在線段AB上取一點(diǎn)D，使得BD＝BC，連接CD．【分析】若選擇方法一：先根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余求出∠B＝60°，再利用平角定義求出∠ACD＝90°，從而可得∠ACD＝∠ACB＝90°，然后利用SAS證明△BCA≌△DCA，從而可得AD＝AB，進(jìn)而可得△ABD是等邊三角形，最后利用等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝BD，即可解答；若選擇方法二：先根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余求出∠B＝60°，從而可得△BCD是等邊三角形，然后利用等邊三角形的性質(zhì)可得BC＝BD＝DC，∠BCD＝60°，從而可得∠DCA＝∠A＝30°，進(jìn)而可得DC＝DA，最后利用等量代換可得BC＝BD＝DA＝AB，即可解答．【解答】解：若選擇方法一：如圖：延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使得CD＝BC，連接AD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝60°，∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠ACB＝90°，∵AC＝AC，∴△BCA≌△DCA（SAS），∴AD＝AB，∴△ABD是等邊三角形，∴AB＝BD，∵BC＝CD＝BD，∴BC＝AB；若選擇方法二：如圖，在線段AB上取一點(diǎn)D，使得BD＝BC，連接CD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴BC＝BD＝DC，∠BCD＝60°，∴∠DCA＝∠ACB﹣∠BCD＝30°，∴∠DCA＝∠A＝30°，∴DC＝DA，∴BC＝BD＝DA＝AB，即BC＝AB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（5分）規(guī)定，在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)圖形先關(guān)于y軸對(duì)稱，再向下平移2個(gè)單位記為1次“R變換”．（1）畫出△ABC經(jīng)過(guò)1次“R變換”后的圖形△A1B1C1；（2）點(diǎn)A1坐標(biāo)為（﹣4，3），點(diǎn)B1坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C1坐標(biāo)為（﹣6，0）；（3）若△ABC邊上有一點(diǎn)P（a，b），經(jīng)過(guò)3次“R變換”后為P3，則P3的坐標(biāo)為（﹣a，b﹣6）．【分析】（1）利用軸對(duì)稱，平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可．（2）根據(jù)點(diǎn)的位置寫出坐標(biāo)即可．（3）探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1；（2）點(diǎn)A1坐標(biāo)（﹣4，3）點(diǎn)B1坐標(biāo)（﹣1，0），點(diǎn)C1坐標(biāo)（﹣6，0）．故答案為：（﹣4，3），（﹣1，0），（﹣6，0）．（3）若△ABC邊上有一點(diǎn)P（a，b），經(jīng)過(guò)3次“R變換”后的的為P3，則P3的坐標(biāo)為（﹣a，b﹣6）．故答案為：（﹣a，b﹣6）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣軸對(duì)稱變換，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是周圍軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，學(xué)會(huì)利用分割法求三角形面積．22．（5分）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE平分∠ABC交AC邊于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°．求∠DAC的度數(shù)．【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠ABC＝2∠ABE，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BAD，然后根據(jù)∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD計(jì)算即可得解．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE＝2×25°＝50°，∵AD是BC邊上的高，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，準(zhǔn)確識(shí)圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．23．（6分）如圖，△ABC是等邊三角形，D，E分別是BA，CB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且AD＝BE．求證：AE＝CD．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，進(jìn)而利用SAS證明△ABE與△CAD全等解答即可．【解答】證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠ABE＝∠CAD＝180°﹣60°＝120°，在△ABE與△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AE＝CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．24．（6分）如圖，已知△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE＝DF．試說(shuō)明AB＝AC的理由．【分析】欲證AB＝AC，可證∠B＝∠C，只需證Rt△DBE≌Rt△DCF即可，由已知可根據(jù)HL證得Rt△DBE≌Rt△DCF．【解答】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△DBE與△DCF是直角三角形．∵在Rt△DBE與Rt△DCF中，，∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．25．（6分）證明：如果兩個(gè)三角形有兩條邊和其中一邊上的中線分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等．【分析】求出BM＝EN，根據(jù)SSS證△ABM≌△DEN，推出∠B＝∠E，根據(jù)SAS證△ABC≌△DEF即可．【解答】已知：△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，AM是△ABC的中線，DN是△DEF的中線，AM＝DN，求證：△ABC≌△DEF．證明：∵BC＝EF，AM是△ABC的中線，DN是△DEF的中線，∴BM＝EN，在△ABM和△DEN中，∵，∴△ABM≌△DEN（SSS），∴∠B＝∠E，在△ABC和△DEF中，∵，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中線，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．26．（6分）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以O(shè)C為一邊作等邊三角形OCD，連接AC、AD．（1）當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說(shuō)明理由；（2）探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？【分析】（1）首先根據(jù)已知條件可以證明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性質(zhì)可以求出∠ADO的度數(shù)，由此即可判定△AOD的形狀；（2）利用（1）和已知條件及等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）∵△OCD是等邊三角形，∴OC＝CD，而△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC，∵∠ACB＝∠OCD＝60°，∴∠BCO＝∠ACD，在△BOC與△ADC中，∵，∴△BOC≌△ADC，∴∠BOC＝∠ADC，而∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，∴△ADO是直角三角形；（2）∵設(shè)∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b，∠BAO＝c，∠CAO＝d，則a+b＝60°，b+c＝180°﹣110°＝70°，c+d＝60°，∴b﹣d＝10°，∴（60°﹣a）﹣d＝10°，∴a+d＝50°，即∠DAO＝50°，①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∴190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，∴110°+80°+60°+α＝360°∴α＝110°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，110°+50°+60°+α＝360°，∴α＝140°．所以當(dāng)α為110°、125°、140°時(shí)，三角形AOD是等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，以及等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后圖形不變是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．27．（7分）如圖，過(guò)等邊△ABC的頂點(diǎn)B在∠ABC內(nèi)部作射線BP，∠ABP＝α（0°＜α＜60°且α≠30°），點(diǎn)A關(guān)于射線BP的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，直線CD交BP于點(diǎn)E，連接BD，AE．（1）依據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；（2）在α（0°＜α＜60°且α≠30°）變化的過(guò)程中，∠AEB的大小是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請(qǐng)直接寫出變化的范圍；如果不發(fā)生變化，請(qǐng)求出∠AEB的大??；（3）連接AD交BP于點(diǎn)F，用等式表示線段AE，BF，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出∠ABP＝∠DBP＝α，BD＝BA，在判斷出AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，進(jìn)而得出BD＝BC，∠CBD＝60°+2α，∠BDC＝∠BCD＝60°+α，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出△AME是等邊三角形，得出AE＝AM＝EM，∠EAM＝60°，在判斷出∠BAM＝∠CAE，進(jìn)而判斷出△ABM≌△ACE（SAS），得出BM＝CE，再判斷出∠AFE＝90°，得出∠EAF＝30°，∴EF＝AE，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）補(bǔ)全圖形如圖1所示，（2）∠AEB不發(fā)生變化，∠AEB＝60°；∵點(diǎn)A關(guān)于射線CP的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，∴∠ABP＝∠DBP＝α，BD＝BA，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴BD＝BC，∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣2α，∴∠BDC＝∠BCD＝60°+α，∵∠BDC＝∠BEC+∠DBE＝∠BEC+α＝60°+α，∴∠BEC＝60°，∴∠AEB＝∠BEC＝60°，∴∠AEB不發(fā)生變化，∠AEB＝60°；（3）如圖2，線段AE，BF，CE之間的數(shù)量關(guān)系為：BF＝CE+AE；證明：如圖2，在BE上取一點(diǎn)M，使EM＝AE，連接AM，∵AEB＝60°，∴△AME是等邊三角形，∴AE＝AM＝EM，∠EAM＝60°，∵∠BAM+∠CAM＝∠CAM+∠CAE＝60°，∴∠BAM＝∠CAE，∵AB＝AC，∴△ABM≌△ACE（SAS），∴BM＝CE，∵點(diǎn)A關(guān)于射線CP的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，∴AE＝DE＝EM，∠AFE＝90°，∵∠AEB＝60°，∴∠EAF＝30°，∴EF＝AE