2023-2024學(xué)年北京市東城區(qū)廣渠門中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年北京市東城區(qū)廣渠門中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一.選擇題（共8小題，每道小題2分，共16分）1．（3分）習(xí)近平總書記提出：發(fā)展新能源汽車是我國從汽車大國走向汽車強(qiáng)國的必由之路．當(dāng)前隨著新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革孕育興起，新能源汽車產(chǎn)業(yè)正進(jìn)入加速發(fā)展的新階段．下列圖案是我國的一些國產(chǎn)新能源車企的車標(biāo)，圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（）A．y＝3x﹣1 B．y＝ C．y＝3x2+x﹣1 D．y＝2x3﹣13．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．﹣9 B． C． D．94．（3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，若∠DAE＝50°，則∠CAD＝（）A．30° B．40° C．50° D．90°5．（3分）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，OC⊥AB于點(diǎn)C，則OC的長為（）A．1 B．2 C．3 D．46．（3分）在2023年中考體育考試前，小康對自己某次實(shí)心球的訓(xùn)練錄像進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)實(shí)心球飛行路線是一條拋物線，若不考慮空氣阻力，實(shí)心球的飛行高度y（單位：米）與飛行的水平距離x（單位：米）之間具有函數(shù)關(guān)系y＝﹣x2+x+，則小康這次實(shí)心球訓(xùn)練的成績?yōu)椋ǎ〢．14米 B．12米 C．11米 D．10米7．（3分）y是x的二次函數(shù)，其對應(yīng)值如下表：x…﹣101234…y…4m0149…下列敘述不正確的是（）A．該二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線x＝1 B．m＝1 C．當(dāng)x＞3時(shí)，y隨x的增大而增大 D．圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)8．（3分）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)M在AD邊上自A至D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在BA邊上自B至A運(yùn)動(dòng)，M，N速度相同，當(dāng)N運(yùn)動(dòng)至A時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，連接CN，BM交于點(diǎn)P，則AP的最小值為（）A．1 B．2 C． D．二.填空題（共8小題，每道小題2分，共16分）______9．（3分）點(diǎn)（3，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．10．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一個(gè)根，則另一個(gè)根是．11．（3分）某種型號的芯片每片的出廠價(jià)為400元，經(jīng)科研攻關(guān)實(shí)現(xiàn)國產(chǎn)化后，成本下降，進(jìn)行兩次降價(jià)，若每次降價(jià)的百分率都為x，降價(jià)后的出廠價(jià)為144元、依題意可列方程為：．12．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，AB⊥x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，2），將△AOB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'OB'，則A'的坐標(biāo)是．13．（3分）若拋物線y＝4x2向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，則所得的拋物線的解析式是．14．（3分）關(guān)于x的方程x2+2x﹣c＝0無實(shí)數(shù)根，則二次函數(shù)y＝x2+2x﹣c的圖象的頂點(diǎn)在第象限．15．（3分）已知點(diǎn)（1，m），（﹣2，n）在二次函數(shù)y＝ax2+2ax+3（a＞0）的圖象上，則mn．（填“＞”“＜”或“＝”）16．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx，其中a+b＞0．下列結(jié)論：①若這個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，0），則它必有最大值；②若這個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過第三象限的點(diǎn)P，則必有a＜0；③若a＜0，則方程ax2+bx＝0必有一根大于1；④若a＞0，則當(dāng)≤x≤1時(shí)，必有y隨x的增大而增大．結(jié)合圖象判斷，所有正確結(jié)論的序號是．二.解答題（共12小題，共68分）17．（4分）按要求解下列方程．（1）用因式分解法解：x2+5x＝0；（2）用公式法解：x2+3x+1＝0．18．（4分）小北同學(xué)解方程x2﹣2x﹣1＝0的過程如下所示．解方程：x2﹣2x﹣1＝0．解：x2﹣2x＝1…第一步（x﹣1）2＝1…第二步x1＝0，x2＝2…第三步（1）小北同學(xué)是用（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）來求解的，從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤．（2）請你用與小北同學(xué)相同的方法解該方程．19．（4分）若m是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，求3﹣2m2+2m的值．20．（4分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，﹣10），B（2，8）兩點(diǎn)．（1）求b，c的值；（2）求該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．21．（4分）已知拋物線y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．（1）求證：此拋物線與x軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）若此拋物線與直線y＝x﹣3m+3的一個(gè)交點(diǎn)在y軸上，求m的值．22．（4分）如圖，正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請?jiān)谒o直角坐標(biāo)系中按要求解答下列問題：（1）畫出與△ABC關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對稱的△A1B1C1；（2）△A1B1C1的面積為．（3）將△ABC繞某點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，其對應(yīng)點(diǎn)分別為A2（﹣1，﹣2），B2（1，﹣3），C2（0，﹣5），則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為．23．（4分）如圖，已知△ABC是等邊三角形，在△ABC外有一點(diǎn)D，連接AD、BD、CD，將△ACD繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ABE，AD與BE交于點(diǎn)F，∠BFD＝97°．（1）求∠ADC的大??；（2）若∠BDC＝7°，BD＝2，BE＝4，求AD的長．24．（4分）2022年9月，教育部正式印發(fā)《義務(wù)教育課程方案》，《勞動(dòng)教育》成為一門獨(dú)立的課程，官渡區(qū)某學(xué)校率先行動(dòng)，在校園開辟了一塊勞動(dòng)教育基地：一面利用學(xué)校的墻（墻的最大可用長度為22米），用長為34米的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的矩形菜地，在菜地的前端各設(shè)計(jì)了兩個(gè)寬1米的小門，供同學(xué)們進(jìn)行勞動(dòng)實(shí)踐，若設(shè)菜地的寬AB為x米．（1）BC＝米（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若圍成的菜地面積為96平方米，求此時(shí)的寬AB．25．（5分）請閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：人類對一元二次方程的研究經(jīng)歷了漫長的歲月．一元二次方程及其解法最早出現(xiàn)在公元前兩千年左右的古巴比倫人的《泥板文書》中．到了中世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米在他的代表作《代數(shù)學(xué)》中給出了一元二次方程的一般解法，并用幾何法進(jìn)行了證明．我國古代三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽也給出了類似的幾何解法．趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了解方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14的方法．首先構(gòu)造了如圖1所示的圖形，圖中的大正方形面積是（x+x+5）2，其中四個(gè)全等的小矩形面積分別為x（x+5）＝14，中間的小正方形面積為52，所以大正方形的面積又可表示為4×14+52，據(jù)此易得原方程的正數(shù)解為x＝2．任務(wù)：（1）參照上述圖解一元二次方程的方法，請?jiān)谌齻€(gè)構(gòu)圖中選擇能夠說明方程x2﹣3x﹣10＝0，解法的正確構(gòu)圖是（從序號①②③中選擇）．（2）請你通過上述問題的學(xué)習(xí)，在圖2的網(wǎng)格中設(shè)計(jì)正確的構(gòu)圖，用幾何法求方程x2+2x﹣15＝0的正數(shù)解（寫出必要的思考過程）26．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在拋物線y＝ax2+bx上．（1）若a＝1，b＝﹣2，求該拋物線的對稱軸并比較y1，y2，y3的大??；（2）已知拋物線的對稱軸為x＝t，若y2＜0＜y3＜y1，求t的取值范圍．27．（5分）已知四邊形ABCD是正方形，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段CE，連接BE、CE、DE．過點(diǎn)B作BF⊥DE交線段DE的延長線于F．（1）如圖，當(dāng)BE＝CE時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α的大小發(fā)生變化時(shí)，∠BEF的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果變化，請用含α的代數(shù)式表示；如果不變，請求出∠BEF的度數(shù)；（3）聯(lián)結(jié)AF，求證：DE＝AF．28．（5分）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，有一條直線x＝m，對于任意一個(gè)函數(shù)，作該函數(shù)自變量大于m的部分關(guān)于直線x＝m的軸對稱圖形，與原函數(shù)中自變量大于或等于m的部分共同構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)圖象，則這個(gè)新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于直線x＝m的“鏡面函數(shù)”．例如：圖①是函數(shù)y＝x+1的圖象，則它關(guān)于直線x＝0的“鏡面函數(shù)”的圖象如圖②所示，且它的“鏡面函數(shù)”的解析式為y＝，也可以寫成y＝|x|+1．（1）在圖③中畫出函數(shù)y＝﹣2x+1關(guān)于直線x＝1的“鏡面函數(shù)”的圖象．（2）函數(shù)y＝x2﹣2x+2關(guān)于直線x＝﹣1的“鏡面函數(shù)”與直線y＝﹣x+m有三個(gè)公共點(diǎn)，求m的值．（3）已知拋物線y＝ax2﹣4ax+2（a＜0），關(guān)于直線x＝0的“鏡面函數(shù)”圖象上的兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），當(dāng)t﹣1≤x1≤t+1，x2≥4時(shí)，均滿足y1≥y2，直接寫出t的取值范圍．

2023-2024學(xué)年北京市東城區(qū)廣渠門中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一.選擇題（共8小題，每道小題2分，共16分）1．（3分）習(xí)近平總書記提出：發(fā)展新能源汽車是我國從汽車大國走向汽車強(qiáng)國的必由之路．當(dāng)前隨著新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革孕育興起，新能源汽車產(chǎn)業(yè)正進(jìn)入加速發(fā)展的新階段．下列圖案是我國的一些國產(chǎn)新能源車企的車標(biāo)，圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【解答】解：A、該圖形不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；B、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；C、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；D、該圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念是解題關(guān)鍵．2．（3分）下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（）A．y＝3x﹣1 B．y＝ C．y＝3x2+x﹣1 D．y＝2x3﹣1【分析】利用二次函數(shù)定義進(jìn)行解答即可．【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；B、y＝不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；C、y＝3x2+x﹣1是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；D、y＝2x3﹣1不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)關(guān)鍵條件．3．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．﹣9 B． C． D．9【分析】若一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式Δ＝b2﹣4ac，建立關(guān)于m的等式，即可求解．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4m＝0，解得m＝．故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了根的判別式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．4．（3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，若∠DAE＝50°，則∠CAD＝（）A．30° B．40° C．50° D．90°【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠CAE＝90°，結(jié)合∠DAE＝50°，求得∠CAD．【解答】解：將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，∴∠CAE＝90°，∵∠DAE＝50°，∴∠CAD＝180°﹣∠CAE﹣∠DAE＝90°﹣50°＝40°，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解答本題的關(guān)鍵．5．（3分）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，OC⊥AB于點(diǎn)C，則OC的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由于OC⊥AB于點(diǎn)C，所以由垂徑定理可得，在Rt△AOC中，由勾股定理即可得到答案．【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝8，∴，在Rt△AOC中，OA＝5，AC＝4，由勾股定理可得：．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理，熟練運(yùn)用垂徑定理并結(jié)合勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．6．（3分）在2023年中考體育考試前，小康對自己某次實(shí)心球的訓(xùn)練錄像進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)實(shí)心球飛行路線是一條拋物線，若不考慮空氣阻力，實(shí)心球的飛行高度y（單位：米）與飛行的水平距離x（單位：米）之間具有函數(shù)關(guān)系y＝﹣x2+x+，則小康這次實(shí)心球訓(xùn)練的成績?yōu)椋ǎ〢．14米 B．12米 C．11米 D．10米【分析】根據(jù)鉛球落地時(shí)，高度y＝0，把實(shí)際問題可理解為當(dāng)y＝0時(shí)，求x的值即可．【解答】解：當(dāng)y＝0時(shí)，則﹣x2+x+＝0，解得x＝﹣2（舍去）或x＝12．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用中函數(shù)式中變量與函數(shù)表達(dá)的實(shí)際意義，需要結(jié)合題意，取函數(shù)或自變量的特殊值列方程求解是解題關(guān)鍵．7．（3分）y是x的二次函數(shù)，其對應(yīng)值如下表：x…﹣101234…y…4m0149…下列敘述不正確的是（）A．該二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線x＝1 B．m＝1 C．當(dāng)x＞3時(shí)，y隨x的增大而增大 D．圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)【分析】由待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，求出對稱軸，可以判斷A，當(dāng)x＝0時(shí)，求出m的值，可以判斷B，根據(jù)a的值和對稱軸確定y隨x的變化情況，可以判斷C，根據(jù)根的判別式確定與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可以判斷D，從而得到答案．【解答】解：設(shè)二次函數(shù)為y＝ax2+bx+c，則，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為：y＝x2﹣2x+1，對稱軸為：，故選項(xiàng)A正確，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，∴m＝1，故選項(xiàng)B正確，∴a＝1＞0，∴圖象開口向上，∴當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＞3時(shí)，y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)C正確，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴圖象與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是采用待定系數(shù)法，求出二次函數(shù)的解析式．8．（3分）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)M在AD邊上自A至D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在BA邊上自B至A運(yùn)動(dòng)，M，N速度相同，當(dāng)N運(yùn)動(dòng)至A時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，連接CN，BM交于點(diǎn)P，則AP的最小值為（）A．1 B．2 C． D．【分析】先確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為以BC為直徑的一段弧，再求AP的最小值即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠ABC＝90°，∴∠BCN+∠BNC＝90°，又BN＝AM，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠ABM＝∠BCN，∴∠ABM+∠BNC＝90°，∴∠BPC＝∠BPN＝90°，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為以BC為直徑的一段弧，如圖所示，連接AO1交弧于點(diǎn)P，此時(shí)，AP的值最小，在Rt△ABO1中，，由勾股定理得，，∴，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及圓的性質(zhì)，知道線段最短時(shí)點(diǎn)的位置并能確定出最小時(shí)點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵．二.填空題（共8小題，每道小題2分，共16分）______9．（3分）點(diǎn)（3，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，2）．【分析】根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號相反可直接得到答案．【解答】解：點(diǎn)（3，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，2），故答案為：（﹣3，2）．【點(diǎn)評】此題主要考查了兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律．10．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一個(gè)根，則另一個(gè)根是1．【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之積，把已知根代入計(jì)算即可求出另一根．【解答】解：∵x＝2是一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一個(gè)根，設(shè)另一根為a，∴2a＝2，解得：a＝1，則另一根是1．故答案為：1．【點(diǎn)評】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．11．（3分）某種型號的芯片每片的出廠價(jià)為400元，經(jīng)科研攻關(guān)實(shí)現(xiàn)國產(chǎn)化后，成本下降，進(jìn)行兩次降價(jià)，若每次降價(jià)的百分率都為x，降價(jià)后的出廠價(jià)為144元、依題意可列方程為：400（1﹣x）2＝144．【分析】利用經(jīng)過兩次降價(jià)后的出廠價(jià)＝原出廠價(jià)×（1﹣每次降價(jià)的百分率）2，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得：400（1﹣x）2＝144．故答案為：400（1﹣x）2＝144．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．12．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，AB⊥x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，2），將△AOB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'OB'，則A'的坐標(biāo)是（2，﹣3）．【分析】根據(jù)題意畫出圖形旋轉(zhuǎn)后的位置，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定對應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)．【解答】解：如圖：∵將△AOB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'OB'，∴A'B'＝AB＝2，OB'＝OB＝3，∠OA'B'＝∠OBA＝90°，∴A'（2，﹣3），故答案為：（2，﹣3）．【點(diǎn)評】此題考查了旋轉(zhuǎn)變換、點(diǎn)的坐標(biāo)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的三要素，及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：（a，b）繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的坐標(biāo)為（b，﹣a）．13．（3分）若拋物線y＝4x2向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，則所得的拋物線的解析式是y＝4（x﹣2）2﹣1．【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的原則進(jìn)行解答即可．【解答】解：平移后的拋物線的解析式是y＝4（x﹣2）2﹣1．故答案為：y＝4（x﹣2）2﹣1．【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象的平移，熟知“上加下減，左加右減”的原則是解答此題的關(guān)鍵．14．（3分）關(guān)于x的方程x2+2x﹣c＝0無實(shí)數(shù)根，則二次函數(shù)y＝x2+2x﹣c的圖象的頂點(diǎn)在第二象限．【分析】首先確定拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，再利用拋物線開口方向以及對稱軸位置得出頂點(diǎn)的位置．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2+2x﹣c＝0無實(shí)數(shù)根，∴b2﹣4ac＝4+4c＜0，故二次函數(shù)y＝x2+2x﹣c的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，∵二次函數(shù)y＝x2+2x﹣c的圖象開口向上，對稱軸為：直線x＝﹣＝﹣1，∴拋物線頂點(diǎn)在第二象限．故答案為：二．【點(diǎn)評】此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)得出頂點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．15．（3分）已知點(diǎn)（1，m），（﹣2，n）在二次函數(shù)y＝ax2+2ax+3（a＞0）的圖象上，則m＞n．（填“＞”“＜”或“＝”）【分析】首先得到拋物線的開口方向和對稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)對稱性和增減性即可判定．【解答】解：∵y＝ax2+2ax+3（a＞0），∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，∴點(diǎn)（1，m）關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為（﹣3，m），∵﹣3＜﹣2＜﹣1，∴m＞n，故答案為：＞．【點(diǎn)評】本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，能求出對稱軸和根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出正確答案是解此題的關(guān)鍵．16．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx，其中a+b＞0．下列結(jié)論：①若這個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，0），則它必有最大值；②若這個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過第三象限的點(diǎn)P，則必有a＜0；③若a＜0，則方程ax2+bx＝0必有一根大于1；④若a＞0，則當(dāng)≤x≤1時(shí)，必有y隨x的增大而增大．結(jié)合圖象判斷，所有正確結(jié)論的序號是①③④．【分析】根據(jù)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)（1，a+b），然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．【解答】解：①∵二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象經(jīng)過原點(diǎn)和（2，0），且x＝1時(shí)，y＝a+b＞0，∴拋物線開口向下，函數(shù)必有最大值，故①正確；②當(dāng)頂點(diǎn)在第一象限，則a＜0，當(dāng)頂點(diǎn)在第三象限，則a＞0，故②錯(cuò)誤；③若a＜0，則拋物線頂點(diǎn)在第一象限，開口向下，∴拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1，∴方程ax2+bx＝0必有一根大于1，故③正確；④若a＞0，則拋物線頂點(diǎn)在x軸的下方，開口向上，∵二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象經(jīng)過原點(diǎn)和（1，a+b），且a+b＞0，∴拋物線的對稱軸﹣＜，∴當(dāng)≤x≤1時(shí)，必有y隨x的增大而增大，故④正確；故答案為：①③④．【點(diǎn)評】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二.解答題（共12小題，共68分）17．（4分）按要求解下列方程．（1）用因式分解法解：x2+5x＝0；（2）用公式法解：x2+3x+1＝0．【分析】（1）利用提公因式法將方程的左邊因式分解后求解可得；（2）利用求根公式計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵x2+5x＝0，∴x（x+5）＝0，則x＝0或x+5＝0，解得x1＝0，x2＝﹣5；（2）∵a＝1，b＝3，c＝1，∴Δ＝32﹣4×1×1＝5＞0，則x＝，即x1＝，x2＝．【點(diǎn)評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接開平方法、公式法、因式分解法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法求解．18．（4分）小北同學(xué)解方程x2﹣2x﹣1＝0的過程如下所示．解方程：x2﹣2x﹣1＝0．解：x2﹣2x＝1…第一步（x﹣1）2＝1…第二步x1＝0，x2＝2…第三步（1）小北同學(xué)是用配方法（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）來求解的，從第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤．（2）請你用與小北同學(xué)相同的方法解該方程．【分析】（1）利用配方法解一元二次方程的基本步驟解答即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可．【解答】解：（1）由題意可知，小北同學(xué)是用配方法來求解的．從第二步出現(xiàn)錯(cuò)誤．故答案為：配方法，二；（2）x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝1+1，（x﹣1）2＝2，x﹣1＝±，x1＝1+，x2＝1﹣．【點(diǎn)評】本題考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法”、公式法、因式分解法是解題的關(guān)鍵．19．（4分）若m是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，求3﹣2m2+2m的值．【分析】把m代入方程得到m2﹣m的值，變形代數(shù)式后整體代入得結(jié)果．【解答】解：∵m是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，∴m2﹣m﹣1＝0，即m2﹣m＝1．∴3﹣2m2+2m＝3﹣2（m2﹣m）＝3﹣2×1＝3﹣2＝1．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．掌握整體代入的思想方法是解決本題的關(guān)鍵．20．（4分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，﹣10），B（2，8）兩點(diǎn)．（1）求b，c的值；（2）求該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】（1）依據(jù)題意，將A、B代入解析式進(jìn)行計(jì)算可以得解；（2）由（1）再令y＝0，從而計(jì)算可以得解．【解答】解：（1）點(diǎn)A（﹣1，﹣10），B（2，8）代入拋物線，得，∴．（2）∵b＝5，c＝﹣6∴y＝x2+5x﹣6．令y＝0，解得，x1＝1，x2＝﹣6．∴二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（﹣6，0）．【點(diǎn)評】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，解題時(shí)要熟練掌握并理解是關(guān)鍵．21．（4分）已知拋物線y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．（1）求證：此拋物線與x軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）若此拋物線與直線y＝x﹣3m+3的一個(gè)交點(diǎn)在y軸上，求m的值．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的交點(diǎn)與圖象的關(guān)系，證明其方程有兩個(gè)不同的根即Δ＞0即可；（2）根據(jù)題意，令x＝0，整理方程可得關(guān)于m的方程，解可得m的值．【解答】（1）證明：令y＝0得：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0，∵△＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m）×1＝（4m2﹣4m+1）﹣（4m2﹣4m）＝1＞0，∴方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，∴原拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）解：令x＝0，根據(jù)題意有：m2﹣m＝﹣3m+3，解得m＝﹣3或1．【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象與解析式的關(guān)系，拋物線與x軸的交點(diǎn)等．22．（4分）如圖，正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請?jiān)谒o直角坐標(biāo)系中按要求解答下列問題：（1）畫出與△ABC關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對稱的△A1B1C1；（2）△A1B1C1的面積為．（3）將△ABC繞某點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，其對應(yīng)點(diǎn)分別為A2（﹣1，﹣2），B2（1，﹣3），C2（0，﹣5），則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為（0，﹣1）．【分析】（1）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)作圖即可．（2）利用割補(bǔ)法求三角形的面積即可．（3）連接AA2，CC2，分別作線段AA2，CC2的垂直平分線，兩線相交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M為△ABC與△A2B2C2的旋轉(zhuǎn)中心，即可得出答案．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）△A1B1C1的面積為＝．故答案為：．（3）如圖，連接AA2，CC2，再分別作線段AA2，CC2的垂直平分線，兩線相交于點(diǎn)M，則△ABC是繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C2，∴旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為（0，﹣1）．故答案為：（0，﹣1）．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換、中心對稱，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、中心對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．23．（4分）如圖，已知△ABC是等邊三角形，在△ABC外有一點(diǎn)D，連接AD、BD、CD，將△ACD繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ABE，AD與BE交于點(diǎn)F，∠BFD＝97°．（1）求∠ADC的大??；（2）若∠BDC＝7°，BD＝2，BE＝4，求AD的長．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，由三角形的內(nèi)角和定理可求解；（2）連接DE，可證△AED是等邊三角形，可得∠ADE＝60°，AD＝DE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ACD≌△ABE，可得CD＝BE＝4，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）∵將△ACD繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△ABE，∴AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，∵∠BFD＝97°＝∠AFE，∴∠E＝180°﹣97°﹣60°＝23°，∴∠ADC＝∠E＝23°；（2）如圖，連接DE，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△AED是等邊三角形，∴∠ADE＝60°，AD＝DE，∵將△ACD繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△ABE，∴△ACD≌△ABE，∴CD＝BE＝4，∵∠BDC＝7°，∠ADC＝23°，∠ADE＝60°，∴∠BDE＝90°，∴DE＝＝＝2，∴AD＝DE＝2．【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是本題的關(guān)鍵．24．（4分）2022年9月，教育部正式印發(fā)《義務(wù)教育課程方案》，《勞動(dòng)教育》成為一門獨(dú)立的課程，官渡區(qū)某學(xué)校率先行動(dòng)，在校園開辟了一塊勞動(dòng)教育基地：一面利用學(xué)校的墻（墻的最大可用長度為22米），用長為34米的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的矩形菜地，在菜地的前端各設(shè)計(jì)了兩個(gè)寬1米的小門，供同學(xué)們進(jìn)行勞動(dòng)實(shí)踐，若設(shè)菜地的寬AB為x米．（1）BC＝（36﹣3x）米（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若圍成的菜地面積為96平方米，求此時(shí)的寬AB．【分析】（1）根據(jù)各邊之間的關(guān)系，可得出長BC為（36﹣3x）米；（2）根據(jù)圍成的菜地面積為96平方米，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵籬笆的總長為34米，菜地的前端各設(shè)計(jì)了兩個(gè)寬1米的小門，且菜地的寬AB為x米，∴長BC為34+2﹣3x＝（36﹣3x）米．故答案為：（36﹣3x）；（2）根據(jù)題意得：x（36﹣3x）＝96，整理得：x2﹣12x+32＝0，解得：x1＝4，x2＝8．當(dāng)x＝4時(shí)，36﹣3x＝36﹣3×4＝24＞22，不符合題意，舍去；當(dāng)x＝8時(shí)，36﹣3x＝36﹣3×8＝12＜22，符合題意．答：當(dāng)圍成的菜地面積為96平方米時(shí)，寬AB為8米．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各邊之間的關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示出BC的長；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．25．（5分）請閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：人類對一元二次方程的研究經(jīng)歷了漫長的歲月．一元二次方程及其解法最早出現(xiàn)在公元前兩千年左右的古巴比倫人的《泥板文書》中．到了中世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米在他的代表作《代數(shù)學(xué)》中給出了一元二次方程的一般解法，并用幾何法進(jìn)行了證明．我國古代三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽也給出了類似的幾何解法．趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了解方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14的方法．首先構(gòu)造了如圖1所示的圖形，圖中的大正方形面積是（x+x+5）2，其中四個(gè)全等的小矩形面積分別為x（x+5）＝14，中間的小正方形面積為52，所以大正方形的面積又可表示為4×14+52，據(jù)此易得原方程的正數(shù)解為x＝2．任務(wù)：（1）參照上述圖解一元二次方程的方法，請?jiān)谌齻€(gè)構(gòu)圖中選擇能夠說明方程x2﹣3x﹣10＝0，解法的正確構(gòu)圖是②（從序號①②③中選擇）．（2）請你通過上述問題的學(xué)習(xí)，在圖2的網(wǎng)格中設(shè)計(jì)正確的構(gòu)圖，用幾何法求方程x2+2x﹣15＝0的正數(shù)解（寫出必要的思考過程）【分析】（1）仿照閱讀材料構(gòu)造圖形，即可判斷出構(gòu)圖方法；（2）仿照閱讀材料構(gòu)造大正方形面積是（x+x+2）2，其中四個(gè)全等的小矩形面積分別為x（x+2）＝15，中間的小正方形面積為22，即可解決問題．【解答】解：（1）∵應(yīng)構(gòu)造面積是（x+x﹣3）2的大正方形，其中四個(gè)全等的小矩形面積分別為x（x﹣3）＝10，中間的小正方形面積為32，∴大正方形的面積又可表示為4×10+32＝49，∴大正方形的邊長為7，所以x+x﹣3＝7，∴x＝5，故正確構(gòu)圖②．故答案為：②；（2）首先構(gòu)造了如圖2所示的圖形，圖中的大正方形面積是（x+x+2）2，其中四個(gè)全等的小矩形面積分別為x（x+2）＝15，中間的小正方形面積為22，所以大正方形的面積又可表示為4×15+22＝64，進(jìn)一步可知大正方形的邊長為8，所以x+x+2＝8，得x＝3．【點(diǎn)評】本題是材料閱讀題，考查了構(gòu)造圖形解一元二次方程，關(guān)鍵是讀懂材料中提供的構(gòu)圖方法，并能正確構(gòu)圖解一元二次方程，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．26．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在拋物線y＝ax2+bx上．（1）若a＝1，b＝﹣2，求該拋物線的對稱軸并比較y1，y2，y3的大??；（2）已知拋物線的對稱軸為x＝t，若y2＜0＜y3＜y1，求t的取值范圍．【分析】（1）將a＝1，b＝﹣2代入函數(shù)解析式可得拋物線開口方向及對稱軸，進(jìn)而求解．（2）由拋物線解析式可得拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，分別討論a＞0與a＜0兩種情況．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣＝1，∵1﹣（﹣1）＞2﹣1＞1﹣1，∴y1＞y3＞y2．（2）把x＝0代入y＝ax2+bx得y＝0，∴拋物線經(jīng)過原點(diǎn)（0，0），①a＞0時(shí)，拋物線開口向上，∵y2＜0，∴t＞0，當(dāng)y3＝y(tǒng)1時(shí)，t＝＝，∵y3＜y1，∴t＞，當(dāng)y3＝0時(shí)，t＝＝1，∴＜t＜1滿足題意．②a＜0時(shí)，拋物線開口向下，∵y2＜0，∴t＜0，∴x＞0時(shí)，y隨x增大而減小，∴y3＜y2，不符合題意．綜上所述，＜t＜1．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與不等式的關(guān)系．27．（5分）已知四邊形ABCD是正方形，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段CE，連接BE、CE、DE．過點(diǎn)B作BF⊥DE交線段DE的延長線于F．（1）如圖，當(dāng)BE＝CE時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α的大小發(fā)生變化時(shí)，∠BEF的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果變化，請用含α的代數(shù)式表示；如果不變，請求出∠BEF的度數(shù)；（3）聯(lián)結(jié)AF，求證：DE＝AF．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE＝CE，得到△BEC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BCE＝60°，計(jì)算即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理得到∠CED＝90°﹣，∠CEB＝45°+，根據(jù)平角的定義計(jì)算，得到答案；（3）作AG∥DF，AH∥GF，CI⊥DF，證明矩形AGFH是正方形，得到∠AFH＝∠FAH＝45°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AH＝AF，證明△AHD≌△DIC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AH＝DI，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DE＝2DI，證明結(jié)論．【解答】（1）解：在正方形ABCD中，BC＝CD，由旋轉(zhuǎn)可知，CE＝CD，∵BE＝CE，∴BE＝CE＝BC，∴△BEC是等邊三角形，∴∠BCE＝60°，∵∠BCD＝90°，∴α＝∠DCE＝30°；（2）解：∠